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Full text of "Cálculo Volume 1 (em Português) James Stewart"

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THOMSON 


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5 edição 


James Stewart 









Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) 

Stewart, James 

Cálculo, volume i / James Stewart. -5. ed. - 
São Paulo ; Pioneira Thomson Learníng, 2006. 

Título original: Cakulus. 

Vários tradutores. 

Bibliografia. 

ISBN 85-221-0479-4 


1. Cálculo I. Título 



índices para catálogo sistemático: 
1. Cálculo : Matemática 515 







Volume I 


5® EDIÇÃO 


JAMES STEWART 

McMaster University 


Tradução Técnica 

Antonio Carlos Moretti 

m 

Doutor em Engenharia Industrial pela Geórgia ínstittrte of Technology 
e Professor Livre-Docente do Imeee - Uniearnp 


Antonio Carlos Gilli Martii 


Doutor em Matemática pela Uniearnp e Professor Doutor do Imeee - Uniearnp 


THOMSON 


Estados Unidoigk mUco.^ Reino Unido 



Editora de Desenvolvimento: 
Ada Santos Seles 


Produtora Gráfica: 

Fabiana Alencar Albuquerque 


Revisão: 

Siivana Gouveia 
Alessandra Miranda de Sá 


Supervisora de Produção 
Editorial: 

Patrícia La Rosa 

Produtora Editorial: 

Ligia Cosmo Cantarelli 


COPYRIGHT © 2003 Thomson 
Learning, Inc. Thomson 
Learning™- Brooks/Cole 
COPYRIGHT © 2005 de Pioneira 
Thomson Learning Ltda., uma 
divisão da Thomson Learning, 
inc. Thomson Learning™ é uma 
marca registrada aqui utilizada 
sob licença. 

Impresso no Brasil. 

Printed in Brazil. 

5 6 7 8 08 07 06 

Setembro de 2005. 

Rua Traipu, 114-3® andar 
Perdizes - CEP 01235-000 
São Paulo - SP 
Te!.: (11) 3665-9900 
Fax: (11) 3665-9901 

sac@thomsonlearning.com.br 

www.thomsoniearning.com.br 


Tradução Técnica: 

Antonio Carlos Moretti 
Antonio Carlos Gilli Martins 

Copidesque: 

Maria Alice da Costa 


Todos os direitos reservados. 
Nenhuma parte deste livro 
poderá ser reproduzida sejam 
quais forem os meios empregados 
sem a permissão, por escrito, da 
Editora. 

Aos infratores aplicam-se as 
sanções previstas nos artigos 102, 
104, 106 e 107 da Lei n s 9.610, de 
19 de fevereiro de 1998. 

Esta editora empenhou-se 
em contatar os responsáveis 
pelos direitos autorais de 
todas as imagens e de outros 
materiais utilizados neste livro. 

Se porventura for constatada 
a omissão involuntária na 
identificação de algum deles, 
dispomo-nos a efetuar, 
futuramente, os possíveis acertos. 


Composição: 

Marco Zero 

Capa: 

FZ. Dáblio Design Studio 

Título, Edição e ISBN do Original: 

Caiculus, 5 th , ISBN : 0-534-39- 
321-7 


Dados Internacionais de 
Catalogação na Publicação (CIP) 
(Câmara Brasileira do Livro, SP, 
Brasil) 

Stewart, James 

Cálculo, volume I / James Stewart. 

- 5. ed. - São Paulo : Pioneira 
Thomson Learning, 2006. 

Título originai: Caiculus. 

Vários tradutores. Bibliografia. 
ISBN 85-221-0479-4 

1. Cálculo. I. Título. 

05-5022 CDD-515 

índices para catálogo 
sistemático: 

1. Cálculo : Matemática 515 







Prefácio 



Uma grande descoberta envolve a solução de um grande problema, 
mas há uma semente de descoberta na solução de qualquer 
problema. Seu problema pode ser modesto; porém, se ele desafiar 
sua curiosidade e fizer funcionar sua capacidade inventiva, e caso 
você o resolva sozinho, então poderá experimentar a tensão e o 
prazer do triunfo da descoberta. 

George Polya 


A arte de ensinar, segundo Mark van Doren.é a de tomar parte ern descobertas. Tentei escre- 
ver um livro que tome parte na descoberta do cálculo pelos estudantes - por seu aspecto 
prático bern como por sua surpreendente beleza. Nesta edição, como nas anteriores, pre- 
tendi transmitir aos estudantes um sentido de utilidade cio cálculo e desenvolver competên- 
cia técnica, como também me empenhei em dar uma avaliação da beleza intrínseca do 
assunto. Newton, sem dúvida, experimentou uma sensação de triunfo no momento de suas 
grandes descobertas. Eu gostaria que os estudantes partilhassem dessa emoção. 

A ênfase está na compreensão dos conceitos. Penso que todos concordam que esta deve 
ser a meta principal no ensino do cálculo. De fato, o ímpeto para o atual movimento de 
reforma do cálculo vem da Conferência de Tu lane, de 1986, que formulou como recomen- 
dação fundamental: 

Focalizar na compreensão conceituai. 

Tentei implementar essa meta pela Regra de Três: “Tópicos devem ser apresentados de 
forma geométrica, numérica e algebricamente". Visualização, experimentação numérica e 
gráfica e outras abordagens mudaram radicalmente a forma de ensinar o raciocínio con- 
ceituai. Mais recentemente, a Regra de Três foi expandida, tomando-se a Regra de Quatro, 
com o acréscimo do ponto de vista verbal ou descritivo. 

Ao preparar esta edição parti da premissa de que é possível alcançar a compreensão 
conceituai e ainda manter as melhores tradições do cálculo tradicional. O livro contém ele- 
mentos de reforma, mas dentro de um contexto de um currículo tradicional. 

gHH O Que É Novo Nesta Edição 

Enquanto preparava a quinta edição deste livro, passei um ano na Universidade de 
Toronto ensinando Cálculo utilizando a edição anterior. Eu ouvia atentamente as per- 
guntas de meus alunos e as sugestões de meus colegas. E, cada vez que preparava uma 
aula. ficava pensando se algum exercício a mais era necessário ou se uma frase deveria 
ser melhorada ou, ainda, se uma seção deveria ter mais exercícios de um certo tipo. 
Além disso, prestei muita atenção às sugestões enviadas por vários leitores e aos comen- 
tários dos meus revisores. 

Uma fonte não muito comum de problemas novos foi um telefonema de um amigo, 
Richard Armstrong. Richard é sócio de uma firma de consultoria em engenharia e orienta 
os clientes que constroem hospitais e hotéis. Ele me disse que, em certas partes do mundo. 


vii 


vis# 


CÁLCULO 



os sistemas de sprtnklers de prédios grandes são abastecidos de água por compartimentos 
localizados nos tetos desses prédios. Naturalmente ele sabia que a pressão da água diminui 
quando o nível de água decresce, mas queria quantificar esse decréscimo de maneira que 
seus clientes pudessem garantir uma certa pressão durante um dado período. 

Eu lhe disse que podería resolver este problema usando as equações diferenciais sepa- 
ráveis, porém ocorreu-me que esse problema poderia gerar um bom projeto de pesquisa 
quando combinado com outras idéias. 

A estrutura desta edição permanece praticamente a mesma da anterior, no entanto, há 
vários melhoramentos, pequenos e grandes: 

* A revisão de funções trigonométricas inversas foi mudada do Apêndice para a 
Seção 1.6. 

9 Novas frases e notas de rodapé foram inseridas no texto para dar mais clareza à 
exposição. 

* Vários trabalhos de arte foram redesenhados. 

* Os dados em exemplos e os exercícios foram atualizados no tempo. 

• Exemplos foram adicionados. Por exemplo, foi adicionado um novo Exemplo 1 
na Seção 5.3 (página 394) porque alguns alunos tiveram uma certa dificuldade em 
entender a noção de uma função definida por uma integral com um limite de integra- 
ção variável. Eu acho que seria interessante dar uma olhada no Teorema Fundamen- 
tal do Cálculo antes de ler o Exemplo 1 . 

• Foram incluídos determinados itens em alguns dos exemplos já existentes. 

• Cerca de 25% dos exercícios em cada capítulo são novos. Aqui estão alguns dos 
meus favoritos: 


Exercício 

Página 

Exercício 

Página 

Exercício Página 

2.8.34 

164 

3.9.55 

254 

4.4.74 315 

5.4.52 

410 

7.7.36 

524 



Foram adicionados novos problemas nas seções Problemas Quentes. Veja, por exem- 
plo, os Problemas 20 e 21 na página 277, os Problemas 9 e 10 na página 585. 

* Cinco novos projetos foram incluídos. O projeto na página 242 pede ao aluno para 
desenvolver um projeto de montanha-russa de maneira que os trilhos sejam suaves 
nos pontos de transição. O projeto da página 550, o qual agradeço a Larry Riddle 
pela idéia, é na verdade uma competição na qual a curva vencedora tem o menor 
comprimento de arco (dentro de certas classes de curvas). 



Jsbjss stevvgr! PREFÁCIO I; 

Ca rac te rí s t icas 

,,,, - , . ............. ....._ 

***'^"*** 1 ******^ 1 * 1 ^*'^ j| n i, j^iy*****^*^*^*— *** "*"** i ^‘ A "‘ , ^‘^ rf “ ™ v*** 1 ^***"^ "** * **%*****■* *y*r "**■** " ** ■•:••• •.• - -. •••' : ; • - • 

Exerc ‘ cios Concel,üais A maneira mais importante de encorajar a compreensão conceituai é através dos proble 
mas que prescrevemos. Com essa finalidade delineei vários tipos de novos problemas 
Alguns conjuntos de exercícios começam com questões exigindo a explicação do signiíi 
cadeado conceito básico da seção. (Veja, por exemplo, os primeiros exercícios, nas Seçõe; 
2.2, 2.5, 2.7} Analogamente, todas as seções de revisão começam por uma verificação con 
ccitual e um teste do tipo verdadeiro-falso. Outros exercícios testam a compreensão con 
ceilual por gráficos e tabelas (veja os Exercícios 2.8. 1-3, 2.9.35-38 e 3.7 .1 -4. Outro tipo d< 
exercício usa a descrição verbal para testar a compreensão conceituai (veja os Exercício: 
2.5.8, 2.9.48, 4.3.59-60 e 7.8.67). Eu particularmente valorizo os problemas que com- 
binam e comparam as abordagens gráficas, numéricas e algébricas (veja os Exercício: 
2.6.35-36 e 3.3.23). 

Coniantos de Exercícios Graduados Cada conjunto de exercícios é cuidadosamente graduado, progredindo desde os exercícios 

conceituais básicos e problemas destinados a desenvolvimento de habilidades até proble- 
mas mais desafiadores envolvendo as aplicações e provas. 

Dados do Mundo Real Meu assistente e eu despendemos um bom tempo em bibliotecas, contatando companhias 
e agências governamentais e procurando na Internet por dados do mundo real para intro- 
duzir, motivar e ilustrar os conceitos do cálculo. Como resultado, muitos de nossos exem- 
plos e exercícios tratam de funções definidas por esses dados numéricos ou gráficos. Veja. 
por exemplo, as Figuras 1, 11 e 12 na Seção 1.1 (sismogramas do terremoto de 
Northridge), Exercício 2.9.36 (porcentagem da população com idade inferior a 18 anos). 
Exercício 5.1 .14 (velocidade do ônibus espacial Endeavour ) e Figura 4 da Seção 5.4 (con- 
sumo de energia em São Francisco). 

Projetos Uma maneira de envolver os estudantes e então tomá-los aprendizes ativos é fazê-los tra- 
balhar (talvez em grupos) em projetos de extensão, que dão um grande sentimento de rea- 
lização quando finalizados. Isso inclui quatro tipos de projetos. Projetos Aplicados , que 
envolvem as aplicações destinadas a apelar para a imaginação dos estudantes. Projetos 
Escritos , que pedem aos estudantes que comparem os métodos atuais com aqueles usados 
pelos fundadores do cálculo (por exemplo, o método de Fermat para encontrar tangentes). 
São sugeridas algumas referências. Projetos Descobertas , que antecipam os resultados que 
serão discutidos posteriormente ou encorajam a descoberta por meio do reconhecimento 
do padrão (veja a Seção 7.6). 

Tecnologia A disponibilidade de tecnologia torna ainda mais importante compreender claramente os 
conceitos que fundamentam as imagens na teia. Quando usados adequadamente, calcu- 
ladoras gráficas e computadores são ferramentas valiosas na descoberta e compreensão 
desses conceitos. Este livro pode ser usado com ou sem tecnologia, e usei dois símbolos 
especiais para indicar quando um tipo especial de máquina é necessário. O ícone 1! indi- 
ca um exemplo ou exercício que requer o uso dessa tecnologia, mas isso não significa 
que ela não possa ser usada também em outros exercícios. O símbolo Hv é reservado 
para os problemas em que é requerida toda a capacidade de um sistema algébrico com- 
putacional (como Derive, Maple, Mathematica ou 1489/92). Todavia, a tecnologia não 
torna obsoletos o lápis e o papel. Os cálculos à mão e esboços são frequentemente 
preferíveis à tecnologia para ilustrar e reforçar alguns conceitos. Professores e estu- 
dantes precisam desenvolver a habilidade para dícidir quando é mais apropriada a 
máquina ou a mão. 





x ' :: GÁICULQ Editora Thomson 

Resolução de Problemas Os estudantes geralmente têm dificuldades com os problemas para os quais não há um 
único procedimento bem-definido para obter a resposta. Penso que ninguém usa ade- 
quadamente a estratégia das quatro etapas para a solução dos problemas proposta por 
George Polya e, por isso. incluí uma versão de seus princípios no fim do Capítulo 1 . Esses 
conceitos são aplicáveis, explícita e implicitamente, em todo o livro. Após os outros capí- 
tulos coloquei seções denominadas Problemas Quentes , que apresentam como atração 
principal os exemplos de como atacar os problemas desafiadores do cálculo. Ao selecionar 
os variados problemas para essas seções tive em mente seguir os conselhos de David 
Hilbert: “Um problema matemático deve ser difícil para nos seduzir, mas não inacessível 
de forma a zombar de nossos esforços”. Quando coloquei esses problemas desafiadores 
como tarefas de testes, graduei-os de diferentes maneiras. Aqui, eu recompensei significa- 
tivamente o estudante por idéias na direção de uma solução e por reconhecer quais princí- 
pios da solução de problemas são relevantes. 




JãsTiss Stewart 


PREFACIO 


Conteúdo 


Uma Apresentação O livro começa com uma visão geral do assunto, incluindo uma lista de questões pai 
do Cálculo motivar o estudo do cálculo. 


Capítulo 1 Desde o início estão enfatizadas as representações múltiplas de funções: verbal, numéric; 

Funções e Modelos visual e algébrica. Uma discussão de modelos matemáticos leva a uma revisão das funções 

padrão, incluindo a função exponencial e logarítmica, sob esses quatro pontos de vista. 

Capítulo 2 O material sobre limites está motivado por uma discussão anterior dos problemas da tar 
Limites e Derivadas gente e-da velocidade. Os limites são tratados sob os pontos de vista descritivo, grafia 
numérico e algébrico. A Seção 2.4, sobre a definição precisa de um limite em termos d 
£-<5, é opcional. As Seções 2.8 e 2.9 tratam de derivadas (especial mente de funções definkk 
gráfica e numericamente) antes das regras de diferenciação, cobertas no Capítulo 3. Aqui c 
exemplos e exercícios exploram os significados das derivadas em vários contextos. 

Capítulo 3 Todas as 1 unções básicas sao diferenciadas aqui, incluindo a exponencial, logarítmica 
Regras de Diferenciação inversa das funções trigonométricas. Quando as derivadas são computadas em aplicaçôe: 
os estudantes são questionados a explicar seus significados. 

Capítulo 4 As seções sobre as funções monótonas e concavidade foram combinadas em uma tinia 
Aplicações da Diferenciação que explica como as derivadas afetam o aspecto do gráfico. Fazer gráficos com tecnologi 

enfatiza a iníeraçao entre cálculo, calculadoras e análise de famílias de curvas. São dadc 
problemas substanciais de otimização, inclusive urna explicação de por que você dever 
elevar sua cabeça 42° para ver o topo de um arco-íris. 

Capítulo 5 Os problemas de área e distância servem para motivar a integra! definida, com a notaçâ 

Integrais somatória introduzida conforme necessário. (Uma cobertura completa da notaçã 
somatória é dada no Apêndice E.) A ênfase está colocada na explicação do significado d 
integral em vários contextos, bem como na estimativa dos valores dela a partir de gráfico 
e tabelas. 


Capítulo 6 Apresentei aqui as aplicações da integração — área, volume, trabalho, valor médio—, que poder 
Aplicações de Integração ser leitas razoavelmente sem técnicas especializadas dc integração. São enfatizados os método 
genéricos. A meta é tomar os estudantes capazes de dividir uma quantidade em partes pequena: 
estimar com somas de Riemann e reconhecer o limite como uma integral. 

Capítulo 7 Todos os métodos tradicionais são estudados neste capítulo, mas o desafio é reconhece 

Técnicas de Integração qual técnica é melhor em determinada situação. Da mesma forma, na Seção 7.5, apresen 

tei a estratégia para a integração. O uso de sistemas algébricos computacionais está discu 
tido na Seção 7.6. 

Capitulo 8 Expomos aqui as aplicações de integração - comprimento do arco e área da superfície - 

Mais Aplicações de Integração para as quais é útil ter disponível todas as técnicas de integração, bem como aplicações ; 

biologia, economia e física (força hidrostática e centro de massa). Uma nova seção sobn 
probabilidade foi também incluída. Há aqui mais aplicações do que realisticamente poden 
ser cobertas em um dado curso. Cabe aos professores selecionar aquelas adequadas a seu 
alunos e pelas quais têm mais entusiasmo. 




SÔI5 


Agradecimentos 

A preparação desta edição e das anteriores envolveu várias horas na leitura dos conselhos 
“algumas vezes contraditórios” de um grande número de bons revisores. Agradeço 
enonnemente o tempo despendido por eles para compreender os motivos pelos quais segui 
em uma determinada direção. Aprendi um pouco com cada um deles. 

Revisores desta edição 

Martina Bode (Northwestern University), Gary W. Harrison (College of Charleston), Hus- 
sain S. Nur (Califórnia State University. Fresno), Philip L. Bowers (Florida State Universi- 
ty), Randall R. HoJmes (Aubum University), Scott Chapman (Trinity University), James F. 
Hurley (University of Connectieut), Mike Penna (Indiana U ni ver sity-Purdue , University of 
Indianapolis), Charles N. Curtis (Missouri Southern State College), Matthew A. Isom (Ari- 
zona State University), John Ringland (State University of New York em Buffaio), John W. 
Davenport (Geórgia Southern University), Zsuzsanna M. Kadas (St. MichaeFs College), E. 
Arthur Robinson Jr. (The George Washington University), Elias Deeba (University of Hous- 
ton-Downtown), Frederick W. Keene (Pasadena City College), Rob Root (Lafayette Col- 
lege), Greg Dresden (Washington and Lee University), Robert L. Kelley (University of 
Miami), John C. Lawlor (University of Vermont), Teresa Morgan Smith (Blinn College), 
Martin Erickson (Truman State University), Cristopher C. Leary (State University of New 
York em Geneseo), Donald W. Solomon (University of Wisconsin-Milwaukee), Laurene V. 
Fausett (Geórgia Southern University), William O. Martin (North Dakota State University), 
Kristin Stoley (Blinn College), Norman Feldman (Sonoma State University), Gerald Y. Mat- 
sumoto (American River College), Paul Xavier Uhlig (St. Mary's University, San Antonio), 
José D. Flores (The University of South Dakota), Gordon Meirose (Old Dominion Univer- 
sity), Dennis H. Wortman (University of Massachusetts), Kevin A. Grasse (The University 
of Oklahoma). Michael Montano (Riverside Community College), Howard B. Hamilton 
(Califórnia State University, Sacramento), Xian Wu (University of South Carolina). 

Gostaria de agradecer, ainda, a George Bergman, Stuart Goklenberg, Emile LeBlanc, Gerald 
Leibowitz, Charles Pugh, Marina Ratner, Peter Rosenthal e Alan Weinstein por suas 
opiniões; Dan Clegg por suas pesquisas em bibliotecas e na Internet; Amold Good por sua 
ajuda nos problemas de otimização com diferenciação implícita; Al Shenk e Dennis Zill pela 
permissão do uso de seus projetos; George Bergman, David Bleecker, Dan Clegg, Victor 
Kaftai, Anthony Lam, Jamie Lawson. Ira Rosenholtz, Low’ell Smyíie e Larry Wallen por suas 
idéias em exercícios; Dan Drucker pelo projeto da montanha-russa; Tom Farmer, Fred Gass, 
John Ramsay, Larry Riddle e Philip Straffin por suas idéias de projetos; Dan Anderson e Dan 
Drucker pela resolução dos novos exercícios; e Jeff Cole e Dan Clegg por suas cuidadosas 
leituras do manuscrito original. Sou muito grato a Jeff Cole por suas sugestões para melho- 
rar os exercícios. Dan Clegg atuou como meu assistente do começo ao fim deste trabalho; 
ele leu, corrigiu, fez inúmeras sugestões e contribuiu em muitos dos novos exercícios. 

Fui muito afortunado por ter trabalhado com alguns dos melhores editores de livros de 
matemática das duas últimas décadas: Ron Munro, Harry Campbell, Craig Barth, Jeremy 
Hayhurst e Gary Ostedt, e, por último, Bob Pirtle. Bob continua a tradição dos editores, os 
quais, enquanto oferecem amplo apoio e sólidos conselhos, confiaram em meus instintos 
e me permitiram produzir os livros que eu queria escrever. 


James Stewarí 





Uma Apresentação do Cálculo 


Funções e Modelos 10 


1.1 

1.2 

1.3 

1.4 

1.5 

1.6 


Quatro Maneiras de Representar uma Função 1 1 
Modelos Matemáticos: uma Relação de Funções Essenciais 
Novas Funções a partir de Antigas 38 
Calculadoras Gráficas e Computadores 50 
Funções Exponenciais 56 ^ 

Funções inversas e Logaritmos 64 
Revisão 77 


25 


Princípios para a Solução de Problemas 80 


Limites e Derivadas 


86 


2.1 Os Problemas da Tangente e da Velocidade 87 

2.2 O Limite de uma Função 92 ^ 

2.3 Cálculos dos Limites Usando suas Leis 104 

2.4 A Definição Precisa de Limite 114 

2.5 Continuidade 124 

2.6 Limites no Infinito; Assintotas Horizontais 135 

2.7 Tangentes, Velocidades e Outras Taxas de Variação 149 

2.8 Derivadas 158 

Projeto Escrito Métodos Iniciais para Encontrar as Tangentes 

2.9 A Derivada como uma Função 165 
Revisão 176 

Problemas Quentes 180 


1 64 


Regras de Diferenciação 182 


3.1 

3.2 

3.3 

3.4 

3.5 


Derivadas de Funções Polinomiais e Exponenciais 183 

As Regras do Produto e do Quociente 192 

Taxa de Variação nas Ciências Naturais e Sociais 198 

Derivadas de Funções Trigonométricas 210 

Regra da Cadeia 217 




xiv CÁLCULO Editora Thorasos 


3.6 Diferenciação Implícita 226 

3.7 Derivadas Superiores 235 

Projeto Aplicado Onde um Piloto Deve Começar a Descida? 241 
Construindo uma Montanha-russa melhor 242 

3.8 Derivadas de Funções Logarítmicas 242 

3.9 Funções Hiperbólicas 248 

3.10 Taxas Relacionadas 255 

3.11 Aproximações Lineares e Diferenciais 261 

Projeto de Laboratório a Polinómios de Taylor 268 
Revisão 269 

Problemas Quentes 273 

■W Aplicações da Diferenciação 278 

4.1 Valores Máximo e Mínimo 279 

Projeto Aplicado 23 O Cálculo do Arco-íris 288 

4.2 Teorema do Valor Médio 290 

4.3 Como as Derivadas Afetam a Forma do Gráfico 296 

4.4 Formas Indeterminadas e a Regra de L Flôspital 307 

Projeto Escrito D As Origens da Regra de I/Hôspital 315 

4.5 Resumo dos Esboços de Curvas 316 

4.(L Fazendo Gráficos com o Cálculo e Calculadoras 324 

4.7 Problemas de Otimização 331 

Projeto Aplicado a A Forma da Lata 341 

4.8 Aplicações em Economia 342 

4.9 O Método de Newton 348 

4.10 Antiderivadas 353 
Revisão 361 

Problemas Quentes 365 

ijj| Integrais 368 

5.1 Áreas e Distâncias 369 

5.2 A Integral Definida 380 

Projeto Descoberta O Funções Áreas 392 

5.3 O Teorema Fundamental do Cálculo 393 

5.4 Integrais Indefinidas e o Teorema da Variação Total 403 

Projeto Escrito C Newton, Leibniz e a Invenção do Cálculo 411 

5.5 Regra da Substituição 412 

5.6 Logaritmo Definido como uma Integral 420 
Revisão 427 


Problemas Quentes 431 



James Síewart 



í 

j 


SUMÁRIO xv 

W .Aplicações de Integração 434 

6.1 Áreas entre as Curvas 435 

6.2 Volumes 442 

6.3 Cálculo de Volumes por Cascas Cilíndricas 453 

6.4 Trabalho 458 

6.5 Valor Médio de uma Função 462 

Projeto Aplicado Onde Sentar nos Cinemas 465 
Revisão 465 

Problemas Quentes 467 

W- Técn icas de Jnt egr a ç ã o _ 4 70 

7.1 Integração por Partes 471 

7.2 integrais Trigonométricas 478 

7.3 Substituição Trigonométrica 485 

7.4 Integração de Funções Racionais por Frações Parciais 492 

7.5 Estratégias de Integração 501 

7.6 Integração Usando Tabelas e Sistemas Algébricos Computacionais 507 

Projeto Descoberta E3 Padrões em Integrais 513 

7.7 Integração Aproximada 514 

7.8 Integrais Impróprias 525 _ 

Revisão 536 

Problemas Quentes 539 


^ _ Mais Aplicações de In t e g raçã o 542 

8. 1 Comprimento de Arco 543 

Projeto Descoberta w Torneio de Comprimento de Arcos 550 

8.2 Área de uma Superfície de Revolução 550 

Projeto Descoberta V Rotação ao Redor de uma Reta Inclinada 556 

8.3 Aplicações à Física e à Engenharia 557 

8.4 Aplicações à Economia e à Biologia 566 

8.5 Probabilidade 571 
Revisão 578 



XVÉ 


w^5.vUs.y 



tora a oomson 


Problemas Quentes 580 


Apêndices 

A Números, Desigualdades e Valores Absolutos A2 
B Coordenadas Geométricas e Retas AIO 
C Gráficos das Equações de Segundo Grau A16 
D Trigonometria A24 

E Notação Somatória (ou Notação Sigma) A34 
F ProvasAlos Teoremas A39 

G Números Complexos A47 

H Respostas dos Exercícios de Números ímpares A55 

SÜ índice Analítico A89 


Volume II 


Capítulo 9 
Capítulo 10 
Capítulo 11 
Capítulo 12 
Capítulo 13 
Capítulo 14 
Capítulo 15 
Capítulo 16 
Capítulo 17 


Equações Diferenciais 

Equações Paramétricas e Coordenadas Polares 

Seqüências Infinitas e Séries 

Vetores e a Geometria do Espaço 

Funções Vetoriais 

Derivadas Parciais 

Integrais Múltiplas 

Cálculo Vetorial 

Equações Diferenciais de Segunda Ordem 


Apêndices 
índice Analítico 




CALCULO 


Volume I 




• 5 ? 




Há uma diferença entre ler um texto de cálculo e um jornal ou um romance ou. até 
mesmo, um livro de física. Assim, não desanime se tiver de ler urna passagem mais de uma 
vez para poder entendê-la. Você deve ter lápis, papei e uma calculadora à mão para esboçar 
um diagrama ou fazer um cálculo. 

Alguns estudantes começam a fazer suas tarefas de casa e leem o texto somente quan- 
do empacam em algum exercício. Sugiro que leia e tente compreender uma seção do texto 
antes de começar os exercícios. Em particular, você deve examinar as definições para 
entender o significado exato dos termos. E, antes de ler cada exemplo, sugiro que você 
cubra a solução e tente resolver o problema por seus próprios meios. Fazendo isto, apren- 
derá muito mais do que simplesmente olhando para a solução. 

Parte da meta deste curso é treiná-lo a pensar logicamente. Aprender a escrever a 
solução dos exercícios de uma forma conexa, passo a passo e com sentenças explicativas - 
e não uma fileira de equações desconexas ou fórmulas. 

As respostas dos exercícios de numero ímpar estão no final do livro, no Apêndice H. 
Alguns deles pedem uma explicação verbal, uma interpretação ou uma descrição. Nesses 
casos, não existe uma maneira única de dar a resposta; logo, não se preocupe em obter a 
resposta definitiva. Além disso, há várias formas de expressar uma resposta numérica ou 
algébrica; assim, se sua resposta for diferente da minha, não conclua imediatamente que a 
sua esteja errada. Por exemplo, se a resposta dada no final do livro for *j2 — 1 e você 
obtiver l/( 1 4- y 2), então você está certo, e racionalizando o denominador veremos que as 
respostas são iguais. 

O ícone 1| indica que definitivamente um exercício requer o uso de uma calculadora 
científica ou urn computador com software gráfico. (A Seção 1 .4 discute o uso desses 
recursos e de algumas falhas que você poderá encontrar.) Porém, isso não significa que os 
recursos gráficos não possam ser usados para verificar seu trabalho em outros exercícios. 
() símbolo está reservado para problemas em que se faz necessário o uso de um sis- 
tema algébrico computacional (como Derive, Maple, Mathematica ou TI89/92). Você vai 
encontrar também o símbolo jj|, que o adverte sobre a possibilidade de cometer um erro. 
Esse símbolo aparece em situações nas quais observei que um grande número de estu- 
dantes tende a cometer o mesmo erro. 

O cálculo — muito justamente é considerado um dos maiores leitos do intelecto 
humano. Espero que você descubra que ele não é somente útil, mas também intrinseca- 
mente belo. 


James Stewart 


Ao Estudante 



James Stewart 

Erros de Aproximação* ' 

Se x' for uma aproximação para x, então: 

E - \x-x ! \ 

O número E é chamado cie erro absoluto na aproximação. 

0 Se i x - x' I ^ I0 f \ então x’ aproxima x com um erro de no máximo 1CK 

* Se i x - x I =£ 5.10 '-, então x' aproxima x até a (p + l)-ésima casa decimai, 

ou até o h/ÇKfK ■ ; mais próximo. 

Exemplos: 

* Se i x - x’ I =£ 0,5, -então x' aproxima x até o inteiro mais próximo. 

» Se i x - x' i < 0,005, então x' aproxima x até a segunda casa decimal, ou até o 

centésimo mais próximo. 

Além disso, se x' aproxima x até a (p + l)-ésima casa decimal, dizemos 
que a aproximação x' é correta até a (j? + l)-ésima casa decimal, ou que a 
aproximação x* tem (p + 1) casas decimais de precisão. 

Arredondamento* 

Dado um número racional aia 2 a 3 a 4 ..xt„, h , b 2 b 3 . . Jb m b m+ ( , então arredondamos para 
m casas decimais de acordo com a regra: 

• Se 5 < b m+ j «S 9, então o número fica a l a 1 a i ...a n , b ] b 2 b 3 ...{(b m ) + 1], 

• Se 0 < b m+l 4, então o número fica a j a z a 3 . ..a„, b x b 2 b 3 .. b m . 

A expressão “usado correto até determinada casa decimar’ implica que, se a 
correção for, por exemplo, até a décima casa decimal, o erro começará na décima 
primeira casa decimal. 

Exemplos: 

• 1,41 < y/2 < 1,42; 1,4 correta com uma casa decimal. 

* 1,414 < V2 < 1,415; 1,41 correta com duas casas decimais. 


* Observações da tradução para a edição brasileira. 









CALCULO 


Volume I 





Uma Apresentação 
do Cálculo 




Quando você terminar este curso, será 
capaz de explicar a formação e a 
localização de um arco-íris, calcular a 
força exercida pela água em uma 
represa, analisar os ciclos 
demográficos dos predadores e das 
presas, e calcular a velocidade de 
vazão de uma pedra. 



-James Stewart 


I 

1 * - 
£ 

I 

| 



| 


f 


o cálculo é íundamentairnente diferente da matemática que você já estudou. O 
cálculo é menos estático e mais dinâmico. Ele trata de variação e de movimento, 
bem como de quantidades que tendem a outras quantidades. Por essa razèo, pode 
ser útil ter uma visão geral do assunto antes de começar um estudo mais intensivo 
Vamos dar aqui uma olhada em algumas das principais idéias do cálculo 
mostrando como surgem os limites quando tentamos resolver uma variedade de 
problemas. 



A — ,4. + A, + .4, + A, + Aí 
FIGURA 1 


i 'J. O Problema da Área 

As origens do cálculo remontam à Grécia antiga, pelo menos 2.500 anos atrás, quandc 
foram encontradas as áreas usando o chamado “método da exaustão”. Naquela época o; 
gregos já sabiam encontrar a área de qualquer polígono dividindo-o em triângulos, coito 
na Figura 1 e. em seguida, somando-se as áreas obtidas. 

E muito mais difícil achar a área de uma figura curva. O método da exaustão dos anti- 
gos gregos consistia em inscrever e circunscrever a figura com polígonos e então aumen- 
tar o número de lados deles. A Figura 2 ilustra esse procedimento no caso especial de urr 
círculo com polígonos regulares inscritos. 




FIGURA 3 


Seja A„ a área do polígono inscrito com n lados. À medida que aumentamos n, fica evi- 
dente que A n ficará cada vez mais próxima da área do círculo. Dizemos então que a áre; 
do círculo é o limite das áreas dos polígonos inscritos, e escrevemos 

(-"A - lim A„ 

Os gregos, porém, não usavam explicitamente os limites. Todavia, por um raciocínio indi- 
reto, Eudoxo (século V a.C.) usou a exaustão para provar a conhecida fórmula da área ck 
c írculo: A — ttt 2 . 

Usaremos uma idéia similar no Capítulo 5 para encontrar a área de regiões do tipc 
mostrado na Figura 3. Vamos aproximar a área desejada A por áreas de retângulos (come 
na Figura 4), fazendo decrescer a largura dos retângulos, e então calculando A como o li 
mi te dessas somas de áreas de retângulos. 



3 






James Síewart 



;S>, 

| 


F ara analisar essa questão, vamos examinar o movimento de um carro percorrendo um? 
estrada reta e supondo que possamos medir a distância coberta por ele (em pés) em inter 
vaios de 1 segundo, como na tabela a seguir: 



Como primeiro passo para encontrar a velocidade após 2 segundos de movimento vamo 
calcular qual a velocidade média no intervalo de tempo 2 ^ / «s 4: 

. . , _ , distância percorrida 

velocidade media — 

tempo decorrido 

_ 43 - 10 
4-2 

— 16,5 pés/s 

Analogamente, a velocidade média no intervalo 2 3 é 


velocidade média 


25 - 10 
3-2 


15 pés/s 


Nosso pressentimento é de que a velocidade no instante t — 2 não pode ser muito diferen 
te da velocidade média durante um pequeno intervalo de tempo que começa em t — 2 
Assim, vamos imaginar que a distância percorrida foi medida em intervalos de 0, 
segundo, como na tabela a seguir: “ 


t 

2.0 

9 ] 

2.2 


2 4 

2,5 

d 

10.00 

11,02 

12 ,16 

1 3 .45 

14.96 

i 16,80 


Computando então a velocidade média no intervalo de tempo [2, 2,5]: 



, . , . ... 16,80 - 10.00 
velocidade media = - — =136 pés/s 

2,5 - 2 ' 

Os resultados desses cálculos estão mostrados na tabela: 



As velocidades médias em intervalos cada vez menores parecem íicar cada vez mai 
próximas de 10; dessa forma, esperamos que exatamente em / = 2 a velocidade seja d 
cerca de 10 pés/s. No Capítulo 2 definiremos a velocidade instantânea de um objeto er 
movimento como 0 limite das velocidades médias em intervalos de tempo cada ve 
menores. 

Na Figura 8 mostramos uma representação gráfica do movimento de um carro rede 
senhando a distância percorrida como uma função do tempo. Se escrevermos d — /(/, 
então f(t) é o número de pés percorridos após t segundos. A velocidade média no interval 
de tempo [2. t] é 





Editora Thomson 




CÁLCULO 


, . , , , distância percorrida 

velocidade media = — - 

tempo decorrido 



t — 2 


e é a mesma coisa que a inclinação da reta secante PQ da Figura 8 . A velocidade v quando 
t ~ 2 é o vaior-limite da velocidade média quando t aproxima-se de 2 ; isto é. 

/(/) - / (2 ) 


v 


lim 


/ - 2 


e da Equação 2 vemos que isso é igual à inclinação da reta tangente à curva em P. 

Dessa forma, ao resolver o problema da tangente em cálculo diferencial, também esta- 
mos resolvendo os problemas relativos à velocidade. A mesma técnica se aplica a proble- 
mas relativos à taxa de variação nas ciências naturais e sociais. 


O Limite de uma Sequência 

No século V a.C., o filósofo grego Zenon propôs quatro problemas, boje conhecidos como 
Paradoxos de Zenon , com o intento de desafiar algumas das idéias correntes em sua época 
sobre espaço e tempo. O segundo paradoxo de Zenon diz respeito a uma comida entre o 
herói grego Aquiles e uma tartaruga para a qual foi dada uma vantagem inicial. Zenon 
argumentava que Aquiles jamais ultrapassaria a tartaruga, pois se ele começasse em uma 
posição ü\ e a tartaruga em q (veja a Figura 9), quando ele atingisse o ponto a 2 = q a tar- 
taruga estaria adiante, em uma posição t 2 . No momento em que Aquiles atingisse a-, = h, 
a tartaruga estaria em q. Esse processo continuaria indefinidamente, e, dessa forma, parece 
que a tartaruga estaria sempre à frente! Todavia, isso desafia o senso comum. 


FIGURA 9 


Aquiles 

tartaruga 


a 


1 


a 2 


a 3 a â 


H *4 


Uma forma de explicar esse paradoxo usa a idéia de seqüência. As posições sucessivas 
de Aquiles e da tartaruga são respectivamente (a\, a 2 , a 3 , . . .) e (q, q, q, ...), conhecidas 
como sequências. 

Em geral, uma seqüência {a,,} é um conjunto de números escritos em uma ordem 
definida. Por exemplo, a seqüência 

{U.U.i....} 

pode ser descrita como sendo dada pela seguinte fórmula para o u-ésimo termo: 



(a) 


1 2 3 4 5 6 7 
(b) 


FIGURA 10 


Podemos visualizar essa seqüência redesenhando seus termos sobre uma reta na qual estão 
determinados um ponto zero, uma unidade de medida e um sentido crescente, como na Figura 
10(a), ou desenhando seu gráfico, como na Figura 10(b). Observe em ambas as figuras que os ter- 
mos da seqüência a„ = l/n tomam-se cada vez mais próximos de 0 à medida que n cresce. De 
lato, podemos encontrar termos tão pequenos quanto desejarmos, bastando para isso tomarmos n 
sufieientemente grande. Dizemos então que o limite da seqüência é (),e indicamos isso por 


Em geral , a notação 


1 

lim — = 0 

«-«=■ U 


lim a„ — L 



Jamas Stswaf 


>era usada se os termos a„ tendem a um p quando n toma-se grande. Isso significa 

que podemos tomar os números a n tao proxitno^ j quanto quisermos escolhendo n sufi- 
cientemente grande. 

(...) conceito de limite de uma sequência ocorre sempre que usamos a representação de- 
cimai de um número real. Por exemplo, se 

«i = 3,1 

« 2 " 3,1 4 

flj = 3.141 

cu = 3 , 141,5 

as = 3,14159 

«6 = 3.141592 
« 7 - 3 ,1 415926 


então lim a n — ir 

Os termos nessa sequência são aproximações racionais de tt. 

Vamos voltar ao paradoxo de Zenon. As posições sucessivas de Aquiles e da tartaruga 
formam as seqüências {a n } e {ç,}, onde rr „ < i„ para todo n. Podemos mostrar que ambas 
as sequências têm o mesmo limite: 

iim a» = p = lim t n 

„-,oo 

É precisamente nesse ponto p que Aquiles ultrapassa a tartaruga. 

iL.J A Soma de uma Série 

Outro paradoxo de Zenon, conforme nos foi passado por Aristóteles, é o seguinte: “Uma 
pessoa em um certo ponto de uma sala não pode caminhar até a parede. Para tanto ela de- 
veria percorrer metade da distância, depois a metade da distância restante, e então nova- 
mente a metade da distância que restou e assim por diante, de forma que o processo pode 
ser sempre continuado e não terá um fim”. (Veja a Figura 1 1 .) 


FIGURA 11 


Como, naturalmente, sabemos que de fato a pessoa pode chegar até a parede, isso su- 
gere que a distância total possa ser expressa como a soma de infinitas distâncias cada vez 


menores, como a seguir: 


,-i + i 

2 4 


+ — + 
9* 



s 


Editora Thomson 


Zenon argumentava que não fazia sentido somar um número infinito de números. Porém 
há situações em que fazemos implicitamente somas infinitas. Por exemplo, na notação de- 
cima!, o símbolo, 0,3 - 0,3333... significa 



CÁLCULO 


3 3 3 3 

10 100 + LOGO ^ To. 000 + ' 

dessa forma, de algum jeito, deve ser verdade que 

3 i 3 3,3, 1 

lo ’ loo i.ooo ’ Tõõoõ ! ' * * “ 7 

Mais genericamente, se d„ denotar o mésimo dígito na representação decimal de um 
número, então 


(),d i d 2 djdi . . . 


di 

10 + 10 2 10 3 



+ 


Portanto, algumas somas infinitas, ou, como são chamadas, séries infinitas, têm um signifi- 
cado. Todavia, é necessário definir cuidadosamente o que é a soma de uma série. 

Retornando à série da Equação 3, denotamos por s n a soma dos n primeiros termos da 
série. Assim 


-ri = I “ 0A 

s 2 = 1 + í = 0,75 

í 3 = 5 + í + | = 0,875 

í4 = I + I + S + ~h ^ 0,9375 

s 5 = I + 5 + í + h + A 5=5 0,96875 

J6 = 1 + 3 + l + k + à + ii = 0,984375 

■s 7 “l + 4 + i + lê + 32 + !2$ = 0,9921875 

Jio = i + ! + ■** + i » 0,99902344 

11 .1 

íj« " “ + — + * * * + “lé ~ 0,99998474 
Z 4 Z 

Observe que à medida que somamos mais e mais termos, as somas parciais ficam cada vez 
mais próximas de 1. De fato, pode ser mostrado que tomando n suficientemente grande 
(isto é, adicionando um número grande de termos da série), podemos tornar a soma par- 
cial s„ tão próxima de 1 quanto quisermos. Parece então razoável dizer que a soma da série 
infinita é 1 e escrever 


1 1 1 

2 4 8 


o n 


+ 


= 1 



Jaimes Sfewarf 



Em outras palavras, a razão de a soma da série ser 1 é que 

lim s„ = ! 


No Capítulo 11 do Volume II discutiremos mais essas idéias. 


Resumo 


Vimos que o conceito de limite surge de problemas tais como encontrar a área de uma 
região, a tangente a uma curva, a velocidade de um carro ou a soma de uma série infinita. 
Em cada um dos casos, o tema comum é o cálculo de uma quantidade como o limite de 
outras quantidades mais facilmente calculáveis. É essa idéia básica que coloca o cálculo à 
parte das demais áreas da matemática. Na realidade, poderíamos definir o cálculo comc 
aquele ramo da matemática que trata de limites. 

Sir isaac Newton inventou sua versão do cálculo a fim de explicar o movimento doí 
planetas em torno do Sol. Hoje o cálculo é usado na determinação de órbitas de satélites c 
naves espaciais, na predição do tamanho de uma população, na estimativa de come 
aumenta o preço do café, na previsão do tempo, na medida do íluxo sangíiíneo de saída dc 
coração, no cálculo dos prêmios dos seguros de vida e em uma grande variedade de ou- 
tras áreas. Vamos explorar neste livro algumas dessas aplicações do cálculo. 

Para transmitir uma noção da potência dessa matéria, vamos finalizar esta apresentaçãt 
com uma lista de perguntas que você será capaz de responder usando o cálculo: 



1. Como você explicaria o fato, ilustrado na Figura 12, de que o ângulo de elevação dí 
um observador até o ponto mais alto em um arco-íris é 42 o ? (Veja a página 288.) 

2 . Como você poderia explicar as formas das latas nas prateleiras de um supermercado? 
(Veja a página 341 .) 

3 . Qual o melhor lugar para se sentar em um cinema? (Veja a página 468.) 

4 . A qual distância de um aeroporto um piloto deve começar a descida? (Veja a 
página 241.) 


FIGURA 12 




Uma representação gráfica de uma 
função - aqui o número de horas de 
luz solar como uma função da época 
do ano em várias latitudes - é sempre 
o modo mais conveniente e natural de 
representá-la. 







O objeto fundamenta! do cálculo sao as funções. Este capítulo abre o caminho para o 
calculo discutindo as ideias basicas concernentes as funções e seus o rá ticos bem 
como as formas de combiná-los e transformá-los. Enfatizamos que uma função pode 
ser representada de várias maneiras: por uma equação, por uma tabela, por um gráfico 
ou mesmo por meio de palavras. Vamos observar os principais tipos de funções~que 
ocorrem no cálculo e descrever como usá-las corno modelos matemáticos de 
fenômenos do mundo real. Também discutiremos o uso de calculadoras «ráficas e 
de software gráfico para computadores. 



Quatro Maneiras de Representar uma Função 

' - N..» w — ' ■ ■ ■ — ■ ■■ ■' ■■ — ^ v sz* ?s a r- : a- ■. /> t' c';;::; 


As funções surgem quando uma quantidade depende de outra. Consideremos as 
seguintes situações: 


Ano 

< milhões) 
..... ... 

1 900 

1 .650 

1910 

i .750 

? o?o 

i «60 



.1930 

2.070 



3 >4U 


1 

•ri ^ .</ •; 


" 

1 960 

3 .040 



j 9 /{) 

-* v- 




.1 

•<>r 

- nn 

! 99o 


2000 

(■) ()«o 


A. A área A de um círculo depende de seu raio r. A lei que conecta reáé dada pela 
equação A = irr 2 . A cada número r positivo existe associado um único valor de A, 
e dizemos que A é ama função de r. 

B. A população humana mundial P depende do tempo t. A tabela ao lado fornece esti- 
mativas da população mundial P(t) no instante t, para determinados anos. Por exemplo, 

P( 1 950) s: 2.560.000.000 

Porém para cada valor do tempo t existe um valor de P correspondente, e dizemos 
que P é uma função de /. 

C. O custo C de enviar uma carta pelo correio depende de seu peso w. Embora não haja 
uma fórmula simples conectando «?eC,o correio tem uma fórmula que permite cal- 
cular C quando é dado w. 

D. A aceleração vertical a do solo registrada por um sismógrafo durante um terre- 
moto é urna função do tempo / decorrido. A Figura 1 mostra o gráfico gerado pela 
atividade sísmica durante o terremoto de Northridge, que abalou Los Angeles em 
1994. Para um dado valor de t. o gráfico fornece um valor correspondente de a. 


FIGURA 1 

Aceleração vertical do solo 
durante o terremoto de Northridge 



Cada um dos exemplos anteriores descreve uma lei segundo a qual, dado o número 
(r, ?, w ou /), fica determinado outro número (A, P. C ou a). Em cada caso dizemos que o 
segundo número é urna função do primeiro. 


ii 




12 CALCULO Editora Thoroson 



Uma função fé uma lei a qual para cada elemento ,vem um conjunto A faz corre spon : 
der exatamente um elemento chamado f(x), em um conjunto B, 


(input) 

./ - 

— ^ / ri) 

(output) 

FIGURA 2 




Diagrama de máquina para uma função / 



Em geral consideramos as funções para as quais A e B são conjuntos de números reais. 
O conjunto A é chamado domínio da função. O número f(x) é o valor de / em x e deve 
ser lido como “/ de x”. A imagem de fé o conjunto de todos os valores possíveis de f(x) 
quando A' varia por todo o domínio. O símbolo que representa um número arbitrário no 
domínio de uma função fé denominado variável independente, e o que representa um 
número qualquer na imagem de/ é chamado de variável dependente. No Exemplo A, a 
variável r é independente, enquanto A é dependente. 

E muito proveitoso considerar uma função corno uma máquina (veja a Figura 2). Se x 
estiver no domínio da função /, quando x entrar na máquina, ele será aceito como input , 
e a máquina produzirá um output f(x) de acordo com a lei que define a função. Assim, 
podemos pensar o domínio como o conjunto de todos os inputs, enquanto a imagem é o 
conjunto de todos os outputs possíveis. 

As funções pré-programadas de sua calculadora são exemplos de funções como uma 
máquina. Por exemplo, a tecla de raiz quadrada em seu computador é uma dessas funções. 
Você pressiona a tecla y (ou yx) e dá o input x , Se x < 0, então x não está no domínio 
dessa função; isto é, x não é um input aceitável, e a calculadora indicará um erro. Se x 3* 0, 
então uma aproximação de y'x aparecerá. Assim, a tecla yx de sua calculadora não é 
exatarnente a mesma coisa que a função matemática / definida por f(x) = fx. 

Outra forma de ver a função é como um diagrama de flechas, como na Figura 3. Cada 
flecha conecta um elemento de A com um elemento de B. A flecha indica que f(x) está 
associado a x, f(a ) a a etc. 

O método mais comum de visualizar uma função consiste em fazer seu gráfico. Se / for 
uma função com domínio A , então seu gráfico será o conjunto de pares ordenados 

{(x,/(x))|x G A] 


FIGURA 3 (Observe que eles são os pares input-output .) Em outras palavras, o gráfico de / consiste em 

Diagrama de flechas para / todos os pontos (x, v) do plano coordenado tais que y = f(x) e x está no domínio de /. 

O gráfico de uma função / nos dá uma imagem proveitosa do comportamento ou da 
"história de vida” de uma função. Uma vez que a coordenada y de qualquer ponto (x, y) 
sobre o gráfico é y — f(x), podemos entender o valor f(x) como a altura do ponto no grá- 
fico acima de x (veja a Figura 4). O gráfico de / também nos permite visualizar o domínio 
sobre o eixo x e a imagem sobre o eixo y, como na Figura 5. 


ri. .Ari) 


I /ri) 


1 1/(0 
! J 


\m 


y t 




— — -J», — _ 

imagem | 

. \ j 

:ml* | 


/*■"- y =f(x) j 
l 

i 1 

1 I 

I- ! 

°l 

domínio 


/yWNÒG 


JC 




FIGURA 4 


FIGURA 5 



I 


■James Stevvsrt CAPÍTULO 1 

O gráfico <ie uma função/ está na Figura 6. 

(a) Encontre os valores de /(]} e f{5). 

(b) Como são o domínio e a imagem de /'? 


FIGURA 6 



C A notação para intervalos é dada no 
Apêndice A. 


SOLUÇÃO 

(a) Vemos da Figura 6 que o ponto (1,3) está sobre o gráfico de/, assim, o valor de/em 
1 é / (1 ) — 3. (Em outras palavras, o ponto sobre o gráfico correspondente ax = 1 está 
três unidades acima do eixo x.) 

Quando x — 5, o ponto sobre o gráfico que corresponde a esse valor está 0,7 unidade 
abaixo do eixo x e estimamos que /(5) ~ -0,7. 

(b) Vemos que f(x) está definida quando 0 x *£ 7, logo, o domínio de fé o intervalo 
fechado (0, 7], Observe que os valores de / variam de -2 até 4; assim, a imagem de fé 

{v | -2 *Sy ss 4} = [-2,4] 


y 

/ 

/ 

I 

/ 

/ v — 2x - 1 

/ " 

I 

0 

/ ! X 


f 2 

” J / 


/ 



FIGURA 7 


EXEMPLO 2 Esboce o gráfico e encontre o domínio e a imagem de cada função. 

(a) f(x) = 2x “ 1 (b) g(x) = x 2 

SOLUÇÃO 

(a) O gráfico tem equação y — 2x — 1 , que reconhecemos ser a equação de uma reta 
com inclinação 2 e intercepto y igual a — 1 . (Lembre-se da equação da reta em sua forma 
inciinação-intercepto: y — mx + b. Veja o Apêndice B.) Isso nos possibilita esboçar o 
gráfico de / na Figura 7. A expressão 2x - 1 está definida para todos os numeros reais; 
logo, seu domínio é todo esse conjunto denotado por SR. O gráfico mostra ainda que a 
imagem também é IR. 

(b) Como g{ 2) = 2" — 4 e g(— 1 ) — ( — 1 ) 2 = 1 , podemos desenhar os pontos (2, 4) e 
(-1, Q junto com alguns outros (sobre o gráfico), e ligá-los para produzir o gráfico da 
Figura 8. A equação do gráfico é y — x% que representa uma parábola (veja o Apêndice 
C). O domínio de g é IR. A imagem de g consiste em todos os valores de g(x), isto é, 
todos os números da forma a . Mas x" 0 para todos os números reais x e todo número 
positivo y é um quadrado. Assim, a imagem de g é {y j y 5* 0} ~ [0, oo) (veja a Figura 8). 



FIGURA 8 


0 


1 




14 CÁLCULO Edttora Thomson 


1 Jf -Representações de Funções 

E possível representar uma função de quatro maneiras: 


* verbal mente 

* numericamente 
m visualmente 

* algebricamente 


(descrevendo-a com palavras) 

(por meio de tabelas de valores) 
(através de gráficos) 

(utilizando-se urna fórmula explícita) 


vSe uma função puder ser representada das quatro maneiras, então é proveitoso ir de uma 
representação para a outra, a fim de ganhar um insight adicional sobre a função. (No caso 
do Exemplo 2. partimos de fórmulas algébricas para obter os gráficos.) Porém, certas 
funções são descritas mais naturalmente por um método que por outro. Tendo isso em 
mente, vamos reexaminar as quatro situações consideradas no começo desta seção. 

A. A mais útil dentre as representações da área de um círculo em função de seu raio é 
provavelmente a fórmula Air) — nr 2 , apesar de ser possível elaborar uma tabela de 
valores, bem corno esboçar um gráfico (meia parábola). Como o raio do círculo deve 
ser positivo, o d omínio da f unção €{r\r > 0} ~ (0, cc), e a imagem é (0, oc) . 

B. Seja dada a seguinte descrição em palavras de uma função: P(t) é a população 
humana mundial no instante t. A tabela de valores da população mundial da página 
TI nos fornece uma representação conveniente dessa função. Se desenharmos esses 
valores, vamos obter o gráfico da Figura 9 (chamado de mapa de dispersão). Ela é 
também uma representação útil, já que nos possibilita absorver todos os dados de 
uma vez. E o que dizer sobre uma fórmula para ela? Naturalmente é impossível 
dar uma fórmula exata para a população humana PU) em qualquer momento /. 
Porém, é possível encontrar uma expressão aproximada para ela. Usando métodos 
explicados na Seção 1 .5 obtemos a aproximação 


P(t) as /(/) = (0,008079266) * ( 1 ,013731)' 

e a Figura 10 mostra que o “ajuste” é bem razoável. A função fé chamada modelo 
matemático para o crescimento populacional. Em outras palavras, é uma função com 
uma fórmula explícita, que aproxima o comportamento da função dada. Vamos ver 
que podemos aplicar as idéias do cálculo a tabelas de valores; não é necessária uma 
fórmula explícita. 


6 x IO' ' 

I 

i 


• 

6 x 10'- 

* / 

] 




* 


1900 

1920 1940 1960 1980 2000 1 


1900 1920 1940 1960 1980 2000 1 


FIGURA 9 


FIGURA 10 




í 


; 

s 


James Síewart CAPÍTULO 1 FUNÇÕES E MODfclOS 1 1 


Uma função definida pela tabela de 
valores é estabelecida corno uma 
função tabular. 



A função P é um exemplo típico das funções que aparecem sempre qu 
tentame» aplicar o cálculo ao mundo real. Começamos por uma descrição verbal d 
uma função. Então é possível que a partir de dados experimentais possamos construi 
a.\ tabelas de valores da função. Mesmo que não tenhamos um conhecimento eorv 
plcto dos valetes da função, veremos poi toda a parte neste livro ser possível realizí 
operações de cálculo nessas funções. 


C. IS o\ cimente a função c descrita em palavras: Cite) e o custo de se enviar pel 
correio uma carta com um peso tv. Nos Estados Unidos, em 2002, o serviço poso 
seguia o seguinte regulamento: até uma onça (I onça = 28349523 gramas), o cust 
eia de 3 / centavos de dólar, e mais 2a centavos para cada onca sucessiva até 1 
onças. A tabela de valores mostrada ao lado é a representação mais conveniente par 
essa função, embora seja possível esboçar seu gráfico (veja o Exemplo 10). 

D. O gráfico na Figura 1 é a representação mais natural de uma aceleração vertia 
a(t). Na realidade é possível compilar uma tabela de valores e até mesmo deliner 
uma fórmula aproximada. Porém tudo o que um geólogo precisa saber — amplitud 
e padrões -- pode facilmente ser obtido do gráfico. (O mesmo é válido tanto para o 
padrões de um eletrocardiograma como para o caso de um detector de mentiras 
As Figuras 11 e 12 mostram os gráficos das acelerações do terremoto de Northridg 
nas direções norte-sul e leste-oeste. e quando usadas em conjunção com a Figura 
elas nos dão uma boa idéia do terremoto. 




Fonte: Departamento de Minas 
e Geologia da Califórnia. 


FIGURA 1 1 Aceleração norte-sul do terremoto de Northridge 



-200 


Fonte: Departamento de Minas 
e Geologia da Califórnia. 


FIGURA 12 Aceleração leste-oeste do terremoto de Northridge 


No próximo exemplo vamos esboçar o gráfico de uma função definida verbalmente. 



EXEMPLO 3 Ao abrir unia torneira de água quente, a temperatura T da água depende 
do tempo decorrido desde a abertura. Esboce um gráfico de T como uma função do 
tempo i decorrido desde a abertura. 



SOLUÇÃO A temperatura da água no começo está próxima da temperatura ambiente, 
pois ela estava nos canos. Quando começa a sair a água quente da caixa~d’água, T 
au menta rapidamente , e na próxima fase fica constan te até a caixa se esvazia r. A 
partir daí 7 decresce até a temperatura em que a água é fornecida. Isso nos possibilita 
esboçar o gráfico de T como uma função de t na Figura 13. £ 


FIGURA 1 3 



16 



CÁICU10_ Editora Thomson 

Ujt) gráfico mais preciso da função do Exemplo 3 pode ser obtido usando-se um 
termômetro para medir a temperatura da água em intervalos de 10 segundos. Em geral, 
os cientistas coletam os dados e os usam para esboçar os gráficos de funções, como no 
exemplo a seguir. 



sÁrjwrLo 4 •::: Os dados na margem vêm de um experimento sobre a lactonização do 
ácido hidroxivalérico a 25 C. É dada a concentração C(t) desse ácido (em mols por 
litro) após t minutos. Use esses dados para esboçar um gráfico aproximado da função 
concentração e o gráfico para estimar a concentração após 5 minutos. 

SOLUÇÃO Primeiro vamos desenhar os cinco pontos correspondentes aos dados da tabela 
na Figura 14. Os métodos de ajustamento de curvas da Seção 1 .2 poderão então ser 
utilizados para escolher um modelo e fazer um gráfico dele. Os dados da Figura 14, 
porém, parecem muito bem-comportados; assim, simplesmente traçamos à mão uma 
curva suave passando por eles, como na Figura 15. 



2 w 

FIGURA 16 


City 


0,08 - 


0,06 - 


0.04 - 


0,02 - 


0 j 

! 

i 2 3 4 5 6 7 8 f 


C(0 


0,08 


0,06 

- 

0,04 

'Z::-;:--,,. 

0,02 - 

i 

0 

12 3 4 5 6 7 8 f 


FIGURA 14 FIGURAIS 

Então usamos o gráfico para estimar que a concentração após 5 minutos é 

C(5) « 0,035 mol/litro £í 

No exemplo a seguir começamos por uma descrição verbal de uma função em uma 
situação física e depois obtemos uma fórmula algébrica explícita. A habilidade nessa transição 
é muito útil na solução de problemas de cálculo envolvendo a determinação de valores 
máximo ou mínimo de quantidades. 

EXEMPLO 5 z Uma caixa aberta em cima tem um volume de 10 m 3 . O comprimento da 
base e o dobro da largura. O material da base custa $ 10 por metro quadrado, ao passo 
que o material das laterais custa $ 6 por metro quadrado. Expresse o custo total do 
material em função do tamanho da base. 

SOLUÇÃO Fazemos um diagrama como o da Figura 16, com uma notação onde w e 2 w 
são. respectivamente, o comprimento e a largura da base, e h é a altura. 

A área da base é (2 w)w = 2 w 2 : assim, o custo, em dólares, é de 10(2 w 2 ). Quanto aos 
lados, dois têm área wh e os outros dois, 2 wh. Portanto o custo total dos lados é 
6[2 (wh) + 2(2 wh)]. E o custo total é 

C = 10(2ít> 2 ) + 6[2(wh) + 2(2wh)] = 20 w 2 + 3 6wh 

Para expressar C como uma função somente de w , precisamos eliminar h , o que é feito 
usando-se o fato de o volume ser 10 m 3 . Dessa forma, 

w(2w)h — 10 

5 

o 

Z4T 


o que fornece 


10 

Iw 1 




■ 


I 

I 


i. 


; 

j 


i 


Ao estabelecer as funções como as 
do Exemplo 5, pode ser proveitoso 
remeter-se aos princípios de resolução 
de probíernas, conforme apresentado 
na página 80, em particular o passo 
Entendendo o problema. 


* " James Stewari ' CAPÍTULO 1 h 

Substituindo-se essa expressão na fórmula de C, temos 


C = 20 w 2 + 36 w ( -Sr ) = 20to z + i 80 

W ' IV 

Logo, a equação 

C(w) = 20 iv 2 + ^ w > () 

w 


v 


expressa C como uma função de w. 


□ Se uma função for dada por uma 
fórmula sem que seu domínio seja 
explicitado, presume-se que este seja 
o conjunto de todos os números para 
os quais a fórmula tem sentido e 
define um número real. 


EXEMPLO 6 Encontre o domínio de cada função. 

(a) f(x) = y/x + 2 (b) g(x) = — 

X “ — X 

SOLUÇÃO 

(a) Como a raiz quadrada de um número negativo não está definida (como um númen 
real), o domínio de/ consiste em todos os valores de jc tais que x + 2 s* 0. Isso é equiva 
lente a x > —2; assim, o domínio é o intervalo [~2,oc). 

(b) Uma vez que 


g(x) — 



1 

x(x - 1) 


e a divisão por 0 nao é permitida, vemos que g(x) não está definida no caso de x == 0 oi 
x — 1 . Dessa forma, o domínio de g é 

{x [x ¥=■ 0, jc 1} 


que também pode ser dado na notação de intervalo como 
«Má . 

"(~oo,0) U (0, 1) U (1,00) 

O gráfico de uma função é uma curva no plano xy. De imediato surge uma pergunta: Quai 
curvas no plano xy são gráficos de funções? Essa pergunta será respondida por meio d< 
teste a seguir. 


leste da Beta Vertical Uma curva no plano xy é o gráfico de uma função de x se e 
somente se nenhuma reta vertical corta a curva mais de uma vez. 


A razão da veracidade do Teste da Reta Vertical pode ser vista na Figura 17. Se cad; 
reta vertical x — a interceptar a curva somente uma vez, em {a,b), então exatamente un 
valor funcional está definido por /(«) = b. Mas se a reta jc = a interceptar a curva em doi: 
pontos, em {a,b) e (a,c), nesse caso, a curva não pode representar uma função, pois um; 
função não pode fazer corresponder dois valores diferentes para a. 




FIGURA 17 


x 


0 


- — >• 
-Y 




18 CÁLCULO Editora Thomson 


For exemplo, a parábola x = y' ; — 2 na Figura 18(a) não é o gráfico de uma função de 
.t, pois, como você pode ver, existem retas verticais que interceptam a parábola duas 
vezes. A parábola, no entanto, contém os gráficos de duas funções de ,v. Observe 
que x — y z — 2 implica y 2 — x + 2,e y — ±y/x + 2. Dessa forma, a metade superior 
e a inferior da parábola são os gráficos de f(x) — s/x -f 2 [do Exemplo 6(a)| e 
yix) — — s/x + 2 [veja as Figuras 18(b) e (c)j. Note que se invertermos os papéis de x e 
y, então a equação x = h(y) — y 2 - 2 define x como uma função de y (com y como 
variável independente e x como variável dependente), e a parábola agora é o gráfico da 
função h. 




— 

! 


Funções Definidas por Partes 

As funções nos quatro exemplos a seguir são definidas por fórmulas diversas em diferentes 
partes de seus domínios. 

EXEMPLO 7 □ Seja / a função definida pelas fórmulas 



Calcule /(O), /{!) e /( 2) e esboce o gráfico. 

SOLUÇÃO Lembre-se de que toda função é uma regra. Para essa função em particular a regra é 
a seguinte: olhe primeiro o valor do input x. Se tivermos que x 1 , então o valor de f(x) 
será 1 - x. Por outro lado, se o valor for x > 1 . então o valor de f(x) será x 2 . 

Uma vez que 0 « 1. temos /(()) =1—0=1. 

Uma vez que 1 1 , temos /( 1 ) =1 - 1=0. 

Uma vez que 2 > 1 , temos /( 2) = 2 2 = 4. 

Como fazer o gráfico de /? Observamos que se x 1 , então f(x) = I - x, assim, a 
parte do gráfico f à esquerda da reta vertical x — 1 deve coincidir com a reta v = 1 - x. 

essa ultima com inclinação - 1 e intercepto y igual a 1 . Se x > 1 , daí f(x) = x 2 , e, dessa 

forma, a parte do gráfico / à direita da reta x — 1 deve coincidir com o gráfico de 
y — a ' . que é uma parábola. Tudo isso nos permite esboçar o gráfico da Figura 19. 

O pontinho cheio indica que o ponto (1,0) está incluso no gráfico; o vazio indica que o 
ponto (1,1) está excluído do gráfico. 9 


FSGURA 19 



James Stewarí 





CAPITULO 1 -UNÇÕES E MODELOS 7 IS 

O próximo exemplo de tirnção definida por partes é a função valor absoluto. Lembre-se de que 
o valor absoluto de um número a. denotado por | a j, é a distância de a até 0 sobre o eixc 
real. Corno distâncias são sempre positivas ou nulas, lemos 


Para uma revisão mais ampla de va- | a j () para todo número a 

leres absolutos, veja o Apêndice A. 

Por exemplo, 

| 3 j - 3 | -3 | - 3 1 0 ! - 0 j 72 - 1 | = 72 - 1 

Em geral, temos 


e — TT I = 77 — O 


j a | — a se a 7 * (} 

j a | — —a se a < 0 



FIGURA 20 


(Lembre-se de que se a for negativo, então —a será positivo.) 

EXEMPLO 8 □ Esboce o gráfico da função valor absoluto f(x) = \x\. 

SOLUÇÃO Da discussão precedente sabemos que 

■ , _ f.v se x 0 
\-x se x < () 

Usando o mesmo método empregado no Exemplo 7, vemos que o gráfico de f coincidí 
com a reta y ~ x à direita do eixo y e com a reta y — —x à esquerda do eixo y (veja í 
F igura 20). ç 

EXEPPLO 3 o Encontre uma fórmula para a função / cujo gráfico está na Figura 21 . 



5 f ■* ) = V i 

V 

1 

/\ 







õ] 



i 

X 

FIGURA 21 

i 




: 



A. forma ponto-inclinação da 
equação da reta: 

y — >’j — m(x - x, ) 

Veja o Apêndice B. 


SOLUÇÃO A reta que passa pelos pontos (0. 0) e (1 , 1 ) tem inclinação m — 1 , e o intercepte 
v, b — 0; assim, sua equação é y — .v. Logo, para a parte do gráfico de f que liga os pon- 
tos (0. 0) e ( 1 , 1 ), temos 


f(x) = x se 0 -V x j 

A reta que passa pelos pontos (1,1) e (2,0) tem uma inclinação de m 
maneira, a forma ponto-inclinação será 

y ~ 0 — < — 1 )Ç\: --- 2) ou y — 2 ~ x 

Logo temos 


1; desst 


se 


1 < x 


29 


CÁLCULO 


Editora Thomson 


c\ 



i 



' 

— 


— õj 

J 2 

3 4 5 

FIGURA 22 



y i 

— 1 , 

tí /w 

/(--*) 

ir 4 ” 
1 1 

0 

A- X 


FIGURA 23 
Uma função par 


Vemos também que o gráfico de / coincide com o eixo x para x > 2. Juntando todas as 
informações, temos a seguinte fórmula em três partes para f: 

í x se {) =£ x ^ 1 

f(x) — \ 2 - x se 1 < x -i 2 

{ 0 se x > 2 

EXEMPIO 10 n No Exemplo C, no início desta seção, consideramos o custo C(w ) do 
envio pelo correio de uma carta com peso w. Na realidade, trata-se de. uma função 
definida por partes, pois a partir cia tabela de valores temos 

í 037 se 0 < w ^ 1 

. J 0.60 se 1 < w 2 

CtU,) “ í 0,83 se 2 < . < 3 

v 1 ,06 se 3 < iv =£ 4 

O gráfico é mostrado na Figura 22. Você pode entender então por que as funções similares 
a esta são chamadas funções escada - elas pulam de um valor para o próximo. Essas 
funções serão estudadas no Capítulo 2. 


Simetrias 

Se uma função / satisfizer f(~x) — f(x) para todo x em seu domínio, então / é chamada 
função par. For exemplo, a função f(x) — x 2 é par, pois 

/(— .v) = ( — -v) 2 — x 2 — f(x) 

O significado geométrico de uma função ser par é que seu gráfico é simétrico em relação 
ao eixo > ! (veja a Figura 23). Isso significa que se fizermos o gráfico de / para x 2= 0, então, 
para obter o gráfico inteiro, basta refletir o que temos em torno do eixo y. 

Se / satisfizer f(~x) — — /(x) para todo número x em seu domínio, dizemos que / é 
uma função ímpar. Por exemplo, a função f(x) — x 3 é ímpar, pois 

/(-*) “ (~xY = -x 3 = -f(x) 


y j 

S'\ 
/ ! 

M 

j K 

-X 0 


j • /tA) ) 

\T^/ 


1- X 





FIGURA 24 
Uma função ímpar 


O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem (veja a Figura 24). Se 
tivermos o gráfico de / para x 3* (), poderemos obter o restante do gráfico girando 1 80°, o 
que já temos, em torno da origem. 

EXEMPLO 11 Determine se a função é par, ímpar ou nenhum desses dois. 

(a) f(x) = x 5 + x (b) g(x) = 1 - x 4 (c) h(x) - 2x - x 2 

SOLUÇÃO 

(a) /( x) - {-xf + (-x) - (- l) 5 x 5 + (-x) 

~ — x 3 — X — — (x 3 + x) 

= -/(*) 


Logo, / é uma função ímpar. 

(b) 9Í ~ X ) = 1 (~-x) 4 — 1 — x 4 — g(x) 

Assim g ê par. 



21 



James Stewart CAPÍTULO 1 FüNÇÕtS E MODELOS 


(c) h(- x) = 2( --..v) - (-r) 2 = — 2 jc -- .í 2 

Como 5^ h(x) e /í(— a) # -Mv), concluímos que h não é par nem ímpar. 

Os gráficos cias funções do Exemplo 1 1 estão na Figura 25. Observe que o gráfico de h 
não é simétrico em relação ao eixo y nem em relação à orieem. 




Funções Crescentes e Decrescentes 


O gráfico da Figura 26 se eleva de A para B , cai de B para C, e sobe novamente de C para 
D. Dizemos que a função / é crescente no intervalo [a, b\ decrescente em [6, c], e nova- 
mente crescente em [c\ d]. Observe que se x } e x 2 forem dois números quaisquer entre a e 
b com X\ < X 2 , então f(x } ) < f(x 2 ). Vamos usar isso como a propriedade que define uma 
função crescente. 


v =/(jt) 


f(.X-) 


f(x > 


D 




a 


x. 



1 

c 


d 


Uma função / é chamada crescente em um intervalo l se 

/(*■)</(* 2 ) sempre que x\ < x 2 em / 

Ela é denominada decrescente em / se 

/('Vi ) > / (x 2 ) sempre que Vi < *2 em / 


Na definição de função crescente é importante compreender que a desigualdade 
f(x t ) < f(x z ) deve estar satisfeita para todo par de números x, e x 2 em / com jq < x 2 . 

Você pode ver que na Figura 27 a função /(x) = x 2 é decrescente no intervalo (- 00 . 0} e 
crescente no intervalo [0. <»)• 


FIGURA 27 




22 


CÁLCUiO 


Editora 



Thomson 


Exercícios 


»K5?3S 92&9rS?!ffÍ9:iBt&pOif*Mi 



1. E dado o gráfico de uma função/. 

(a) Obtenha o valor de /(— 1). 

(b) Estime o valor de /( 2). 

(c) fi.x) — 2 para quais valores de x? 

(d) Estime os valores de x para os quais f(x) = 0. 

(e) Obtenha o domínio e a imagem de /, 
í f) Em quais intervalos fé crescente? 



2 . São dados os gráficos de/e g. 

(a) Obtenha os valores de /(— 4) e g( 3). i '• 'V ~ 

(b) f(x) — g(x) para quais valores de x? -Li l 

(c) Estime a solução da equação f(x) ~ — 1. 0,í 

(d) Em quais intervalos/é decrescente? ./V-f 

(e) Estabeleça o domínio e a imagem de/. 

( f) Obtenha o domínio e a imagem de g. 






3 . As Figuras 1 , 1.1 e 12 foram registradas por um instrumento 
monitorado pelo Departamento de Minas e Geologia da 
Califórnia pertencente -ao Hospital Universitário do Sul 

da Califórnia. Use-as para estimar as imagens das funções 
aceleração do solo na vertical, na direção norte-sul, na 
leste-oeste. na USC durante o terremoto de Noríhridge. 

4 . Nesta seção discutimos os exemplos de funções do dia-a-dia, 
como: a população é uma função do tempo; o custo da 
franquia postal, uma função do peso: a temperatura da água, do 
tempo. Dê três novos exemplos de funções cotidianas que 
possam ser descritas verbalrnente. O que você pode dizer sobre 
o domínio e a imagem de cada urna dessas funções? Se 
possível, esboce um gráfico de cada uma delas. 


5-8 Determine se a curva dada é o gráfico de uma função de ;v. 
Se íor o caso, obtenha o domínio e a imagem da função. 




..1 



q 




1 


[ 


U 



i 




j/" 

■ "1 






i 

1 




v 



...» 



-X\ 



0 

. í 




j- 


i 




í 

t 


i 

J 

.1 






q/ 

] 





V 

















0 


__ 

1 

X 















9 . O gráfico mostra o peso de uma certa pessoa como uma função 
da idade. Descreva em palavras como o peso dessa pessoa 
varia com o tempo. O que você acha que está acontecendo aos 
30 anos? 


Peso 

(libras) 


200 

__ t 

150- 

j 


/ ^ 

100: 

/ 

/ 

50 ‘ 

j 

0 

10 20 30 40 50 60 70 


Idade 

(anos) 


10. O gráfico mostra a distância que um caixeiro- viajante está de sua 
casa em um certo dia como uma função do tempo. Descreva em 
palavras o que o gráfico indica sobre suas andanças nesse dia. 


Distância I 
de casa ! 
(milhas) 


8 (manha) 10 meio-tlti 


4 6 («ar, drtpinpo 

(horas) 






James Stewart CAPlTUtO 1 FUNÇÕES 1 MODELOS 


11. Ponha cubos de gelo em um copo. encha-o com água gelada e 
deixe-o sobre uma mesa. Descreva como vai variar no tempo a 
temperatura da água. Esboce então um gráfico da temperatura 
da água como uma função do tempo decorrido. 

12. Esboce um gráfico do número de horas diárias com a luz do 
sol como uma função do tempo no decorrer de um ano. 

13. Esboce um gráfico da temperatura externa como uma função 
do tempo durante urn dia típico de primavera na zona 
temperada do Hemisfério Norte. 

14. Coloque uma torta gelada em um forno e asse-a por uma hora. 
Então tire-a do forno e deixe-a esfriar antes de comê-la. 
Descreva como varia no tempo a temperatura da torta. Esboce 
urn gráfico da temperatura da torta como uma função do tempo. 

15. Um homem apara seu gramado toda quarta-feira à tarde. 
Esboce o gráfico da altura da grama corno urna função do 
tempo no decorrer de um período de quatro semanas. 

16. Um avião vai de um aeroporto a outro em uma hora, e a 
distância entre eles é de 400 milhas. Se t representa o tempo 
em minutos desde a partida do avião, seja x(t) a distância 
horizontal percorrida e y(t) a altura do avião. 

(a) Esboce um possível gráfico de x(f). 

(b) Esboce urn possível gráfico de y(t). 

(c) Esboce um possível gráfico da velocidade no chão. 

(d) Esboce um possível gráfico da velocidade na vertical. 

17. Uma estimativa anual do número N (em milhares) de assinantes 
de telefones celulares na Malásia é mostrado na tabela 



1991 

1993 

3995 1997 

N 

132 

304 

873 j 2.46.1 


(a) Use os dados da tabela para esboçar o gráfico de N como 
uma função t. 

(b) Use seu gráfico para estimar o número de assinantes de 
telefones celulares na Malásia nos anos de 1994 e 3996. 

18. Os registros de temperatura T (em °F) foram tomados de duas 
em duas horas a partir da meia-noite até as 14 horas, em 
Dallas. em 2 de junho de 2001 . O tempo foi medido em horas 
após a meia-noite. 



(a) Use os registros para esboçar um gráfico de T como uma 
função de t. 

(b) Use seu gráfico para estimar a temperatura às 1 1 horas da 
manhã. 

19, Scfix) - 3,r - x + 2, encontre f{2),f{-2),f(a),f(-a),f(a + ! ), 
2f(a)J(2a),f(a% [/(«).!* e/(a + h). 

20, Um balão esférico com raio de r polegadas tem o volume 
y(r) -- í rrr' . Encontre uma função que represente a 
quantidade de ar necessária para inflar o balão de um raio 
r até um raio r + 1 polegadas. 


... f(.v h) — /Lí! 

4 -A. fcincontre j (2 + k).f(x -f h) e — 

onde h # 0. 1 


21. f{x) A' "" X 2 


22, fíx) = - — 
J " x + 


Encontre o domínio da função. 


23. fíx) - ------- 

3x~ 1 

25. /{/) = v/ + lí} 

27 . h ( v) - - 7 -J 

\! x 5 a 


„ _ 5x-+4 

24. f(x) = — — r~ 
x +3a+2 

26. g(u) -- ~Ju + \Í4 ^u 


28. Encontre o domínio e a imagem e esboce o gráfico da função 
h ( v ) -- v 4 x - . 

29-40 ::: Encontre o domínio e esboce o gráfico da função. 

1 


29. fíx) ----- 5 

31. f(t) = f - 6t 

33. g(x) - sjx - 5 

_. . 3x + x 
35. 6 (a) — 

3 ? . /(,, - {; + , 

. , í 2x + 

39. f(x) = í\ + 2 


30. F(x) — —(a + 3) 
2 

4 - r 

32. H(t) - — — 

2 - í 

34. Fíx) — 1 2x + ! í 
|a| 

36. gíx) — — r 


x se x 0 

x + 1 se x > 0 

2x + 3 se x < — 1 
3 - A se .0-1 

a + 2 se x =si — 1 

a 2 se x > —1 


{ — 1 se a — 1 
3a + 2 se | x | < 1 
7 — 2a se x 1 

41-46 Encontre unta expressão para a função cujo gráfico é a 
curva dada. 

41. O segmento de reta unindo os pontos ( — 2, 1) e (4, —6). 

42. O segmento de reta unindo os pontos (—3, —2) e (6. 3). 

43. A paite de baixo da parábola x 4- ( v -- J) 2 — 0. 

44. A parte de cima do círculo (x — l } 2 4 - y 2 « ] . 






24 


Editara íhomson 



CÁLCULO 


47-51 Encontre uma fórmula para a função descrita e obtenha seu 

domínio. 

47. Um retângulo tem um perímetro de 20 metros. Expresse a área 
do retângulo como uma função do comprimento de um de seus 
lados. 

48 . Um retângulo tem uma área de 16 m 2 . Expresse o perímetro 
do retângulo como uma função do comprimento de uni de seus 
lados. 

49. Expresse a área de urn triângulo eqüilátero como uma função do 
comprimento de um lado. 

50 . Expresse a área superficial de um cubo como uma função de 
seu volume. 

51. Uma caixa retangular aberta com volume de 2 nr tem uma 
base quadrada. Expresse a área superficial da caixa como uma 
função do comprimento de um lado da base. 


52 . Uma janela normanda tem um formato de um retângulo ern 
cima do qual se coloca ura semicírculo. Se o perímetro de uma 
janela for de 30 pés, expresse a área A da janela como uma 
função de sua largura x. 



X H 


53 . Uma caixa sem a tampa deve ser construída de um pedaço 
retangular de papelão com dimensões 12 por 20 polegadas. 
Devem-se cortar os quadrados de lados x de cada canto e 
depois dobrar, conforme mostra a figura. Expresse o volume 
V da caixa como uma função de x. 



54 . Uma companhia de táxi cobra $ 2 pela primeira milha (ou 

fração dela) e 20 centavos a cada décimo de milha adicional (ou 
fração). Expresse o custo C (em $) de uma corrida como 
uma função da distância x percorrida (em milhas) para 
0 < x < 2 e esboce o gráfico. 


55 . Em um certo país, o imposto de renda é cobrado da seguinte 
forma. São isentos os que têm rendimento até $ 10.000. Para 
qualquer renda acima de $ 10.000 é cobrado um imposto de 
10%, até $ 20.000. E acima de $ 20.000 o imposto é de 15%. 


(a) Esboce o gráfico do imposto de renda R como uma função da 
renda I. 

(b) Qual o imposto cobrado sobre um rendimento de $ 14.000? 
E sobre S 26.000? 

(c) Esboce o gráfico do imposto total cobrado T como uma 
função da renda I. 

56 . As funções no Exemplo 10 e nos Exercícios 54 e 55(a) são 
chamadas funções escada , em virtude do aspecto de seus 
gráficos. Dê dois outros exemplos de funções escada que 
aparecem no dia-a-dia. 

57-58 Os gráficos de/ e de g são mostrados a seguir. Verifique se 
cada função é par, ímpar ou nem par nem ímpar. Justifique seu 
raciocínio. 

57 . 58 . 




59 . (a) Se o ponto (5, 3) estiver no gráfico de uma função par, que 

outro ponto também deverá estar no gráfico? 

(b) Se o ponto (5, 3) estiver no gráfico de uma função ímpar, 
que outro ponto deverá também estar no gráfico? 

60 . Uma função / tem o domínio [-5, 5] e é mostrada uma parte do 
seu gráfico. 

(a) Complete o gráfico de /sabendo que ela é uma função par. 

(b) Complete o gráfico de/ sabendo que ela é uma função ímpar. 



y > 

f 

J 







s 


-5 

~~Õ 

5 •* 


61-66 □ Determine se / é par, ímpar ou nenhum dos dois. Se / for 
par ou ímpar, use a simetria para esboçar seu gráfico. 


61 . f(x) ~ x~ 2 
63 . f(x) = x' + x 
65 . f(x) = x*-x 


62 . /(. x )-*- 3 

64 . f(x) * jt 4 - 4x 2 
66. / (x) — 3.x 3 + 2a: 2 -f 1 





James Stewart CAPÍTUL0 1 


Modelos Matemáticos: Uma Relação de Funções Essenciais 


Um modelo matemático é uma descrição matemática (frequentemente por meio de uma 
função ou de uma equação) de um fenômeno do mundo real, como o tamanho de uma popu- 
lação, a demanda por um produto, a velocidade de um objeto caindo, a concentração de urn 
produto em uma reação química, a expectativa de vida de uma pessoa ao nascer ou o custo da 
redução dos poluentes. O propósito do modelo é entender o fenômeno e talvez fazer 
predições sobre um comportamento futuro. 

A Figura 1 ilustra o processo de modelagem matemática. Dado urn problema do mundo 
real, nossa primeira tarefa é formular um modelo matemático por meio da identificação e 
especificação das variáveis dependentes e independentes e da realização de hipóteses que sim- 
plifiquem o fenômeno o suficiente para "tomá-lo matematicamente tratável. Usamos nosso 
conhecimento da situação física e nossa destreza matemática para obter as equações que rela- 
cionam as variáveis. Em situações em que não existe uma lei física para nos guiar, pode ser 
necessário coletar dados (de uma biblioteca, da Internet ou conduzindo nossos próprios expe- 
rimentos) e examiná-los na forma de uma tabela, a fim de perceber os padrões. Dessa repre- 
sentação numérica de uma função podemos obter uma representação gráfica desenhando os 
dados. Esse gráfico pode até sugerir uma fórmula algébrica apropriada em alguns casos. 


FIGURA 1 

Processo de modelagem 


Problema do 
inundo real 



Predições sobre } 
o mundo real S 


Formular 


matemático 


Resolver 


Interpretar 


Conclusões 

matemáticas 


O segundo estágio é aplicar a matemática que sabemos (tal como o cálculo a ser desen- 
volvido neste livro) ao modelo matemático que formulamos, a fim de tirar as conclusões. 
Então, em um terceiro estágio, interpretamos as conclusões matemáticas como infor- 
mações sobre o fenômeno original e oferecemos explicações ou fazemos predições. A 
etapa final é testar nossas predições com o que acontece de novo no mundo real. Se as 
predições não se ajustam bem à realidade, precisamos refinar nosso modelo ou formular 
um novo modelo e começar novamente o ciclo. 

Um modelo matemático nunca é uma representação completamente precisa de uma 
situação física — é uma idealização, Um bom modelo simplifica a realidade o bastante 
para permitir cálculos matemáticos, mantendo, porém, uma precisão suficiente para con- 
clusões apreciáveis. É importante entender as limitações do modelo. A palavra final está 
com a Mãe Natureza. 

Existem vários tipos diferentes de funções, as quais podem ser usadas para modelar as 
relações observadas no mundo real. A seguir, discutiremos o comportamento e os gráficos des- 
sas funções, e daremos exemplos de situações modeladas apropriadamente por elas. 


tLJ Modelos Lineares 

Quando dizemos que y é uma função afim de a\ queremos dizer que o gráfico da função é 
uma reta; assim, podemos usar a forma inclinação-intercepto da equação de uma reta para 
escrever uma fórmula para a função, ou seja 






26 


CÁICULO Editora Thomsaa 


v — /{ x) — rnx + b 

onde m é o coeficiente angular da reta e b é o intercepto v. 

Uma característica peculiar das funções afins é que elas variam a uma taxa constante. Por 
exemplo, a Figura 2 mostra o gráfico da função afim f(x) = 3:v - 2 e uma tabela de valores 
amostrais. Note que quando x sofre um aumento em 0,1 , o valor de f(x) se eleva em 03. Dessa 
forma. f(x) cresce três vezes mais rápido que x. Assim, a inclinação do gráfico de y = 3;v - 2. 
isto é, 3, pcxie ser interpretada corno a taxa de variação de y em relação a x. 



V 

1 / 

A - 3 *- 2 

/ 

/ 

0 

7 ,r 

_? . 

i 

I 


FIGURA 2 / 


/ 



J... 


20 t 


\ 


10 


0 


\T = -iO/i-rZO 

r \ 

_\ 

i \ 3 h 


FIGURA 3 


( a) A medida que o ar seco move-se para cima ele se expande e esfria. Se a temperatura 
do solo for de 20 °C e a temperatura a uma altura de 1 km for de 10 °C. expresse a tem- 
peratura T (em °C) como uma função da altura h (em km), supondo que um modelo 
linear seja apropriado. 

(b) Faça um gráfico da função na parte (a). O que representa a inclinação? 

(c) Qual é a temperatura a 2,5 km de altura? 

SOLUÇÃO 

(a) Como estamos supondo que T é uma função linear de h, podemos escrever 

T — mh + b 

Nos é dado que T = 20 quando h = 0, assim. 

20 - m * 0 + b = b 

Em outras palavras, o intercepto y é b = 20. 

Também nos é dado que 7 — 10 quando h = 1 , dessa forma, 

10 - m • I + 20 

A inclinação da reta é, portanto, m = 10 — 20 — — .10 e a função afim procurada é 

T= -10 h + 20 

(b) O gráfico está esboçado na Figura 3. A inclinação é igual a m = - 10 °C/km, e re- 
presenta a taxa de variação da temperatura em relação à altura. 

(c) A uma altura de h = 2.5 km. a temperatura é 

-10(2,5) I 20 - -5°c 

Se não existii unia lei física ou princípio que nos ajude a formular o modelo, construí- 
mos uni modelo empírico, inteira mente baseado em dados coletados. Procuramos uma 
curva que se ajuste aos dados no sentido de que ela capte a tendência dos pontos dados. 





TABELA 1 




- _ James Stawsrt CAPÍTULO 1 FUNÇÕES E MODELOS I 

z .A Tabela 1 fornece uma lista de níveis médios de dióxido de carbono na 
atmosfera, medidos em partes por milhão no Observatório de Mauna Loa, de 1980 a 2000. 
Use os dados da Tabela 1 para encontrar um modelo para o nível de dióxido de carbono. 

SOLUÇÃO Vamos usar os dados da tabela para fazer um .mapa de dispersão na Figura 4. 
onde / representa o tempo (em anos) e C. o nível de C() 2 (em ppm). 

Cf 
370 ■} 

360 -j- 

350 { 

340 • 


FIGURA 4 1 , ; , * 

Mapa de dispersão para | 1980 1985 1 990 1995 2000 { 

o nível médio de C0 2 


Observe que os pontos estão muito próximos de uma linha reta; dessa forma, é natural esco- 
lher um modelo linear nesse caso. Porém, há inúmeras possibilidades de retas para aproximar 
esses pontos. Qual deveríamos usar? Do gráfico, vemos que uma possibilidade é a reta que passa 
pelo primeiro e o último pontos dados. A inclinação dessa reta é 

369,4 -338,7 ___ 30 .7 _ 

2000-1980 ~ 20 


e sua equação é 


C- 338,7 - 1,535 (í ~ 1980) 


ou 

[XI C = 1 ,535/ - 2.700,6 

A Equação 1 fornece um modelo linear possível para o nível de dióxido de carbono; 
seu gráfico está mostrado na Figura 5. 


FIGURA 5 
Modelo linear por meio do 
primeiro e do último pontos dados 


CA 

370 j 

| 

360 i 
350 4 




1980 1985 1990 1995 2000 1 


Embora nosso modelo se ajuste razoavelmente aos dados, ele dá valores mais altos 
que a maior parte dos níveis reais de CO?. Um modelo linear melhor é obtido por meio de um 




23 


CÁLCULO 


Etíiísrâ Ttismsan 


: Um computador ou uma 
calculadora gráfica encontra a 
reta de regressão peio Método 
dos Mínimos Quadráticos, que é 
minimizar a soma dos quadrados 
das distâncias verticais entre os 
pontos dados e a reta. Os 
detalhes serão esclarecidos na 
Seção 14.7 do Volume 2. 


procedimento da estatística chamado regressão linear. Se utilizarmos uma calculadora grá- 
fica, inserimos os dados da Tabela 3 , e a calculadora escolhe o comando de regressão linear. 
(Com o Maple usamos o comando fit[leastsquare]: com o Mathematica empregamos o 
comando Vi ti) A máquina dá a inclinação e o intercepto y cia reta de regressão corno 

m = 1.53818 b - -2.707.25 

Assim, nosso modelo de mínimos quadrados para o nível de CO 2 é 
00 C- 1,538. 18r- 2.707,25 

Na Figura 6 fizemos o gráfico da reta de regressão e marcamos os pontos dados. 
Comparando-a com a Figura 5 vemos que ela fornece um ajuste melhor que o anterior para 
nosso modelo linear. 


FIGURA 6 
Reta de regressão 



EXEMPLO 3 □ Use o modelo linear pela Equação 2 para estimar o nível médio de CO 2 
em 1987 e predizer o nível do ano em 2010. De acordo com esse modelo, quando o nível 
de COj excederá 400 ppm? 

SOLUÇÃO Usando a Equação 2 com 1 = 1987, estimamos que o nível médio de CO 2 será 

C( 1987) - (12)3818X1987) - 2.707,25 ~ 349,11 

Esse é um exemplo de interpolação , pois estimamos um valor entre os valores observa- 
dos. (De fato, o Observatório de Mauna Loa registrou em 1987 um nível médio de CO 2 
de 348,93 ppm; assim, nossa estimativa é bem precisa.) 

Com t — 2010, obtemos 

CÍ2010) - (1,53818)(2010) - 2.707,25 * 384,49 

Predizemos então que o nível médio de CO 2 no ano de 2010 será de 3842) ppm. Esse é 
um exemplo de extrapolação , pois predizemos um valor fora da região de observações. 
Consequentemente, estamos muito menos seguros sobre a precisão dessa nossa predição. 
Usando a Equação 2, vemos que o nível de CO 2 excederá 400 ppm quando 

1 ,53818/ - 2.707,25 > 400 
Resolvendo essa desigualdade, obtemos 


3.107,25 

1,53818 


2.020,08 



29 


James Stewart CAPÍTULO 1 FUNÇÕES E MODELOS 

Portanto estamos predizendo que o nível de C0 2 vai exceder 400 ppm no ano 2020. Essa 
predição é um pouco arriscada, pois envolve um tempo hein distante de nossas observações. 


j 

I 

i 

f 

* 

: 

[ 


' 


13 Polinómios 

Uma função P é denominada polinómio se 

P{x) ~ a„x'‘ + a„~ix tt '~ i + • • • 4- a 2 x~ 4- a t x 4- a» 

onde n é um inteiro não negativo, e os números c 0 , a u a 2 , . . . , a„ são constantes chamadas 
coeficientes do polinómio. O domínio de qualquer polinómio é IR — (~~oo.oe). Se o coefi- 
ciente dominante a„ ^ 0, então o grau do polinómio é n. Por exemplo, a função 

P{x) - 2a- 6 - x 4 4- f a 3 4- 3 

é um polinómio de grau 6. 

Um polinómio de grau 1 é da forma P(x) — mx 4 b e, portanto, é uma função afim. Um 
polinómio de grau 2 é da forma P(x) — ax 2 4- bx 4- c e é chamado função quadrática. 
O gráfico de P é sempre uma parábola obtida por translações da parábola y — ax 2 , con- 
forme veremos na próxima seção. A parábola abre-se para cima se a > 0 e para baixo quando 
a < 0. (Veja a Figura 7.) 


FIGURA 7 
Os gráficos de funções 
quadráticas são parábolas 



(a) y = ** + x + 1 



(b) y ~ -2x 1 + 3x + I 


FIGURA 8 


Um polinómio de grau 3 tem a forma 

P(x) — ax ' + bx 2 4- cx 4- d 


e é chamado função cúbica. A Figura 8 mostra o gráfico de uma função cúbica na parte 
(a) e os gráficos dos polinómios de grau 4 e 5 nas partes (b) e (c). Vamos ver mais adiante 
por que os gráficos têm esses aspectos. 




30 



CÁLCULO Editsrs Thomsau 

Os polinómios são usados comumente para modelar várias quantidades que ocorrem em 
ciências sociais e naturais. Por exemplo, na Seção 3.3 explicaremos por que os economistas íre- 
qüentemente usam um polinómio PU) para representar o custo na produção de ,v unidades de 
um produto. No exemplo a seguir vamos usar uma função quadrática para modelar a queda de 
uma bola. 


TABELA 2 



^ 

i c uipO 



(metros) 

0 

450 

■j 

445 

■7 

431 

3 

408 

4 

375 

5 

332 

6 

279 

7 

216 





9 

61 


EXEMPLO 4 □ Uma bola é deixada cair desde o topo da Torre CN, 450 m acima do chão, e 
sua altura h acima do solo é registrada em intervalos de 1 segundo na Tabela 2. Encontre um 
modelo para ajustar os dados e use-o para predizer o tempo após o qual a bola atinge o chão. 

SOLUÇÃO Vamos fazer um gráfico de dispersão na Figura 9 e observar que um modelo 
linear não é apropriado. Parece que os pontos podem estar sobre uma parábola; assim, 
vamos tentar um modelo quadrático. Usando uma calculadora gráfica ou um CAS (que 
usa o método dos mínimos quadrados), obtemos o seguinte modelo quadrático: 

ÍI] h = 449,36 + 0,96/ - 4,906 


h 

■ h 4 

(metros) 

1 

400 

' < 400 1 

200 

200 - 

0 

2 4 6 8 / 0 


(segundos) 


FIGURA 9 

Mapa de dispersão para uma bola caindo 


FIGURA 10 

Modelo quadrático para uma bola caindo 


Na Figura 10 fizemos um gráfico da Equação 3 junto com os pontos dados e vimos 
que o modelo quadrático fornece um ajuste muito bom. 

A bola atinge o chão quando h — 0, assim resolvemos a equação quadrática 

-- 4.90/- 1 0,96/ + 449,36 - 0 


A fórmula quadrática fornece 

-0,96 ± vI Õ.96) (i) 2 - 4{- 4 , 9 0) (44936) 

1 ~~ ~~~ 2 (—4,90) 

A raiz positiva é / = 9,67; dessa forma, predizemos que a bola vai atingir o chão após 
9,7 segundos. 



Funções Potências 


Uma função da forma f(x) — x a , onde a é uma constante, é chamada função potência. 
Vamos considerar vários casos. 


(i) a — n onde n é um inteiro positivo 

Os gráficos de f(x) — x n para n ~ 1 , 2, 3, 4 e 5 estão na Figura 1 1 . (Esses são polinómios 
com um só termo.) Já conhecíamos os gráficos de y — x (uma reta passando pela origem 
com inclinação !) e y — x 2 [uma parábola - veja o Exemplo 2(b) da Seção 1.1]. 




31 


James Síswart CAPÍTtiiOl F ü N Ç C E S E M O D E L O S 



FIGURA 1 1 Gráficos de f(x) - para n - 1.2. 3,4 e 5 


A forma gerai do gráfico de f(x) = x" depende de n ser par ou ímpar. Se n for par, então 
f(x) — x n será uma função par e seu gráfico é similar ao da parábola y = r. S en for ímpar, 
então f(x) = x n será uma função ímpar e seu gráfico é similar ao de y = x\ Observe na 
Figura 12, porém, que à medida que n cresce, o gráfico de y ~ x' 1 toma-se mais achatado 
próximo de zero e mais inclinado quando \ x\ ^ 1. (Se x for pequeno, então x 2 é menor; x 3 
será ainda menor; e x 4 será muito, mas muito menor, e assim por diante.) 


y t 



FIGURA 12 / 

Famílias de funções potências 

(ií) a — l/n, onde n é um inteiro positivo 

A função fix) = x !í ” = Vx é uma função raiz. Para n = 2, ela é a função raiz quadrada 
f(x) = % /x, cujo domínio é [0, w) e cujo gráfico é a parte superior da parábola x = y 2 
[veja a Figura 13(a)j. Para outros valores pares de n, o gráfico de y ~ sfc é similar ao de 
- y = v'x. Para n = 3, temos a função raiz cúbica f(x) = yx cujo domínio é ÍR (lembre-se 
de que todo número real tem uma raiz cúbica) e cujo gráfico está na Figura 13(b). O 
gráfico de y = Vx para n ímpar (n > 3} é similar ao de y — </x. 


FIGURA 13 
Gráficos das funções raízes 




32 


17 C-ÁLCiítO tdílora Tfiomson 


1 




FÍGURA 14 
A função recíproca 


'üT; ü — -1 ' 

O gráfico da função recíproca f(x) = x~ l = l/x está na Figura 14. Seu gráfico tem a 
equação y = l/x, ou xy — l.e é uma hipérbole com eixos coordenados como suas 
assintotas. 

Essa função surge em física e química em conexão com a Lei de Boyle, que 
estabelece que, sendo constante a temperatura, o volume de um gás é inversamente 
proporcional à pressão: 



onde C é uma constante. Assim, o gráfico de V como uma função de P (veja a Figura 15) 
tem o mesmo aspecto gera! da metade à direita da Figura 14. 


FIGURA 15 
\x>lume como uma função da 
pressão à temperatura constante 



\ 1 y ‘ 

i 

\j 

1 

Vy 

20 


fX) 

\l 

j 

1 


FIGURA 16 




2x i ~x l + 1 
x J - 4 


Outro exemplo do uso da função potência na modelagem de um fenômeno físico é 
discutido no Exercício 22. 


Funções Racionais 


Uma função racional fé a razão de dois polinómios: 


f(x) = 


P(x) 

QU) 


onde P e Q são polinómios. O domínio consiste em todos os valores de x tais que 
Q{x) # 0. Um simples exemplo de uma função racional é a função f(x) — l/x, cujo 
domínio é {x | x # 0}; esta é a função recíproca cujo gráfico está na Figura 14. A 
função 


/(*) “ 


2x 4 — x 2 + .1 
~ x 2 ' - 4 


é uma função racional com domínio {x\x ¥* ±2}. Seu gráfico está na Figura 16. 

L J Funções Algébricas 

Uma função f é chamada função algébrica se puder ser construída usando-se opera- 
ções algébricas (como adição, subtração, multiplicação, divisão e extração de raízes) 
começando com os polinómios. Toda função racional é automaticamente uma função 
algébrica. A seguir estão mais alguns exemplos: 


/(x) = Vx 2 + I g(x) = 


x 4 - 16x~ 


+ (x — 2) 2/x 



James Stewart 


CAPÍTULO 1 



SES 


Quando esboçarmos as funções algébricas no Capítulo 4 veremos que gráficos podei" 
assumir uma variedade de formas. A Figura 17 ilustra algumas dessas P°$síbilidades. 


FÍGÜRA 17 


y , 

/ 

>• : 


2 • 

■/ 

í t 

"'X 

/ y 

1 7 

\ / 

i * 



\ / 


1 1 

( 

\ / 






Õ 

5 

(a)/(-x) = x v 

j+i 

(b) g(x) = 

<A r 4'25 


. v 



0 1 

(c) hix) = x^( x - 2f 


Um exemplo de função algébrica ocorre na Teoria da Relatividade. A massa de um 
partícula com uma velocidade v é 


m — f(v) — 




V 1 “ v 2 /c- 


onde m 0 é a massa da partícula no repouso e c — 3,0 X 10 5 km/s é a velocidade d 
luz no vácuo. 


Funções Trigonométricas 

Há uma revisão de trigonometria e de funções trigonométricas no Apêndice D. Em cálcul 
convencionamos usar sempre a medida de ângulos em radianos (exceto quando explicita 
mente mencionado). Por exemplo, quando utilizamos a função f(x) — senx, deve se 
entendido que sen x significa o seno de um ângulo cuja medida em radianos é x. Assim, o 
gráficos das funções seno e cosseno estão na Figura 18. 



(a)/(jc) = sen x 

FIGURAIS 



I Observe que tanto para a função seno quanto para a função cosseno o domínio é (— «>, oc 

e a imagem é o intervalo fechado [—1,1]. Dessa forma, para todos os valores de x temos 


sen x 


cos x 


ou, em termos de valores absolutos, 

| sen x | 1 | cos x\ 1 



Editora Thomson 



FIGURA 19 
y — tg jr 


~ )a mesma forma, os zeros da função seno ocorrem nos múltiplos inteiros de isto é. 

sen .v — 0 quando x — n tt n é um inteiro 

bma propriedade importante das funções seno e cosseno é que elas são periódicas com 
um período 2tt. Isso significa que, para todos os valores de x. 


senfiv -fi 2 7 r) = sen 


cost> + 2rr) = COS JC 


A natureza periódica dessas funções torna-as adequadas â modelagem de fenômenos repe- 
titivos. tais como marés, cordas vibrantes e ondas sonoras. Por exemplo, no Exemplo 4 da 
Seção 1 .3 veremos que o modelo razoável para o número de horas com a luz solar na 
Eiladélfia / dias após l 2 de janeiro é dado pela função 


Ur) 


12 



(t ~ 80) 


A função tangente relaciona-se com as funções seno e cosseno pela equação 


sen x 

tg x = 

COS X 

e seu gráfico está na Figura 19. Ela não está definida quando cos x — 0, isto é, quando 
-V ~ ± tt/2, ±3tt/ 2, ... . Sua imagem é (— oc ? cc). 

Observe que a função tangente tem período tt: 

tg (v 4- tt) — tg x para todo x 

As três funções trigonométricas remanescentes, cossecante, secante e cotangente, são 
as recíprocas das funções seno, cosseno e tangente. Seus gráficos estão no Apêndice D. 


é,- J Funções Exponenciais 

As funções exponenciais são da forma f(x) = a \ onde a base a é uma constante positiva. 
Os gráficos de y — 2* e y = (0,5)' estão na Figura 20. Em ambos os casos o domínio é 
(— ao, cc) e a imagem é (O.-A). 


FIGURA 20 



= V J 

\ 

\ 

k 

1 


\ 

1 

i 


\ 

\ 

0 



õ 

1 

JC 


(b) >• = (0,5/ 


As funções exponenciais serão estudadas em detalhes na Seçao 1.5, e veremos que elas 
suo úteis na modelagem de muitos fenômenos naturais, como crescimento populacional 
(se a > j) e decaimento radioativo (se a < 1). 




James Stewar? 


CAPÍTULO 


35 



O funções Logarítmicas 

As funções logarítmicas são /(.v) - log«x, onde a base a é uma constante positiva. Elas 
são inversas das funções exponenciais e serão estudadas na Seção i .6. A Figura 2) mostra 
os gráficos de quatro funções logarítmicas com várias bases. Em cada caso o domínio é 
(0. =°), a imagem é «) e as funções crescem vagarosamente quando x > 1 . 


FIGURA 21 



O Funções Transcendentais 

São as funções não algébricas. O conjunto das funções transcendentais inclui as funções 
trigonométricas, trigonométricas inversas, exponencial e logarítmica, mas também inclui um 
vasto número de outras funções que nunca tiveram um nome. No Capítulo 1 1 . no Volume H, 
estudaremos as funções transcendentais, que são definidas como soma de séries infinitas. 


EXEMPLO 5 □ Classifique as funções a seguir como um dos tipos discutidos. 

(a) f(x) — 5 X (b) g(x) — .x 5 

1 + x 

(c) h(x) — 7 =- (d) u{t) = \ - t 4- 5r 4 

1 - y/x 

SOLUÇÃO 

(a) f(x) — 5 T é uma função exponencial, (x é o expoente.) 

(b) g(x) = x s é a função potência, (x é a base.) Podemos também considerá-la um poli- 
nómio de grau 5. 

I T,\' 

(ç) h{x) = — é uma função algébrica. 

1 - v x 

(d) u(t) — 1 — / + 5C é um polinómio de grau 4. ' 


Exercícios 


1-2 Classifique cada função como uma função potência, função 
raiz, polinomial (estabeleça seu grau), função racional, função 
algébrica, função trigonométrica, função exponencial ou função 
logarítmica. 

1. (a) f(x) = y/x (b) gU) « v'l - v 2 

íc) h(x) x 9 + x 4 (d) '*(-*) — ~tt 

• ■ X' + X 


(e) ,y{x) = tg 2.x 


2- (a) y 


x - 6 
x + 6 


(c) y ~ 10 ' 

(e) v = 2/ 6 + f' - 7 r 


(f) f(x) - logiox 
x 2 

(b) y — -x + yxx = — - 

vx -- 1 

(d) y = x JD 

(f) y ~ cos 0 + sen 0 




38 


CALCUIO 


Editara Tíjoisson 


3-4 Associe cada equação a seu gráfico. Explique sua escolha. 
(Não use computador ou calculadora gráfica.) 

3. (a) y = ,x 2 (b) y = x'' (c) y = x* 



i 


4 . (a) y 
(c) y 


3.x 

x' 


(b) y - 3* 
(d) y = <Jx 



/ G 


5- (a) Encontre uma equação para uma família de funções 

lineares com inclinação 2 e esboce os gráficos de vários 
membros da família. 

(b) Encontre uma equação para a família de funções lineares 
tais que /( 2) = 1 e esboce os gráficos de vários membros 
da família. 

(c) Quais funções pertencem a ambas as famílias? 

6- O que todos os membros da família de funções lineares 
f(x) = 1 + m (x + 3) têm em comum? Esboce o gráfico de 
vários membros da família. 

7- O que todos os membros da família de funções lineares 
f(x) — c — x têm em comum? Esboce os gráficos de vários 
membros da família. 

8- Um administrador de mercado de pulgas sabe por experiência 
que se cobrar x dólares pelo aluguel de um espaço, então o 
número y de espaços que ele pode alugar é o dado pela 
equação v = 200 - 4.x, 

(a) Esboce o gráfico dessa função linear. (Lembre-se de que o 
aluguel cobrado pelo espaço e o número de espaços 
alugados não podem ser quantidades negativas.) 

(b) O que representam a inclinação, o intercepto y e o intercepto x? 


3. A relação entre as escalas de temperatura Fahrenheit ff) e Cel- 
sius (O é dada pela função linear F — lC + 32. 

(a) Esboce o gráfico dessa função. 

(b) O que representa nesse gráfico a inclinação? O que repre- 
senta o intercepto F do gráfico? 

10. José deixa Detroit às 2 horas da tarde e guia a uma velocidade 
constante em direção a oeste pela rodovia 1-96. Ele passa por 
Ann Arbor, a 40 milhas de Detroit, às 2h50 da tarde. 

ta) Expresse a distância percorrida em termos do tempo decorrido. 

(b) Esboce um gráfico da equação da parte (a). 

(c) Qual é a inclinação dessa reta? O que ela representa? 

11. Biólogos notaram que a taxa de cantos de uma certa espécie de 
grilo está relacionada com a temperatura de uma maneira que 
aparenta ser linear. Um grilo canta 1 13 vezes por minuto a 

70 °F e 173 por minuto a 80 °F. 

(a) Encontre uma equação linear que modele a temperatura T 
como uma função do número de cantos por minuto N. 

(b) Qual é a inclinação do gráfico? O que ele representa? 
fc) Se os grilos estiverem cantando 150 vezes por minuto, 

estime a temperatura. 

12 . Um administrador de uma fábrica de móveis descobre que 
custa $ 2.200 para fabricar 100 cadeiras em um dia e $ 4.800 
para produzir 300 cadeiras em um dia. 

(a) Expresse o custo como uma função do número de cadeiras pro- 
duzidas, supondo que ela seja linear. Então esboce o gráfico. 

(b) Qual a inclinação do gráfico e o que ela representa? 

(c) Qual o intercepto y do gráfico e o que ele representa? 

13 . Na superfície do oceano, a. pressão da água é igual à do ar 
acima da água, 15 lb/poP. Abaixo da superfície, a pressão da 
água cresce em 4,34 Ib/poF para cada 10 pés de descida. 

(a) Expresse a pressão da água como uma função da 
profundidade abaixo da superfície do oceano. 

(b) A que profundidade a pressão é de 100 Ib/poF 
(1 Ib/poF = 0.068046 atm = 703,07 kgf/m 2 ) 

14 . O custo mensal do uso de um carro depende do número de 
milhas rodadas. Lia descobriu que em maio ela gastou $ 380 e 
guiou 480 milhas e, em junho, gastou $ 460 e guiou 800 milhas. 

(a) Expresse o custo mensal C como uma função da distância 
percorrida d , supondo que a relação linear forneça urn modelo 
apropriado. 

(b) Use a parte (a) para predizer o custo quando 1 .500 milhas 
foram percorridas por mês. 

(c) Esboce o gráfico da função. O que a inclinação representa? 

(d) O que representa o intercepto y? 

(e) Por que uma função é um modelo apropriado nessa situação? 
15—16 'J Para cada marca de dispersão, decida qual tipo de função você 

escolheria conto um modelo para os dados. Explique sua escolha. 

15. (a) yf 



X 





16. (a) ^ 



0] x 


11 17 . A tabela mostra as taxas de úlcera péptica (medida no decurso 
de toda vida) (a cada 100 habitantes), para várias rendas 
familiares, conforme reportado em 1989 pelo National Health 
Interview Survey. 


Renda 

Taxa de úlcera 

familiar 

(a cada 100 habitantes) 

$ 4.000 

14.1 

S 6.000 

13.0 

S 8.000 

13.4 

$ 12.000 

12.5 

$ 16.000 

12.0 

$ 20.000 

12.4 

S 30.000 

10.5 

S 45.000 

9.4 

S 60.000 

8.2 


(a) Faça um mapa de dispersão desses dados e decida se um 
modelo linear é apropriado. 

(b) Faça um gráfico de modelo linear usando o primeiro e o 
último pontos. 

(c) Encontre e faça um gráfico da reta de regressão de 
mínimos quadrados. 

(d) Use o modelo linear de (c) para estimar a taxa de úlcera 
correspondente a uma renda de $ 25.000. 

(e) De acordo com o modelo, qual a chance de alguém com 
uma renda de $ 80.000 sofrer de úlcera péptica? 

(f) Você acha razoável aplicar o modelo a alguém com uma 
renda de $ 200.000? 


18, Biólogos observaram que a taxa de canto dos grilos de uma cena 
espécie aparentemente está relacionada com a temperatura. A tabela 
mostra as taxas de canto para várias temperaturas. 



(a) Faça um mapa de dispersão dos dados. 

(b) Encontre e faça um gráfico da reta de regressão. 

(c) Use o modelo linear da parte (b) para estimar a taxa de 
canto a 100 °F. 

II1 19 . A tabela dá as alturas dos vencedores do salto com vara nas 
Olimpíadas durante o século XX. 


Aro 

Altura (pés) 

Ano 

Altura (pés) 

1 900 

10.83 

1956 

14.96 

í 904 
1 

1 1 .48 

í 960 

1 5 .42 

1912 

12.96 

1968 

J7/7 t 

! 920 

i ^ 49 

1972 

3 8.04 

.1924 

12.96 

1976 

18.04 

1928 

13.77 

1980 

18.96 

1 932 

! A 1 S 

1984 

18.85 

j 9^5 

14,27 

1988 

19.77 

.1948 

14,10 

1992 

19.02 

1 









(a) Faça um mapa de dispersão e decida se um modelo linear 
é apropriado. 

(b) Encontre e faça um gráfico da reta de regressão. 

(c) Use o modelo linear para predizer qual a altura do 
vencedor nas Olimpíadas de 2000 e compare com a altura 
do vencedor de 19,36 pés. 

(d) E razoável usar o modelo para predizer a altura do 
vencedor para as Olimpíadas de 2100? 

11 20 . Um estudo do U. S. Office of Science and Technology em 
1972 estimou o custo para reduzir em certas porcentagens a 
emissão de poluentes pelos automóveis: 


R £ <.i ü v à O <1 aS 

Custo por 



I Redução nas 

Custo por 

emissões (%) 

carro (em $) l! emissões (%} 
■ í; 

carro (em S) 

50 

45 

— 

75 

90 

55 

55 

80 

i 00 

60 

62 

85 

200 

65 

70 

90 

375 

70 

80 

ü 

600 










38 : CÁICULO Editara Thomson 

Encontre um modelo que capte a tendência de “rendimentos 
decrescentes" desses dados. 

|| 21. Use os dados da tabela para modelar a população mundial no 
século XX por urna função cúbica. Então utilize seu modelo 
para estimar a população no ano de 1925. 


Ano 


>opiilaçâo ( milhões ) 

1900 


1 .650 

| 


i .860 

i 930 
1 940 


2.070 

2.300 

1950 

1960 


2.560 

3.040 

i 970 


3 710 

.1980 


4.450 

1990 


5.280 

2000 


6.080 


Terra ao Sol) e seus períodos T (tempo de revolução em 
anos) . 



(a) Ajuste um modelo de função potência aos dados. 

(b) A Terceira Lei de Kepler para o Movimento Planetário 
estabelece que “O quadrado do período da revolução de 
um planeta é proporcional ao cubo de sua distância média 
ao Sol". Seu modelo confirma a Terceira Lei de Kepler? 



} 


22. A tabela mostra a média das distâncias d dos planetas ao 
Sol (tomando a unidade de medida para ser a distância da 



Nesta seção partimos das funções definidas na Seção 1 .2 e obtemos novas funções por 
deslocamento, esticamento e reflexão de seus gráficos. Vamos mostrar também como com- 
binar pares de funções por meio de operações aritméticas ordinárias e por composição. 


\ Transformação de Funções 

Aplicando certas transformações aos gráficos de uma função dada obtemos o gráfico de 
funções correlacionadas, o que nos capacita fazer o esboço de muitas funções à mão. 
Vamos considerar inicialmente as translações. Se c for um número positivo, então o grá- 
fico de y = f(x) -f c é precisamente o gráfico de y — f(x) deslocado para cima em c 
unidades (uma vez que cada coordenada y fica acrescida pelo mesmo número c). Da 
mesma forma, se fizermos g(x) ~ J{x — c), onde c > 0, então o valor de q em x é igual 
ao valor de j em x — c (c unidades à esquerda de x). Portanto o gráfico de y ~ f(x — c) 
é precisamente o de y — f{ x) deslocado de c unidades para a direita (veja a Figura 1). 

__ — - — —— s 

Deslocamentos Verticais e Horizontais Suponha c > 0. Para obter o gráfico de 

y — /(•*) + c, desloque o gráfico de y ~ f(x) em c unidades para cima 

>’ “ f(x) ~ c, desloque o gráfico de y f(x) em c unidades para baixo i 

, s 1 i 

y ~ H x ~ c )- desloque o gráfico de y — f(x) em c unidades para a direita 
v = f(x + c), desloque o gráfico de y — f(x) em c unidades para a esquerda 


Vamos considerar agora as transformações de esticamento e reflexão. Se c > 1, então 
o gráfico de y = cf(x) é o gráfico de y = /( x) esticado por um fator c na direção vertical 
(pois cada coordenada y fica multiplicada pelo mesmo número c). O gráfico de y ~ —/'(a) 






«James Stewart CAPÍTULO 



;v 4 

! / \ v - ./'<-) + c 


v ~ f{x + c) 1 ; v =/(jc) y--f(x-c) 



FIGURA 1 

Translações do gráfico de / 


y A 

II 

<C; 1; 

y =f(-x) 

(c> 1 ) 

\ 

í 

y ~ f(x) 


v = ” f(x) 

0 

! x 

l 


y--f(x) 

I 


FIGURA 2 

Estiramentos e reflexões do gráfico de f 


é o gráfico de y = f(x) em tomo do eixo x, pois o ponto fiv. v) será substituído pelo ponit 
{x, ~y). (Veja a Figura 2 e a tabela a seguir, onde estão os resultados de várias transíor 
mações de esticamentos, compressão e reflexão.) 


Reflexões e Esticamentos Horizontais e Verticais Suponha e > 1. Para obter o 
gráfico de 

y — cf(x), estique o gráfico de y = f(x) verticalmente por um fator de c 
y ~ (l/c) f(x), comprima o gráfico de y = f(x) verticalmente por um fator de c 
y “ f(cx), comprima o gráfico de y = f(x) horizontal mente por um fator de c 
y — fixíc), estique o gráfico de y = f(x) horizontalmente por um fator de c 
y — ~f{x), reflita o gráfico de y — f(x) em torno do eixo .v 
v = f(-x) f reflita o gráfico de y ~ f(x) ern tomo do eixo y 


A Figura 3 ilustra essas transformações de esticamento quando aplicadas à funçã< 
cosseno com c — 2. Por exemplo, para obter o gráfico y — 2 cos a% multiplicamos as coor 
denadas y de cada ponto do gráfico de y — cos x por 2. Isso significa que o gráfico d> 
y ss cos x fica esticado verticalmente por um fator de 2. 


. y — 2 cos x 



y — cos 2x 


FIGURA 3 


I 



«o 


CAtCULO 


Editora Thomson 


SXEMPIOJ Dado o gráfico de v. == \ x. use as transformações para obter os gráficos 
de v y x 2, y == y x 2. y yx, y 2y x, e y =7J7 ~ y x. 

SOLUÇÃO O gráfico da função raiz quadrada y = yfx, obtido da Figura 13 
na Seção 1 .2, está mostrado na Figura 4(a). Nas outras partes da figura esboçamos 
y — y/x ~ 2 deslocando 2 unidades para baixo; y = yx — 2 deslocando 2 unidades para 
a direita; y — ~yx refletindo em torno de eixo x; y = 2 y x esticando verticalmente por 
um fator de 2; e y = y— x refletindo em tomo do eixo y. 


y . 

< y . 

y . 

t V i 

y 

1 y 









1 








f 






0 

3 x 0 

x 0 

2 A ' 0 

X 0 

X 0 

x 


—2- 

• 






(a) y - Vx (b) y ~ Vx - 2 (c) y = Vx - 2 (d) y = - Vx (e) y ~ 2 Vir (f) y = V-x 

FiGURA 4 

EXEMPLO 2 □ Esboce o gráfico da função /(x) — x 2 + 6x + 10. 

SOLUÇÃO Completando o quadrado, escrevemos a equação do gráfico como 
y — x 2 + 6x + 10 — (x + 3) 2 4- 1 

Isso significa que obtemos o gráfico desejado começando com a parábola y — x 2 e deslo- 
cando-a 3 unidades para a esquerda e então 1 unidade para cima (veja a Figura 5). 


FIGURA 5 



(-3. 1} 


-3 -1 

(b) y ~~ {x + 3) + I 


0 


EXEMPLO 3 V Esboce os gráficos das seguintes funções. 

(a) y — sen 2x (b) y — 1 - sen x 

SOLUÇÃO 

(a) Obtemos o gráfico y = sen 2x a partir de y = sen x comprimindo horizontalfnente 
esse último por um fator de 2 (veja as Figuras 6 e 7). Assim, enquanto o período de 
y = sen x é 2ir, o periodo de y — sen 2x é 2 tt/2 = tt. 



•i ) 1* 

y > 

i 

\ ......... 

y = sen 2x 

ji''' / 




0 n ir\ \ 

X 

FiGURA 7 


4 2 “ 




James Stewart 


CftPÍTÜiO 1 


(b) Para obter o gráfico de y = i - sen jr, começamos novamente com y = sen x. Refle- 
timos em torno do eixo x para obter o gráfico de y = -sen x e então deslocamos uma 
unidade para cima para obter y — 1 -- sen x (veja a Figura 8). 


FIGURAS 




EXEMPLO 4 A Figura 9 mostra vários números de horas de luz solar como uma função da 
época em diversas latitudes. Dado que a Filadélfia está localizada a aproximadamente 40 °N 
latitude, encontre uma função que modele a duração da luz solar durante os dias nessa cidade. 


FIGURA 9 
Gráfico da extensão da luz solar 
durante o dia, de 2 ! de março a 21 de 
dezembro em várias latitudes. 



1 

2 

3 

4 

5 


Fonte: Lúcia C. Hanison. Daylighl.. Tn-ilighl, Darkness and Time (Nova York: Silvar. 8 urde Et. 1935. p. 40.) 


! 


í 

: 




: 


SOLUÇÃO Observe que cada curva assemelha-se à função seno deslocada e esticada. 
Olhando a curva número 3 notamos que. na latitude de Filadélfia à luz do dia, dura cerca 
de 14,8 horas em 21 de junho e 9,2 horas em 21 de dezembro; assim, a amplitude da 
curva (o fator pelo qual esticamos verticalmente a curva do seno) é k (14,8 - 9,2) — 2,8. 

Por qual fator deveremos esticar horizontalmente a curva do seno se a medida do 
tempo t for em dias? Como temos cerca de 365 dias em um ano, o período de nosso 
modelo deve ser de 365 dias. Mas o período de y — sen í é 2tt; dessa forma, o fator de 
esticamento horizontal ê c — 2n-/365. 

Notamos também que a curva começa seu ciclo em 21 de março, 80- dia do ano, e 
então devemos deslocar a curva em 80 unidades para a direita. Além disso, deslocamos 
em 12 unidades para cima. Assim sendo, modelamos o comprimento dos dias na 
Filadélfia no í-ésimo dia do ano pela função 


L(t) - 


1 2 + 2,8 sen 


2tt 

365 





y 


Outra transformação de algum interesse é tomar o valor absoluto de uma função. S< 
— J/(x)j, então, de acordo com a definição de valor absoluto, y — f(x) quando f(x) 3= ( 




42 C: CÁLCULO EsUtors Thomson 

- • e y = •'-/ (_v) quando /(a) < 0. Isso nos mostra como obter o gráfico de v — ! fíx)\ a par- 

tir do gráfico de y = f(x): a parte do gráfico que está acima do eixo a permanece a mesma: 
enquanto a parte que está abaixo do eixo x é refletida em tomo do eixo .v. 

5 :: Esboce o gráfico da função y = \x 2 - 1 j. 

SOLUÇÃO Primeiro fazemos o gráfico da parábola y — x 2 - j como na Figura I0(a) 
deslocando para baixo em uma unidade a parábola y = x 1 . Vemos que o gráfico está 
abaixo do eixo x quando - I < jr < 1 ; assim , refletimos essa parte do gráfico em tomo do 
eixox para obter o gráfico de v — \x 2 - 1 ( na Figura i()(b). 



\ 

V 

L 

/ 

v 4 



Y~~ 




í 




0 


] - v 

■■] o| j 

át 

FIGURA 10 

(a 

).y = 

.r i 


1 

1 

(b) v = l.ri -tj 



Combinações de Funções 

Duas funções / e g podem ser combinadas para formar novas funções / + g, f - g, fg e 
f/g de forma similar aquela pela qual somamos, subtraímos, multiplicamos e dividimos 
números reais. 

Definimos a soma / + g pela equação 

(/ + í/fUj “» /Cri + g(x) 

então o lado direito da Equação 1 faz sentido se f(x) e g{x) estiverem definidas, isto é. se 
V pertencer ao domínio de / e também de g. Se o domínio de / é A e o de g é B . então o 
domínio j + g será a interseção desses domínios, isto é, A Cl B. 

Observe que o sinal fi do lado esquerdo da Equação 1 significa a operação de adição 
de funções, mas o sinal + do lado direito da equação significa a operação de adição dos 
números f(x) e gix). 

Da mesma forma, definimos a diferença j — g e o produto fg, e seus domínios são também 
A \ } B. Mas ao definir o quociente f/g devemos lembrar que não é possível dividir por zero. 


j Aigebra de Funções Sejam / e g funções com domínios Ac B. Então as funções 
j / + 9'f ~ e f/g estão definidas da seguinte forma: 

U + g) (-v) — f(x) + g(x) 

domínio — A C\ B 

r 

«5 

11 

1 

domínio . .. A Ci B 

(fg) f.ri = f(x)g(x) 

domínio = a O B 

(Au-m 

\ 9 / g{x) 

domínio = {x e A D B \ g(x) -A 0} 





43 



Jssjigs Stewsrt CAPÍTULO 1 FUNCõPS F MODElOí 

cÃtPirlv ví Se j(x) — v -V e ífov) — y 4 — a-. encontre as funções f + g, f — q. fg e 
f/9- 

SOLUÇÃO O domínio de f(x) = y/x é [0, »). O domínio de gix) = v 4 C consiste em 
todos os números * tais que 4 - x* ^ 0. isto é. x 2 «s 4. Tomando as raízes quadradas em 
Outra maneira de resolver 4 x 2 s* 0: ambos os lados, obtemos | x j -S 2 ou —2 x «S 2, assim, o domínio de g é o intervalo 

(2 - ,v) (2 + x) s* o [—2, 2], A interseção dos domínios de / e g é 

- + - - [0,*) n [-2,2] = [0,2] 

Dessa forma, de acordo com as definições temos 


(/+ í/K-v) - V-t + \ 1 _ 
(/ - g)(x) — y/x - y/4 - 
(fg)(x) — y/x ^4 — a* 


v 4x 


lí AÍ 


J 4 - x 3 


V 4 - .v 2 


Observe que o domínio de f/g é o intervalo [0, 2), pois precisamos excluir x ~ 2, uma 
vez que g{ 2) = 0. 

O gráfico da função / + g é obtido a partir dos de f e g por adição gráfica. Isso sig- 
nifica que somamos as coordenadas y como na Figura 1 1 . A Figura 12 mostra o resultado 
desse procedimento para fazer o gráfico da função f + g do Exemplo 6. 



Composição de Funções 

Há outra maneira de combinar duas funções para obter uma nova. Por exemplo, suponha 
que y =/{«) — y/u e u — g(x) — a 2 T 1. Uma vez que y é uma função de u que é uma 
í função de x, segue que em última análise y é uma função de x. Calculamos isso por 

substituição: 

1 

J =/(m) = /($(■*)) =f{x 2 + 1) ~ VA- 2 + 1 




iáitora Tbomse-s 


O procedimento denomina-se composição , pois a nova função é composta de duas funções 
dadas / e g. 

Em geral, dadas duas funções j e g, começamos com um número x no domínio de g e encon- 
tramos sua imagem g(x). Se esse número g(x) estiver no domínio de /, então podemos calcular 
o valor de f(g(x)). O resultado é uma nova função h(x) - f(g(x)) obtida peja substituição de 
9 em /• é denominada composição (ou composta) de / e g e é denotada por /° g 
(“/bola 3”). 


Definição Dadas duas funções / et/, a função composta / ° 3 (também chamada 
composição de f e g) é definida por 


(/° 3.)Ú) =/{í?(.r)) 


FIGURA 13 
A máquina / 0 g é composta de 
duas outras, a de c/ e a de/. 


O domínio de f°gé o conjunto de todos os jc no domínio cie g tal que g(x) está no 
domínio de j . Ou seja, (f°g)(x) está definida sempre que g(x) e f(g(x)) estiverem 
definidas. A melhor maneira de ver f°gé por intermédio de um diagrama de máquina 
(Figura 13) ou de um diagrama de flechas (Figura 14). 


g( X J 


( output ) 


FIGURA 14 
Diagrama de flechas para / 0 g 


bém g °f. 


Se f{x) — x~ e g(x) — x — 3, encontre a função composta f° g e tam- 


SOLUÇÃO Temos 


(f°g)(x) = f(g(x )) = /(jc - 3) = (jc - 3) 2 
(9 °f)(x) = g(f(x)) — 3Ú 2 ) = .v 2 — 3 


H! nota O Você pode ver no Exemplo 7 que, em geral, /© g 7 ^ g ©/. Lembre-se de que à 
notação ,/ « 3 significa que a função 3 é aplicada primeiro e depois f . No Exemplo 7, / ° 3 
é a função que primeiro subtrai 3 e então se eleva ao quadrado; g °fé a função que 
primeiro se eleva ao quadrado e eu/ãu subtrai 3. 

EXEMPLOS Se 7 (v) — y'v e 3/) = y2 ~ encontre cada uma das funções e seu domínio. 
( a ) f° 9 (b ) 9°f (c) f°f (d) g 0 g 


SOLUÇÃO 


(/o g)( x ) - f(g(x )) =f( x Í 2 ~ z x) - vV 2 - JC = v2 - .X 




James Stewart CAPÍTULO 1 c: l, iÇQçS - MODELOS 45 

. O domínio de f° g é {x 1 2 — x s» 0} ~ {x \ x *£ 2} — ( — x. 2], 

(b) ig °f)(x) = í?(/ía-)) = í/(vx) = J2 - VJ 

Se 0 « a « b. então a ; - b Para v jc estar definida, devemos ter x s* 0. Para y2 - ser estabele c jda, devemos ter 

2 — yx > 0. isto é, y/x í 2 ou x ss 4. Assim, temos 0 x ^ 4. e o domínio de g ° f é 

o intervalo fechado [0,4]. 

( c ) (f°f)(x) = /(/(*)) -/(\á ) - yL/x = ifx 
O domínio de f °f é [0, »). 

„ (d) (g ° í/H.v) ■= 3 < c/(.t)) = gís/2 ~ x) ~ y'2 - y/2 - x 

Essa expressão está definida quando 2 — x 5* 0, isto é, x ^ 2 e 2 — 5= 0. Essa 

última desigualdade é equivalente a y2 — x 2, ou 2 - * s* 4, isto é,x S* -2. Assim, 
-2 v *£ 2; logo, o domínio de g ° g é o intervalo fechado [-2, 2]. O 

É possível fazer a composição de três ou mais funções. Por exemplo, a função com- 
posta f c g°h pode ser encontrada calculando-se primeiro h, então g , e depois / como a 
seguir: 

(f°g°h) (x) =“ f(g(h(x))) 


EXE1V1PL0 9 □ Encontre /° g ° h se /(x) = x/(x + l),^(jç) — x m e h(x) — x + 3. 
SOLUÇÃO 


(f°g° h)(x) ~ f(g(h(x )) ) —f(g(x + 3)) 


“/«* + 3) 10 ) - 


(x 4- 3) 10 
(x + 3) 10 + 1 


Até aqui usamos a composição para construir as funções complicadas a partir das mais 
simples. Mas em cálculo é frequentemente proveitoso ser capaz de decompor uma função 
complicada em funções mais simples, como no exemplo a seguir. 

EXEMPLO 10 Dada F(x) — eos 2 (x + 9), encontre as funções f,gch tais que 
F = f ° g ° h. 

SOLUÇÃO Uma vez que F(x) — [cos(x 4 9)] 2 , a fórmula para F estabelece que: primeiro 
adicionamos 9, e então tomamos o cosseno do resultado e, finaimente, o quadrado. 
Assim, fazemos 

h(x) = x + 9 g(x) — cos x f(x) — x 2 


(/° g ° h)(x) — f(g(h(x))) — f(g(x + 9)) — /(cos(x + 9)) 
= [cos(x + 9}] 2 — F(x) 


Então 






48 CÁLCULO Editora Themsaa 



Exercícios 


1. Suponha que seja dado o gráfico de f. Escreva as equações 
para os gráficos obtidos a partir do gráfico de /da 
seguinte forma. 

(a) Desloque 3 unidades para cima. 

(b) Desloque 3 unidades para baixo. 

(c) Desloque 3 unidades para a direita. 

(d) Desloque 3 unidades para a esquerda. 

(e) Faça uma reflexão em torno do eixo x. 


(f) Faça uma reflexão em tomo do eixo y. 

(g) Estique verticalmente por um fator de 3. 

(h) Encolha verticalmente por um fator de 3. 


2. Explique como obter, a partir do gráfico de y — f(.x), os 
gráficos a seguir: 

(a) v = 5 f(x) 

(b) v - f(x ~ 5) 

(c) v = ~/U) 

(d) y = -5/U) 

(e) v = f{5x) 


4. O gráfico de / é dado. Esboce os gráficos das seguintes 
funções. 

(a) v =/U + 4) 

(b) v ™ fix) + 4 

(c) v = 2/U) 

(cl) V - --I. fix) + 3 


/ 




/ 


/ 


X 


5 . O gráfico de / é dado. Use-o para fazer o gráfico das seguintes 
funções. 


(f) v = 5/U) ~ 3 


(a) v - f(2x) 


3 . O gráfico y ~ f(x) é dado. Associe cada equação com seu grá~ 
fico e dê razões para suas escolhas. 

(a) y = fix - 4) 

(b) y — fix) + 3 

(c) y = \f(x) 

(d) y — -f(x + 4} 

(e) y — 2/U + 6) 

y 

6 


(b) y — f ( Lr) 

(c) y—f(~x) 

(d) v « — /( —x) 


Ti 



|"jZ\ 

1 



0 

: y 
\ 

: • • j 

; * i 

1 



6-7 O gráfico de y = y ; 3x — x 2 é dado. Use as transformações 
para criar uma função cujo gráfico é mostrado. 




1 

| 


-3 



47 



8, (a) Como eslão relacionados o gráfico de v — 2 sen x e o de 

y sen ,x? Use sua resposta e a Figura 6 para esboçar o 
gráfico de y — 2 sen x. 

(b) Como está relacionado ao gráfico de y = 1 + y/x o gráfico 
de y ~ yóc? Utilize sua resposta e a Figura 4(a) para 
esboçar o gráfico de y — 1 + yr. 

9-24 ::: Faça o gráfico de cada função, sem desenhar os pontos, mas 
começando com o gráfico de uma das funções básicas dadas na 
I Seção 1 .2, e então aplicando as transformações apropriadas. 

9 . y = -x* 

10 . y - 1 -.r 


James Stewart CAPÍTULO 1 FUNÇÕES E MODELOS 


11. 

y = (x + 1 f 

12. 

V A" — 4 A 3 

13. 

y = 1 4- 2 cos x 

14. 

y ~ 4 sen 3a 

15. 

y = sen (x/2) 

16. 

1 

' _ x — 4 

17 . 

y = %/.r+ 3 

18. 

y = (a + 2) 4 t 3 

19 . 

y - — (x~ +■ 8 a) 
2 

20. 

y = 1 + yfx - 1 

n 

21 . 

X + 1 


22 . 


1 ( 1T 

v =— ts \x~ — 
' 4 ■■ 4 


23 . y = I sen x I 

24 . y = I .T 2 — 2x I 


25 . A cidade de New Orleans está localizada a uma latitude de 

30 DN. Use a Figura 9 para encontrar uma função que modele o 
número de horas do dia nessa cidade como uma função da 
época do ano. Use o fato de que nessa cidade em 31 de março 
o Sol surge às 5h51 da manhã e se põe às 6hl8 da tarde para 
verificar a precisão de seu modelo. 

26 . Uma estrela variável é aquela cujo brilho alternadamente 
cresce e decresce. Para a estrela variável mais visível, Delta 
Cephei, o período de tempo entre os brilhos máximos é de 5,4 
dias, o brilho médio (ou grandeza da estrela) é 4,0. e seu brilho 
varia de ±0.35 em grandeza. Encontre uma função que modele 
o brilho de Delta Cephei como uma função do tempo. 

27 . (a) Como o gráfico de y — /(! x j) está relacionado com o 

gráfico de/? 

(b) Esboce o gráfico de y — sen j x j . 

(c) Esboce o gráfico de y = v -'| x [. 

28 . Use o gráfico dado de / para esboçar o gráfico y = í/f(x). 
Quais aspectos de /são os mais importantes no esboço de 
y = 1 //(*)? Explique como eles são usados. 




48 CÁLCULO Editora Thomson 

29-30 . .. Use a adição gráfica para esboçar o gráfico de /+ g. ^ fí x) — y/2x + 3 qix) 




31-32 n Encontre / + g, f — 3 , fg e //$, e estabeleça os domínios. 

31. f{x) — x } + 2x/ p(x) = 3x" — l 

32. f(x) - vl + x, g(x) = ^íT^x 

33-34 D Use os gráficos de / e g e o método da adição gráfica para 
esboçar os gráficos de / + g. 

33. f{x) = x, g(x) ~ l/x 34. f(x) ~ x \ g(x) = — x 2 


41-44 :. Encontre /° g 0 h. 

41. f(x) — x + ], 31 » — Zr, /?(x) = x — 1 

42. f(x) — Zr - 1 , p(x) = x 2 , fi(.r) — J - a 

43. j { x) * V x - 1 , g (x) = x‘ + 2 , fi( x) = x + 3 

2 . 

44. ./Zr) = , g ( x) - cos x, fi( x) = Vx + 3 

x + 1 

45-50 Expresse na forma as funções /° p. 

45. F(x) = (,r + 1 )“’ 

47. G(x) = — 7 

x* + 4 

43, u(t) = Vcos t 

51-53 G Expresse na forma as funções f ° g ° k. 

51. H(x) = 1 - 3 r? 52. H(x) - $yfx - 1 

53. H(x) ~ sec 4 (v'x) 

54. Use a tabela para determinar o valor de cada expressão. 

(a) f(g( 1)) (b) g(f( 1» (c) /(/(!)) 

(d) 4 ( 4 ( 1 )) (e)(y°f)0) (f)(f°g)(6) 


A' 

1 | 2 

3 

4 

5 

6 


3 I 

A 

4 

2 

2 

5 


j 






í 


* 




46. F(x) “Sen( s /x) 

48. G(x)=— 

x + 3 

50. u(t) = _ÜÍ_ 

1 + tg t 


35-40 :: Encontre as funções / 0 g, g °f> f°f e g ° g: e seus 
domínios. 

35. /(x) = Zr - x, g(x) — 3x + 2 

36. fix) = 1 -x\ g(x) = l/x 

37. / (x) = sen x, 9 ( x) = 1 - Vx 

38. fix) — 1 - 3x, g(x) = 5x 2 + 3x + 2 

39. /(x) = x + -- , g(x) = üi 


55. Use os gráficos dados de/e 3 para determinar o valor de cada uma 
das expressões ou explique por que elas não estão definidas. 

(a) f(g( 2» (b) í/(/( 0)) (c) {/« g)(0) 

(d) (g °/){ 6 ) (e) ( 3 °g)(- 2 ) ff) (/°/>(4) 





James Slewatt ^FÍTULO 


49 


Bff 

56. Use os gráficos dados de /e g paia estimar o valor de /( g(x)) 
para x — —5, —4, — 3, .... 3- Use essas estimativas para 
[ esboçar o gráfico de f°g- 



57. A queda de uma pedra em um lago cria ondas circulares que se 
espalham a uma velocidade de 60 cm/s. 

(a) Expresse o raio desse círculo como uma função do tempo t 
(em segundos). 

(b) Se A é a área do círculo como uma função do raio, 
encontre A ° r e interprete-a. 

58. Um avião está voando a uma velocidade de 350 mi/h, a uma 
altitude de 1 milha, e passa diretamente sobre uma estação de 
radar no instante t — 0. 

(a) Expresse a distância horizontal de vôo d (em milhas) como 
uma função de t. 

(b) Expresse a distância s entre o avião e a estação de radar 
como uma função de d. 

(c) Use a composição para expressar s como uma função de t. 

59. A função de Heaviside H é definida por 


H(t) - 


se t < 0 
se t 5= 0 


Essa função é usada no estudo de circuitos elétricos para 
representar o surgimento repentino de corrente elétrica, ou 
voltagem, quando uma chave é instantaneamente ligada. 

(a) Esboce o gráfico da função de Heaxõside. 

(b) Esboce o gráfico da voltagem V(t) no circuito se uma 
chave for ligada no instante ' = 0e 120 volts forem 
aplicados instantaneamente no circuito. Escreva uma 
fórmula para V(t) em termos de H{t). 

(c) Esboce o gráfico da voltagem V(t) em um circuito quando 
é ligada uma chave em / ~ 5 segundos e 240 volts são 
aplicados instantaneamente no circuito. Escreva uma 
fórmula para V(í) em termos de Hit). (Note que começar 
em t = 5 corresponde a uma translação.) 


50. A função de I%aviside definida no Exercício 59 pode 
também ser i%ja para definir uma função rampa 
y ~ ctH(t). qtte representa um crescimento gradual na 
voltagem ou ciente no circuito. 

(a) Esboce o gráíieo da função rampa y — 

(b) Esboce o gráfico da voltagem V(t) no circuito se uma 
chave for ljgada no instante t — 0 e a voltagem crescer 
gradualmente olé 1 20 volts em um intervalo de 60 
segundos. Escreva uma fórmula para V(t) em termos de 
H{t) para í ^ 60. 

(c s Esboce o gráfico da voltagem V(i) em um circuito se 
em t — 7 $ for ligada uma chave e a voltagem crescer 
gradualmente até 100 volts em um período de 25 
segundos. Escreva uma fórmula para V[t) em termos 
de //(r) para t 32. 

61. (a) Se g(x) — 2x *f 1 e h(x ) — 4x 2 + 4jc + 7, encontre 

uma íunção / tal que / ° g — h. (Pense sobre quais 
operações deveriam ser feitas em g para chegar em 
h.) 

(b) Se j (_t) = 3^ q- g e /j( x ) — 3x 2 + + 2, encontre 

uma função g tal que f 0 g = h. 

62. Se f(x) = r+ 4 e h{x ) — Ax — 1 , encontre uma função 
g tal que g c /= h. 

63. Suponha g uma função par e seja h ~ f a g. A função h é 
sempre uma função par? 

64. Suponha g ttma função ímpar e seja h ~ f° g. A função h 
é sempre uma função par? E se /for ímpar? Es e/ for 
par? 


•5© C: CÁICUÍO Editora Tjrosnson 


FIGURA 1 
A janela retangular 


a, b] por [c, d\ 


(a) f-2,2j por [-2. 2 j 


Calculadoras Gráficas e Computadores 

-y.*,, v -V- 

Nesta seção vamos supor que você tenha acesso a uma calculadora ou a um computador 
com um software gráfico. Vamos ver como o uso desses dispositivos nos possibilita 
lazer o gráfico de funções complicadas e resolver problemas complexos, que de outra 
forma não poderiam ser resolvidos. Vamos apontar também alguns dos perigos ocul- 
tos nessas máquinas. 

As calculadoras gráficas e os computadores podem fazer gráficos bem precisos de 
funções. Mas, como será visto no Capítulo 4, só por meio do cálculo podemos estar 
seguros de ter coberto todos os aspectos interessantes dos gráficos. 

Tanto calculadoras quanto computadores exibem uma parte retangular do gráfico de 
uma função em uma janela de exposição ou tela de inspeção, que será chamada aqui de 
janela retangular. A visão-padrão sempre nos fornece uma imagem incompleta ou 
enganadora, assim é importante escolher com cuidado a janela retangular. Se escolhermos 
a variação de x de Xmín = a até Xmáx = b e os valores de y de Ymín = c até Ymáx = d, 
então a parte do gráfico que está no retângulo é 

[«. b] X [c, d] - {( v. v) | a X x b, c X y d} 

mostrada na Figura 1 . Vamos nos referir a ela como janela retangular [a,b] por [c y d]. 

A máquina faz o gráfico da função / da mesma forma que você faria. Ela desenha 
pontos da forma (x,/{x)) para um certo número de valores igualmente espaçados de x 
entre a e b. Se determinado valor de x não estiver no domínio de /, ou se f(x) estiver 
fora da janela retangular, ela vai para o próximo valor de x. A máquina conecta cada 
ponto com o precedente, formando assim uma representação do gráfico de f. 

EXEf$PL0 1 u Em cada uma das janelas retangulares que se seguem faça o gráfico de 
f(x) — x 2 + 3. 

(a) [-2,2] por [“2,2] (b) [-4,4] por [-4,4] 

(c) [-10,1 0] por [ - 5 , 30] (d) [ ~ 50 , 50] por [- 1 00 , 1 .000] 

SOLUÇÃO Para a parte (a) escolhemos Xmín *= -2, Xmáx = 2, Ymín = -2 e Ymáx = 2. 

O gráfico resultante está na figura 2(a). A janela está em branco! Um instante de 
reflexão nos dá a explicação: observe que x 2 5= 0 para todo x, logo x 2 t 3 5= 3 para todo 
x. Assim a imagem da função j (x) = x‘ + 3 é [3, oc). Isso significa que o gráfico de / 
está inteiramente fora da janela retangular [-2, 2] por [-2, 2], 

Os gráficos para as janelas retangulares das partes (b), (c) e (d) estão na Figura 2. 

Note que em (c) e (d) a visão está mais completa, porém em fd) não fica claro que o 
intercepto y é 3. 

30 j.000 


(b) l - 4, 4J por [~4, 4] 
FIGURA 2 

Gráficos de f(x) -- x 2 + 3 


(c) [-10, 10] por I - 5, 30} 


(d) [-50. 50] por 100, 1.000] 




FIGURA 4 


James Stewart GAP f TU 10 1 FÜNÇpEy c VOOÈLOS ' 1 SI 

A partir do Exemplo 1 vemos que a escolha da janela retangular faz uma grande dife- 
rença no aspecto do gráfico. Algumas vezes, para obter uma visão mais completa ou mais 
global do gráfico, é necessário ampliar a janela. No exemplo a seguir veremos que um co- 
nhecimento prévio do domínio e da imagem da função dá pistas de como selecionar a 
janela retangular. 

EXEMPLO 2 Determine uma janela apropriada para a função /(x) = V Á 2x 2 e use-a 
para fazer o gráfico de /. 

SOLUÇÃO A expressão para f(x) está "definida quando 

8 - 2x z >3 0 2x 2 • 8 <^> x 2 4 

<=> | x | ss»2 o — 2 x 2 

Portanto, o domínio de / é o intervalo [—2, 2]. Também, 

0 Í \/8 ~ 2x z a£ — 2 -J2 2,83 

logo a imagem de / é o intervalo [0, 2 N 2 ] . 

Escolhemos a janela retangular de forma que o intervalo sobre o eixo x fosse um 
pouco maior que o domínio e o intervalo sobre o eixo y fosse um pouco maior que a 
imagem. Fazendo a janela retangular ser [-3, 3] por [-1,4], obtemos o gráfico da 
Figura 3. 

EXEMPLO 3 Faça o gráfico da função y ~ jc 3 - 1 50x. 

SOLUÇÃO Aqui o domínio é !K, o conjunto de todos os números reais. Isso não ajuda na 
escolha da janela. Vamos fazer algumas experiências. Se iniciarmos com a janela 
retangular [—5, 5] por [—5, 5], obteremos o gráfico da Figura 4. Ele aparenta estar vazio, 
mas, na verdade, o gráfico está tão próximo de ser vertical que chega a se confundir com 
o eixo y. 

Usando o recurso zoom da calculadora gráfica para mudar a janela retangular para 
[-20, 20 J por [-20, 20], obtemos a imagem da Figura 5(a). O gráfico aparenta ser for- 
mado por retas verticais, mas sabemos que isso não está correto. Observando cuidadosa- 
mente enquanto o gráfico está sendo feito, vemos que o processo se interrompe para depois 
reaparecer. Isso indica que é necessário olhar com mais detalhes na direção vertical, dessa 
forma, mudamos a janela retangular para [20, 20] por [-500, 500]. O gráfico resultante está 
na Figura 5(b). Todavia, ainda não temos revelados todos os aspectos principais da função; 
dessa forma, tentamos a janela [-20, 20] por [-1 .000. 1 .000] na Figura 5(c). Tudo indica que 
finalmente chegamos a uma janela apropriada. No Capítulo 4 veremos que realmente o 
gráfico da Figura 5{c) revela todos os principais aspectos da função. 


20 500 1 .000 



-20 

-500 

(a) 

(b) 


FIGURA 5 

/{. v) x- - 150* 


- 1 .000 
íc) 



52 


CALCULO 



Editora Th-omssn 


Faca o gráfico da função fO 


sen 5Üa em urna janela apropriada. 


SOLUÇÃO A Figura 6(a) mostra o gráfico de / produzido por uma calculadora gráfica 
usando uma janela retangular de [—12, 1 2] por [— 1 ,5, 1 ,5]. À primeira vista o gráfico 
aparenta ser razoável. Porém, se mudarmos para as outras janelas da Figura 6. o gráfico 
mudará completamente. Algo estranho está acontecendo. 


o A aparência do gráfico na Figura 6 
depende da máquina usada. Os 
gráficos que você obtiver em sua 
máquina podem não ser parecidos 
com os destas figuras, mas com 
certeza são igualmente imprecisos. 


FIGURA 6 
Gráficos de/Çr) = sen 50* 
em quatro janeias retangulares 



A fim de explicar a grande diferença no aspecto desses gráficos e achar uma janela 
apropriada» é necessário encontrar o período da função v = sen 50a. Sabemos que o 
período da função y = sen x é de 2tt: assim, o período de y = sen 50a é 


2 77 7 T 

50 ” 25 


0.126 


1.5 


0,25 - 


! 0.25 


-1,5 


FIGURA 7 
f(x) — sen 50a 


ísso sugere que devemos trabalhar com os valores pequenos de x para mostrar somente 
algumas oscilações do gráfico. Se escolhermos a janela [-0,25, 0,25] por [-1,5, 1,5], 
obteremos o gráfico da Figura 7. 

Vemos agora o erro que cometemos na Figura 6. As oscilações de y — sen 50a são tão 
rápidas que quando a calculadora desenha pontos e os une, perde o ponto máximo e o 
mínimo, dando assim uma impressão errada sobre o gráfico. 

Vimos que a escolha de uma janela não apropriada pode levar a uma visão errônea do 
gráfico de uma função. Nos Exemplos 1 e 3 resolvemos o problema ampliando a janela, ao 
passo que no Exemplo 4 a reduzimos. No próximo exemplo examinaremos uma função para 
a qual não existe uma única janela satisfatória, que revele a verdadeira forma do gráfico. 



j 


EXEMPLO 5 o Faça o gráfico da função f(x ) = sen a + ^ cos 100a. 

SOLUÇÃO A Figura 8 mostra o gráfico de f produzido por uma calculadora gráfica com uma 
janela retangular de [-6,5, 6,5] por [-1,5, 1 A]. Ele se parece com o gráfico de y = sen a, 
talvez acrescido de algumas oscilações. Se dermos um zoom na janela [-0,1 , 0,1] por 
[-0,1, 0,1] poderemos ver mais claramente a forma das oscilações acrescidas na Figura 9. 




James Stewart CAPÍTULO 1 FUNÇÕES E MODELOS O 53 

A razão para esse comportamento está no fato de que o segundo termo, rfe cos lOü.r. é 
muito pequeno em comparação com o primeiro, sen x. Assim, realmente precisamos de 
dois gráficos para ver a natureza verdadeira dessa função. 



FIGURAS 


FIGURA 9 


EXEMPLO 6 □ Faça o gráfico da função y = 

1 — x 

SOLUÇÃO A Figura 10{a) mostra o gráfico produzido por uma calculadora com uma 
janela [ — 9, 9] por [—9, 9], Ao conectar os pontos sucessivos sobre o gráfico, a 
calculadora produz um segmento de reta íngreme do topo até a base da tela. Esse seg- 
mento de reta realmente não faz parte do gráfico. Observe que o domínio da função 
y ~ 1/(1 — x) é {x | x # 1}. Podemos eliminar a reta quase vertical fazendo experiências 
com uma mudança de escala. Quando mudamos para uma janela menor [-4,7, 4,7] por 
[-4,7, 4,7], obtemos um gráfico muito melhor, como mostrado na Figura 10(b). 


□ Para evitar a reta estranha podemos 
mudar a maneira de fazer o gráfico na 
calculadora de tal forma que os pontos 
nâo sejam conectados. 

“9 

FIGURA 10 

, __ * “9 -4,7 

1 “ r (a) (b) 



| 

1 

I 

! 

| 

I 


EXEMPLO 7 o Faça o gráfico da função v — yx. 

SOLUÇÃO Alguns recursos gráficos dispõem a imagem como na Figura 1 1 , enquanto 
outros produzem uma imagem como a da Figura 12. Sabemos da Seção 1 .2 (Figura 13) 
que o gráfico na Figura 1 2 está correto; assim, o que aconteceu na Figura 1 1 ? A 
explicação disso é que, em algumas máquinas, é computado como e <l/3}ln * e lnx não 
está definida para x < 0. Logo, somente a metade à direita do gráfico é produzida. 


2 




-2 


FIGURA 1 1 


FIGURA 12 






E <i i t q r a Thosnson 


Você deve experimentar com sua máquina para ver qual desses dois gráficos será 
produzido. Se obtiver o gráfico da Figura 1 1 . poderá obter a imagem correta fazendo o 
gráfico da função 


f(x) = 


Observe que essa função é igual a tfx (exceto quando jc = O). 


Para entender como a expressão para uma função relaciona-se com seu gráfico, é 
proveitoso fazer o gráfico de uma família de funções, isto é, uma coleção de funções 
cujas equações estão relacionadas. No exemplo a seguir faremos os gráficos de membros 
de uma família de polinómios cúbicos. 


EXEMPLO 8 d Faça o gráfico da função y = ,v 3 + cx para vários valores de c. Como 
mudará o gráfico quando fizermos c variar? 


SOLUÇÃO A Figura 13 mostra os gráficos da função v = .v 3 ■+ cx para c — 2. 1.0, -1 e 
“2. Vemos que, para os valores positivos de c, o gráfico é crescente da esquerda para a 
direita sem ponto de máximo ou de mínimo (picos ou vales). Quando c = 0. a curva é 
achatada na origem. Quando c é negativo, a curva tem um ponto de máximo e uni ponto 
de mínimo. A medida que c decresce, o ponto de máximo fica cada vez mais alto, e o 
ponto de mínimo, cada vezí mais baixo. 


(b) y = _r :i + x 


(c) V ~ X i 


FIGURA 13 

Vários membros da família de funções 
y x' + cx têm seus gráficos na janela 
Í-2, 2] por [-2,5, 2,5) 


Encontre as soluções da equaçao cos x — x com duas casas decimais de precisão. 


SOLUÇÃO As soluções da equação cos x — x sao as coordenadas x dos pontos de interseção 
das curvas y = cos x e y — x. Da Figura 14(a) vemos que há uma única solução e ela está 
entre 0 e 1 . Dando um zoom na janela [0, 1] por [0. 1], vemos, da Figura 14(b). que a 
solução está entre 0,7 e 0,8. Damos mais um zoom para a janela [0,7, 0.8 1 por [0,7, 0.8] na 
Figura !4(c). Movendo o cursor para o ponto de interseção das duas curvas, ou por 
inspeção e pelo fato de que a escala em x é 0,0 1 , vemos que a solução da equação é cerca 
de 0,74. (Muitas calculadoras possuem dispositivos que fornecem pontos de interseção.) 

I 0.8 



L / v — x 
Y 

1 A y cos x 

i / 

f . \ , , . / 

\ / / 
\ / / 

/ / 
w / 

/ 



v — COS .í 


FIGURA 14 

Localização das soluções (a) [—5, 5] por [- 1,5, 1,5] 
de cos .v = v escala x = J 


(b) [0, 1 1 por [0, 1] 
escala x = 0. 1 


(c) [0,7, 0,8] por [0,7, 0,8] 
escala .V - 0,01 




' 



Exercícios 


James Stewart CAPÍTULO t FUNÇÕES £ MOO £ LOS Z 51 





1. Use uma calculadora gráfica ou um computador para determi- 
nar qual das janelas retangulares dadas produz o gráfico mais 
apropriado da função f(x) = x' 4 -b 2. 

(a) [ — 2, 2] por [ — 2. 2] 

(b) [0. 4] por [0, 4] 

(c) [—4,4] por I —4, 4] 

(d) [ - 8.8] por [ — 4 . 40] 

(e) [-40.40] por [-80.800] 

2. Use uma calculadora gráfica ou um computador para determi- 
nar qual das janelas retangulares dadas produz o gráfico mais 
apropriado da função f(x) — x 2 + 7,v + 6. 

(a) [—5,5] por [ - 5 , 5] 

(b) [0, 10] por [ -20. 100] 

(c ) | — 1 5 , 8] por [ ~ 20 . 1 00 j 

(d) [ -10,3] por [-100. 20] 

3 . Use uma calculadora gráfica ou um computador para determi- 
nar qual das janelas retangulares dadas produz o gráfico mais 
apropriado da função f(x) — 30 -f 25.x - x\ 

(a) [—4, 4] por [—4, 4j 

(b) [-10. 10] por [-10, 10] 

(c) [-20, 20] por [-300, 100] 

(d) [- 100, 100] por [-200. 200] 

4 . Use uma calculadora gráfica ou um computador para determi- 
nar qual das janelas retangulares dadas produz o gráfico mais 
apropriado da função f(x) = yox - x 2 . 

(a) [—4, 4] por [ 4, 4] 

(b) [-5, 5] por [0,100] 

<c) [-10, 10] por [-10,40] 

(d) [—2. 10] por [—2, 6] 

5-18 Determine uma janela retangular apropriada para a função 


dada e use-a para fazer o gráfico da função. 


5. f(x) - 5 + 20x - x 2 

6. /(.v) 

= X' + 30r f 200. 

7. f{x) ------ O.Olx - x“ + 5 

8- m 

— x(x + 6)(.v — 9) 

9 . f(x)= v/81- / 

10 . f(x) 

- y/o. 1 x + 20 

11 . f(x) = x 2 + — 

12 . f(x) 

X 

X 2 - + 100 

13 . f(x) - cos 100x 

14 . f(x) 

— 3 sen 120.x 

15. /(x) = sen (x/40) 

16. y — 

tg 25.x 

17. v = y** 

18. v - 

V + 0,02 sen 50x 


19. baça o gráfico cia elipse 4:v + 2v‘ ! = 1 por meio dos gráficos 
das funções que sao a metade superior e inferior da elipse. 

20. baça o gráfico da hipérbole y~ — 9.x 6 — 1 por meio dos gráfi- 
cos das funções que sao a metade superior e inferior dos ramos 
da hipérbole. 

21-23 Encontre todas as soluções da equação com duas casas 
decimais de precisão. 

21 . x l - 9.r -4 — 0 

22 . .v 1 — 4.x - 1 

23 . sen x 

24 . Vimos no Exemplo 9 que a equação cos .r = x tem exatamente 
uma solução. 

(a) Use um gráfico para mostrar que a equação cosx = 0.3.x 
tem três soluções e encontre-as com duas casas decimais 
de precisão. 

fb) Encontre um valor aproximado m tal que a equação 
cosx = rnx tenha exatamente duas soluções. 

25 . Use os gráficos para determinar qual das funções f{x) = 10.x- 
e g(x) — x 3 / 10 é, em última análise, maior (isto é, maior 
quando x for muito grande). 

26 . Use os gráficos para determinar qual dentre as funções 

f(x ) — x* — 100a ' e g(x) — a 3 é, em última análise, maior. 

27 . Para quais valores de x é válido que | sen x ~~ x \ < 0,1? 

28 . Faça o gráfico dos polinómios Píx) = 3a 5 - 5.x 3 + 2.x e 

Q( v) — 3x ' na mesma tela, usando primeiro a janela retanguiat 
[-2, 2] por [—2,2] e então mudando para [- 10, .10] por 
[- 10.000, 10.000). C) que você pode observar a partir desses 
gráficos? 

29 . Neste exercício consideramos a família de funções /(xj — yjx 
onde n é um inteiro positivo. 

(a) Faça o gráfico da função raiz y = y ? x , y = yx e 

y — yx na mesma tela usando a janela retangular 
[-1,4] por [-1,3]. 

(b) Faça o gráfico das funções y ~ x, y = yx e y — yx na 
mesma tela usando a janela retangular [ — 3, 3] por [—2. 2j. 
(Veja o Exemplo 7.) 

(c) Faça o gráfico das funções y — yx. y — y x, y — y x e 

y — y x na mesma tela usando a janela retangular [— 1,3] 
por [-1,2], 


(d) Que conclusões você pode tirar desses gráficos? 



58 


CÁLCULO 


Editora iitosnsofi 


30. Neste exercício consideramos a família de funções fíx) = l/x", 
onde n é um inteiro positivo. 

(a) Faça o gráfico das funções y = l/x e y — í/x 3 na mesma 
tela usando a janela retangular [-3. 3] por [ — 3. 3], 

(b) Faça o gráfico das funções y = l/x 3 e y = l/x 4 na mesma 
tela usando a janela retangular dada na parte (a). 

(c) Faça o gráfico de todas as funções das partes (a) e (b) na 
mesma tela usando a janela retangular [-1,3] por [—1,3]. 

(d) Que conclusões você pode tirar desses gráficos? 

31. Faça o gráfico da função f(x) — x 4 + cx 2 + x para vários 
valores de c. Como mudará o gráfico quando c variar? 

32. Faça o gráfico da função f(x) = v ! + cx 2 para vários valores 
de c. Descreva como a variação de c afeta o gráfico. 

33. Faça o gráfico da função y — x n 2~\x 3* 0, para n f(x) - 1.2. 3, 
4,5 e 6. Como varia o gráfico com o crescimento de rí! 

34. As curvas com equações 



são chamadas curvas ponta de bala. Faça o gráfico de 
algumas dessas curvas para entender o porquê de seu nome. 

O que acontece quando c cresce? 

35. O que acontece com o gráfico da equação y 2 — c.r 3 •+ x 2 com 
a variação de c? 

36. Este exercício explora o efeito da função interior g sobre a 
função composta y ~ f(g(x)). 

(a) Faça o gráfico da função y — sen(y'x) usando a janela 
[0, 400] por [-1 ,5, 1 ,5]. Qual a diferença entre esse 
gráfico e o da função seno? 

(b) Faça o gráfico da função y =*-sen(x 2 ) usando a janela 
[—5,5] por [-1 ,5, 1 />]- Qual a diferença com esse gráfico 
e o da função seno? 


37. As figuras a seguir mostram os gráficos de y = sen 9óx e 
de y — sen 2x, conforme são exibidas por uma calculadora 
gráfica Tl-83. 



y sen 96x y = sen 2x 

O primeiro gráfico é inexato. Explique por que os dois 
gráficos aparentam ser idênticos. [Dica: A janela gráfica 
da 1*1-83 é de 95 pixels. t Quais pontos específicos a 
calculadora desenha?] 

38. O primeiro gráfico da figura a seguir é aquele que uma 

calculadora gráfica Tl-83 exibe como função y = sen 45x. Ele é 
incorreto e, portanto, para ajudar a explicar sua aparência, 
desenhamos a curva em questão no modo pontual da calculadora 
obtendo o segundo gráfico. 



Que duas curvas senoidais a calculadora aparenta estar 
desenhando? Mostre que cada ponto do gráfico de 
y — sen 45x que a Tl-83 escolhe para desenhar está, de fato, 
em uma dessas duas curvas. (A janela gráfica da Tl-83 é 
de 95 pixels.) 



A função f(x) — 2 X é chamada função exponencial, pois a variável, x, é o expoente. Ela 
não deve ser confundida com a função potência gt(x) = x 2 , na qual a variável é a base. 
Em geral, uma função exponencial é uma função da forma 

f(x) - a 4 

onde a é uma constante positiva. Vamos recordar o que isso significa. 

Se x = n, um inteiro positivo, então 

a n — a * a a 

n fatores 

Se x = 0, então if = l,e se x ~ ~~n, onde n é um inteiro positivo, então 

... M _ 

a n 

Se x for um número racional, x — pfq , onde peq são inteiros e q > 0, então 

a x = ev’ /q == i/faP = (f/Z) P 



IP? 


James Stewart CAPÍTULO 1 


Mas, qual o significado de a 1 se x for um número irracional? Por exemplo, qual o signifi- 
cado de 2 V: ’ ou 5"? 

Para ajudá-lo a responder a essa questão olhamos primeiro o gráfico da função y = 2\ 
no qual r é racional. Uma representação desse gráfico encontra-se na Figura 1 . Queremos 
alargar o domínio de v = V para incluir os números racionais e irracionais. 


FSGURA 1 

Representação de y — 1 , x racional 


□ Uma prova dessa afirmação é dada 
em J. Marsden e A. Weinstein, 
Cslculus Unlimited ÍMenlo Park, CA: 
Benjamin/Cummings, 1980). 


No gráfico da Figura 1 existem buracos correspondentes aos valores irracionais de x. 
Queremos preencher os buracos definindo f(x) — 2\ onde x G R, de modo que/seja uma 
função crescente. Em particular, uma vez que o número irracional % /3 satisfaz 


devemos ter 


1 .7 < v3 < 1 ,8 


2 1,7 < 2 v 3 < 2 1 


e sabemos que 2 U e 2 1S têm um significado, pois 1 ,7 e 1 ,8 são números racionais. Da mesma 
forma, usando as melhores aproximações para V3» obtemos melhores aproximações para 2 v3 : 

1 ,73 < Vo < i ,74 =p 2 1,73 < 2^ < 2 J 74 

1 ,732 < V3 < 1 ,733 => 2 1732 < 2^ < 2 1 753 

1 .7320 < Q3 < 1 .7321 => 2 1 7320 < 2^ < 2 1 7321 

] ,73205 < U3 < 1,73206 => 2 5 7321)5 < 2^ < 2 1 73206 



FIGURA 2 
y = 2\ x real 


Pode ser mostrado que há exatamente um número maior que todos os números 

2 !J , 2 1 ’ 73 , 2 1 732 , 2 1 - 7320 , 2 1 73205 , ... 

e menor que todos os números 

21,8 2 U4 91033 9 1,732! 9 i, 73306 

Definimos 2 V ’ 3 como sendo esse número. Usando o processo de aproximação precedente 
podemos computá-lo corretamente com seis casas decimais: 

2 V ' 3 « 3,321997 

Da mesma forma, podemos definir 2 X (011 a \ se a > 0) onde r é um número irracional 
qualquer. A Figura 2 mostra como os buracos da Figura 1 foram preenchidos para com- 
pletar o gráfico da função f{x) = 2\x G K. 






Sditora ThomsoB 


Se 0 < a < J, então cr aproxima-se 
de 0 à medida que x cresce. Se a > L 
então cr tende a 0 conforme x 
decresce por valores negativos. Em 
ambos os casos o eixo x é uma 
assintota horizontal. Esses assuntos 
serão discutidos na Seção 2.6. 


(a) y — a \ 0 < « < 1 
FIGURA 4 


Na Seção 5.6 apresentaremos uma 
definição para a função exponencial 
que vai nos capacitar a dar 
demonstrações simples para as Leis 
dos Expoentes. 


Os gráficos dos membros 'da família de funções y — cr* estão na Figura 3 para vário? 
valores da base a. Note que todos esses gráficos passam pelo mesmo ponto (0. 1 ). pois 
a l> — 1 para a 0. Observe que a função exponencial cresce mais rapidamente à rnedidr 
que a fica cada vez maior (para x > 0). 


(!) (!) 


FIGURA 3 


Você pode ver na Figura 3 que basicamente existem três tipos de função exponencial 
y = a x . Se 0 < a < La função exponencial decresce; se a — 1 , ela é uma constante; e se 
a > 1 , ela cresce. Esses três casos estão na Figura 4. Observe que se a ^ I . então a função 
exponencial y — a* tem o domínio R e a imagem (0. ^). Além disso, uma vez que 
(l/a) 1 = l/a' = a~*, o gráfico de v = (l/a)' é a reflexão do gráfico de y — cr em tomo 
do eixo v. 



y i 



i 






0 1 

X 


! / 
f (0. ! ) 


íb) v = 1 ' 


Uma razão para a importância da função exponencial está nas propriedades a seguir. Se 
x e y forem números racionais, então essas propriedades são bem conhecidas da álgebra 
elementar. Pode-se provar que elas permanecem verdadeiras para números reais arbitrários 
x e v. 


Lei dos Expoentes Se a e b forem números positivos e x e y. números reais quais- 
quer. então 


4 -JT-ry -X 


. a' " — aa 


2. cf ' v 


3. (a*) y = a xy 


4. iaby = a*b s 




James Stewart 



Para uma revisão sobre as 


reflexões e deslocamentos de 
gráficos, veja a Seção 1.3. 


:apituio i 


s-.f’r ísi: < Lí.,- ! Esboce o grafico cia função y — o — 2 ( o Oetermine seu domínio s 
imagem. 

SOLUÇÃO Primeiro refletimos o gráfico de y = 2' v (mostrado n a Figura 2) em torno do 
eixo a- para obter o gráfico de y - - 2 ' na Figura 5(b). A seguir deslocamos o gráfico de 
y = 3 unidades para cima. para obter o gráfico de y = 3 - 2 X na Figura 5<c). O 

domínio é U e a imagem, (-^,3). 



FIGURA 5 (a) v — 2' 


v ; 

i 

1 


A* 

-i i 

\ 

\ 


\ 


\ 


\ 


(b) y - -2' 


y i 

L 


“-3 

”) ' 

1 

k 


r\ 


\ 


\ 


\ 


\ 

0 

\ .V 


\ 

V 

\ 


(c) v = 3 -- 2 X 


EXEMPLO 2 Use um recurso gráfico para comparar a função exponencial f(x) = 2* e 
a função potência gix) — x~. Qual função crescerá mais rapidamente quando x for 
grande? 


O Exemplo 2 mostra que y = 2 J 
aumenta mais rapidamente que y — x~. 
Para verificar quão rapidamente 
f(x) - 2 ’ cresce, vamos fazer o 
seguinte experimento mental. 
Começaremos com um pedaço de 
papel com uma espessura de 1 
milésimo de polegada e vamos 
dobrá-lo pela metade 50 vezes. Cada 
vez que dobramos o papel pela 
metade, a sua espessura se duplica; 
assim, a sua espessura resultante seria 
de 2 6C /1 -000 polegadas. Que espessura 
você acha que isso representa? De 
fato, isso é mais que 17 milhões 
de milhas! 


SQLUÇÂO A Figura 6 mostra os gráficos das duas funções na janela retangular [-2, 6] 
por [0, 40). Vemos que os gráficos se interceptam três vezes, mas, para x > 4, o gráfico 
de f(x) = 2* fica acima do gráfico de g(x) ~ x 2 . A Figura 7 dá uma visão mais 
abrangente e mostra que, para grandes valores de x, a função exponencial y = 2 X cresce 
muito mais rapidamente que a função potência y — x 2 . 



FIGURA 6 


FIGURA 7 


L.J Aplicações das Funções Exponenciais 

A função exponencial ocorre frequentemente em modelos matemáticos da natureza e da 
sociedade. Vamos indicar brevemente aqui como eles surgem na descrição do crescimento po- 
pulacional e decaimento radioativo. Em capítulos posteriores daremos essas e outras aplicações 
com mais detalhes. 

Vamos considerar primeiro uma população de bactérias em um meio nutriente homogêneo. 
Suponhamos que fazendo amostras da população em certos intervalos fique determinado que a 
população dobra a cada hora. Se o numero de bactérias no instante t for p(t), onde t é medido 



$0 


S ditara Thomson 



- □ CÁLCULO 


TABELA 1 




! 

Ano 

População 

(milhões) 

1900 

1910 

1 .650 
1 .750 

1 920 

1 .860 



i v M 


! 940 

2.300 


2.560 


3.040 

mo 

4.450 

\ Qon 

5.280 

2000 

6.080 


em horas, e a população inicial for p( 0) = ! .000. então 

pd) - 2/7(0) = 2 X 1.000 
p{ 2) = 2/?(l) = 2 J x 1.000 
p( 3) = 2//(2) - 2 ? X 1 .000 
Desse padrão parece que, em geral, 

p(t) - 2 X 1.000 = (1.000)2' 

A função população é um múltiplo constante da função exponencial v — 2'; logo, ela exibe 
o rápido crescimento que observamos nas Figuras 2 e 7. Sob condições ideais (espaço e 
alimentos ilimitados e ausência de doenças) esse crescimento exponencial é típico do que 
ocorre realmente na natureza. 

O que pode ser dito sobre a população? A Tabela 1 mostra os dados da população 
mundial do século XX, e a Figura 8 mostra o correspondente mapa de dispersão. 

P f 

6 X IO 9 i 


j 1 900 1920 1940 1960 1980 2000 1 

FIGURA 8 Mapa de dispersão para o crescimento populacional mundial 


O padrão dos dados da Figura 8 sugere um crescimento exponencial; assim, se usarmos 
uma calculadora gráfica com capacidade para urna regressão exponencial por mínimos 
quadrados, obteremos o seguinte modelo exponencial: 

P = ( 0 , 008079266 ) • ( 1 , 013731 )' 


A Figura 9 mostra o gráfico dessa função exponencial junto com os pontos originais. 
Podemos ver que a curva exponencial se ajusta razoavelmente aos dados. Os períodos de 
lento crescimento populacional podem ser explicados pelas duas guerras mundiais e pela 
depressão dos anos 30. 


FIGURA 9 
Modelo exponencial para o 
crescimento populacional 


P 

6 X](f 



1900 1920 1940 1960 1980 2000 t 





James Stewârl BãPÍTÜÍÍM FUNÇÕES E MODELOS Oi SI 

EXEMPLO 3 ::: A vida média do estrôncio-90, so Sr, é de 25 anos. Isso significa que a 
metade de qualquer quantidade do Sr vai se desintegrar em 25 anos. 

(a) Se uma amostra de Sr tiver uma massa de 24 mg. encontre urna expressão para a 
massa m{t) que sobrará após t anos. 

(b) Encontre a massa remanescente após 40 anos, correta até o miligrama mais próximo. 

(c) Use um recurso gráfico para fazer o gráfico de m{t) e use esse gráfico para estimar o 
tempo necessário para que a massa iique reduzida a 5 mg. 

SOLUÇÃO 

(a) A massa inicial de 24 mg é dividida ao meio a cada período de 25 anos, assim 

m(0) ~ 24 

'«( 25 ) ={( 24 ) 


1 

■ ~(24) = 

- ~(24) 

2 

2 

2 a ■ 

1 

1 , , 

1 

2 

'^ (24) 

- ^(24) 

1 

1 

j 

2 

■* (24 > 

-^r(24) 


Desse padrao estipulamos que a massa remanescente após t anos é 

m(t) = -Ap(24) - 24 • T' r -\ ,, ♦. 

Trate-se de uma função exponencial com a base a — 2“ 1/25 — 1/2 1 7 25 . 

(b) A massa remanescente após 40 anos é 

m(40) - 24 ■ 2“ 407 25 — 7,9 mg 

(c) Usamos uma calculadora gráfica ou um computador para fazer o gráfico da função 

m(f) = 24 • 2' f/25 que está na Figura 10. Nele está também a reta m — 5, e usando o cursor 
podemos estimar que m(i) — 5 quando f — 57. Dessa forma, a massa da amostra ficará 
reduzida a 5 mg após cerca de 57 anos. Xi 

O Número e 

Dentre todas as bases possíveis para uma função exponencial, há uma que é mais conveniente 
para os propósitos do cálculo. Na escolha de uma base a pesa muito a forma como a função 
y — a x cruza o eixo y. As Figuras 11 e 12 mostram as retas tangentes ao gráfico de v = 2 X e 


y « 2 X l 



/ / 

A" m «0,7 


p = 3 7 /" 

m ~ 1 ,1 



FIGURA 11 


FIGURA 12 


m 



62 Õ CÁLCÜiO Editora Tftomson 



> — 3 ijo ponto \ U , 1 ;. (As retas tangentes serão definidas precisamente na Seção .2.7: por 
ota vamos pensar a reta tangente ao gráfico da exponencial em um ponto como a reta que 
sota o grafico em um único ponto.) Se medirmos as inclinações das retas tangentes em 
(0. encontraremos m = 0,7 para y = 2 ! e m ** 1 .1 para v = 3\ 

Conforme será visto no Capítulo 3, as fórmulas do cálculo ficam muito simplificadas 
quando escolhemos para a base a aquela para a qual resulta urna reta tangente v = cr* em 
(0, 1) com uma inclinação de exatamente 1 (veja a Figura 13). Esse número existe (como 
veremos na Seção 5.6) realmente e é denotado pela letra e. (Essa notação foi escolhida 
peio matemático suíço Leonhard Euler em 1727, provavelmente por ser a primeira letra da 
palavra exponencial.) Vendo as Figuras Fiel 2, não nos surpreende que o número e esteja 
entre 2 e 3 e o gráfico de y ~ ( >-\ entre y — 2' e y — 3 X (veja a Figura 14). No Capítulo 3 
veremos que o valor de e, correto até a quinta casa decimal, é 


2*71828 


FIGURA 13 

A função exponencial natural cruza 
o eixo y com uma inclinação 1 


FIGURA 14 



EXEMPLO 4 Faça o gráfico de y — kc — 1 e estabeleça qual o domínio e a imagem. 

SOLUÇÃO Começamos com o gráfico de y — e x das Figuras 13 e J5(a) e o refletimos em 
tomo do eixo y para obter o gráfico de y — e~* ilustrado na Figura 15(b). (Note que essa 
curva cruza o eixo y com uma inclinação de — 1 .) Então comprimimos verticalmente o gráfico 
poi um fator de 2 para obter o gráfico de y — \ e~* mostrado na Figura 15(c). Finalmente 
deslocamos o gráfico para baixo uma unidade, para obter o que foi pedido na Figura 15(d). O 
domínio é IR e a imagem é ( -- 1 , co). 



FIGURA 15 


A que distância a direita da origem você estará quando o gráfico de y — e x ultrapassar 
1 milhão? O pióximo exemplo mostra a rapidez do crescimento dessa função dando uma 
resposta a essa pergunta que poderá surpreendê-lo. 



James Stewait CAPÍTULO 1 FUNÇCts; ' 63 

eXclVC í.íj a Use uni recurso grafico para encontrar os valores de x para 7 * -^OGOO. 

SOLUÇÃO Na Figura !6 fizemos os gráficos de v = e * e da reta horizóJSHj i .000.000. 
Vemos que essas curvas se interceptam quando .v % j 3.8. Assim q lUU KÍo 

.v > 13.8. E realmente surpreendente que a função exponencial já ultraoassoti 1 «tilhão 
quando x é somente 14. 


FIGURA 16 


Exercícios 


1. (a) Escreva uma equação que defina a função exponencial com 

base a > 0. 

(b) Qual é o domínio dessa função? 

(c) Se a # 1 . qual a imagem dessa função? 

(d) Esboce a forma geral do gráfico da função exponencial nos 
seguintes casos. 

(i) a > 1 (ii) a = 1 (iii) 0 < a < 1 

2. (a) Como é definido o número e? 

(b) Qual o valor aproximado de e? 

(c) Qual a função exponencial natural? 

3-6 U Faça ern uma mesma tela os gráficos das funções dadas. 
Como estão relacionados esses gráficos? 

3. y — 2', y = e*, y ~ 5 l , y ~ 20* 

4. y « e\ V = e~\ y = 8 ? y •= 8 '" 

5. v » 3\ y * 10 % y = (-J)', y - {rí ) * 


7-12 Faça um esboço do gráfico de cada função. Não use calcu- 
ladora. Utilize somente os gráficos dados nas Figuras 3 e 14 e, se 
necessário, as transformações da Seção 1 .3. 

7 . v — 4' — 3 8 . v = 4 1 " 5 

9. v = -2* 10- y = 1 + 2e' 

11. y = 3 - e’ 12. y = 2 + 5( 1 - er‘) 

13. Começando com o gráfico de y — e x . escreva as equações 

correspondentes aos gráficos que resultam de 

(a) deslocar 2 unidades para baixo 

(b) deslocar 2 unidades para a direita 

(c) refietir em torno do eixo x 

(d) refletir ern torno do eixo y 

(e) refletir em torno do eixo x e, depois, em torno do eixo y 
14 Começando com o gráfico de y = e\ encontre as equações dos 

gráficos que resultam de 


(a) refletir em torno da reta v = 4 

(b) refletir em torno da reta jc = 2 

15—18 Encontre o domínio de cada função 

15. (a) fíi) — 

1 + e" 

íb) f ( ri = — — 

! - e x 

16. (a) f(t) — sen(C ! ) 

(b) f(t) = 4^4 

17-18 : Encontre a função exponencial f(x) ~ Ca' cujo gráfico é dado 

17. n f 18. v* 


17 . y i 

1 ! 


(3,24)/ 


/ 


( 1 . 0) ' 

0 

X 


19 . Se f(x) — 5% mostre que 

f(x + h) - f(x) 


20 . Suponha que você receba uma oferta para trabalhar por apenas 
um mês. Qual das seguintes formas de pagamento você prefere? 

I. Um milhão de dólares no íim do mês. 

II. Um centavo de dólar no primeiro dia do mês, dois centavos 
no segundo dia, quatro centavos no terceiro dia, e. em 
geral, 2'"’ centavos de dólar no ra-ésimo dia. 

21 . Mostre que os gráficos de fíx) — x 2 e g(x) = 2 X foram traçados 
sobre uma malha coordenada com 1 polegada; então, a uma dis- 



CÁLCULO 


Editora Theinson 


tância de 2 pés à direita da origem a altura do gráfico de fé de 
48 pés, enquanto a altura do gráfico de g é cerca de 265 milhas. 

22 . Compare as funções f(x) = x* e gix) = 5' ? por meio de seus 
gráficos em várias janelas retangulares. Encontre todas as 
interseções dos gráficos corretas até uma casa decimai. Para 
grandes valores de x, qual função cresce mais rapidamente? 

23 . Compare as funções f(x) = x 10 e gix) = e ' por meio dos 
gráficos f e g em várias janelas retangulares. Quando o gráfico 
de g ultrapassa o de / ? 

fH 24 . Use um gráfico para estimar os valores de x tais que 
C > 1.000 .000 .000. 

25 . Sob condições ideais sabe-se que uma certa população de 
bactérias dobra a cada 3 horas. Supondo que inicialmente 
existam 100 bactérias 

(a) Qual o tamanho da população após ! 5 horas? 

(b) Qual o tamanho da população após t horas? 

(c) Qual o tamanho da população após 20 horas? 

mm (d) Faça o gráfico da função populaçao e estime o tempo para 
a população atingir 50.000 bactérias. 

26 . Um isótopo do sódio, 24 Na, tem uma vida média de 15 horas. 
Uma amostra desse isótopo tem massa de 2 g. 

(a) Encontre a quantidade remanescente após 60 horas. 


(b) Encontre a quantidade remanescente após / horas. 

(c) Estime a quantidade remanescente após 4 dias. 

;|| (d) Use um gráfico para estimar o tempo necessário para que a 

massa fique reduzida a 0.01 g. 

fS 27. Utilize uma calculadora gráfica com capacidade para regressão 
exponencial para modelar a população mundial com os dados de 
1950 a 2000 da Tabela 1 da página 60. Use o modelo para estimar 
a população em 1993 e para predizer a população em 2010. 
f|| 28, A tabela fornece a população dos Estados Unidos, ern milhões, 
para os anos 1900 a 2000. 


Ano | População 

! Ano 

PopUÍKÇãQ 

vD 

r-- 

i jçfio 

179 


j 1970 

20? 


1 , 

... . ... 

ÍV2U \ i ÜO 

i vhv 

i 

< í ... 

...... 


i 'j .A/ [ i - 

i " v(.» 

4- Ai 

! 940 1 131 

2000 

281 

i Q-sp 1 } SO 



. . ^ X f . x ., 




Use uma calculadora gráfica com capacidade para regressão 
exponencial para modelar a população do país desde 1900. 
Utilize o modelo para estimar a população em 1925 e para 
predizer a população em 2010 e 2020. 




Funções Inversas e Logaritmos 




A Tabela 1 fornece os dados de um experimento no qual uma cultura começou com 100 
bactérias em um meio limitado em nutrientes; o tamanho da população foi registrado em 
intervalos de horas. O número N de bactérias é uma função do tempo t: N — f{t). 

Suponha, todavia, que o biólogo mude de idéia e passe a se interessar pelo tempo 
necessário para a população alcançar vários níveis. Em outras palavras, ele está pensando 
em t como uma função de N. Essa função, chamada função inversa de /, é denotada por 
/ ! , e deve ser lida assim: “inversa de f \ Assim, t ~/ -1 ( N) é o tempo necessário para o 
nível da população atingir N. Os valores de f~ l podem ser encontrados olhando a Tabela 1 
ao reverso ou consultando a Tabela 2. Por exemplo, / " '( 550) — 6, pois /(6) — 550. 


TAB E LA 1 N como uma função de t 



v :A Iaçà0 , winsla „ tt J 

. 

259 

0- 

5 50 1 

s 


TAB ELA 2 t como uma função de N 



Nem todas as funções possuem inversas. Vamos comparar as funções / e g cujo dia- 
grama de flechas está na Figura 1 . 

Observe que / nunca assume duas vezes o mesmo valor (dois inputs quaisquer em A 
têm outputs diferentes), embora g adquira o mesmo valor duas vezes (2 e 3 têm o mesmo 


FiGURA 1 






CAPÍTULO 



James Stewart 


65 


output , 4). Em símbolos. 


g{ 2) = <7(3} 

mas /(-Tf) #■/( x- 2 ) sempre que Xi # x? 

Funções que tenham essa última propriedade são chamadas funções um a um 


::: Na linguagem de inputs e outputs, 
essa definição diz que/ é um a um se 
cada output corresponde a um único 
input. 


LU Definição Urna função / é chamada função um a um se ela nunca assume o 
mesmo valor duas vezes; isto é, 

/(.Ti) ^ f(x 2 ) sempre que Xj # x 2 



Se uma reta horizontal intercepta o gráfico de / em mais de um ponto, então vemos da 
Figura 2 que existem números x t e x 2 tais que /(x t ) “ /(x 2 ). Isso significa que / não é 
uma função urn a um. Portanto, temos o seguinte método geométrico para determinar se a 
função é um a um . 


j 

Teste da Reta Horizontal Uma função é um a um se e somente se toda reta 
horizontal intercepta seu gráfico ern apenas um ponto. I 


FIGURA 2 

Esta função não é um a um, 
pois /(X|) =/(.v 2 ) 



FIGURAS 

f(x) = X é urn a um 


EXEMPLO 1 " A função f(x) — x 3 é urn a um? 

SOLUÇÃO 1 Se xi # x 2 . então x 3 r x 2 (dois números diferentes não podem ter o mesmo 
cubo). Portanto, pela Definição 1, /(x) — x 3 é um a um. 

SOLUÇÃO 2 Da Figura 3 vemos que toda reta horizontal intercepta o gráfico de f(x ) = x 3 
em apenas um ponto. Logo, pelo Teste da Reta Horizontal, / é um a um. 

EXEMPLO 2 L: A função g(x) — x 2 é um a um? 

SOLUÇÃO 1 A função não é um a um, pois, por exemplo, 

Í/O) = 1 = g(~ 1) 

e, portanto, 1 e — 1 têm o mesmo output. 

SOLUÇÃO 2 Da Figura 4 vemos que existem retas horizontais que interceptam o gráfico 
de g mais de uma vez. Assim, pelo Teste da Reta Horizontal, g não é um a um. 



g(x) — não é um a um 


As funções um a um são importantes, pois, precisamente, são as que possuem funções 
inversas de acordo com a seguinte definição. 


( 2j Definição Seja / uma função um a um com domínio A e imagem B. Então 
sua função inversa /' 3 tem domínio B e imagem A, sendo definida por 

f~ l (y)~x <=> f(x) — y 

para todo y em B. 






• □ CÁLCULO Editora Thomson 


Essa definição estabelece que se / transforma ,rem y, então j 1 transforma de volta v 

em x. (Se j não fosse um a um, então / ' nãõ seria definida de forma única.) O diagrama 
de flechas da Figura 5 indica que reverte o efeito de /. Note que 


domínio de/" 1 ~ imagem de / 
imagem de/ 1 •■= domínio de / 


Por exemplo, a função inversa de f{x) ~~ x" é / * (a) — jv 1 " porque se v — x'. então 

r'(y) =/-'( a - 3 ) - - x 



O recíproco 1 /f(x) pode, todavia, ser escrito como [/(a)] ' 5 . 

EXEMPLO 3 :: Se/(1) - 5,/(3) - 7 e/(8) - -- 1 0 . encontre / 1 (7) , / 3 ( 5) e 
/• J H 0). 

SOLUÇÃO Da definição de / 1 temos 

/ ’(7) =» 3 porque /(3) — 7 

j ’(5) = 1 porque /( 1) = 5 

/ 1 (—10) = 8 porque /( 8) - - 1 0 

O diagrama na Figura 6 torna claro que f 3 reverte o efeito de /nesse caso. 



A letra x é usada tradicionalmente como a variável independente; fogo, quando nos con- 
centrarmos em / em vez de /. geralmente reverteremos os papéis de x e y na Definição 
2 e escreveremos 


rHx) •• y /( v) 


A função inversa reverte inputs e outputs 


Substituindo y na Definição 2 e x na (3), obtemos as seguintes equações de 
cancelamento: 




67 



I 


James Síewart CAPITULO 1 FUNÇÕES E MODELOS 

/ : (j{x))—.x para iodo x em A 
/(/ Ma)) = A' para todo x em B 


A primeira lei do cancelamento diz que se começarmos em a, aplicando / e. em seguida. 

f \ obteremos de volta x, cie onde começamos (veja o diagrama de máquina na Figura 7). 

Assim, / 5 desfaz o que / faz. A segunda equação diz que / desfaz o que f~ l faz. 

/ /<*> 

Por exemplo, se f{x) ~ x\ então / '(a) a 1 e a equação de cancelamento fica 

r l (f(x)) = (,t 3 ) 1/3 = x 

JV ’W) = (;v ,/J ) 3 - x 

Essas equações simplesmente dizem que a função cubo e a função raiz cúbica cancelam- 
se de modo recíproco quando aplicadas sucessivamente. 

Vamos ver agora como computar as funções inversas. Se tivermos uma função y — f(x) 
e formos capazes de resolver essa equação para x em termos de y, então, de acordo com a 
Definição 2. devemos ter x = Se quisermos chamar a variável independente de a, 

trocamos x por y e chegamos à equação y = / 1 ( a). 



FIGURA 7 


{ 5] Como Achar a Função Inversa de uma Função/ Um a Um 
Passo 1 Escreva y — /(a). 

Passo 2 Resolva essa equação para x em termos de y (se possível). 

Passo 3 Para expressar /' 1 como uma função de x, troque x por y. 
A equação resultante é y — /“*( a). 


EXEMPLO 4 ::: Encontre a função inversa de /(a) —a 3 + 2. 
SOLUÇÃO De acordo com (5) escrevemos 

y = a 3 + 2 

Então resolvemos essa equação para x: 

\ ‘ — v — 2 
x — yy — 2 


n No Exemplo 4, note como f "' ] reverte Finalmente, trocando x por y: 
o efeito de /. A função / estabelece que 

"eleve ao cubo e então adicione 2"; y — yx — 2 

f 1 estabelece que "subtraia 2 e então 

tome a raiz cúbica". Portanto, a função inversa é — y/x — 2. S 

O princípio de trocar a por y para encontrar a função inversa também nos dá um método 
de obter o gráfico de / ’ a partir de /. Uma vez que fia) — b se e somente se f Hb) = 




S8 


CÁLCULO 


Editora Thomson 


ò ponto { a , b) está no gráfico de / se e somente se o ponto (ó, a) estiver sobre o grá- 
fico de / Mas obtemos o ponto íb. a) de («./?) refletindo-o em torno da reta v ~ x 

(veja a Figura 8). 


y i 

: 

0i 

\ (b.a) yi 

■ J i V / 

/ \/ , 

/ A-, /■■■,-■■- 

/ / * 

/ / (a,b) 

ri T 0 

\ 

/''' 

/ 

/ 

X 

/ -V 


/ 

/ 

v = x/ 

v = x / 

i ^ / 

/ 

/ 



/ 



FIGURA 8 FIGURA 9 


Portanto, conforme ilustrado na Figura 9: 



O gráfico de /" ! é obtido refletindo-se o gráfico de/em torno da reta _y = x. 


EXERflPLO 5 □ Esboce os gráficos de f(x) = yf—\ - x e de sua função inversa usando o 
mesmo sistema de coordenadas. 

SOLUÇÃO Esboçamos primeiro a curva y = v ~ 1 ~~ x (a metade superior da parábola 
y 2 — — 1 — x ou x = -v 2 — 1), e então refletindo em tomo da rela y — x obtemos o 
gráfico de /"’ (veja a Figura 10). Conforme pode ser verificado em nosso gráfico, 
observe que a expressão para f~ ] é f '\x) — —x 2 — 1 ,x 5= 0. Assim, o gráfico de f ~~ l é 
a metade à direita da parábola y — -x 2 - 1 , e isso parece razoável pela Figura 10. 


I { Funções Logarítmicas 

Se a > 0 e a 1 , a função exponencial f(x) — a x é crescente ou decrescente, e, portanto, 
um a um pelo Teste da Reta Horizontal. Assim, existe uma função inversa / \ chamada 
função logarítmica com base a denotada por log a . Se usarmos a formulação de função 
inversa dada por (3) 

f" l (x) — v <=> f(y) = x 

teremos 


Ioga x — y <=> a y — x 


Dessa forma, se x > 0, então log«x é o expoente ao qual deve se elevar a base a para se 
obter x. Por exemplo, logi 0 0,001 = —3 porque 1 0 ~ 0,001 . 

As equações de cancelamento (4), quando aplicadas a f(x) = a* e / 5 (x) = log tI x, 


ficam assim: 

B 


log«(a T ) — x para todo x E IR 
a íoe,,x — x para todo x > 0 





Jaress Stewait 



FIGURA 11 



j Motação para Logaritmos 
Na maioria dos livros de caiculo e 
ciências, bem como nas calculadoras, 
a notação usada para os logaritmos 
naturais é ln x, enquanto a de log x é 
utilizada para “logaritmos comuns", 
k>g 1(j x Em textos mais avançados de 
matemática e literatura científica, e em 
linguagens de computação, porém, a 
notação log x geralmente denota o 
logaritmo natural. 


CAPÍTULO 1. FUNÇÕES £ MODELOS i: 

A função logarítmica log D tem o domínio (0 , iyz ) e a imagem R. Seu gráfico é a reflexãc 
do gráfico de y = a* em torno da reta y = x. 

A Figura 1 1 mostra o caso em que a > 1 . (As funções logarítmicas mais importantes têrr 
base a > 1.) O fato de que v — a* é uma função que cresce muito rapidamente para x > 0 e stí 
refletido no fato de que y — log,, x é uma função de crescimento muito lento para x > 1 . 

A Figura 12 mostra os gráficos de y = log« a* com vários valores da base a. Uma ve; 
que logo 1 ~ 0, os gráficos de todas as funções logarítmicas passam pelo ponto (1 , 0). 

As seguintes propriedades das funções logarítmicas resultam das propriedades cor 
respondentes das funções exponenciais dadas na Seção 1 .5. 


Leis dos logaritmos Se x e y forem números positivos, então 
1. logJxv) = Ioga x + log,, V 


2 . log,. 


Ioga x - logo y 


3 , logaOrí) = r Ioga x (onde r é qualquer número real) 


EXEMPLO 6 □ Use as leis dos logaritmos para calcular log 2 80 — log 2 5. 
SOLUÇÃO Usando a Lei 2, temos 


Ioga 80 - log 2 5 =r Ioga 



— log 2 16 = 4 


porque 2 4 = 16. 

| Logaritmos Naturais 

De todas as possíveis bases a para os logaritmos, veremos no Capítulo 3 que a escolh 
mais conveniente para uma base é e, definido na Seção 1.5. Os logaritmos na base e sã 
chamados logaritmos naturais e têm uma notação especial; 

log* x = ln x 


Se fizermos a — e e substituirmos log* por “ln” em (6) e (7), então as propriedades qu 
definem a função logaritmo natural ficam 


1 

í 8 1 i 

ln x — y <?> e y = x 


í í 


; — ; 

|f] I In(érí) = x xE R 

i | 

e ' ,n x • v x > 0 | 


Em particular, se fizermos x = 1 , obteremos 


ln e = 1 





■70 V CÁLCULO Editora Thomson 

EXEMPLO 7 Encontre x sendo In .v ~ 5. 

SOLUÇÃO 1 De (8) vemos que 

In a' ■--- 5 significa e~ = x 

Portanto, x cr. 

(Se você tiver piobJemas com a notação ‘Mn ", substitna-a por log f . Então a equação 
torna-se log t , x = 5; portanto, pela definição de logaritmo, e 5 ~ x.) 

SOLUÇÃO 2 Comece com a equação 

ln x 5 

e então aplique a função exponencial a ambos os lados da equação: 

e h * = c 5 

Mas a segunda equação do cancelamento em (9) estabelece que e lax = x. Portanto, x = c 5 . 
EXEMPLO 8 Resolva a equação e 5 " 3x — 10. 

SOLUÇÃO Tomando-se o logaritmo natural de ambos os lados da equação e usando (9): 

ln(V" 3t ) = ln 10 
5 - 3a - In 10 
3a = 5 — ln 10 
x = |(5 - ln 10) 

Uma vez que o logaritmo natural é encontrado em calculadoras científicas, podemos 
aproximar a solução para quatro casas decimais: x ~ 0,8991 . 

EXEMPLO $ Expresse ln a + | ln b como um único logaritmo. 

SOLUÇÃO Usando as Leis 3 e 1 dos logaritmos, temos 

ln a + | ln b = ln a + ln b 1/2 
= ln a + ln v 7 > 

' U){a x h) 

A fórmula a seguir mostra que os logaritmos com qualquer base podem ser expressos 
em termos dos logaritmos naturais. 


|1Q| fórmula de 

Mudança de Base Para todos 

os números positivos a (a ¥= 1), 

temos 

log fl x — 

ln x 





ln a í 

1 






James Slewsrt CAPÍTULO 1 FUNÇÕES E MODELOS Ç 71 

•Prnv-g . Seja ' v — log u .v. Então, de (6). temos a' — x. Tomando-se os logaritmos naturais 
de ambos os lados da equação, obtemos v In a = ln x. Ponanto 


ln x 
Sn a 


As calculadoras científicas têm uma tecla para os logaritmos naturais; assim, a Fórmula 10 
nos capacita a usar a calculadora para computar o logaritmo em qualquer base (conforme mostra 
o próximo exemplo). Do mesmo modo. a Fórmula 10 nos permite fazer o gráfico de qualquer 
função logarítmica em calculadoras e computadores (veja os Exercícios 43 e 44). 

EXEMPLO 1ô Calcule logs 5 correta até a sexta casa decimal. 

SOLUÇÃO A Fórmula 10 nos dá 

ln 5 

Jogíi 5 « 0.773976 

ln 8 o 


EXEMPLO 11 :■ No Exemplo 3 da Seção 1 .5 mostramos que a massa do 5li Sr que per- 
manece após t anos de uma amostra com 24 mg é m — fU) — 24 • 2 ' 25 . Encontre a 
função inversa e interprete-a. 

SOLUÇÃO Precisamos resolver a equação m = 24 - 2~ t/2> para t. Vamos começar 
tomando os logaritmos naturais de ambos os lados: 

r . : ”L 
24 


in 


In 


m 

24 


- — ln2— inm-ln24 
25 


^5 25 

^] n m - |n 24 ) = — — (ln 24 - ln m ) 
ln2 ln2 


Logo, a função inversa é 


V A I 

/ >’ — e ' 




y = ln x 


f Hm) — ■ 


25 
in 2 


(ln 24 — in m) 


Essa função dá o tempo necessário para a massa decair para m miligramas. Em particu- 
lar, o tempo requerido para a massa ficar reduzida a 5 mg é 


t — f ’(5) — -õÇ-(j n 24 — ln 5) ~ 56,58 anos 

ln 2 

Essa resposta está de acordo com o gráfico estimado feito no Exemplo 3 da Seção 1 .5. 

Os gráficos da função exponencial y — e* e de sua função inversa, o logaritmo natural, 
estão na Figura 13. Lima vez que a curva y — e x cruza o eixo y com uma inclinação de 3 . 
segue que a curva y = ln a cruza o eixo x com uma inclinação de 1 . 


FIGURA 13 


Assim como todas as outras funções logarítmicas com base maior que 1. o logaritmo 
natural é uma função crescente definida em (0. ») e com o eixo y como assintota vertical. 
>Ou seja, os valores de ln ar ficam negativamente muito grandes quando x tende a 0.) 

EXEMPLO 12 Esboce o gráfico da função v — ln(x - 2) - 1 . 

SOLUÇÃO Começamos pelo gráfico y — ln x dado na Figura 13. Usando as 
transformações da Seção 1.3, o deslocamos duas unidades para a direita, obtendo o 
gráfico de y ~ ln(x — 2) e então o deslocamos uma unidade para cima, para obter 
o gráfico de y - ln(x - 2) - 1 (veja a Figura 14). 


y ) 










v = ln x 


~~~Õ 

/ 0,0) 
/ 


X 


/ 

/ 

/ 

1 




‘y ~ Inú - 2) 


y = ln(x - 2) - 1 


o 1 / 

"I / (3.0) 

i / 


Embora ln x seja uma função crescente, seu crescimento é muito lento quando x > 1 . 
De fato, ln x cresce mais lentamente que qualquer potência de x. Para ilustrar esse fato, 
vamos comparar os valores aproximados das funções y — Inx e y — x t/2 = *fx na tabela 
a seguir, bem como em seus gráficos nas Figuras 15 e 16. Você pode ver que inicialmente 
os gráficos de y = y x e y = Inx crescem a taxas comparáveis, mas, finalmente, a função 
raiz ultrapassa muito o logaritmo. 


) .(>9 ! | jÇf j 


^ ^ | 


0.49 I 0 


100 

yOO 

1 .000 

10.000 100.000 

4.6 

6.2 

6.9 

9.2 1 . 1.5 

10,0 

Q7 A 

3 1 ,6 

100 316 

0.46 

0.28 

o y ? 

0.09 0,04 


Ol /j 

1 / 

FIGURA 15 


v — ln x 


FIGURA 16 


i.000 - x 


* Funções Inversas Trigonométricas 

Quando tentamos encontrar as funções inversas trigonométricas, temos uma dificuldade 
sem muita importância. Como as funções trigonométricas não são funções um a um, eles 
nao têm funções inversas. A dificuldade é superada restringindo-se os domínios dessas 
funções de forma a tomá-las um a um. 




73 



j 


James Stewart CAPÍTULO 1 FUNÇÕES £ MODELOS 


Você pode ver da Figura 17 que a função seno v - sen x não é um a um (use o Teste da 
Reta Horizontal), Mas a função f(x) = sen x, -~/2 as x « tt/2 (veja a Figura 18) é um a um. 
A função inversa dessa função seno restrita / existe e é denotada por sen", ou arcsen. Ela 
é chamada inversa da função seno, ou função arcsen. 



FIGURA 17 


FIGURA 18 


y = sen .*,-■§ = ~ 




Uma vez que a definição de uma função inversa diz que 
/ " f (-v) — y <=> /(v) = x 

temos 


sen' 1 x = y sen v — x e í ~ 

! J ' 2 ' 2 

Assim, se — 1 ^ r ^ 1 , sen"' x é o número entre — rr/2 e tt/2 cujo seno é x. 

EXEMPLO 13 ::: Calcule (a) sen l (|) e (b) tgfarcsen ] ). 

SOLUÇÃO 
(a) Temos 

sen ' (|) = — 

6 


FIGURA 19 


q 

? 

-1 /' 

' 0_ ' T 


V 


2 


FIGURA 20 
v ~ sen l x arcsen x 


'■ 

1- 


0 


X 


2 X " 






FIGURA 21 


y - cos x, 0 A x -S 7 t 


porque sen(7r/6) = | e tt/6 situa-se entre —7r/2 e tt/2. 

(b) Seja 6 — arcsen 3 . logo sen 9 = 1 . Então podemos desenhar um triângulo retângulo 
com o ângulo 0, como na Figura 19 e deduzir do Teorema de Pitágoras que o terceiro lado 
tem comprimento v '9 — 1 — 2 y/2. Isso nos possibilita interpretar a partir do triângulo que 

tgíarcsen y) = tg q = 

O cancelamento de equações para as funções inversas toma-se, nesse caso, 

j 77 77 

I sen s ( sen x) = x para — — ^ x ^ - — l 

i 2 2 

sen(sen f x) — x para — 1 x ^ 1 I 

A função inversa do seno, sen tem domínio [—1.1] e imagem [ — 77/2, 77/2], e seu 
gráfico, mostrado na Figura 20, é obtido daquela restrição da função seno (Figura 18) 
por reílexão sobre a reta y — x. 

A função inversa do cosseno é tratada de modo similar. A função cosseno restrita 
f(x) — cos x, 0 =£ x ss 7T, é um a um (veja a Figura 2 1 ); logo, ela tem uma função inversa 
denotada por cos ” 1 ou arccos. 

cos” l x — y cos y — x e 0 y tt 

As equações de cancelamento são 

cos (cos x ) — x paraO x =£ tt 
| cos(cos” J x) — x para -1 • x =s _1 j 








74 


CÁLCULO 


Edííors TIioiusôh 


A função inversa do cosseno, cos / tem domínio j - 1 . 1 j ] e imagem. [0- rr\. Seu grá- 

fico está mostrado na Figura 22. 

A função tangente pode se tornar um a um restringindo-se ao intervalo (-nr/ 2. tt/2). 
Assim, a função inversa da tangente é definida como a inversa da função f(x) ----- tg a. 
-nil < a < tJ'2 (veja a Figura 23). Ela é denotada por tg % ou arctg. 


tg" j A = V 


< i = ^> tg y — x e 




F IG U RA 22 y = cos" 1 x = arcos a 


I f 


Vo 


FIGURA 23 v = tex,-* 



EXEMPLO 14 Simplifique a expressão cos(tg U). 

SOLUÇÃO 1 Seja v “ tg 1 x. Então tg y — x e —'n/l < y < -tt/2. Queremos determinar 
cos y, mas, uma vez que tg y é conhecida, é mais fácil determinar sec y primeiro: 

sec 2 y = 1 + tg 2 y ~ I + x 2 


FIGURA 24 


sec v 


dl + x 7 


V ; 
0 


/ 

X 




■f 


FIGURA 25 


y = tg" 1 x — arctg x 


, , - V í 

I \ 1 

, \ r 

i VI 



i 


I 

I 

I 


i TT 
1 


V__,V 

1 

2'jt 


! 

| X 
! 

I 

j 


Assim cos(tg; !r) — cos y — — : — = 

sec y v 1 + x 2 

SOLUÇÃO 2 Em vez de usar as identidades trigonométricas como na Solução 1, talvez seja mais 
fácil usar um diagrama. Se y = tg -1 a, então tg y --- a. e podemos concluir da Figura 24 (que 
ilustra o caso y > 0) que 

, v 1 

cos (tg a) — COS V = — 7 = - 

vl + A ~ 

A função inversa da tangente, tg 1 = arctg, tem domínio U e imagem ( -tt/2 , tt/2). O 
gráfico está mostrado na Figura 25. 

Sabemos que as retas x ~ ±n/2 são assintotas verticais do gráfico da tangente. Uma vez 
que o gráfico da tg _i é obtido refletindo-se o grafico da função tangente restrita em tomo da reta 
y — x, segue que as retas y ~ tt/2 e y = — tt/2 são assintotas horizontais do gráfico de tg 1 . 

As funções inversas trigonométricas restantes não são usadas com frequência e estão 
resumidas aqui . 

Lltj y ~ cossec-’ x (j x\ 5* 1) <V> cossec y = x e y € (O, n/2] U (tt, 3 n/2] j 

y — sec ’a ()a[ S 2 1) secy — x e y € [0, n/2) U [n\ 3 tt/2) 

y = cotgV (a G R) <=4> cotgy = x e y G (0, tt) \ 


FIGURA 26 


y — sec x 




Jamss Slewart 


CAPITULO 1 FUNÇÕES E MODELOS 


Exercícios 


À escolha dos intervalos para v nas definições de cossec ! e sec " 1 não são de aceitação uni- 
versal. Por exemplo, alguns autores usam v e [0. tt/2) U {tt/ 2. tt] na definição de sec/ 
(Você pode ver do gráfico da função secante da Figura 26 que ambas as escolhas vão funcionar.) 


1. (a) O que é uma função um a uni? 

(b) A partir do gráfico, como dizer se uma função é um a um? 

2. (a) Seja /uma função um a um com domínio A e imagem fí. 

Como é definida a função inversa /“’? Qual o domínio de 
/"' ? Qual a imagem de /' ! ? 

(b) Se for dada uma fórmula para / como você encontrará 
uma fórmula para /”’ ? 

(c) Se for dado o gráfico de/, como você encontrará o gráfico 
de/"" 1 ? 

3-14 L Uma função /pode ser dada por uma tabela de valores, um 
gráfico, uma fórmula ou por meio de descrição verbal. Determine 
se fé uni a um. 


A 

í | 2 


4 1 5 6 

fix) 

1.5 I 2.0 

3,6 

5.3 | 2.8 

Q Q 








! 1 


-* \ 

0 










.. - 


9. f(x) — | {> + 5} 


10. / (x) — 1 + 4a ~ x ? 


11. g(x) ■ [aí 12. g(x) — v Lt 

13. f(t) é a altura de uma bola t segundos após ser chutada. 

14. f(t) é sua altura no tempo t. 

15-16 □ Use um gráfico para decidir se/é uni a um. 

15. f(x) = x ' — x 16. f(x) — x~ + x 

1?. Se/ for uma função um a um tal que /( 2) — 9, quanto é / '(9)? 


18. Se /(.v) = 3 + .r -F tg( -rr.v/2 ) , onde -1 < x 

(a) Encontre f 1 (3 ). (b) Encontre /(/ ! (5)). 

19. Se f/ú) — 3 + x + e\ ache çf‘( 4). 

20. É dado o gráfico de f. 

(a) Por qu e/é um a um? 

(b) Determine o domínio e a imagem de f~\ 

(c) Estime o valor de /" ! (1). 

v * 


21. A fórmula C — §ÓF — 32), onde F S 5 - 459.67, expressa 
a temperatura C em graus Celsius como uma função da 
temperatura F em graus Fahrenheit. Encontre uma fórmula pí 
a função inversa e interprete~a. Qual o domínio da função invers 

22. Na teoria da relatividade, a massa de uma partícula com uma 
velocidade v é 

\ m ‘ : ' 

m =/(p) = - 7— -; «r 

y 1 - tr V 

onde mo é a massa da partícula no repouso ecéa velocidade < 
luz no vácuo. Encontre a função inversa de/e explique seu 
significado. 

LLí =lS Encontre uma fórmula para a função inversa. 


23. f(x) ----- v10-3jc 
25. f(x) = e xi 
27. y —■ ln(x + 3) 


4a -1 

24. /(a) - 

2a + 3 

26. y - 2x' + 3 

1 + e x 

28, v = 

1 - e x 


I 29-30 Encontre uma fórmula explícita de f 1 e use-a para faze 

na mesma tela os gráficos de/"// e da reta y — x. Para verificar 

seu trabalho, veja se seus gráficos de/ e f 1 são reflexões em ton 

da reta. 

29. /(a) = 1 - 2/a 2 , a > 0 

30. /(a) ™ v V 2 + 2 a, jc > 0 




76 


Editara Tboíasen 


CÁLCUIO 

31. Use o gráfico dado de /para esboçar o de f 

v 4 



32. Use o gráfico dado de /para esboçar os gráficos de /"* e l/f. 



33. (a) Como está definida a função logarítmica y ~ log a jc? 

(b) Qual o domínio dessa função? 

(c) Qual a imagem dessa função? 

(d) Esboce a forma geral do gráfico da função 
v = loga .x se a > 1 . 

34. (a) O que é o logaritmo natural? 

(b) O que é o logaritmo comum? 

(c) Esboce os gráficos no mesmo conjunto de eixos das 
funções logaritmo natural e exponencial natural. 

35-38 □ Encontre o valor exato de cada expressão. 

35. (a) log 2 64 (b) log 6 ;4 

38. (a) log» 2 (b) ln e' 1 

37. (a) logw U5 + log í( ,80 

(b) Iog 5 10 + log 5 20 - 3 logs 2 

38. (a) 2 u,>g 2 3 + !os = 5> (b) í 31 " 2 

39-41 : Expresse a quantidade dada como um único logaritmo. 

39. 2 ln 4 — ln 2 40. In x + a ln y - b ln z 

ln{ 1 + x 2 ) + \ ln x - ln sen x 

42. Use a Fórmula 10 para computar cada logaritmo correto até a 
sexta casa decimal. \ 

(a) logj2 10 (b) )og 2 8,4 

li 43-44 lí Use a Fórmula 10 para fazer o gráfico das funções dadas 
em uma mesma tela. Como estão relacionados esses gráficos? 

43. y = log, jç, y - ln x, y = logsox, y = log 50 x 

44. y = ln x. y — log k> x, y — e\ y = 10' 

45. Suponha que o gráfico de y = iogj x é feito sobre uma malha 
coordenada onde a unidade de comprimento é de 1 polegada. 


Quantas milhas à direita da origem devemos percorrer antes de 
a altura da curva atingir 3 pés? 

|| 48. Compare as funções /(x) ----- x ÍU e yyíx) ~ ln x por meio de seus 
gráficos /e g em várias janelas retangulares. Quando 
finalmente o gráfico de /ultrapassa o de ty? 

47-48 Faça o esboço do gráfico de cada função. Não use a 
calculadora. Use somente os gráficos dados nas Figuras 12 e 13 e, 
se necessário, as transformações da Seção 1 .3. 

47. (a) y — Jogmíx + 5) (b) y = — Inx 

48. (a) y — Inf — x) (b) y — ■ ln jxj 

49-52 Resolva cada equação em x. 

49. (a) 2 ln x = 1 (b) e" — 5 

50. (a) e*" - 7 — 0 (b) ln(5 - 2.x ) = -3 

51 . (a) 2* "'' =■- 3 (b) ln x 4 ln(x ™ 1 ) — 1 

52. (a) lníln x) — 1 (b) = Ce h \ onde a ¥= b 

53-54 Resolva as equações em x. 

53. (a) e x < 10 (b) ln x > - 3 

54. (a) 2 < ln x < 9 (b) > 4 

55-56 v Determine (a) o domínio de/e (b) / 1 e seu domínio. 

55. /(x) — \/ 3 - <?'■' 56. /(_v) — in(2 + Inx) 

57. Faça o gráfico da função f(x) = y,r 3 + x 2 + x + ! e explique 
por que ela é um a um. Use então um CAS para encontrar 
uma expressão explícita para / ’(x). (Seu CAS vai produzir três 
expressões possíveis. Explique por que duas delas são 
irrelevantes neste contexto.) 

58. (a) Se g(x) — x 6 -f x 4 ,x 3= 0, use um sistema algébrico 

computacional para encontrar uma expressão para <7~’(x). 
(b) Use a expressão da parte (a) para fazer um gráfico na 
mesma tela de y — g(x), y = x e y — g Hx). 

59. .Se a população de bactérias começa com 100 e dobra a cada 
três horas, então o número de bactérias após t horas é 

n — f{t) = 100 • 2 ,/J ( veja o Exercício 25 na Seção 1 .5). 

(a) Encontre a função inversa e explique seu significado, 
íb) Quando a população atingirá 50.000 bactérias? 

60. Após acionado o flash de uma câmera, a bateria imediatamente 
começa a recarregar o capacitor do flash . o qual armazena uma 
carga elétrica dada por 

Q(t) ■ Qoíl “ e I/a ) 

(A capacidade máxima de carga é g 0 , e t é medido em segundos.) 

(a) Encontre a função inversa e explique seu significado. 

(b) Quanto tempo levará para o capacitor recarregar 90% da 
capacidade se a = 2? 

61. Começando pelo gráfico de y = Inx, encontre a equação do 
gráfico que resulta de 

(a) deslocar 3 unidades para cima 

(b) deslocar 3 unidades para a esquerda 

(c) fazer a reflexão em torno do eixo x 



James Stewsrt 


7 



CAPITULO 1 


(d) 

(e) 

fazer a reflexão em tomo do eixo y 
fazer a reflexão em tomo da reta y = 

X 

87. (a) sen (sem 1 0,7) 

(b) 

(0 

fazer a reflexão em tomo do eixo x e 
tomo da reta y =■ x 

então em 

68. (a) sec (arctg 2) 

(b) 

(g) 

fazer a reflexão em torno do eixo y e 
reta y — x 

então em torno da 

69. Prove que cos (sen' ! j 

r ) - v ! - x ’ 


4-n 


(h) deslocar 3 unidades para a esquerda e então fazer a 
reflexão em torno da reta y = x 

82 . (a) Se deslocarmos uma curva para a esquerda, o que aconte- 
cerá com sua reflexão em tomo da reta y = x? Em vista 
desse princípio geométrico, encontre uma expressão para a 
inversa de g{ x) = f{x + c), onde/é uma função urn a um. 


70-72 Simplifique a expressão. 
70. tg (sen 1 x) 

72. sen (2 cos ! .y) 


71. senílg- 1 *) 


(b) Encontre uma expressão para a inversa de hix) — f(cx 
onde c 0. 

j 73. 

74 . 

63-88 Encontre o valor exato de cada expressão. 
63. (a) sen" 1 |V3/2 J (b)cos '(-l) 

75 . 

11 78, 

64 . (a) arctg (-1) 

(b) csc ! 2 


65 . (a) tg" ! V3 

(b) arcsen 1 i | 


66 . (a) sec"‘v2 

(b) arcsen 1 


>^,'•1 Revisão 




18 73-74 Obtenha os gráficos das funções dadas em uma mesma 
tela. Como esses gráficos estão relacionados? 

: sen x; -~i2 « x *s tíÍ2 , v ~ sem 1 Jt. v — x 


aparência, 

(b) Faça o gráfico da função g(x ) — sen 1 (senx). Como você 
pode explicar a aparência desse gráfico? 


VERIFICAÇÃO DE CONCEITOS 


1. (a) O que é uma função? O que sao domínio e imagem da função? 

(b) O que é o gráfico de uma função? 

(c) Como, a partir de uma curva dada, sabemos tratar-se de 
um gráfico de uma função? 

2. Discuta as quatro maneiras de representar uma função. Ilustre 
com exemplos. 

3. (a) O que é uma função par? Como saber a partir do gráfico se 

uma função é par ou não? 

(b) O que é uma função ímpar? Como saber a partir do gráfico 
se uma função é ímpar ou não? 


4. O que é uma função crescente? 

5. O que é um modelo matemático? 

6. Dê um exemplo de cada tipo de função. 

(a) Função linear (b) Função potência 

(e) Função exponencial (d) Função quadrática 

(e) Função polinomial de grau 5 (f) Função racional 

7. Esboce à mão no mesmo conjunto de eixos os gráficos das 
seguintes funções. 

(a) f{x) = x , (b) g(x) = x 2 

(c) h(x) = x 3 (d) j(x) ~ x 4 


8 . 


3 . 


Esboce à mão o gráfico de cada função. 


(a) y = sen x 
(c) y = e x 
<e) y - l/x 

(g) y = 


(b) y = tg x 
(d) y — In x 
(f) y = \x\ 
(h) y - tg * x 


Suponha que os domínios de /e g sejam A e B , 
respectivamente. 


(a) Qual o domínio de / 4 - g? 

(b) Qual o domínio de fgl 

(c) Qual o domínio de f/g? 

10 . Como está definida a função composta f° g? Qual seu 
domínio? 

1 1 . Suponha que seja dado o gráfico de /. Escreva uma equação para cai 
um dos gráficos obtidos a partir do gráfico de / da seguinte forma. 

(a) Deslocando 2 unidades para cima. 

(b) Deslocando 2 unidades para baixo. 

(e) Deslocando 2 unidades para a direita. 

(d) Deslocando 2 unidades para a esquerda. 

(e) Refletindo em torno do eixo x. 

( f) Refletindo em tomo do eixo y. 

(g) Esticando verticalmente por um fator de 2. 

(h) Encolhendo veríicalmente por um fator de 2. 

(i) Esticando horizontalmente por um fator de 2. 

(j) Encolhendo horizontalmente por um fator de 2. 

12 . (a) O que é uma função um a um? Como decidir pelo gráfia 

se uma função é um a um? 

(b) Seja / uma função um a um. Como está definida sua funçãr 
inversa f' 1 ? Corno obter o gráfico de / "' a partir do dej 

13. (a) Como a inversa da função seno/Cr) = sen ! x é definida? 

O que é o seu domínio e o que é a sua imagem? 

(b) Como a inversa da função cosseno f(x) = cos 1 x é definid 
O que é o seu domínio e o que é a sua imagem? 

(c) Como a inversa da função seno/(v) = tgr ! xé definida? 

O que é o seu domínio e o que é a sua imagem? 


L 



CAieuio 


Editora Thomãon 


78 


TE STE S FALSO-VE R D AD E S RO 


Determine se a afirmativa é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique 
por quê; caso contrário, também explique ou dê um exemplo em que a 
afirmativa não funciona. 

1. Se / for uma função, então / U í- í) ~ / < 5 ) -r /(/). 

2. Se f(s) ~/(t), então s = t. 

3. Se /for uma função, então /(3a) = 3/ (/). 

4. Se x í < x 2 e/ for uma função decrescente, então. /(.r, ) > f(x 2 ). 


5. Uma reta vertical intercepta o gráfico de uma função no máximo 
uma vez. 

6. Se/e g são funções, então /° g — g ú f. 

7. Se /'for um a um, então f ’{x) — — — 

/ 1 .ví 

8. E sempre possível dividir por e \ 

9. Se 0 < a < b, então ln a < la h. 

10. Se -v > 0. então (In v/ — 6 ln .x. 

11. Se x > 0 e a > 1 , então - = ln — . 

ln a a 


EXERCÍCIOS 


1. Seja / uma função cujo gráfico é dado. 

(a) Estime o valor de /( 2). 

(b) Estime os valores de x tais que f(x) — 3. 

(c) Estabeleça o domínio de /. 

(d) Estabeleça a imagem de/. 

(e) Sobre que intervalo a função / está crescendo? 

(f) fé um a um? Explique. 

(g) fé par, ímpar ou nenhum dos dois? Explique. 



2. É dado o gráfico de g. 

(a) Estabeleça o valor de g(2). 

(b) Por que g é um a um? 

(c) Estime o valor de g" J (2). 

(d) Estime o domínio de g ‘ . 

(e) Esboce o gráfico de g 5 . 



3. A distância percorrida por um carro é dada pelos valores na tabela. 


f (segundos) 

0 | 1 

7 

3 4 

5 | 



d (pés) 

0 j 10 

32 

70 | 

119 

178 1 


(a) Use os dados para esboçar o gráfico de d como uma 
função de /. 

(b) Use o gráfico para estimar a distância percorrida depois de 
4.5 segundos. 

4. Esboce o gráfico do rendimento de uma colheita como uma 
função da quantidade de fertilizante usado. 

5-8 f Determine o domínio e a imagem da função. 

5. f(x) = \ 4 - 3jÜ 6. g(x) = l/íx + .1) 

7 y — 1 + sen x 8. y ~ )n x 


9. Suponha que seja dado o gráfico de /. Descreva como os gráficos 
da.s seguintes funções podem ser obtidos a partir do gráfico de/ 
(a) y + 8 (b) y = fix + 8) 

(c) y - 1 + 2/í/) (d) y fix - 2) - 2 

(e) y = fix) (f) y “ / “ 1 (a) 

10. Dado o gráfico de /, desenhe os gráficos das seguintes funções. 
( a ) v = f(x — 8} (b) y = -fix) 

(c) y — 2 — f(x) (d) y \f{x) — 1 

(e) y “/ _) W (0 y = /“'(■* + 3) 



11-16 : Use as transformações para esboçar o gráfico da função. 
11. y — — sen 2 -t 12. v — 3 Iní.r - 2) 

13. y -- (1 + e')/2 14. y-2/^v 


15. /(*)* 


x + 2 


16. fi x) = {/_ 3 


se -V 
se x 


0 

0 


17. Determine se/ é par. ímpar ou nenhum dos dois. 

(a) fix) = 2x' - 3-v 2 4- 2 (b) fix) ~~ x } — x ! 

(c) fix) — 6 (d) fix) 1 -f sen x 


í 




79 



18, Encontre uma expressão para a função cujo gráfico consiste no 
segmento de reta ligando o ponto (-2, 2) ao ponto (-1 , 0) junto 
com a parte de cima do círculo com centro na origem e raio I . 

19. Se /( x) = In .r e g(x) = x 2 - 9, encontre as funções f° g, g °/, 
f°f 7 g ° g,c seus domínios. 

20, Expresse a função F(x) — l/y/x + y/x como uma composição 
de três funções. 

21. A expectativa de vida aumentou significativamente no século 
XX. A tabela mostra a expectativa de vida no nascimento (em 
anos) de homens nascidos nos Estados Unidos. 



Utilize um mapa de dispersão para escolher um tipo apropriado 
de modelo. Use seu modelo para predizer a duração de vida de 
um homem nascido no ano 2010. 

22. Um pequeno fabricante descobre que custa $ 9.000 para 
produzir 1 .000 torradeiras elétricas em uma semana e $ 12.000 
para produzir 1 .500 torradeiras em uma semana. 

(a) Expresse o custo como uma função do número de 
torradeiras produzidas, supondo que ele é linear. Então 
esboce o gráfico. 

(b) Qual a inclinação do gráfico e o que ela representa? 

(c) Qual o intercepto y do gráfico e o que ele representa? 

23. Se f(x) => 2x + ln .r. encontre f s (2). 

x + 1 

24. Encontre a função inversa de f{x) ~ 

2x + 1 


James Stewart CAPITULO 1 FUNÇÕES E MODELOS 


25, Encontre o valor exato de cada expressão. 

^ Í '~ R ' (b) log l0 25 + logio 4 

(c) tg (arcsen |) (d) sen (cos ' |) 

28. Resolva cada equação para x. 

(a) e* = 5 (b) ln.x = 2 

(c) = 2 (d) tg 1 x ~ 3 

27. A meia-vida do paládio- 100, iWÍ Pd, é de quatro dias. (Assim, a 
metade de qualquer quantidade de !J0 Pd vai se desintegrarem 
4 dias.) A massa inicial de urna amostra é 1 grama. 

(a) Encontre a massa restante após 16 dias. 

(b) Encontre a massa m(t) restante após t dias. 

(c) Encontre a função inversa de m(t) e explique seu 
significado. 

(d) Quando a massa ficará reduzida a 0,01 g? 


28. A população de uma certa espécie em um ambiente limitado, 
com a população inicial igual a 300 e capacidade para 
suportar 1 .0(X) indivíduos, é 


P(t) = 


100.000 
100 + 900*“' 


onde t é medido em anos. 

má ( a ) Faça o gráfico dessa função e estime quanto tempo levará 
para a população atingir 900 indivíduos. 

(b) Encontre a inversa dessa função e explique seu significado. 

(c) Use a função inversa para encontrar o tempo necessário 
para a população atingir 900 indivíduos. Compare o 
resultado com o da parte (a). 


11 29. Faça o gráfico dos membros da família de funções 

j (x) ~ InQr — c) para vários valores de c. Como o gráfico se 
modificará quando c variar? 


WÀ 30- Faça o gráfico de três funções y = x“, y — a 1 ev = log„ x e 
sobre a mesma tela para dois ou três valores de a > 1 . Para os 
grandes valores de x, quais dessas funções terão valores 
maiores e quais terão valores menores? 






TI? MM 




Não existem regras rígidas que garantam sucesso na solução de problemas. Porém, é pos- 
sível esboçar alguns passos gerais no processo de problema-solução e fornecer alguns 
princípios que poderão ser úteis na solução de certos problemas. Esses passos e princípios 
são tão-somente o senso comum tornado explícito. Eles foram adaptados do livro de 
George Polya, How to Solve It. 


O primeiro passo é ler o problema e assegurar-se de que o entendeu claramente. Faça a si 


mesmo as seguintes perguntas: 


O que é desconhecido? 

Quais são as quantidades dadas? 

Quais são as condições dadas? 

Para muitos problemas é proveitoso 

fazer um diagrama 

e identificar no diagrama as quantidades dadas e pedidas. 

Geralmente é necessário 

introduzir uma notação apropriada 

Ao escolher os símbolos para as quantidades desconhecidas freqüentemente utilizamos as 
letras tais como a, b, c, m, n, x e y, mas. em alguns casos, ajuda usar as iniciais como sím- 
bolos sugestivos; por exemplo, V para o volume ou t param tempo. 


I 2 í Planejando Encontre uma conexão entre a informação dada e a pedida que o ajudará a encontrar a 

desconhecida. Em geral ajuda perguntar-se explicitamente: “Como posso relacionar o que 
toi dado com o que foi pedido?”. Se não for possível visualizar a conexão imediatamente, 
as idéias que se seguem podem ser úteis para delinear um plano. 

Tente Reconhecer Algo Familiar Relacione a situação dada com seu conheci- 
mento anterior. Focalize na incógnita e tente se lembrar de um problema mais familiar que 
a envolva. 

Tente Reconhecer os Padrões Alguns problemas são resolvidos reconhecendo-se 
o tipo de padrão no qual ocorrem. O padrão pode ser geométrico, numérico ou algébrico. 

- Você pode ver a regularidade ou a repetição em um problema ou ser capaz de conjecturar 
sobre o padrão de seu desenvolvimento para depois prová-lo. 

Use Analogias Tente pensar sobre os problemas análogos, isto é, um problema simi- 
lar, um problema relacionado, mas que seja mais simples que o problema original. Se você 
puder resolver o problema similar mais simples, isso poderá lhe dar pistas para a solução 
do problema original, mais difícil. Por exemplo, se um problema envolver números muito 
grandes, você poderá primeiro tentar um problema similar com números menores. Caso o 
problema envolva a geometria tridimensional, você poderá tentar primeiro um problema 
similar bidimensional. Se seu problema for genérico, tente primeiro um caso especial. 

Introduzindo Alguma Coisa Extra As vezes pode ser necessário introduzir algo 
novo, um auxílio extra, para que você faça a conexão entre o que foi dado e o que foi 



80 


!« 



pedido. Por exemplo, em um problema no qual o diagrama é fundamental, a ajuda extra 
pode ser o traçado de uma nova reta nele. Em problemas mais algébricos pode ser a intro- 
dução de uma nova incógnita relacionada com a original. 

Dividindo em Casos Algumas vezes temos de dividir o problema em vários casos 
e usar para cada um deles um argumento diferente. Por exemplo, empregamos essa estraté- 
gia quando tratamos com os valores absolutos. 

Trabalhando Retroativamente As vezes é proveitoso imaginar que seu problema 
foi resolvido e trabalhar passo a passo retroativamente até chegar ao que foi dado. E então 
você poderá ser capaz de reverter seus passos e, portanto, construir uma solução para o 
problema original. Esse procedimento é usado frequentemente na solução de equações. 
Por exemplo, ao resolver a equação 3x - 5 = 7, supomos que x seja um número que satis- 
faça 3x - 5 = 7 e trabalhamos retroativamente. Adicionamos 5 a ambos os lados da 
equação e então dividimos cada lado por 3 para obter jc — 4. Corno cada um desses pas- 
sos pode ser revertido, resolvemos o problema. 

Estabelecendo Submetas Em um problema complexo é frequentemente proveitoso 
estabelecer submetas (nas quais a situação desejada está apenas parcialmente satisfeita). 
Você pode atingir primeiro essas submetas e, depois, a partir delas, chegar à meta final. 

Raciocínio Indireto Algumas vezes é apropriado atacar o problema indiretamente. 
Para provar, por contradição, que P implica Q , supomos que P e Q são falsos e tentamos 
mostrar por que isso não pode acontecer. De certa forma temos de usar essa informação e 
chegar a uma contradição do que sabemos perfeitamente ser verdadeiro. 

Indução Matemática Para provar as afirmações que envolvem um número inteiro 
positivo n , é freqüentemente útil usar o princípio que se segue. 

— — - | 

Principio da Indução Matemática Seja S n uma afirmação sobre o número inteiro n. j 

Suponha que 

1. Si seja verdadeira. 

2. Sk + 1 seja verdadeira sempre que St for verdadeira. 

Então S„ é verdadeira para todo n inteiro positivo. 


Cumprindo o Plano 


41 Revendo 


Isso é razoável, pois uma vez que S t é verdadeira, segue, da condição 2 (com k — 1), 
que S 2 é verdadeira. Então, utilizando a condição 2 com k — 2, vemos que S 3 é verdadeira. 
E novamente usando a condição 2 e, dessa vez, com k = 3, temos S 4 como verdadeira. 
Esse procedimento pode ser seguido indefinidamente. 

Na etapa 2 um plano foi delineado. Para cumpri-lo devemos verificar cada etapa do 
plano e escrever os detalhes que provam a correção de cada etapa. 

Tendo completado nossa solução, é prudente revisá-la, em parte, para ver se foram 
cometidos erros e, em parte, para ver se podemos descobrir uma forma mais fácil de 
resolver um problema. Outra razão para a revisão é que ela nos familiarizará com o 
método de solução que poderá ser útil na solução de futuros problemas. Descartes disse: 
“Todo problema que resolvi acabou se tornando uma regra que serviu posteriormente 
para resolver outros problemas”. 

Esses princípios da solução de problemas estão ilustrados nos exemplos a seguir. 
Antes de ver as soluções, tente resolvê-los usando os princípios estudados anteriormente. 


MI 




hntendendo o problema 


Desenhando um diagrama 


Pode ser proveitoso consultar de tempos em tempos esta seção, quando estiver resol- 
vendo os exercícios nos demais capítulos do livro. 

Exemplo 1 Expresse a hipotenusa h do triângulo retângulo com urna área de 25 nr 
como uma função do seu perímetro P. 

Solução Classifique primeiro as informações identificando a quantidade desconhecida e 
os dados: 

Incógniur. hipotenusa h 
Quantidades dadas : perímetro f\ área 25 nr 
É util fazer um diagrama; assim, fizemos isto na Figura 1 . 


FIGURA 1 


Ligando os dados com a incógnita 
introduzindo alguma coisa extra 


Relacionando com algo familiar 


A fim de conectar o que foi dado à incógnita, introduzimos duas variáveis extras , a e /?, 
que são os comprimentos dos outros dois lados do triângulo. Isso nos possibilitará expres- 
sar a condição dada, de o triângulo ser retângulo, pelo Teorema de Pitágoras: 

h 1 = a~ + b 2 

As outras conexões entre as variáveis surgem escrevendo-se as expressões para a área e 
ojperímetro: 

25 — \üb P = a + b 4* h 

Uma vez que P é dado, observe que temos agora três equações em três incógnitas a, b e ir. 

h 2 — a 2 + b' 

25 = | ab 

[|] P — a + b + h 

Embora tenhamos um número correto de equações, elas não são fáceis de ser resolvidas 
díretamente. Porém, se usarmos as estratégias de problema— solução para tentar reco- 
nhecer algo familiar, então poderemos resolver essas equações de forma mais fácil. 
Olhando os segundos membros das Equações 1, 2 e 3, eles não lhe lembram algo fami- 
liar? Observe que eles contêm os ingredientes de uma fórmula familiar: 

(a + bY = a 2 + 2 ab + b 2 

Usando essa idéia, vamos expressar (a + b) 2 de duas maneiras. Das Equações 1 e 2 
temos 


(a + b) 2 — (a 1 + b 2 ) + 2 ab = h~ + 4(25) 

Da Equação 3 temos 

(. a + bf = (P - hf - P 2 - 2Ph + h 2 


82 



Essa é a expressão requerida para h como uma função de P. 


n Dividindo em casos 


Como no exemplo ilustrado a seguir, é t requeri temente necessário usar o princípio de 
dividir em casos quando tratamos com valores absolutos. 


Exemplo 2 Resolva a desigualdade ]x - 3 j + jx 4- 2| < 1 1 


Solução Lembre-se da definição de valor absoluto: 


.v 



se .r Ss () 
se x < {) 


Segue-se que 


U ~ 3) 


se x — 3 3= 0 
se x — 3 < 0 


x — 3 
x + 3 


se x 5: 3 
se x < 3 


Analogamente 


x + 2 


x 4- 2 
(x + 2) 
x 4 2 
— x — 2 


se x + 2 5M) 
se x 4 2 < 0 

se x —2 
se x < —2 


Essas expressões mostram que devemos considerar três casos: 

x < -2 —2 =£ x < 3 x ^ 3 


CãSO 1 o Se x < -2, temos 


( x — 3 1 4- j x + 2 ( < 1 1 
— x + 3 — x ~ 2 < 11 
— 2x < 10 


x > -5 


CASO Ü □ Se -2 ss x < 3, a desigualdade dada torna-se 
— x t 3 + x 4- 2 < 11 

5 < 1 1 (se 

CASO iíl d Se x - 3, a desigualdade torna-se 

x - 3 + x + 2 < 11 
2x < 12 






Combinando os casos I-, II e í II . vemos que a desigualdade está satisfeita quando 
--5 < x < 6. Logo a solução é o intervalo ( — 5, 6). 


No exemplo a seguir tentaremos configurar a resposta examinando os casos especiais e 
reconhecendo um padrão. A seguir vamos prová-lo por indução matemática. 

Ao usar o Princípio da indução Matemática, vamos seguir as três etapas: 

Passo 1 Prove que S„ é verdadeira quando n ~ 1 . 

Passo 2 Presuma que S„ é verdadeira quando n = k e deduza cjue S„ é verdadeira quando 
n ~ k + l. 

Passo 3 Conclua que S„ é verdadeira para todo n pelo Principio da Indução Matemática. 

Exemplo 3 Se fo(x) — x/(x + i) e f„ +i — f 0 °f„ para n — 0, 1,2,..., encontre uma 
fórmula para fjx) . 

m Analogia: Vamos tentar um problema Solução Começamos por encontrar fórmulas para f n (x) nos casos especiais n = 1, 2 e 3 . 
mais simples 

f\(x) = ( fi) °fo)(x) —ft)(fo(x)) = fil — 7 “—) 


Procurando por um padrao 


X + 1 

x + 1 

X 

JC 

1 1 

2 v + 1 



2x + 1 

J J 

X + 1 

x + 1 

— f { f ( vVl — 

f( x 

v/o ,/! KX) 

X 

X 

fl \2x+ 1 

2x + 1 

2x + 1 

X 

X 

3,r 4- 1 

J 

3Ã- + 1 

2x + 1 

2.r + 1 


= z)(x) 

= MMxj) =. 

^°( 3.r + 1 , 

X 

X 


3x + 1 

3x + 1 

X 

X 

1 + I 

3x + 1 

4.r +■ 1 

3x + 1 



Observamos um padrão: o coeficiente de x no denominador de f n (x) é n + 1 nos três 
casos calculados. Assim sendo, fazemos a seguinte conjectura, no caso geral. 


' (n + 1 Kr + 1 

Para provar, usamos o Princípio da Indução Matemática. Já vimos que (4) é verdadeira 
para n — 1 . Suponha que ela é verdadeira para n — k, isto é, 


(A- + lk + 1 







Então fk+i{x) = (./o °./i)ú') - Mfk{x)) = f 0 


{k + .1 ),v + 1 
x 


(k t 1 ).y + 1 


(k + l).v + 1 


(k + l)x + I 


+ 1 


t & + 2)x + 1 (k + 2)x + 1 
(k 4- !)* + 1 


Essa expressão mostra que (4) é verdadeira para n = k 4- 1 . Portanto, por indução 
matemática, é verdadeira para todo « inteiro positivo. 


Problemas 

1. Um dos lados de um triângulo retângulo tem 4 cm de comprimento. Expresse o comprimento 
da altura perpendicular à hipotenusa como uma função do comprimento da hipotenusa. 

2. A altura perpendicular da hipotenusa de urn triângulo retângulo mede 12 cm. Expresse o 
comprimento da hipotenusa como uma função do perímetro. 

3 . Resolva a equação j 2x — 1 j — j x + 5 \ — 3. 

4 . Resolva a desigualdade | x — 1 | — j x — 3 | 3 * 5. 

5. Esboce o gráfico da função f{x) — | x 2 ~ 4 [jv | + 3 |. 

6. Esboce o gráfico da função g(x) — \x 2 — 1 j — jx 2 — 4 |. 

7. Faça o gráfico da equação x + ! x t = v + í y I. 

8. Faça o gráfico da equação x* - 4x 2 — xV + 4v 2 = 0. 

9 . Esboce a regiãQjdo piano que consiste em todos os pontos (x,y) tal que | x j + } y j *£ 1 . 

10. Esboce a região do plano que consiste em todos os pontos (x, y) tal que 


| x — y | + | x j — J y I =£ 2 

11 . Compute (log 2 3} (log 3 4) (log 4 5) * • • (logai 32). 

I~y 

12 . (a) Mostre que a função / (x) = ln (x + vx‘ +1) é ímpar. 

(h) Encontre a função inversa de /. 

13 . Resolva a desigualdade ln {.r - 2x - 2) 0. 

14 . Use de um raciocínio inverso para provar que log? 5 é um número irracional. 

15 . Uma pessoa inicia uma viagem. Na primeira metade do percurso ela viaja sossegadamente a 
30 mi/h; na segunda, ela vai a 60 mi/h. Qual sua velocidade média na viagem? 

16 . É verdadeiro que f 0 (g + h) — f° g +/°A? 

17 . Prove que, se n for um inteiro positivo, então 7" — 1 é divisível por 6. 

18 . Prove que 1 + 3 + 5 + • • • + (2 n — 1) = n 2 . 

19 . Se jnix) — x 2 e = foifÂx)) para n — 0, 1 , 2, . . . , encontre uma fórmula para f„{x). 

20. (a) Se f 0 (x) = — - — e / rt+t — f 0 ° f n para n ~ 0.1.2 encontre uma expressão para 

2 — x 

f n (x) e use a indução matemática para prová-la. 


ma 



(b) Faça os gráficos na mesma tela de e descreva os efeitos da composição repetida. 



Limites e 
Derivadas 



A idéia de um limite é 
ilustrada por retas secantes 
tendendo a uma reta tangente 



Em Uma Apresentação do Cálculo vimos como a idéia de iimite está subentendida 
em vários ramos do cálculo. Por isso, é apropriado começar nosso estudo de cálculo 
pesquisando os limites e suas propriedades. O tipo especial de limite usado para 
encontrar as tangentes e as velocidades dá origem à idéia central do cálculo diferen- 
cia! - a derivada. 


9 1 

8 Os Problemas da Tangente e da Velocidade 

Nesta seção vamos ver como surgem os limites quando tentamos encontrar a tangente ; 
uma curva ou a uma velocidade de um objeto. 


L,i O Problema da Tangente 

A palavra tangente vem do latim tangem , que significa “tocando’’. Assim, uma tangente ; 
uma curva é uma reta que toca a curva. Ou seja, uma reta tangente deve ter a mesm; 
direção e sentido que a curva no ponto de contato. Como tomar precisa essa idéia? 

Para um círculo poderíamos simplesmente seguir Eudides e dizer que a tangente é um, 
reta que intercepta o círculo uma única vez, conforme a Figura 1 (a). Para as curvas mai 
complicadas essa definição é inadequada. A Figura 1 (b) mostra duas retas, / e /, passand< 
por um ponto P sobre uma curva C. A reta l intercepta C somente uma vez, mas certament 
não aparenta o que pensamos ser uma reta tangente. A reta r, por outro lado, aparenta se 
uma tangente, mas intercepta C duas vezes. 


FIGURA t 



(a) 




Para sermos objetivos, vamos examinar no exemplo a seguir o problema de encontra 
uma reta tangente t à parábola y = x 2 . 


EXEMPLO 1 Encontre uma equaçao da reta tangente à parábola v = x 2 no ponto 

P( M). 

SOLUÇÃO Se soubermos como encontrar a inclinação m seremos capazes de achar uma 
equação da reta tangente t. A dificuldade está em termos somente um ponto P, sobre t, a< 
passo que para calcular a inclinação são necessários dois pontos. Observe, porém, que 
podemos calcular uma aproximação de m escolhendo um ponto próximo Q(x, r) sobre a 
parábola (como na Figura 2) e computando a inclinação mp Q da reta secante PQ. 

Vamos escolher x ¥=■ 1 de forma que (Q # P. Então 

x 2 - 1 

tnpQ = r 

x — 1 

Por exemplo, para o ponto <3(1,5, 2,25), temos 


mpQ = 


2,25 - 1 
1,5-1 


1,25 

0.5 


- 2,5 


8 



88 CÁlCUtõ Editora Thomson 

As tabelas mostram os valores de m PQ para vários valores de x próximos de I. 
Quanto mais próximo Q estiver de P, mais próximo x estará de 1 , e fica evidente que m PQ 
estará mais próximo de 2. Isso sugere que a inclinação da reta tangente r deva ser m = 2. 

Dizemos que a inclinação da reta tangente é o limite das inclinações das retas 
secantes, e expressamos isso simbolicamente escrevendo que 

lim mpQ — m e iim — — 2 

Q-*r i-»i x - 1 

Supondo que a inclinação da reta tangente seja realmente 2, podemos usar a forma 
ponto-inclinação da equação de uma reta (veja o Apêndice B) para escrever a equação 
da tangente no ponto (1,1) como 

v — 1 — 2{x — 1) ou y — 2x — 1 

A Figura 3 ilustra o processo de limite que ocorre neste exemplo. A medida que Q 
tende a P ao longo da parábola, as retas secantes correspondentes giram em torno de P e 
tendem à reta tangente t. 





Q tende a P pela direita 


\ 

\ 

/ 

t 

\ 1 / 

\ / " 

\ 

\ 

\ 

■ V f / 

1 i 


^ P / 


. /* 

\ 

V iqA 

0 

FIGURA 3 


X 

. 0 . 

' i 
f 

Q tende a P pela esquerda 

/ 

(ff A 

l 


Em ciências, muitas funções não são descritas por equações explícitas; elas são 
definidas por dados experimentais. O exemplo a seguir mostra como estimar a inclinação 
da reta tangente ao gráfico de uma dessas funções. 





m 


James Stevvart CAPÍTULO 2 LIMITES E OERSVADAS I 

kÂtvâ^Lu c O flash de uma câmera opera armazenando carga em um capacitor e 
liberando-a instantaneamente quando o flash é disparado. Os dados à esquerda 
descrevem a carga Q armazenada no capacitor (medida em microcoulombs) no instante i 
(medido em segundos após o flash ter sido disparado). Use os dados para fazer o gráfico 
dessa função e estime a inclinação da reta tangente no ponto onde t - 0.04. [Nota: A 
inclinação da reta tangente representa um fluxo de corrente elétrica do capacitor para o 
flash (medido em nricroampères).] 

SOLUÇÃO Na Figura 4 desenhamos os dados usados para esboçar uma curva que aproxi- 
ma o gráfico da função. 

Q f ; : : 


FIGURA 4 




Dados os pontos /AO .04. 67.03) e R (0.00, 100.00) sobre o gráfico, descobrimos que a 
inclinação da reta secante PR é 


m PR = 


100,00 - 67.03 
0,00 - (DM 


-824,25 


R 

mm 

(0.00. 100.00) 

2S 

,'P rp o > OT, 

74? 00 

'Ui. ’ .L • / 


í 0 06 *54.88 s 

607.50 

(0.08. 44.93) 

...... s ^ 7 >0 

(0.10. 36.76) 

504.50 


O significado físico da resposta no 
Exemplo 2 é que a corrente que flui do 
capacitor para o flash após 0,04 s é 
cerca de -670 microampères. 


A tabela à esquerda mostra os resultados de cálculos semelhantes para as inclinações de 
outras retas secantes. A partir dela podemos prever que a inclinação da reta tangente en 
t = 0,04 está em algum ponto entre —742 e —607,5. De fato, a média das inclinações da 
duas retas secantes mais próximas é 

| ( — 742 — 607,5) = -674,75 

Logo, por esse método estimamos que a inclinação da reta tangente é —675. 

Outro método é traçar uma aproximação da reta tangente em P e medir os lados do 
triângulo ABC , como na Figura 4. Isso dá uma estimativa da inclinação da reta tangente 
como 


| AB ] ^ 80,4 - 53,6 

\BC\ ~ 0,06-0,02 


O Problema da Velocidade 

Se você observar o velocímetro de um cano no tráfego urbano, verá que o ponteiro nã 
fica parado por muito tempo; isto é, a velocidade do carro não é constante (não estame 
considerando os congestionamentos). Podemos supor da observação do velocímetro que 
carro tenha uma velocidade definida em cada momento. Mas como está definida ess 
velocidade “instantânea”? Vamos esmiuçar o exemplo da bola caindo. 







.Editora Tftoajson 


BXmPLi} 3 : Suponha que uma bola é solta a partir do ponto de observação no alio da 
Torre CN em Toronto. 450 m acima do solo. Encontre a velocidade da bola após 5 
segundos. 

SOLUÇÃO Por meio de experimentos feitos séculos atrás, Galileu descobriu que a distância 
percorrida por qualquer objeto era queda livre é proporcional ao quadrado do tempo em 
que ele esteve caindo (esse modelo para a queda livre despreza a resistência do ar). Se a 
distância percorrida após t segundos for chamada s(t) e medida em metros, então a Lei 
de Galileu pode ser expressa pela equação 

í(/) = 4.9/ ' 

A dificuldade em encontrar a velocidade após 5 segundos está em tratarmos de uni único 
instante de tempo (/ — 5), ou seja. não temos um intervalo de tempo. Porém, podemos 
aproximar a quantidade desejada computando a velocidade média sobre o breve intervalo 
de tempo de um décimo de segundo, de t - 5 até t - 5.1: 

, ... ... distância percorrida 

tempo decorrido 

^ a ' ( - 5J ) ~ *( 5 ) 

0,1 


4,9(5, l) 2 - 4,9(5) 2 


— 49,49 m/s 


A tabela a seguir mostra os resultados de cálculos similares da velocidade média em 
períodos de tempo cada vez menores. 


Intervalo de tempo 

Velocidade média (m/s) 

5 ss ? sá 6 

53.9 

5 =£ t 5.1 

49.49 

5 5.05 

49.245 

5 sá / «s 5.0 i 

49 049 

s * r< * nn i 


_ 



Fica evidente que, à medida que encurtamos o período do tempo, a velocidade média 
fica cada vez mais próxima de 49 m/s. A velocidade instantânea quando / - 5 é definida 
como o valor limite dessas velocidades médias em períodos de tempo cada vez menores, 
começando em / = 5. Assim, a velocidade (instantânea) após 5 segundos é 

v -- 49 m/ s 

v ocê de\ e ter visto que os cálculos usados na solução desse problema são muito seme- 
lhantes aqueles usados anteriormente nesta seção para encontrar as tangentes. Na reali- 
dade. há uma estreita relação entre os problemas da tangente e do cálculo de velocidades. 
Se traçarmos o gráfico da função distância percorrida pela bola (como na Figura 5) e consi- 
derarmos os pontos P{a, 4,9a 2 ) e Q(a + hA9(a + hf) sobre o gráfico, então a incli- 
nação da reta secante PQ é 


a 



)am«s Stevvart CAPÍ7ÜL0 2 


que é igual à velocidade média no intervalo de tempo [a. a + h]. Logo. a velo cicií 
instante / - a (o limite dessas velocidades médias quando h tende a 0) deve sei 1 ‘ 
inclinação da reta tangente em P (o limite das inclinações das retas secantes). 


s — 4.9 t~ 



Inclinação da rela secante 
velocidade média 


s ~ 4.9r 


/ Inclinação da tangente 
p — velocidade instaurar 


FIGURA 5 


0 [ / a a + /? 

í / 

(a) 


Os Exemplos 1 e 3 mostram que para resolver os problemas da velocidade e da tangente 
devemos ser capazes de encontrar os limites. Após estudarmos os métodos para o cálculo 
de limites nas próximas quatro seções, vamos retornar aos problemas de encontrar tan- 
gentes e velocidades na Seção 2.7. 


Exercícios 


1. Um tanque com capacidade para 1 .000 galões de água é 

drenado pela base em meia hora. Os valores na tabela mostram 
o volume Vde água remanescente no tanque (em galões) após 
t minutos. 


t (mini | 

5 j 10 

15 

20 

25 

30 

V' (salões) 1 

694 j 444 

250 

131 

28 

0 


(a) Se P for o ponto (15, 250) sobre o gráfico de V, encontre 
as inclinações das retas secantes PQ, onde Qéo ponto 
sobre o gráfico correspondente a t — 5, 10, 20, 25 e 30. 

(b) Estime a inclinação da reta tangente em P pela média das 
inclinações de duas retas secantes. 

(c) Use o gráfico da função para estimar a inclinação da reta 
tangente em P. (Essa inclinação representa a taxa segundo 
a qual a água flui do tanque após 15 minutos.) 

Um monitor é usado para medir os batimentos cardíacos de um 
paciente após uma cirurgia. Ele fornece um número de 
batimentos cardíacos após / minutos. Quando os dados na 
tabela são colocados em um gráfico, a inclinação da reta 
tangente representa a taxa de batimentos cardíacos por minuto. 


530 i 2.661 ! 2.806 j 2.948 i 3.080 



Batimentos 

cardíacos 


O monitor estima esse valor calculando a inclinação de uma 
reta secante. Use os dados para estimar a taxa de batimentos 


cardíacos após 42 minutos utilizando a reta secante entre os 
pontos com os valores de t dados. 

(a) t = 36 e t = 42 (b) t = 38 e t = 42 

(c) t — 40 e 1 = 42 (d) t = 42 e í ~ 44 

Quais são suas conclusões? 

3. O ponto P(1 . |) pertence à curva v = x/(í + x). 

(a) Se Q é o ponto (xvr/(l + x)}. use a calculadora para 
determinar o coeficiente da reta secante PQ , com 
precisão de seis casas decimais, para os seguintes 
valores de .r: 

(i) 0,5 (ií) 0.9 (Ui) 0,99 (iv) 0,999 

(v) U (vi) 1,1 (vii) 1,0 1 (vivi) 1,001 

(b) Usando os resultados da parte (a), estime o valor da 
inclinação da reta tangente à curva no ponto P(\.j). 

(c) Utilize a inclinação obtida na parte (b) para achar uma 
equação da reta tangente à curva em P{\, 2 ). 

4. O ponto P( 2. In 2) pertencente à curva y = ln x. 

(a) SeQéo ponto (x. In x). use sua calculadora para 
determinar o coeficiente angular da reta secante PQ. 
com precisão de seis casas decimais, para os seguintes 
valores de jr: 

(i) L5 (v) 2,5 

(ií) 1,9 (vi) 2,1 

(iii) 1,99 (vii) 2,01 

(iv) 1 ,999 (viii) 2,001 

(b) Usando os resultados da parte (a), estime o valor da incli- 
nação da reta tangente à curva no ponto P( 2, ln 2). 





Editora Tftessso» 


32 r SAICUIO 

(c) Use a inclinação obtida na parte íb) para achar uma 
equação da reta tangente à curva em P{ 2 . In 2). 

(d) Faça uma figura utilizando duas dessas retas secantes e a 
reta tangente. 

5. Uma boia é atirada no ar com uma velocidade de 40 pés/s, e 
sua altura em pés após t segundos é dada por y — 40/ — 16/’. 

(a) Encontre a velocidade média para o período de tempo que 
começa quando / — 2 e dura de 

(i) 0,5 s (ii) 0,1 s 

(iii) 0,05 s (tv) 0.01 s 

(b) Encontre a velocidade instantânea quando / = 2. 

5. Uma flecha é lançada para cima com uma velocidade de 58 m/s, 
e sua altura em metros após t segundos é dada por 
h ~ 58/ - 0,83r. 

(a) Encontre a velocidade média durante os intervalos de 
tempo dados: 

(i) [1,2] (ii) [J, 151 (iii) [1, 1,1] 

(tv) [K KOI] (v) [I, 3,0011 

(b) Encontre a velocidade instantânea após 1 segundo. 

7. O deslocamento (em pés) de uma certa partícula movendo-se 
em linha reta é dado por s = ? V 6, onde ? é medido em 
segundos. 

(a) Encontre a velocidade média durante os períodos de 
tempo a seguir: 

(i) [1,3) (ii) [1,2] 

(iii) [1.1 ,5] (iv) [ K U j 


íb) Enco.nt.re a velocidade instantânea quando t ~ 1. 

(c) Faça um gráfico de s como uma função de / e trace retas 
secantes com inclinações iguais às velocidades medias 
encontradas na parte (a). 

(d) Trace a reta tangente cuja inclinação é a velocidade 
instantânea da parte (b). 

8. A posição de um carro é dada pelos valores mostrados na 
tabela. 



(a) Encontre a velocidade média para o período de tempo 
começando quando t ~ 2 e durando 

(i) 3 s (ii) 2 s (iii) 1 s 

(b) Use o gráfico de s como uma função de / para estimar a 
velocidade instantânea quando t -- 2. 

9. O ponto P( 1 , 0) está sobre a curva y ~ sen(10ir/^). 

(a) Se Q for o ponto (x, sen( IQtt/x)), encontre a inclinação da 
reta secante PO (correta até a quarta casa decimal) para 
x = 2, 1 ,5, 1,4, í ,3. 1 ,2, KK 0,5, 0,6, 0,7, 0,8 e 0,9. Fica evi- 
dente ou não que as inclinações tendem a um limite? 

Ü (b) Use um gráfico da curva para explicar por que as 

inclinações das retas secantes da parle (a) não estão 
próximas da inclinação da reta tangente ern P. 

(c) Escolhendo as retas secantes apropriadas, estime a 
inclinação da reta tangente em P. 





O Limite de u ma Funçã o 


v * 

k ; 

/(*) 

* ;V=.X Z -X + 2 

tende a 

-4 4- 

4,0 

t /, 

\ 

/ 1 

\ 



: 


1 1 

I i 

_ Õ 

► 2 *- x 


Quando jc tende a 2,0 


FIGURA 1 


Tendo visto na seção anterior como surgem os limites quando queremos encontrar as tan- 
gentes a uma curva ou a uma velocidade de um objeto, vamos voltar nossa atenção para 
os limites em geral e para os métodos de computá-los. 

Vamos investigar o comportamento da função /definida por fix) = x 2 - x + 2 para 
valores de x próximos de 2. A tabela a seguir fornece os valores de f(x) para valores de x 
próximos de 2, mas não iguais a 2. 



ff v) 

•v 

Au 

( n 

2,000000 


8-000000 

] .5 

2,750000 

2 -5 

5 J5( K j! }() 

!.j: 

3.440000 

j.,2 

4,640000 


3-7 1 0000 

2 * i 

I 4 \ CiC)()i \ 

! .95 

* 61 ' 2 tá )() 

2 .05 

4 .3 52500 

1 -99 

3.970100 

2.01 

4,030100 

i -VSO 

3.985025 

2.005 

4.015025 

i.999 

3.997001 

2.00 S 

4,00300 i 


Da tabela e do gráfico de /(uma parábola) mostrado na Figura 1 vemos que quando x 
estiver próximo de 2 (de qualquer lado de 2 ),/(x) estará próximo de 4. De fato, é evidente 
que podemos tornar os valores de / (x) tão próximos de 4 quanto quisermos tomando x 
suficientemente próximo de 2. Expressamos isso dizendo que “o limite da função 
f(x) — x 2 — x + 2 quando x tende a 2 é igual a 4”. 




James Stewart 


CAPÍTULO 2 


93 



A notação para isso 


fim (a 2 x + 2) -- 4 


Em geral, usamos a seguinte notação. 


hj Ogfmíção Escrevemos 

lim/(.r) = L 

x -* <1 

e dizemos “o limite de /(a), quando x tende a a, é igual a lf 

se pudermos tornar os valores de f(x) arbitrariamente próximos q e L (tão próximos de L 
quanto quisermos), tornando x suficientemente próximo de a (por ambos os lados de a) 
mas não igual a a. 


Grosso modo, isso significa que os valores de f(x) ficam cada vez mais próximos do 
número L à medida que .t tende ao número a (por qualquer lado de a), mas x a. Uma 
definição mais precisa será dada na Seção 2.4. 

Uma notação alternativa para 

lim /(a) — L 


é f(x) L quando x a 

que deve ser lida assim: “/(a) tende a L quando x tende a a ”, 

Preste atenção na frase '‘mas x ^ a” na definição de limite. Isso significa que ao procu- 
rar o limite de /(a) quando x tende a a nunca consideramos x — a. Na realidade, /(a) não 
precisa sequer estar definida quando x ~ a. A única coisa que importa é como / está 
definida próximo de a. 

A Figura 2 mostra os gráficos de três funções. Note que, na parte (c ),f{d) não está 
definida e, na parte (b), fia) ¥=■ L. Mas em cada caso, não importando o que acontece em 
a. lim, = L. 


y j 



V j 


v , 



L 



1 

i 

L 

,/f 


* 

/ ! 

| 

1 


/ 

/ 

{ 

\ 

\ 

\ 

\ 

x 

y"" v 

/ í 
/ ! 

\ * 






...í ... 


; 


0 

a 

X 

0 

a x 


a 

X 


(a) 



(b) 


(c) 



FIGURA 2 

lim /(a) — L nos três casos x - } 

x ^ u íXEMPLO 1 □ Encontre o valor de lim — 7 —-. 

x-f ,f - 1 

SOLUÇÃO Observe que a função f(x) — (a - I)/(a 2 - 1) não está definida quando x = 1 . 
Mas isso não importa, pois a definição de linv^/Çx) diz que devemos considerar 
valores de a que estão próximos de a , mas que não são iguais a a. As tabelas dão os 



94 


j ' 
j 
1 

i v. 

J 

1 .00 ] 

! .0001 



valores àefix) (corretas até a sexta casa decimal) para os valores de x que tendem a I 
(mas hão são iguais a I). Com base nesses valores podemos determinar que 


lim — — 

■--o - 


0.5 


O Exemplo 1 está ilustrado pelo gráfico de/n a Figura 3. Vamos agora mudar ligeira- 
mente /definindo seu valor como 2 quando .v = 1 e chamando a função resultante de g: 





x - 1 

s 

e A' + 1 
C A --- 1 

é 



0Í-O - ■ 

X 2 - j 
2 s 


Essa função g tem o mesmo 

limite quando x tende 

a 1 (ver Figura 4), 


I 

t 


V 



\ 

\ 



\ 4 - 



\ 

\ 

f 

0,5 - 

k. 

y _ X- 1 




. 

¥ 

0,5 - 

Á 

X. >’ = - r à v ) 


0 


X 

0 

• •> ] -a X 


FIGURA 

3 


FIGURA 4 



íIPLO 2 □ Encontre lim 

,~:-Q 


SOLUÇÃO A tabela fornece uma lista de valores da função para vários valores de t próxi- 
mos de 0. 


t 

v± + 9 

±0.0005 

0,16800 

± 0.0001 

0,20000 

±0.00005 

0,00000 

± 0 . 0000 ! 

0,00000 



A medida que t tende a 0, os valores da função dão a impressão de que eles aproxi- 
mam-se de 0,1 666666... Assim, depreendemos que 


lim 

f -»0 


/t~ 9 - 3 
t 2 


1 

6 


O que aconteceria no Exemplo 2 se tivéssemos tomado os valores ainda menores para 
f? A tabela mostra os resultados obtidos em uma calculadora; você pode notar que algo 
estranho está acontecendo. 










James Stewart 


CAPÍTULO 2 


Para masores esclarecimentos do 
& porquê de as calculadoras darem 
resultados eventualmente falsos. 

: veja a página na web 

www. s tewartcalculus. com 


Clique em Additional Topics e depois 
em Lies My Calculator and Computer 
Toid Me. Em particular, veja a seção 
chamada The Perl Is of Subtraction. 


Sc voce tentar fazer esses cálculos em sua calculadora, poderá obter os valores 
diferentes, mas finalmente vai obter o valor 0 sc fizer t suficientemente pequeno. Isso 
significa que a resposta e realmentc 0 e não $ ? Não, o valor do limite é , conforme veremos 
na próxima seção. O problema é que r :: olculadora -Já valores pois *Jt 2 + 9 é muito 

próximo de o quando t é pequeno. ( Na real idade, quando / é suficientemente pequeno, um 
valor obtido na calculadora para s/t 2 + 9 é 3,000 . . . com tantas casas decimais exatas 
quanto for capaz de computar a calculadora,) 

Algo muito parecido acontece quando tentamos fazer o gráfico da função 

w T To - 3 


do Exemplo 2 em uma calculadora gráfica ou computador. As partes (a) e (b) da Figura 5 
mostram gráficos bem precisos de /, e, quando usamos trace mode (se disponível), 
podemos facilmente estimar que o limite é cerca de J. Porém, se dermos um zoom . como 
nas partes (c) e (d), obteremos gráficos imprecisos, novamente em virtude de problemas 
com a subtração. 


(a) j 5. 5] por [••(), 1 . 0.3] 
FIGURA 5 


0,2 

0,2 i 

I 


0,1 

0,1 

1! 

i 

If 






(b) [-0,1, 0,1] por 1-0,1, 0,3] 


(c) [-10 <! , 10 ' 1 por [ 0.1 . 0,3] 


(d) [ -10 ', 10”] por [- 0,1, 0,3] 


senx 

IXmPiB 3 □ Encontre lim 

-í~>e jc 


SOLUÇÃO Novamente a função f(x) = (sen x)/x nao está definida quando x — 0. Usando 
uma calculadora (e lembrando que se x £ IR, sen x significa o seno de um ângulo cuja 
medida é x radiemos ), construímos a tabela a seguir para os valores corretos até a oitava 
casa decimal. Da tabela e do gráfico da Figura 6 temos que 


lim 

,*-»o 


se n a 


1 


Essa conjectura é de fato correta, como será provado no Capítulo 3 usando argumentos 
geométricos. 



sen . v 



i 1 .0 

0,84147098 



=0.5 

0,95885 108 

y 


r04 

0,97354586 


, sen ,v 

1 y = ----- 

±02 




± 0. j 

0.99833417 



±0-05 

0-99958339 



3 0.0 1 

0,99998333 

~1 0 

i x 

0.005 

0.99999583 



r 0-00 

0,99999983 

FIGURA 6 






Editora Thomson 



35. -j CÁLCULO 


r: CÃS 

Os sistemas algébricos computacionais 
(CAS - Computer Álgebra Systems) 
têm comandos para computar os 
limites. A fim de evitar falhas como as 
demonstradas nos Exemplos 2, 4 e 5, 
eles não encontram os limites por 
experimentação numérica. Em vez 
disso, usam técnicas mais sofisticadas, 
como o cálculo por séries infinitas. Se 
você tiver acesso a um CAS, use o 


comando de limite para computar os 
limites nos exemplos desta seção e 
venftcar suas respostas aos exercícios 
deste capítulo. 


E X £ W P 1 0 4 : En c oiitre I i m sen — . 

***o x 

SOLUÇÃO Mais uma vez a funçâo /( l/n) ~ sen(7r/x} não está definida em 0. Obtendo a 
função para alguns valores pequenos de x, temos 

/(;l ) - sen 7 r = 0 f({) = sen 2 tt = 0 

/(I) == sen 37 t = 0 f(() = sen 4rr — 0 

/(0J ) = sen lOrr = 0 /(0 ,01 ) = sen 100 77 = 0 

Da mesma forma / (0 ,001) — f (0.0001 ) — 0. Com base nessa informação poderíamos 
ser tentados a conjecturar que 

lim sen — — 0 

,V“>0 Jf 


& Dessa vez, no entanto, nossa conjectura está errada. Observe que embora /(!/«) = sen nrr = 0 
para todo número inteiro n, é também verdadeiro que f(x) — 1 para infinitos valores de x 
que tendem a 0. [De fato, sen (ttIx) = 1 quando 


77 77 

x 


+ 2 «77 


e, resolvendo para x t obtemos x = 2/(4 n + l).j O gráfico de/é dado na Figura 7, 


FIGURA 7 



As curvas tracejadas indicam que os valores de sçniw/x) oscilam entre 1 e - 1 
infinitas vezes quando x tende a 0 (veja o Exercício 37). Uma vez que os valores de f(x) 
não tendem a um número fixo quando x tende a 0, 

lim sen —não existe 

x -> 0 x 



EXEMPLO 5 Encontre lim [ x 3 + — — \ 


10.000 j 

SOLUÇÃO Como antes, construímos uma tabela de valores. Da tabela parece que 


/ „ cos 5x 
lim x J + — — rr 

x-*o\ 10.000 


- 0 



.wmm 


. James Stewart CÂPÍTUtO l U Ml 7 ES E SEMVAD-S 

Mas se continuarmos com os valores ainda menores de x, a segunda tabela sugere que 

/ , cosox \ 1 

lim A' -f — — - 0,000100= 

10.000/ 10.000 

Mais tarde veremos que lim^ 0 eos 5 a = 1 „ e então segue que o limite é 0.0001 . 

|§§ Os Exemplos 4 e 5 ilustram algumas das fainas na conjectura sobre o valor de um 

É fácil concluir pelo valor falso se usarmos os valores não apropriados de x, mas é difícil 
saber quando parar de calcular esses valores. Assim, como mostra a discussão após o 
Exemplo 2, algumas vezes as calculadoras e computadores dão valores falsos. Nas duas 
próximas seções, porém, vamos desenvolver métodos infalíveis no cálculo de limites. 


y í 

1* 

— 

— 

0 



FIGURA 8 


EXEMPLO 6 A função de Heaviside, H. é definida por 

HU) — í° SC ' <0 
[\ se / Ss 0 

[Essa função, cujo nome homenageia o engenheiro elétrico Oliver Heaviside (1850- 
1925), pode ser usada para descrever uma corrente elétrica que é estabelecida em t = ().] 
Seu gráfico está na Figura 8. 

Quando t tende a 0 pela esquerda, H(t) tende a 0. Quando / tende a 0 pela direita, H(t) 
tende a 1 . Não há um número único para o qual H(t) tende quando t tende a 0. Portanto, 
linV, 0 HU) não existe. 2- 


' Limites Laterais 

Vimos no Exemplo 6 que H(t) tende a 0 quando t tende a 0 pela esquerda, e tende a 1 
quando t tende a 0 pela direita. Indicamos essa situação simbolicamente escrevendo 

lim H(t) - 0 e lím //(/) - 1 

/-* cr (U 

O símbolo 0 " índica que estamos considerando somente valores de t menores que 0. 
Da mesma forma, “r-*ü + ” indica que estamos considerando somente valores de t maiores 
que 0. 


j [fj Definição Escrevemos 

lim /(a) — L I 

X l í \ 

e dizemos que o limite esquerdo de f(x ) quando x tende a a [ou o limite def(x) 

\ quando x tende a a pela esquerda] é igual a L se pudermos tornar os valores de 

I /(a) arbitrariamente próximos de L, tomando-se a suficientemente próximo de a e 

j x menor que a. 


Observe que a Definição 2 difere da Definição 1 pelo fato de exigirmos que x seja 
menor que a. Analogamente, se for exigido que x seja maior que a, obteremos “o limite 
direito de f(x) quando x tende a a como igual a L’\ e escrevemos 

lim /(a) — L 

x a* 




/ S3- ,, Civ-JVLf: 


» ?'■ 


Dessa forma, o símbolo x —* w indica que estamos considerando somente 
definições estão ilustradas na Figura 9. 


fcssas 


m 


fix) 


FIGURA 9 


(a) Um f'(x) ~~ L 


(b) Hm fix) L 


Comparando a Definição 1 com a de limites laterais, vemos ser verdadeiro o que está a 
seguir. 


V 1 

4 

• 

3 - 

y ~ g(x) 

/ 


/ 

* 

t - 

—4 1 1 -i H 


12 3 4 5 


FIGURA 10 


lim/tv) = L se e somente se lim fix) — L e Hm fix ) = L 


EXEMPLO 7 □ O gráfico de urna função g está na Figura 10. Use-o para estabelecer 
(caso existam) os seguintes limites: 

(a) fim g(x) (b) lim ^ú) (c) lim g(x) 

(d) fim g{x) (e) lim gix) (f) fim g{x) 

SOLUÇÃO A partir do gráfico vemos que os valores de g(x) tendem a 3 à medida que os de 
x tendem a 2 pela esquerda, mas se aproximam de 1 quando x tende a 2 pela direita. Logo 

(a) lim g(x) = 3 e (b) lim + g(x) — I 

(c) Uma vez que são diferentes os limites esquerdo e direito, concluímos de (3) que o 
lim.„ 2 g( x ) não existe. 

O gráfico mostra também que 

(d) lim gix) — 2 e (e) lim qix) = 2 

A- fi" V 5+ ' 

(í) Agora o limite esquerdo e o direito são iguais; assim, de (3) segue-se que 

lim g(x) — 2 

Apesar desse fato, observe que gi5) j 6 2. 


L..J Limites infinitos 

EXEMPLO 8 □ Encontre se existir o lim 

x-X) x * 

SOLUÇÃO A medida que x se aproxima de 0, x 2 também se aproxima de 0. e \/x 2 fica 
muito grande (veja a tabela na página a seguir). De fato, evidencia-se do gráfico da 
Figura 1 1 que a função fix) = \/x 2 pode se tomar arbitrariamente grande ao tomarmos 



James Stewart 


99 



-■APiTüLO 2 


os valores de x próximos de 0. Assim, os valores de/(x) não tendem a um número, e não 
existe lim ( l/-v 2 ) . 


V A 



Para indicar o comportamento de uma função análogo ao da função do Exemplo £ 
usamos a notação 

lim — = só 

•í-»0 A'" 

Si! ^ sso °ã° significa considerar 20 como um número. Tampouco significa que o limite exista 
E simplesmente uma maneira de expressar uma forma particular da não-existência do li- 
mite: \/x 2 pode assumir valores tão grandes quanto quisermos, bastando para isso esco- 
lhermos os valores de ,v adequadamente próximos de 0. 

Em geral, simbolicamente, escrevemos 


lim/ú) = oc 

X**tl 

para indicar que os valores de f(x) tornam-se cada vez maiores (ou “crescem sem li- 
mites”), quando x torna-se maior, quanto mais próximos estivermos de a [ou que os valo- 
res de/(x) “crescem sem limitação”]. 


1 4 1 Definição Seja / uma função definida em ambos os lados de a , exceto pos- 
sivelmente em tt. Então 

lim /(a) = oo 

significa que podemos fazer os valores de f(x) ficarem arbitrariamente grandes 
(tão grandes quanto quisermos) tomando x suficientemente próximo de a, mas não 
igual a a. 

Outra notação para lim*-** f(x) = 22 é 


y í 

j \ CÒ 


/ ' Y' 


/ \ 

\ 

\ 

/ 

\ ; 

V 

/ 

í 


x - a 


FIGURA 12 
lim /Cc) x 

x"*a 


f(x) 30 quando x a 

Novamente o símbolo oo não é um número, mas a expressão lim .,~> 0 /(x) — normal 
mente é lida como 

“o limite de /(a), quando x tende a a, é infinito” 
ou “/(a) torna-se infinita quando x tende a «*’ 

ou ainda “/(a) cresce sem limitação quando x tende a a” 

Essa definição está ilustrada na Figura 12, 



>'f 

I 




X = a 



a 

0 

/X,. 


hm tipo análogo de hmite, que ocorre quando a função torna-se grande em valor ahso 
luto. porém é negativa quando x se aproxima de a, cujo significado está na Definição 5 < 
ilustrado na Fisura 13. 


>’ = f(x) 


FIGURA 13 
limf(x) — 


- ■' AutUyfc;} Seja f uma função definida em ambos os lados de a. exceto possivt 
mente em a. Então 

lim fix) -- —oo 

significa que os valores de f(x) podem ser arbitrariamente grandes, porém nega- 
tivos, escolhendo-se os valores de x próximos de a, mas diferentes do próprio a. 


() símbolo lim , T _>„ f(x) = — oo pode ser lido das seguintes formas: "o limite de/fx) é 
menos infinito quando x tende a a ", ou ”/ (x) decresce sem limitação quando x se 
aproxima de d\ Por exemplo, temos 


lim 

•*■*0 V X 


Definições similares podem ser dadas no caso de limites laterais 
lim fix) — oo fim f{x) — oo 

.!-><( ..V-»0 + 

lim/(x) = — cc fim + f(x) = —oo 

lembrando-se de que “x -><r” significa considerar somente os valores de x menores que a, 
ao passo que "x —>d significa considerar somente valores de x > a (veja as ilustrações para 
os quatro casos na Figura 14). 


y > 

I 

í 

I 

i 

/ 

y i 

1 

1 

y j 

\ : 

y 

/ 

f 

/ 

/ \0 

a .x 

0 

a \ x 

'A 

0 

\ . a x 

\ 

0 

“■ LT r 3/ 1 

\ 

(a) limy(x) ~ oc. 
FIGURA 14 

(b) lim j\x) -- » 

(c) lirn fU) - -oc 

(d) lím /(x) = : -oc- 


LU Definição A reta i = íié chamada assintota vertical da curva y — f(x) se 
pelo menos uma das seguintes condições estiver satisfeita: 

lim f(x) — oo fi m f(x) = oo fim f(x) — oo 
x ~* a 

lim/(x) = -oc lim f{x ) = -oo fim fix) =- -» 

Jt '*° x-*a 


Por exemplo, o eixo y é uma assintota vertical da curva y ~ l/x 2 , pois lim^íl/x 2 ) — oo. 
Na Figura 14 a reta x — a é uma assintota vertical em cada um dos quatro casos 
considerados. Em geral o conhecimento de assintotas verticais é muito útil no esboço de 
gráficos. 






FIGURA 16 
V = tg X 



FIGURA 1? 

O eixo y é uma assintota vertical da função 
logaritmo natural . 


James Stewart CAPITULO 2 LIMITES S DERIVADAS 101 

2x 2x 

k/iímPll: a Encontre lim — e iim . 

x ~*- + X “ 3 -r-*?- X — 3 

SOLUÇÃO Se x está próximo a 3 mas é maior que 3, então o denominador x - 3 é um 
número positivo pequeno e 2x está próximo a 6. Portanto, o quociente 2x!{x ~ 3} é um 
número positivo grande. Então, intuitivamente, vemos que 

2x 

lim — — = oc 
•v^3 + .v - 3 

Analogamente, se x está próximo a 3 mas é menor que 3. então x - 3 é um número nega- 
tivo pequeno, mas 2x ainda é um número positivo (próximo a 6). Portanto, 2xf(x - 3) é 
um número negativo numericamente grande. Então 


lim 

V ^ 3- 



OO 


O grálico da curva y = 2x/(x - 3) está dado na Figura 15. A reta x = 3 é uma assintota 
vertical. 

EXEMPLO 10 □ Encontre as assintotas verticais de /(x) — tg x. 

SOLUÇÃO Como 

senx 
cos x 

existem assintotas verticais potenciais em que cos x — 0. De fato. como cos x -*0 + quandc 
x~Mjx!2)~ e cos x-^ü - quando x->(ir/2) + , considerando que sen x é positivo quando x está 
próximo de tt/2. temos 

lim tg x = oo e lim tg x — -oo 

.í -»(n/ 2)'" x -»(n/2) + 

Isso mostra que a reta x = tt/2 é uma assintota vertical. Por raciocínio análogo mostra 
que as retas x = (2 n + l)ir/2, onde n é um inteiro, são todas assintotas verticais de 
f(x) — tg x. O gráfico da Figura 16 confirma isso. 

Outro exemplo de uma função cujo gráfico tem uma assintota vertical é a função loga- 
ritmo natural y ~ Inx. Da Figura 17 vemos que 

I lim Inx = — j 


e assim a reta x — 0 (o eixo v) é uma assintota vertical. Na realidade, isso é válido para 
y = log a x desde que a > 1 . (Veja as Figuras 1 1 e .12 na Seção 1 .6.) 



Exercícios 




1. Explique com suas palavras o significado da equação 


2, Explique o que significa para você dizer que 


J.im/(x) — 5 

É possível, diante da equação anterior, que /( 2) - 3? Explique. 


lim fix) ~ 3 e lim f(x) — 7 


Nessa situação é possível que !im.^ , /(x) exista? Explique. 






r ‘ ■ Editora 71ioffistwU ;: 

px v, v ^ v ...... 

*v ~;.v.' • • - . - . . 

3, Explique o significado de cada uma das notações a seguir. 

(a) lim . f(x) — (b) lim f{x) — — cc 

,t x— >4"^ 

4. Para a função/ cujo gráfico é dado. determine o valor da quan- 
tidade indicada, se ela existir. Se mio existir, explique por quê. 


ta) lim f(x) 
(c) fin\/(x) 
(e) ,/ (3) 


(b) Hm f(x) 
(d) lim f(x) 


• y 

; : 

X 



: / "i 

1 ... 

* 


: ; *sT: ; 


\ 


0-2 ; 4 : / 


5. Use o gráfico dado da função /para determinar o valor de cada 
quantidade, se ela existir. Se não existir, explique por quê. 

(a) lim f(x) (b) lim íix) 

fc) lim/(x) (d) lim/f.r) 

(e) / (5) 



6 . Para a função g cujo gráfico é dado, detennine o valor de cada 
quantidade, se ela existir. Se não existir, explique por quê. 


y 

• .. 0 

! : j t ; m T\ 

ü:t :M 

1 

■ — r — f i Ho 
!jlí í 1 / : 

> : v i i : J.Ü iL V 

! 

y 









-3 -2 

-1 0 

i 2 

3 

4 

: f ff ! 

' / - 

-] 

; i 

T 1 i | 



(a) lim gix) 

x 2'" 

(b) 

lim g(x) 

(c) 

lim gix) 

(d) g{~2) 

(e) 

lim g{x) 

(0 

lim gix) 
x-+2* 



(j> iim gix) (k) g(o) (1) lim Íí(.v) 

?. Para a 1 unção g cujo gráfico é dado, determine o valor da cada 
quantidade, se ela existir. Se não existir, explique por quê. 


(a) 

lim 0(0 

(b) fim q(i) 
/-*0 + 

(c) lim//) 

(-■> o 

(d) 

Jim g(t ) 

(e) lim g(t) 

(f) fim gii) 

(g) 

9(2) 

th) lim gin 




8. Para a função R cujo gráfico é mostrado a seguir, determine, 
(a) lim R(x) íb) lim R(x) 

*-*.5 

(c) lim Ri\) (d) lim R(x) 

(e) As equações das assintotas verticais. 



9. Para a função/ cujo gráfico é mostrado a seguir, determine, 
(a) lim f(x) (h) lim f(x) (c) lim f(x) 

l -*~ 1 *-*-> .r->íi 

(d) fim f(x) te) lim f(x) 

(f) As equações das assintotas verticais. 





10. Um paciente recebe uma injeção de 150 mg de uma droga a 
cada 4 horas. O gráfico mostra a quantidade f(r) da droga na 
corrente sanguínea após t horas. (Posteriormente seremos 
capazes de computar a dosagem e intervalos de tempo que 
garantam que a concentração da droga não atinja níveis 
peri gosos . ) Encon t re 

lim f(i) e fim /'(/) 

! -»I2 “ — 1 2 + 

e explique o significado desses limites laterais. 


/(O t 

\ 

j 

300 

\ \ 

V \ \ 

150 

\ \ 



0 

4 8 12 16 1 


|| 11. Use o gráfico da função f(x) ~ 1/(1 + e 1/c ) para estabelecer o 
valor de cada limite, se existir. Se não existir, explique por quê. 
(a) lim f(x) (b) lim f(x) (c) lim/íx) 

■ A -*0 " .T-* 0 + 


12. Esboce o gráfico da função a seguir e use-o para determinar os 
valores de a para os quais lim r _ ( ,/(.r) existe: 

{ 2 — x se -V < 1— 

x se — 1 x < 1 

(x — \ f se x 32 1 

13-14 r Esboce o gráfico de um exemplo de uma função / que sa- 
tisfaça todas as condições dadas. 

13. lirn f(x) — 4. lím f(x) = 2, lim f(x) = 2, 

x ->• 3 + x -*■ 3" ** “2 

/( 3) - 3, /(— 2) = 1 

14. lim /(x) = 1 , Hm f(x) — - 1 , lim f(x) — 0 

,í-»0 + ,x~>2 + 

lim f{x) — 1, /( 2) “ 1, /(O) não está definida 


15-18 Estime o valor do limite (se ele existir) por meio dos 
valores da função nos números dados (com precisão de seis casas deci- 
mais). 

x 2 - 2x 

15. lim - r — , x = 2,5, 2,1 , 2,05, 2,0 1 , 2.005, 2,001 . 

1,9. 1.95, 1,99, 1.995, 1.999 


. x*' - 2x 

16. hm — — x -a () ? — 0.5 —0,9, — 0,95, — 0,99, 
- 0 ,999 , -2 , - - 1. ,5 , - 1 ,1 , - 1 ,0 1 , - 1 .(X) 1 


James Stewart CAPÍTULO 2 LiMfFES £ DERíTAfU-á 1 0 * 193 

U- üm x - J . í0. 5, ±0.1. ±0.05, ±0.01 

18. fim x ln ( x + ;r ). x 1 . 0.5. 0.1 . 0.05 . 0.01 . 0.005 . 0.001 


•22 2 Use uma tabela de valores para estimar o valor do limite. 
Se você tiver algum mecanismo que faça gráficos, use-o para 
confirmar seu resultado. 


VA t 

hm 


fx + 4 - 2 


te 3x 
20. fim A54Ü 


21. fim 

.!-! A - J 


22, lirn 


23. lim 


25- fim 


Determine os limites infinitos. 
6 


27. lim — í — — 

x‘(x + 2) 


29. lim secx 

xM-tr/2r 


Determine lim 


24. lím “ 

x-*S- X 


X - 1 

26. fim ~r 

x xx + 2} 


28. limcossecx 

77"' 

30. lim ln(x — 5) 


— e lim 

1 .v-Ci + X 


(a) estimando f(x) ~ l/(x ’ — 1) para os valores de x que 
tendem a 1 pela esquerda e direita, 

(b) raciocinando como no Exemplo 9, e 

(c) a partir do gráfico de/. 

32. (a) Encontre as assintotas verticais da função 

x 

x 2 — x - 2 

(b) Confirme sua resposta da parte (a) fazendo o gráfico da 
função. 

33. (a) Estime o valor do limite lim (1 + x) !;l com cinco casas 

decimais. Esse número lhe parece familiar? 

(b) Ilustre a parte (a) fazendo o gráfico da função y = ( j + a) í/t . 

34. A inclinação da reta tangente ao gráfico da função exponencial 
y — 2 X no ponto (0. 1) é lim. ^o (2* — 1 J/x. Estime a 
inclinação até três casas decimais. 




CÁLCULO Editora TbeiRseo 


35. •{ a) Estime a função / (x) — x 2 ~ (2 V 1 .000) para x 1.0, 8.0 ,6 ,0.4, 

0,2, 0.1 e 0,05 e faça uma conjectura sobre o valor de 


U - 

V i ooo / 


(b) Estime f{x) para .v = 0,04, 0,02, 0,0 1 , 0,005, 0.003 e 
0,001 . Faça novamente uma conjectura. 

(a) Estime h(x) ~ (tg x — x)/x' para x ~ 1 . 0,5, 0,1 , 0,05, 

0,01 e 0,005. 

t« x — X 

(b) Conjecture qual o valor de lim 

,i-a .r' 

(c) Estime h(x) para os valores sueessivamente menores 
de x até finalmente atingir os valores 0 para h(x). Você 
ainda é capaz de sugerir que o resultado de (b) está 
correto? Explique por que você acaba obtendo os 
valores 0. (Na Seção 4.4 veremos um método para calcular 
esse limite.) 

(d) Faça o gráfico da função h na janela de inspeção j — 1,1] 
por [0, 1]. Dê então um zoom na direção do ponto 

onde o gráfico corta o eixo v para estimar o limite de h(x) 
quando x tende a 0. Continue dando zoom até observar dis- 
torções no gráfico de h. Compare com os resultados da 
parte (c). 

Faça o gráfico da função f(x) ~ sen( tt/x) do Exemplo 4 na 
janela de inspeção [— 1 , 1 ] por [— 1 , 1 ]. Então dê um zoom em 
direção à origem por várias vezes. Comente o comportamento 
dessa função. 


Na teoria da relatividade, a massa de urna partícula com 
velocidade v é 


em que me é a massa da partícula no repouso e c, a velocidade 
da luz. O que acontece se v ~>c? 

Use um gráfico para estimar as equações de todas as 
assintotas verticais da curva 

y = tg(2 sen xj — rr x rr 

Encontre, então, as equações exatas dessas assintotas. 

(a) Use as evidências numéricas e gráficas para fazer uma 
conjectura sobre o valor do limite 


(b) A que distância de 1 deverá estar x para garantir que a 
função da parte (a) esteja a uma distância de 05) de seu 
limite? 


Cálculos dos Limites Usando suas Leis 


Na Seçao 2.2 empregamos gráficos e calculadoras para fazer uma conjectura sobre o valor 
de limites, mas vimos que esses métodos nem sempre levam a uma resposta correta. Nesta 
seção usaremos as seguintes propriedades dos limites, chamadas Leis do Limite , para cal- 
culá-los. 


ds lo Limite Seja c uma constante e suponha que existam os limites 

lim f(x) e lim g(x ) 


j 1. lim [j{x) + #(*)] = lim f(x) + lim g(x) 

x-*:i x a 

I 

I [/(•*) ~ g(0] = l|tn f(x) — lim g(x) 

f 

í 3. lim jr/Uj] — c lim/(jc) 

! 4 - [/(*)<?(•*)] - lim fíx) • lim g(x) 

{ 

I . fix) Hm /W 

| 5_ fim — JL_2 — ge }j m yé Q 

j g(x) hm g(x) *-*« J ■ ■ 




James Stewarf CAPÍTULO 2 'JVfiTES £ DEVvâQâS 105 

Essas cinco leis podem ser enunciadas da seguinte forma: 

1. O limite de uma soma é a soma dos limites. 

2. O limite da diferença é a diferença dos limites. 

3. O limite de uma constante vezes uma função é a constante vezes o limite da 
função. 

4. O limite de um produto é o produto dos limites. 

5. O limite de um quociente é o quociente dos limites (desdç que o limite do 
denominador não seja zero). 

É fácil acreditar que essas propriedades são verdadeiras. Por exemplo, se f{.x) estiver pró- 
ximo de/, e g(x) próximo de M, é razoável concluir que/l.v) + g(X) está próximo de L + M. 
Isso nos dá uma base intuitiva para acreditar que a Lei n“ I é verdadeira. Na Seção 2.4 
daremos uma definição precisa de limite e a usaremos para provar essa lei. As provas das 
leis remanescentes encontram-se no Apêndice F, 

fcXEsVIPLG 1 c Use as Leis do Limite e o gráfico de / e g na Figura 1 para calcular os 
seguintes limites, se eles existirem. 

(a) lim [f(x) + 5g(x}] (b) lim lf(x)g(x)] (c) lim 

-i g(x) 

SOLUÇÃO 

(a) Dos gráficos de/e g vemos que 

lim i/(.y) — 1 e lim g(x) — —1 

Portanto, temos 

lim [f(x) + 5g{x)] = lim f(x) + fim [5g(.\*)] (peia Lei ir 1) 

= lim f(x) + 5 lim g(x) ípelaLcin-3) 

= 1 + 5( — 1) = -4 

(b) Vemos que lim.,-, f(x) = 2. Mas lim g(x) não existe, pois os limites à esquerda e 
à direita são diferentes: 


lim g(x) — —2 lim g(x) — — 1 

Assim, não podemos usar a Lei na 4. O limite dado não existe, pois o limite esquerdo 
não é igual ao direito. 

(c) Os gráficos mostram que 

\imfix) ~1,4 e lira g(x) — 0 

Como o limite do denominador é 0, não podemos usar a Lei n 8 5. O limite dado não 
existe, pois o denominador tende a 0, enquanto o numerador tende a um número 
diferente de 0. 

Usamos a Lei do Produto repetidamente com g(x) - f(x) para obter a seguinte lei. 


\ ( -]0 Potência 


6. lim [/(*)]" — fim /(.i)]" 


onde n é um inteiro positivo 



Ao aplicar essas seis íeis. vamos 


precisar usar dois limites especiais: 


7. Um c 


8. lira x a 


hsses limites são óbvios do ponto de vista intuitivo (faça um enunciado para eles e 
esboce os gráficos de v — c e y = x), mas as provas baseadas na definição precisa serão 
pedidas nos exercícios da Seção 2.4. 

Se pusermos agora /(.v) - x nas Leis n a 6 e 8. vamos obter outro útil limite especial. 


9. lim a" — a f! onde n é um inteiro positivo 


Um limite similar pode ser verificado para as raízes da forma a seguir. (Para as raízes 
quadradas a prova está esboçada no Exercício 37 da Seção 2.4.) 


10. lim tfx •--- {fa onde n é um inteiro positivo 
(Se n for par, supomos que a > 0.) 


Com mais genei alidade, temos a seguinte lei, que é demonstrada como uma conse- 
qüência da Lei n* 10 da Seção 2.5. 




11. lim zjf(x) - nj lím /(x) onde n é um inteiro positivo 
jSe n for par, supomos que lim f(x) > O.J 


EXEMPLO 2 Calcule os limites a seguir justificando cada passagem, 
(a) lim (2x 2 — 3 a + 4) 


(b) Hm 


x 3 + 2x z ~ 1 


5 - 3a 

SOLUÇÃO 

( a ) ^ (2 a i — 3.x 4- 4) — lim (2 a 2 ) — lim (3a) + lim 4 

2 lim x" — 3 lim a 4- lim 4 


— 2(5") 3(5) 4- 4 

= 39 


I 


(b) Começamos pela Lei na 5, mas seu uso só será completamente justificado na passa- 
gem final, quando virmos que os limites do numerador e do denominador existem e o do 
denominador não é 0. 


................ 




'ip , : , 

IftffSf'. Isaac Newton nasceu no cita de Natal 

jfff- 7 de 1642. ano da morte de Galíleu. 

Quando entrou para a Universidade de 
Cambrldge, em 1661. Newton não 
sabia muita matemática, mas aprendeu 
rapidamente iendo Euciides e 
Descartes e assistindo às aulas de 
Isaac Barrow. Cambridge esteve 
fechada por causa da peste em 1665 e 
1666, quando Newton retornou à sua 
casa para refletir sobre o que havia 
aprendido. Esses dois anos foram de 
incrível produtividade. Foi nesse 
período que Newton fez quatro dentre 
suas maiores descobertas: 0) sua 
representação de funções corno somas 
de séries infinitas, inclusive o teorema 
binomial; (2) seu trabalho sobre o cálculo 
integral e diferencial; (3) suas leis do 
movimento e da gravitação universal e 
(4) seus experimentos com prismas 
sobre a natureza da luz e da cor. 
Receando controvérsias e críticas, 
Newton relutou quanto a publicar suas 
descobertas, e não o fez até 1 687, 
quando, pressionado pelo astrônomo 
Haliey. publicou os Principia 
Maihematica. Nesse trabalho, o maior 
tratado científico feito até então, 
Newton tornou pública sua versão do 
cálculo e usou-a para pesquisar 
mecânica, dinâmica dos fluidos e 
movimentos das ondas, e para explicar 
o movimento dos planetas e cometas. 

Os princípios do. cálculo são 
encontrados na forma de achar as 
áreas e os volumes por eruditos da 
Grécia antiga, como Eudóxío e 
Arquimedes. Embora os aspectos da 
idéia de limites estejam implícitos em 
seu Método de Exaustão, Eudóxio e 
Arquimedes nunca formularam 
explicitamente o conceito de limite. Da 
mesma forma, matemáticos como 
Cavaiierl, Fermat e Barrow, precursores 
imediatos de Newton no 
desenvolvimento do cálculo, reai mente 
não usaram os limites. Foi Isaac 
Newton o primeiro a falar 
explicitamente sobre èles. Eie explicou 
que a idéia principal por trás dos limites 
ê que as quantidades “ficam mais 
próximas do que qualquer diferença 
dada“. Newton estabeleceu que o 
limite era o conceito básico no cálculo, 
mas foi deixado para os matemáticos 
posteriores, como Cauchy, tornar 
claras suas idéias sobre os limites. 


íini (,v ' + 2x z - 1 ) 

fim (5 — 3;v) 

lim A' 3 + 2 lim v 2 - Hm 1 
lim 5 — 3 lim x 

_ ( — 2) 3 4- 2( — 2) 2 - 1 
5 - 3( — 2) 

L 

ll 

NOTA d Se tomarmos fíx) — 2x 2 - 3x + 4, então /(5) = 39. Em outras palavras, 
teríamos obtido a resposta correta no Exemplo 2{a) substituindo 5 em x. Analogamente, 
a substituição direta fornece a resposta correta na pane (b). As funções no Exemplo 2 
são polinomial e racional, respectivamente, e o uso similar das Leis do Limite prova que a 
substi-tuição direta sempre é possível para essas funções {veja os Exercícios 53 e 54). 
Enunciamos esse fato a seguir. 



Propriedade dg Substituição Direta Se /for uma função polinomial ou racional e a 
estiver no domínio de/, então 

lim f(x) = fia) 


As funções com essa propriedade de substituição direta, chamadas de contínuas em a, 
serão estudadas na Seção 2.5. Entretanto, nem todos os limites podem ser calculados 
pela substituição direta, como é mostrado nos exemplos a seguir. 

x~ — 1 

EXEMPLO 3 □ Encontre lim 

* ■ ■■' 1 x ~ 1 

SOLUÇÃO Seja f(x) = (x 2 — \)/{x — 1 ). Não podemos encontrar o limite substituindo 
x = 1 . pois /( 1 ) não está definida. Nem podemos aplicar a Lei do Quociente porque o 
limite do denominador é 0. De fato. precisamos fazer inicialmente algumas operações 
algébricas. Fatoramos o numerador como uma diferença de quadrados: 

AT - 1 _ (X ~ 1) (X + 1) 

X — 1 X — 1 

O numerador e o denominador têm um fator comum, x — 1 . Ao tomarmos o limite 
quando x tende a 1, temos x r 1 e, assim, x — 1 # q portanto, podemos cancelar o 
fator comum e computar o limite como se segue: 

A’ 2 - 1 (X ~ 1) (x + 1) 

hm ” hm 1 - : 

,-..J v - J ,-i A" - 1 

= lim (a + 1 ) 

-1+1-2 



O limite, nesse caso, apareceu na Seção 2.1 quando estávamos tentando encontrar a 
tangente à parábola y — x 2 no ponto (1 . 1). 





Ü |f SÀICU 10 Editora Tbomson 


y ~ /L) 


/ y = f/(.;v) 


FIGURA 2 

Gráficos das funções /{do 
Exemplo 3) e g(do Exemplo 4). 


NOTÃ □ No exemplo 3 fomos capazes de calcular o limite substituindo a função dada/Cv) = 
(x 2 - V)Mx - 1) por outra mais simples, g(x) ~ x + 1 , que tem o mesmo limite, Isso é válido porque 
f(x) — g(x), exceto quando x~ 1 . e no cômputo de um limite quando x tende a 1 . não considera- 
mos o que acontece quando x é exatamente igual a 1 . Em geral, se f(x) ~ g(x) quando x a a, então 

lim /'(./} = Imuj(x) 

EXEMPLO 4 □ Encontre ^ g(x) onde 


gix) = 


1 Se X + j 


SOLUÇÃO Aqui g está definido em x ~ 1 e g( 1 ) ~ tt. mas o valor do limite quando x tende a 1 
não depende dos valores da função em 1 . Uma vez que g(x) = x + 1 para x ^ 1 temos 

fim g(x) = l/m (x + 1 ) = 2 * 

Observe que os valores das funções nos Exemplos 3 e 4 são idênticos, exceto quando 
x — 1 (veja a Figura 2), e assim eles têm o mesmo limite quando x tende a 1 , 


EXEMPLO 5 d Calcule 
SOLUÇÃO Se definirmos 


(3 + ti) 1 - 9 


F(h) - 


(3 + ti) 2 - 9 


então, como no Exemplo 3, não podemos computar lim. ; ,.-» e Fiti) fazendo h— 0, uma vez 
que / (O) não está definida. Mas, se simplificarmos algebrieamente F(ti), encontraremos que 

(9 + 6/í + h 2 ) - 9 6 h + h 2 

F(h) = : = = 6 + h 

h h 

(Lembre-se de que consideramos apenas h ¥* 0 quando fazemos h tender a 0.) Assim 


(3 + ti) 2 


Jim (6 + ti) = 6 


.0 6 Encontre j 1 ™ 

h "-MJ 


Jt 2 + 9-3 


SOLUÇÃO Não podemos aplicar a Lei do Quociente de imediato, uma vez que o limite 
do denominador é 0. Aqui as operações algébricas preliminares consistem em 
racionalizar o numerador: 


U 2 + 9 


Jt 2 + 9 + 3 


.. (r + 9) - 9 r t 2 

— lim r — hm — --~ 7 „ r 

f -*° ti^t 2 + 9 + 3) / 2 (yUT9 + 3) 


v '> 2 + 9 + 3 J J™ (F + 9) + 3 3"+ 3 6 

Esse cálculo confirma a conjectura que fizemos no Exemplo 2 da Seção 2.2. 

Para alguns limites é melhor calcular primeiro os limites laterais (à esquerda e à di- 
reita). O seguinte teorema é uma lembrança do que descobrimos na Seção 2.2. Dizemos 
que o limite bilateral existe se e somente se os limites laterais (à esquerda e à direita) existirem 
e forem iguais. 


James Stewart 


CAPÍTULO 2 



I 


ícrama lim fix) ~ L se e somente se lim fix) = L ~ lim /ü. 


Quando computamos os limites laterais, usamos o fato de que as Leis do Limite são vá- 
lidas também para eles. 

EXEMPLO 1 □ Mostre que lim jxj — 0. 


c O resultado do Exemplo 7 parece 
plausível na Figura 3. 



SOLUÇÃO Lembre-se de que 


Uma vez que \ x \ 5 x para x > 0, temos 


x se .v () 
— x se x < () 


lim jxj = lim x — () 

x->(f ' 


Para x < 0, temos | x I 5 - x, e assim 


Portanto, pelo Teorema 1 , 


lim |xj ~ lim ( — x) — 0 

xr* o- rr 


lim \x\ — 0 
1 1 


EXEMPLO 8 □ Prove que Hm - — - não existe 

x 


_ Ixl 


y a 


FIGURA 4 


SOLUÇÃO 


1x1 x 

hm = lim — = lim j — 1 

*— o 1 x a-o* x -«—o* 


lim J — = lim — = lim (— 1) — — 1 
.T—rr x .t—r x *-*<>- 


Uma vez que os limites laterais à esquerda e à direita são diferentes, segue do Teorema 1 
que lim ,-o | x \/x não existe. O gráfico da função /(x) = j x \/x é mostrado na Figura 4 e 
sustenta o limite que encontramos. 


Está mostrado no Exemplo 3 da 
Seção 2.4 que lim V-v 0. 


EXEMPLO 9 Se 


m 


■sfx — 4 se x > 4 
8 - 2x se x < 4 


determine se lim , ,4 fix) existe. 

SOLUÇÃO Uma vez que fix) = yx — 4 para x > 4, temos 


lim f(x) — lim y/x — 4 — y 4 — 4 = 0 


Uma vez que f(x) = 8 - 2x para x < 4, temos 

lim fix) = lim (8 — 2x) = 8 — 2*4 — 0 




110 CÃLCüLü Editora Thomson 


FIGURA 5 

:: Outras notações para J.xj] são [jr] e [x\ 

y * 

2 4 — ° y = K-tli 


] 2 3 4 5 


Os limites laterais (à esquerda e à direita) são iguais. Dessa forma, o limite existe e 

lim f(x) = 0 

-*■ O gráfico de /está mostrado na Figura 5. 

EXEMPLO 10 c A função maior inteiro é definida por |xj = o maior inteiro, que é 
menor que ou igual a x. (Por exemplo, I4j = 4, j[4,8j = 4, f tt| --- 3 , | v 2 1 = U 
I — “il ~ ~~l.) Mostre que lim,,.., flxj não existe. 

SOLUÇÃO O gráfico da função maior inteiro está mostrado na Figura 6. Uma vez que 
fxf = 3 para 3 ' x < 4, temos 

lim |.rj = lim 3 = 3 

Uma vez que |x| ~ 2 para 2 =£ x < 3, temos 

lim M = lim 2 = 2 

Como esses limites laterais não são iguais, lim, -3 l[xj não existe pelo Teorema 1 . 

Os próximos dois teoremas dão duas propriedades adicionais de limites. Suas provas 
podem ser encontradas no Apêndice F. 




FIGURA 6 

Função maior inteiro 


2 ] Teorema Se f(x) «S g(x) quando x está próximo de a (exceto possivelmente 
em a) e os limites de/e g existem quando x tende a cí, então 


lim f(x) sc ]j m g(x. 



[3 j Teorema do Confronto Se f(x) € g(x) h(x) quando a* está próximo de a 
(exceto possivelmente em a) e 

lim f{x) — lim hix) = L 
então lim g(x) --- L 


O Teorema do Confronto, algumas vezes chamado Teorema do Sanduíche ou Teorema 
da Espremedura, está ilustrado na Figura 7. Ele diz que se cj(x) ficar espremido entre /(x) 
e h(x) nas proximidades de a. e se/e h tiverem o mesmo limite L em a, então g será 
forçado a ter o mesmo limite L em a. 


FIGURA 7 



James Stewart 





JArsTULO 2 


EXEMPLO 11 : Mostre que iim x z sen — = 0. 

0 ;r 

SOLUÇÃO Note primeiro que não podemos usttr 

1 

um x~ sen — — uni x” * Iim sen — 

..-•-O x i-O >••--<> x 

porque Iirn,... K) sen(l/x) não existe (veja o Exemplo 4 da Seção 2.2). Porem, como 

- 1 ss sen— i 
x 


vamos ter. conforme está ilustrado na Figura 8, 


— x 2 ,t‘ sen— íg .x' 2 
x 


FIGURA 8 



Sabemos que 


iimx' = 0 e 

x -~ú 


Iím(— jc 2 ) = 0 

ar«*0 


Tomando-se no Teorema de Confronto f(x) ~ ~x 2 , g(x) = x ? sen (1 /x), e h(x) — x 2 
obtém-se 


, 1 

Jim - x "sen — — 0 
.~e x 



Exercícios 




1. Dado que 

Jim fix) = -3 Iim g(x) — 0 lim h(x) — 8 

encontre, se existir, o limite. Caso não exista, explique por quê. 
(a) lim [f(x) + híx)} (b) Iim [/(x)] 2 


(c) lim v )?(x) 
f(x) 


Ce) lim 


h(x) 


, - r /W 

(ej hm — 

■* a g U‘) 


(d) 


(f) 


Ss?w 

lim 

j (x) 


2 

(h) lim — — 
> h(x) 


/(*) 

- f(x) 




(c) lim f f(x)g(x)] 

j ™*0 

(e) lim -x /ix) 


(f) lim y'3 + f(.x) 


3-9 c Calcule os limites justificando cada passagem pelas Leis do 
Limite que forem usadas. 


v v j + 3x — 

fazendo o gráfico da função f(x) ~ x/( N 1 4- 3 a — 1 ). 

(b) Faça uma tabela dos valores de j\x) para x próximo de 0 e 
conjecture qual será o valor do limite. 

(c) Lfse as Leis do Limite para mostrar que sua conjectura está 
correta. 


3. 

lim (.3x 4 + 2x" - x + l) 

4. 

r 2x‘ + 1 




*~ >2 x‘+6x~4 

5. 

lim(x 2 - 4)í_x 5 + 5x - 2) 

6. 

lim (V 2 + l)(í + 3 

7. 

r / l + 3x V 
hm 

8. 

lim \lu' + 3;/ + 6 


x — v'3 


\ 1 + 4.x" 1 + 3.x / 

9. lim v 1 ó -- x 2 

x ■■■* « 4 ' 

10. (a) O que há de errado com a equação a seguir? 

x 2 + x — 6 

= ,r + 3 

x — 2 

(b) Em vista de (a), explique por que a equação 
x 2 + x — 6 


11 32. (a) Use o gráfico de 

f(x) = 


para estimar o valor de lim*--; f(x) com duas casas 
decimais. 

(b) Utilize uma tabela de valores de /(x) para estimar o limite 
com quatro casas decimais. 

(c) Use as Leis do Limite para encontrar o valor exato do 
limite. 


ms 


lim 

x — 2 

está correta. 

1--30 Calcule o limite, se existir. 


lim f x + 3) 


11. 

lim 

x -■* 2 

x" + x - 6 

12. 

x + 2 

13. 

lim 

A ->2 

x" - x + 6 
x - 2 

14. 

15. 

lim 

t 2 -9 

16. 

+ lx + 3 

17. 

lim 

a —o 

(4 + h )~ - 16 
h 

18. 

19. 

lim 

h-+Q 

(l + hf -1 
h 

20. 

21. 

Hm 

f-9 

9 ~t 

22. 

3 ~4t 


x* + 5x + 4 
»x 2 + 3x - 4 
x- - 4x 
x 2 - 3x - 4 
x 1 ~ 4.x 
x’ - 3x - 4 

x ? -l 
x : -1 

(2 + hf - 8 

h 

Vl + h - 1 


Ji 33. Use o Teorema do Confronto para mostrar que 

lim .i—o r cos 2(>7rx — 0. Ilustre fazendo os gráficos na mesma 
tela das funções ./(x) = -x\ g(x) = x 2 cos 2 ttx e hix) — x 2 . 

34. Empregue o Teorema do Confronto para mostrar que 

Hm v x 3 + x 2 sen ~ 0 
<---(> x 

Ilustre fazendo na mesma tela os gráficos de /. g e h (como no 
Teorema do Confronto). 

35. Se 1 / í v) - x 2 + 2.x + 2 para todo x, encontre lim t -»-! /(x). 

36. Se 3x <£ /(x) -s x ? + 2 para 0 í t ^ 2. encontre lim*.,] /(x). 


37. Prove que lim x 4 cos — = 0. 

i **° x 


38. Prove que lim y'x e- 


0. 


39-44 □ Encontre, quando existir» o limite. Caso nao exista, 
explique por quê. 


39. lim |x 4- 4 


lx 2 
41. lim- — — •— 

.v -2 x -• 2 


40. 

lim 

jx 4 4| 

x + 4 

42. 

lim 

2x 2 - 3x 

I 2x - 3 ! 


I 





. 4 P I TüiO 2 Ü M ri E S E D E - 4 DA 5 


3, lim { — ~ T--T- ) 

í ">0" V X í X í / 


44. lim | 


45, A função sinal, denotada por sgn. está definida por 

- i se x < 0 
sgn x = • () se x ~ 0 

1 se x > 0 

V 

(a) Esboce o gráfico dessa função. 

(b) Encontre ou explique por que não existe cada um dos 
limites que se seguem. 

(i) lim sen a- (ii) lim sgn x 


fiii) lim sgn x 


46. Se jí 


fiv) lim I sgn x \ 

x~*0 


se x > 2 


(a) Encontre lim /(x) e lim f(x). 

(b) Existe lim, ..,2 /(x)? 

(c) Esboce o gráfico de /. 

x 2 — 1 

47. Seja F(x) = - ——■■■■- . 

(a) Encontre 

(i) lim F(x) (ii) lim Fíx) 

(b) Existe lim,-! F(x)7 

(c) Esboce o gráfico de F. 

48. Seja 

x se x < 0 
h(x) = * x 2 se 0 < x ^ 2 
8 - x se x > 2 

(a) Calcule, se existirem, os limites. 

ti) lim h(x) (ii) lim h(x) (iii) lim h{x) 

s-*iP ' ' v "’ 1 

(iv) lim /?(x) (v) lim híx) (vi) lim h(x) 

(b) Esboce o gráfico de h. 

49. (a) Se o símbolo | [S denota a função maior inteiro do 

Exemplo 10. calcule 

(i) lim jjxji (ii) lim Jx| (iii) lim txjj 

jt-*-0 + ’ x -+-2A 

(b) Se n for um inteiro, calcule 

(i) lim |xi (ii) lim M 

rí" x-*n • 

(c) Para quais valores de a existe lim,.,»,, |x|? 

50. Seja fíx) =* x - [xj. 

(a) Esboce o gráfico de/. 

(b) Se n for um inteiro, calcule 

(i) lim /(. r) (ii) lim f(x) 


51. Se/íx) — JxJ ■ 
é igual a/(2). 


-y|, mostre que lim,—; fíx) existe, mas não 


52. Na Ieoria da Relatividade, a Fórmula da Contração de Lorent; 

L = Lo/r :r W? 

expressa o comprimento L de um objeto como uma função de 
sua velocidade v em relação a um observador, onde Ln é o 
comprimento do objeto no repouso e c ó a velocidade da luz. 
Encontre lim L e interprete o resultado. Por que é 
necessário o limite à esquerda? 

53. Se p for um polinómio, mostre que lim,..,.,, pix) -■ pia), 

54. Se r for uma função racional, use o Exercício 53 para mostrar 
que lim r(x) ~ ria) para todo número a no domínio de r. 


fíx) = 


x 2 se x é raciona] 

0 se x é irracional 


prove que lim I ..» 0 /’íx) = 0. 

56. Mostre por meio de um exemplo que lim,... 0 [/(x) + i/(x) j 
pode existir mesmo que nem lim ,.,, 0 /(x) nem lím,_ a g(x) 


57. Mostre por meio de um exemplo que Hm, .,,, ( /(x)r;(x)] pode 
existir mesmo que nem lim /(x) nem lim v _ ffl g(x) existam. 


58. Calcule lim 


v/6 — x — 2 


•'•-2 \/3 X 1 ■ 

59. Existe um número a tal que 

j. 3x ? + cix + a + 3 
x "» -2 x 2 -r x — 2 

exista? Caso afirmativo, encontre aeo valor do limite. 

60, A figura mostra um círculo fixo C, com equação (x - 1 f + v 2 = 
e um círculo C 2 , a ser encolhido, com raio r e centro na 
origem. Pé o ponto (0, r), Q é o ponto de interseção superior 
dos dois círculos, e R é o ponto de interseção da reta PQ com 
eixo x. O que acontecerá com R quando C ? encolher, isto é. 
quando r— >0 + ? 



/ /c, 


(c) Para quais valores de a existe \\va x ^ n /(x)? 



114 


j A L € ü L 0 


«rs tBomson 


É tradicional usar-se a letra grega 5 
{delta) nessa situação. 


A Definição Precisa de Limite 




A definição intuitiva de limite dada na Seção 2.2 é inadequada para alguns propósitos, pois 
as frases como “x está próximo de 2” e “/(x) aproxima-se cada vez mais de L" são vagas. 
Para sermos capazes de provar conclusivamente que 


iirn x 


COS o.x 
10.000 


0.0001 


ou 


sen x 
lim 

*■■■'» x 


1 


devemos dar a definição precisa de limite. 

Para motivar a definição precisa de limite, vamos considerar a função 


/« 


2.x — 1 se v # 3 
6 se x — 3 

Isso é intuitivamente claro quando x está próximo de 3, mas x 4- 3, então /(x) está próxi- 
mo de 5, e sendo assim, lim ... 3 /(x) = 5. 

Para obter informações mais detalhadas sobre como /(x) varia quando x está próximo 
de 3, fazemos a seguinte pergunta: 

Quão próximo de 3 deverá estar x para que/Çx) difira de 5 por menos que 0,1? 

A distância de x a 3 é ) x — 3 j, e a distância de /(x) a 5 é j f(x) - 5 j, logo, nosso 
problema é achar um número S tal que 


f(x) - 5| < 0,1 


se 


a* — 3 1 < 8 mas a 4= 3 


Se | x 3 1 > 0. então x 4 3, portanto, uma formulação equivalente de nosso problema 
é achar um numero <5 tal que 

| f(x) - 5 1 < 0,1 se 0 < j a — 3 | < S 

Note que se 0 < j x — 3 | < (0,l)/2 — 0,05, então 

I /(a) - 5 j - j (2 a - i ) — 5 | — [ 2 a — 6 | = 2 [ a — 3 j < 0.1 

isto é, i /(a) - 5 [ < 0,1 se 0 < I a - 3 ] < 0,05 


Assim, uma resposta para o problema é dada por 8 = 0,05; isto é. se x estiver a uma dis- 
tância de no máximo 0,05 de 3, então /(x) estará a uma distância de no máximo 0,1 de 5. 

Se mudarmos o número 0,1 em nosso problema para o número menor 0,01, então 
usando o mesmo método achamos que /(x) diferirá de 5 por menos que 0,01 , desde que x 
difira de 3 por menos que (0,0.1)/2 -- 0,005: 

j /(a) - 5 i < 0.01 se 0 < j a — 3 i < 0,005 

Analogamente, 

1 /(a) - 5 i < 0,001 se 0 < I a - 3 | < 0,0005 

Os números 0,1, 0.01 e 0,001, anteriormente considerados, são chamados erros de tole- 
rância (ou simplesmente tolerância ) que podemos admitir. Para que o número 5 seja pre- 
cisamente o limite de /(a), quando x tende a 3, devemos não apenas ser capazes de tornar 
a diferença entre/(x) e o 5 menor que cada um desses três números; devemos ser capazes 
de tomar a diferença menor que qualquer número positivo. E, por analogia ao procedi- 
mento adotado, nós podemos! Se chamarmos s (a letra grega épsilon) a um número posi- 
tivo arbitrário, então encontramos, como anteriormente, que 



f(x) 

está 

íKJlli 


5 + s 
5 



5 K 

/ 

0 



3 - ô 


+ & 


FIGURA 1 


quando x está aqui 
ix 4= 3 ) 


James Stewart CAPÍTULO 2 UMiTES E v . 115 

"T ■ ‘ I f(x) - 5 ! < e se 0 < i r - 3 j < /> = 

' " ' 1 ' ! " 2 

Esta é urna maneira precisa de dizer qu e/O) está próximo de 5 quando .v está próximo de 
3. pois (1) diz que podemos fazer os valores de /(x) dentro de uma distância arbitrária e 
de 5 tomando os valores de x dentro de uma distância b/2 de 3 (mas x # 3). 

Note que ( .1 ) pode ser reescrito como 

5 — e < /( x) < 5 4- e sempre que 3 — 8 < x < 3 + 5 (x # 3) 

e isso está ilustrado na Figura 1 . Tomando os valores de x (4= 3) para dentro do intervalo 
(3 - d, 3 + 8), podemos obter os valores de f(x) dentro do intervalo (5 — e, 5 + e). 
Usando ( 1 ) como um modelo, vamos dar uma definição precisa de limite. 


[Tj Definição Seja /uma função definida sobre algum intervalo aberto que contém 
o número a, exceto possivelmente no próprio a. Então dizemos que o limite de 
f(x) quando x tende a a é L, e escrevemos 

lim /( x) — L 

se para todo número e > 0 há um número correspondente 8 > 0 tal que 
] f(x) — L \ < b sempre que 0 < \x — a \ < 8 


Outra maneira de escrever a última linha dessa definição é 


se 0 < | x — a j < 8 então | f(x) — L j < e 


Uma vez que \ x — a\é a distância de x a a e | f{x) — L j é a distância deftx) a L , e come 
£ pode ser arbitrariamente pequeno, a definição de um limite pode ser expressa em 
palavras da seguinte forma: 

lim /U) — L significa que a distância entre f ix) e L pode ser arbitrariamente pequem 
tomando-se a distância de x a a suficientemente pequena (mas não 0). 


Alternativamente, 


lim,..,. f{x) = L significa que os valores de/(.v) podem ser tornados tão próximos de L quante 
desejarmos tomando-se x suficientemente próximo de a (mas não igual a a). 

Podemos também reformular a Definição 2 em termos de intervalos observando que í 
desigualdade jx — a \ < 8 é equivalente a — 8 < x ~ a < <1 que pode ser escrita comc 
a 8 < x < a + 8. Também 0 < \x - a j é válida se e somente se x — a -4 0. isto é 
x # a. Analogamente, a desigualdade \f(x) ~ L j < e é equivalente ao par de desigual- 
dades L — e < f(x) < L + e. Portanto, em termos de intervalos, a Definição 2 pode sei 
enunciada como a seguir: 


lim..,.,. f(x) = L significa que para todo e > 0 (não importa quão pequeno for e) podemos acha: 
ô > 0 tal que, se x estiver no intervalo aberto (a — <S, a + ô) e x # a, então /(x) estará no inter- 
valo aberto (L — s.L + e). 




Vamos interpretar geometricamente essa definição representando 
grama de flechas, como na figura 2. onde / leva um subconjunto c 
junto de R. 


;m outro subcon- 


FiGURA 2 


/(«) 


J\x) 


A definição de limite afirma que, se for dado qualquer intervalo pequeno (L — e, L + e) 
em torno de L. então podemos achar um intervalo (íj — <$, a + 8) em torno de a tal que f 
leva todos os pontos de (a — ô 7 a 4- 5) (exceto possivelmente em a") para dentro do inter- 
valo (L — o. L + e). (Veja a Figura 3.) 


FIGURAS 




a 8 a o + 5 


X /(A) 

A L + e 


Outra interpretação geométrica de limite pode ser dada em termos do gráfico de uma 
função. Se for dado e > 0, então traçamos as retas horizontais y L + sey = L— e e 
o gráfico de/ (veja a Figura 4). Se lim f{.x) = L, então podemos achar um número 
Ô > () tal que, se limitarmos x ao intervalo {a - <5, a + ò) e tomarmos x t a, a curva 
v = Ji x ) ficará entre as retas y ~ L ~ e e y — L + e (veja a Figura 5). Você pode ver que 
se <5 tiver sido encontrado, então qualquer 5 menor também funcionará. 

E importante compreender que o processo ilustrado nas Figuras 4 e 5 deve funcionar 
para todo número positivo e independentemente de quão pequeno ele seja. A Figura 6 
mostra que se um s menor for escolhido, então será necessário um 8 menor. 




FIGURA 4 


íí - 8 a + 8 

quando x está aqui 
(x 4 a) 

FIGURAS 



FIGURA 6 


EIEÜFLO 1 □ Use um gráfico para achar um número 8 tal que 
| ( V — 5 jç + 6 ) — 2 j < 0,2 sempre que 


x -- 


Em outras palavras, encontre um número 8 que corresponda a r = 0,2 na definição de limi- 
te de uma função f(x) = x 3 - 5x + 6 com a ~ 1 e L — 2. 



•James Stewari 


CAPÍTULO 2 LIMITES £ DERIVADAS l 1 tf 

SQLUlÃO Um gráfico de/ é mostracio na Figura / . e estamos interessados na resino próxima 
do ponto (1 , 2). Note que podemos reescrever a desigualdade 

| ( \ ' - 5a + 6) - 2 | < 0,2 
como i ,8 < a -3 — 5a -t 6 < 2,2 

Assim, precisamos determinar os valores de a para os quais a curva 3 ? — a 3 - 5 a + 6 está 
entre as retas horizontais y = 1 ,8 e y ~ 2 , 2 . Portanto, vamos fazer o gráfico das curvas 
v = x 3 - 5a + 6 , v = 1 ,8 e y = 2,2 próximo do ponto ( 1 , 2 ) na Figura 8 . Então usamos o 
cursor para estimar que a coordenada a do ponto de interseção da reta y = 2,2 com a 
curva v : = a 3 - 5a + 6 está em torno de 0,9 1 1 . Analogamente, y = x f - 5a + 6 intersecta a 
reta y = 1 ,8 quando x ~ 1 ,124. Logo, arredondando-se, por segurança, podemos afirmar 
que 

1 ,8 < a* — 5a + 6 < 2,2 sempre que 0,92 < x < 1 ,12 

Esse intervalo (0.92, 1 ,1 2) não é simétrico em torno de t = 1 . A distância de a — 1 até 0 
ponto extremo à esquerda é 1 - 0,92 = 0,08, e a distância até o ponto do extremo direito 
é 0,12. Podemos escolher <5 como o menor desses números, isto é, 8 ~ 0,08. Então 
podemos reescrever nossas desigualdades em termos de distâncias da seguinte forma: 

[ (a 3 — 5a + 6) — 2 1 < 0,2 sempre que j a — 1 j < 0,08 

Isso somente nos diz que, mantendo x dentro de uma distância de 0,08 de 1 , somos capazes 
de obter /( a) dentro de uma distância de. 0,2 de 2. 

Embora tenhamos escolhido 8 — 0,08. qualquer valor menor positivo de 8 poderia também 
ter funcionado. 

O procedimento gráfico do Exemplo 1 dá uma ilustração da definição parae ~ 0,2, mas 
não prova que o limite é igual a 2. Uma prova deve fornecer uni 8 para cada e. 

Ao provar as questões sobre os limites, pode ser proveitoso imaginar a definição de li- 
mite como um desafio. Primeiro ele o desafia com um número e. Então você deve ser 
capaz de obter um 8 adequado. Você deve ser capaz de fazer isso para todo e > 0, e não 
somente para um particular valor de s. 

Imagine uma competição entre duas pessoas, A e B, e suponha que você seja B. A pes- 
soa A estipula que o número fixo L deverá ser aproximado por valores de /(a) dentro de 
um grau de precisão s (digamos 0,01). O indivíduo B então responde encontrando um 
número 8 tal que | f(x) ~~ L | < s sempre que 0 < j x — a | < 8. Nesse caso, A pode tornar- 
se mais exigente e desafiar B com um valor menor de s (digamos, 0,0001). Novamente, B 
deve responder encontrando um 8 correspondente. Em geral . quanto menor for o valor de 
£, menor será o correspondente valor de 8. Se B vencer sempre, não importando quão 
menor A faça e, então lim /(a) — L. 


EXEMPLO 2 Prove que lim (4a — 5) — 7. 

x --«■ 3 

SOLUÇÃO 

1. Uma análise preliminar do problema { conjecturando um valor para 8). Seja s um 
número positivo dado. Devemos achar um número 8 tal que 

j (4 a — 5) — 7 [ < s sempre que 0 < | x — 3 | < 8 
Mas | (4 a — 5) — 7 I = I 4a — 12 1 = | 4(a — 3) | = 4j x — 3 j. Portanto, queremos 

4| a •- 3 ] < e sempre que 0 < | a ~ 3 | < 8 




5 CÁLCULO E d itera Ihornscsj 




Vá 

/ + s 

/ v = 4:x 

i ' 

•" 5 

f 


7 

7-s 

/ 

7 


1 



I 

/ 

1 


0 

i / 3 \ ’• 

/ / 

/ 3 - S 3 + 5 


isto e, ! x — 3 I < — sempre que 

4 

Isso sugere que poderíamos escolher <5 = e/4. 


2. Prova { mostrando que a escolha de 8 funciona). Dado e > 0. escolha ò 
Se 0 < i .v — 3 | < 5. então 


| (4a- - 5) — 7 ! — Í 4x -- J 2 | = 4j x - 3 | < 45 - 4\ ~ j - e 

Assim 

| (4,v -- 5) 7j < e sempre que 0 < \x ~ 3 j < § 
Portanto, pela definição de limite, 

lim (4x — 5) = 7 


Este exemplo está ilustrado na Figura 9. 


Observe que na solução do Exemplo 2 havia dois estágios — conjecíurando e provando. 
Fizemos uma análise preliminar que nos capacitou conjecturar um valor para 8 . Então em 
um segundo estágio tivemos de voltar e provar cuidadosamente de forma lógica que fize- 
mos uma conjectura correta. Esse procedimento é típico da boa parte da matemática. Por 
vezes é necessário primeiro fazer uma conjectura inteligente sobre a resposta de um pro- 
blema e então provar que a conjectura é correta. 

As definições intuitivas de limites laterais dadas na Seção 2.2 podem ser reformuladas 
precisamente da seguinte forma. 

| [3] Definição de ürrúte Esquerdo | 

J lim f(x) = L 

I se para todo s > 0 houver um número correspondente 8 > 0 tal que 
| j j (-*) — L | < s sempre que a -■ 8 < x < a 


j 4 j Definição de Umite Ütreiío 

lim f(x) — L 

se para todo e > 0 houver um número correspondente 8 > 0 tal que 

I 

| 

I./Ú) ~ L j < e sempre que a < x < a + 8 


Note que a Definição 3 é igual à Definição 2, exceto que x está restrito a ficar na metade 
esquerda (a - 5, a) do intervalo (, a ~ 8 . a + 8 ). Na Definição 4, x está restrito a ficar na 
metade direita (a, a + 8 ) do intervalo (a - 8 , a + 8 ). 

EXESflPLO 3 □ Use a Definição 4 para provar que lim V A — (). 






James Stewart 


11S 


13 Cauchy e os Umítes 
Após a invenção do cálculo, no século 
XVII, seguiu-se um período de livre 
desenvolvimento do assunto, no 
século XVIII. Matemáticos como os 
irmãos Bernoullí e Euler estavam 


ansiosos por explorar o poder do 
cálculo, e exploraram audaciosamente 
as consequências dessa encantadora e 
nova teoria matemática sem grandes 
preocupações com a veracidade e 
correção de suas provas. 

0 século XIX, ao contrário, foi a 


Época do Rigor na matemática. Houve 


um movimento de volta aos 
fundamentos do assunto - para 
fornecer definições cuidadosas e provas 
rigorosas. Na linha de frente desse 
movimento estava o matemático 


francês Augusítn-Louis Cauchy (1789- 
1 857}, que começou como engenheiro 
militar antes de se tornar professor de 
matemática em Paris. Cauchy pegou a 
idéia de limite de Newton, mantida 
viva no sécuio XVIII pelo matemático 
francês Jean d'Alembert, e tornou-a 
mais precisa. Sua definição de iimite 
tem a seguinte forma: "Quando os 
valores sucessivos atribuídos a uma 
variável aproximam-se indefinidamente 
de um valor fixo de forma que no fina! 
diferem dele por tão pouco quanto se 
queira, esse último é chamado iimite de 
todos os outros 7 '. Mas quando Cauchy 
usava essa definição em exemplos e 
provas, eie freqüentemente empregava 
as desigualdades delta-épsilon 
similares às desta seção. Uma 
demonstração típica de Cauchy começa 
com: “Designando por 8 e e dois 
números muito pequenos...”. Ele usou 
e em virtude de uma correspondência 
entre épsilon e a palavra francesa 
erreur. Mais tarde o matemático 
alemão Kar I Weierstrass (1815-1897) 
estabeleceu a definição de limite 
exatamente como nossa Definição 2. 


SOLUÇÃO 

1, Conjecturando um valor para 8, Seja e uth número positivo dado. Aqui a = 0 e L - 0; 
logo, queremos achar um número 6 tal que 

j y/x - 0 j < e sempre que q < _ v < g 

isto é, y/x < e sempr e que 0 < x < 8 

ou, elevando ao quadrado ambos os lados da desigualdade yA < e, obtemos 
x < íC sempre qn e 0 < x < 3 

Isso sugere que devemos escolher Õ — s 2 . 

2. Mostrando que esse 8 funciona. Dado s > (). seja 8 — s 2 . Se 0 < x < 3, então 

y/X < yf 8 — y/S 2 ~ £ 

logo 1 s/x - 0 1 < e 

Consequentemente, pela Definição 4, isso mostra que lim y/x = 0. 

EXEMPLO 4 g Prove que hm x 2 — 9. 

SOLUÇÃO 

1. Conjecturando um valor para 3. Dado e > 0. Temos de achar um número 8 > 0 
tal que 

\x 2 — 9 1 < s sempre que 0 < jx - 3 [ < 8 

Para conectar \x 2 — 9 1 com jx ~ 3 j escrevemos jx 2 — 9 j = | (x + 3){x — 3) j. Nesse 
caso, queremos 

[ x + 3 1 1 x ~ 3 | < e sempre que 0 < | x — 3 1 < 8 

Note que se pudermos achar uma constante positiva C tal que j x + 31 < C, então 

j x + 3 i Lr - 3| < C\x - 3 j 

e podemos fazer C\ x - 3 | < e tomando | x ~ 3 j < e/C = 8. 

Podemos achar esse número C se restringirmos x a algum intervalo centrado em 3. De 
fato, uma vez que estamos interessados apenas em valores de x que estão próximos de 3, 
é razoável supor que x está dentro de uma distância 1 de 3, isto é, j x ~ 3 j < 1 . Então 
2 < x < 4, logo 5 < x + 3 < 7. Assim, temos |jc + 3 j <7; logo, C ~ 7 é uma escolha 
conveniente para a constante. 

Mas agora há duas restrições sobre Lr - 3 |, isto é 

Para ter certeza de que ambas as desigualdades estão satisfeitas, tomemos 8 como o 
menor dos dois números 1 e s/7. A notação para isso é 8 — min {1 , e/7}. 

2. Mostrando que esse 8 funciona. Dado e > 0, seja 8 — min{l , e/7}. Se 

0 < j jc — 3 [ < 8, então J x ~ 3 j < I 2 < x < 4 => | x + 3 j < 7 (como na parte 1). 
Temos também jx - 3 j < s/7, logo 

j x 2 — 9 j = j x + 3 | j x — 3 j <7 ■ y — e 
Isso mostra que lim s .* 5 x 2 — 9. 



m0IÈÈÍ$'-& CÂLÜelü Editora ihomson 


'O Exemplo 4 mostra que nem sempre é fácil provar que são verdadeiras as proposi- 
ções com limite usando a definição de e, <5. De fato. se nos fosse dada uma função mais 
complicada, corno /(x) = (6r -- 8.v + 9)/(2r - .!), isso iria requerer uma grande dose de 
engenhosidade. Felizmente isso é desnecessário, pois as Leis do Limite dadas na Seção 23 
podem ser provadas usando-se a Definição 2, e então os limites das funções complica- 
das podem ser encontrados rigorosamente a partir das Leis do Limite sem recorrer direta- 
mente à definição. 

Por exemplo, provamos a Lei da Soma: Se fim,.,,., f(x) = L e fim..,,, g(x) = M exis- 


tem, então 


lim [/(,v) + p(x)] — L + M 


Desigualdade triangular: 

[ a + b | I a \ + j b j 

(Veja o Apêndice A.) 


As leis restantes estão provadas nos exercícios e no Apêndice F. 

Prova da lei da Soma Dado e > 0. Devemos encontrar um 5 > 0 tal que 

| f(x) 4- g(x) — (L + M) | < e sempre que 0 < |jc — a\ < 8 
Usando a desigualdade triangular podemos escrever 

[f] j f(x) + g(x) — (L + M) j = | (/{ x) ~ L ) + (g(x) - M) j 

| / (.r) ~ L | + j gf(jc) — M j 

Podemos fazer \f(x) 4- g(x) — ( L + M)\ menor que e tomando cada um dos termos 
| f(x) — L j e ) g(x) - M | menor que e/2. 

Uma vez que e/2 > 0 e fim fix) — L. existe um numero Ô } > 0 tal que 


— L | < — sempre que 0 < | x — a \ < ôi 


Analogamente, uma vez que fim x ..« u g(x) — M, existe um número 8 2 > 0 tal que 


| g(x) — M j < — sempre que 0 < \x — a \ < 8 : 


Seja 8 — min{5i, 5?}. Note que 


se 0 < I x — a ! < 8 então 0 < | x — a I < 8 \ 


0 < | x — a I < 82 


Consequentemente, por (5). 


f(x) + g(x) - (L + M) | ^ )/(*) - L | + | g(x) - M \ 


e e 

< 1 — - — s 

2 2 


Resumindo, 


| f(x) +■ g(x) - (L + M) | < s sempre que 0 < | x — a j < 5 
Assim, pela definição de limite, 



iames Stewart 


CAPÍTULO 2 



y á 
M 

1 

\ y = M 


f i 

/ i 
/ 

/ * 

T“ 

\ 

í \ 


/ ° 

\ .X 


a -6 

a + & 

FIGURA 10 



121 


jQl Limites Infinitos 

Os limites infinitos podem também ser definidos de uma man e jra precisa. A seguir apre- 
senta-se uma versão precisa da Definição 4 da Seção 2 . 2 . 

| LU Definição Seja/uma função definida em algum interv%> aberto que contenha 
( o número a, exceto possivelmente no próprio a. Então 

j fim f(x) — oo j 

; significa que para todo número positivo M há um número positivo correspondente j 
j <5 tal que i 

f{x) > M sempre que 0 < j x ~ a \ < 5 


Isso diz que o valor de f(x) pode ser arbitrariamente grande (rtiaior que qualquer número 
dado M) tomando-se x suficientemente próximo de a (dentro de uma distância ó, onde 8 
depende de M , mas com x # a). Uma ilustração geométrica está na Figura 10. 

Dada qualquer reta horizontal y ~ M, podemos achar um número 8 > 0 tal que, se 
restringirmos x a ficar no intervalo (a — 8, a + t>), mas x # a. então a curva y = f(x) 
ficará acima da reta y = M. Você pode ver que se um M muito grande for escolhido, então 
um 8 muito pequeno poderá ser necessário. 


EXEMPLO 5 o Use a Definição 6 para provar que fim — = oo. 

.r~~0 V' 

SOLUÇÃO 

1. Conjecturando sobre um valor para 8. Dado M > 0, queremos achar um 8 > 0 tal 
que 

1 



— r > M 
x ~ 

sempre que 

0 < | x 

- 0| <8 

isto é. 

1 

x~ < — 

M 

sempre que 

W 

V 

c 

< 8 

ou 

i , 1 

|A| v® 

sempre que 

o < ! x | 

< 8 


Isso sugere que devemos tomar 8 — 1/yM. 

2. Mostrando que esse 8 funciona. Se M > 0 for dado, seja § — 1/ f M. Se 
0 < 1 x — 0 1 < 5, então 

[ jc j < 8 => x 2 < 8 2 

1 1 

==** — > = m 

x l 8 2 

1 , 

Assim —7 > M sempre que 0 < | x — 0 1 < 8 

Portanto, pela Definição 6 

fim = cc 



CALCULO 


Ediíora Thomson 



F!GURA 1 1 


Analogamente, a seguir é apresent 
ilustrada pela Figura 1 1 . 


ida uma versão precisa da Definição 5 da Seção 2.2. 


^srjoiçao Seja / uma função definida em um intervalo aberto que contenha o 
número a, exceto possivelmente no próprio a. Então 

lim f(x) — —oo 

significa que para todo número negativo N há um número positivo correspondente 
8 ta! que 

f(x) < N sempre que 0 < ] x — a | < 8 



Exercícios 


1. Quão próximo de 2 devemos tomar v para que 5x + 3 esteja a 
uma distância de 13 menor que (a) 0.1 e (b) 0.01? 

2 . Quão próximo de 5 devemos tomar x para que 6x - 1 esteja a 
uma distância de 29 menor que (a) 0,01 , (b) 0.001 e (c) 
0 , 0001 ? 


3 . Use o gráfico dado de/f-r) = l/x para encontrar um número 8 
tal que 


0,5 j < 0,2 sempre que j,r — 2 j < 8 



io 2 jo 


4 . Use o gráfico dado de / para encontrar um número 8 tal que 
!/(-*) ~ 3 | < 0.6 sempre que 0 < \x — 5 i < 8 



5 . Use o gráfico dado de f(x) — y.v para encontrar um número <5 
tal que 


| y/x — 2 j < 0,4 sempre que j.y — 4 J < 8 

y * 



6 . Use o gráfico dado d ef(x) = ,r para encontrar um número 8 tal que 
!-V 2 - 1 j < I sempre que \x -- 1 j < 8 


y , 

à 

/ 

1,5- 

1 / >' = r 

/ ■ 
/ 

”~7f 


! - 

0.5 - 





tf 

? i ? x 


1b 1- Use um gráfico para encontrar um número ò tal que 

[ y'4v + 1 — 3 | <0,5 sempre que | v ~ 2 [ < 5 
|| 8 . Use um gráfico para encontrar um número 5 tal que 

j 

Isenv - \ ( < 0.1 sempre que \x — — <8 


mm si P ara ° ^ rn ^ e 


lim (4 + x — 3„r v ) — 2 


ilustre a definição encontrando os valores de 8 que cor 
respondam a e ~ ler- OM . 

fh 

j§|i 10. Para o limite 

I e — 1 

lim — i 

!'•• x-*Q X 


ilustre a definição encontrando os valores de 8 que cor- 
respondam a e — 0,5 e í? = 0,1 . 

pp 11. Use o gráfico para encontrar uni número S tal que 

— t > 1 00 sempre que 0 < I x — 1 í < 8 

t.r + l)íx - \Y 1 

§! 12. Para o limite 

lim cotglr — se 

ilustre a definição encontrando os valores de d que cor- 
respondam a (a) M = 100 e (b) M -■ 1 .000. 

13. Um torneiro mecânico é necessário para fabricar um 
disco de metal circular com área de 1 .000 cm 2 . 

(a) Qual o raio do disco produzido? 

(b) Se for permitido ao torneiro uma tolerância de erro 
de ±5 cm 2 na área do disco, quão próximo do raio 
ideal da parte (a) o torneiro precisa controlar o raio? 

(c) Em termos da definição de e, $ de lim *_,„/(*) = L, 
o que é x? O que é /(x)? O que é al O que é LI Qual 
o valor de e dado? Qual o valor correspondente de Ô? 

. ; • 14. Uma fornalha para a produção de cristais é usada em 
uma pesquisa para determinar a melhor maneira de 
manufaturar os cristais utilizados em componentes 
eletrônicos para os veículos espaciais. Para a produção 
perfeita do cristal, a temperatura deve ser controlada 
precisamente, ajustando-se à entrada da potência. 
Suponha que a relação seja dada por 

71» = 0.1 w 2 + 2,155» + 20 
onde T é a temperatura em graus Celsius e w, a potência 
de entrada em watts. 

(a) Qual a potência necessária paru manter a temperatura a 
200 °C? 

(b) Se for permitida uma variação de ± 1 °C a partir dos 
200 °C , qual será a imagem da potência permitida 
para a entrada? 

(c) Em termos da definição s, 8 de lim x ^. <( f{x) ~ L, o 
que é x? O que é/(x)? O que é al O que é LI Qual o 
valor de e dado? Qual o valor correspondente de Ô? 

15-18 □ Prove cada proposição usando a definição e, 8 de 
limite e ilustre com um diagrama como o da Figura 9. 


15. lim Í2x + 3) = 5 16. lim (4 jc + 3)~2 

X 1 "‘2 *■ 

17. lim (l - 4x) = 13 18. lim (7 - 3x) => -5 

x-*3 ' .v-»4 

19—32 c: Prove cada proposição usando a definição e . 8 de limite. 


James Stewart 

CAPÍTULO 2 

-HViiT 

ES E DERIVADAS _ 

19. lim — — 

•t-»3 5 5 


28. 

lim ( + 3 j - ~ 

.T— 6 \ 4 / 2 

21. lim 4 

..v -*■ '-'5 \ 

5 J 

22. 

x~ + jr —32 n 

•í-*' 1 x — 3 

23. lim x — a 


24. 

lim c ~ c 

25. lim x 1 — 0 


26. 

lim x } = 0 

.cM' 

27. lim j -v | = 0 


28. 

lim y9 - x ~ 0 

29. lim !..C — 4.1 

+ 5) = 1 

30. 

lim (x 2 + x ~ 4) = 8 

31. lim (x J — i 

} - 3 

32. 

lim x s — 8 


33 . Verifique que 8 = min {2, e/8} é outra escolha possível de 
í> para mostrar que lim x~ — 9 no Exemplo 4. 

34 . Verifique, usando argumentos geométricos, que a maior 
escolha possível para o 0 para que se possa mostrar que 
lim x 2 “ 9 é S — V 9 + e -3. 

35 . (a) Para o limite lirn^j <x J + .v + 1) — 3, use um gráfico para 
determinar o valor do Ô correspondente a e - 0,4. 

(b) Usando um sistema algébrico computacional para resolver 
a equação cúbica jU + x +1 = 3 + e, determine o valor possível 
para ô que corresponde a qualquer e > 0 dado. 

(c) Tome e ; = 0,4 na sua resposta da parte (b) e compare com a 
sua resposta da parte (a). 

36 . Prove que lim — = — . 

.ir ~*2 x 2 

37. Prove que lim y/x ~ y/a se a > 0. 

1 _ — 1 x — Ü I I 

Sugestão: Use j y/x — y/a \ — ■■■■ ,— . | 

V ' + V« 


38 . Se H for a função de Heaviside definida no Exemplo 6 da Seção 2.2, 
prove, usando a Definição 2, que lim //(?} não existe. [Dica: 
Use uma prova indireta. Suponha que o limite seja L. Tome e = k 
na definição de limite e tente chegar em unta contradição.] 

39 . Se a função/ for definida por 

, . í 0 se x é racional 

./(-*> . . . 

1 1 se x e irracional 

prove que lim lM . 0 f(x) não existe. 

40. Comparando as Definições 2.3 c 4. prove o Teorema 1 da Seção 2.3 . 

41 . Quão próximo de -3 devemos tomar x para que 

T 1 T77 > 10.000 


(jr + 3) 4 

42. Prove, usando a Definição 6, que lim 

43. Prove que lim !n v - 00 . 


i.v + 3} 4 


44. Suponha que lim^.^ f(x) -■ 0 ° e lim r ^ íf g(x) — c, onde c é um 
número real. Prove cada proposição 

(a) lim \ f[x) T g(x)] — °° 

x 

(b) fim | f{:x)g{x}\ * se c > 0 

x ~>n 

(c) lim [/(x)í/(x)] = se c < 0 



ffSj . >|te' CÁLCÜiO ESitòra Tfecmsísn 




Continuidade 


Notamos na Seção 2.3 que o limite de urna função quando x tende a a pode muitas vezes 
ser encontrado simplesmente calculando-se o valor da função em a. As funções com essa 
propriedade são chamadas contínuas em a. Veremos que a definição matemática de con- 
tinuidade corresponde estreiiamente ao significado da palavra continuidade na linguagem 
do dia-a-dia. (O processo contínuo é aquele que ocorre gradualmente, sem interrupções ou 
mudanças abruptas.) 


hj Definição Uma função/ é contínua em um número a se 

lim f(x) f(a) 


G Como ilustrado na Figura 1, se / for 
contínua, então, sobre o gráfico de /, 
os pontos (>, / Çt» tendem ao ponto 
ia.f(a)) sobre o grafico. Logo não há 
buraco na curva. 


fíx) 

aproxima-se 
de /(a). 



Quando a tende a a. 


FIGURA 1 


— ~i t 1 t- 

0 t 2 \ 3 4,5 


FIGURA 2 


Observe que a Definição 1 implicitamente requer três coisas para a continuidade de / 
em a\ 

1, f(a) está definida (isto é, a está no domínio de f) 

Z. Yimfíx) existe 

a lim f(x) - fia) 

A definição diz que / é contínua em a se f(x) tender a f{a) quando x aproxima-se de a . 
Assim, uma função contínua /tem a propriedade que uma pequena variação em x produza 
apenas uma pequena modificação em f(x). De fato, a alteração em/(x) pode ser mantida 
tão pequena quanto desejarmos mantendo a variação em x sufi ciente mente pequena. 

Se / está definida próximo de a (em outras palavras. /está definida em um intervalo 
aberto contendo a, exceto possivelmente em a), dizemos que/é descontínua em «, ou que 
/tem uma descontinuidade em a, se/ não é contínua em a. 

Os fenômenos físicosNão geralmente contínuos. Por exemplo, o deslocamento ou a veloci- 
dade de um veículo varia continuamente com o tempo, como a altura das pessoas. Mas a deseon- 
tinuidade ocorre em situação tal como a corrente elétrica. [ Veja o Exemplo ó da Seção 2.2, onde 
a função de Heaviside é descontínua em 0, pois lim f _, 0 H(t) não existe.] 

Geometricamente, você pode pensar em uma função contínua em todo número de um 
intervalo como sendo uma função cujo gráfico não se quebra. O gráfico pode ser desenhado 
sem remover sua caneta do papel . 

EXEMPLO 1 A Figura 2 mostra o gráfico de uma função/. Em quais números fé 
descontínua? Por quê? 

SOLUÇÃO Parece haver uma descontinuidade quando a - 1 , pois aí o gráfico tem um 
buraco. A razão reconhecida para /ser descontínua em 1 é que/( 1) não está definida. 

O gráfico também tem urna quebra em a - 3, mas a razão para a descontinuidade é 
diferente. Aqui/(3) está definida, mas lim w3 /(x) não existe (pois o limite esquerdo e o 
direito são diferentes). Logo fé descontínua em 3. 

E sobre a - 5? Aqui/(5) está definida, e Iim v _ 5 /(x) existe (pois o limite esquerdo e o 
direito são iguais). Mas 


lim fix)* / (5) 


Logo fé descontínua em 5. 


Agora vamos ver como detectar as descontinuidades quando urna função está definida 
por uma fórmula. 




James Stewart 



CAPITULO 2 


aXfcMPI . í Onde cada uma das seguintes funções é descontínua? 


(a) f{x)='- 


x-2 


| i 

(b) /(*) = )jr 


se -V ■* 0 
se x ----- 0 


( c ) / (x ) _ \ x-2 


se x 4- 2 
se x ~ 2 


(d) f(x) = M 


SOLUÇÃO 

(a) Note que/(2) não está definida: logo,/é descontínua em 2. Mais à frente veremos 
por que fé contínua em todos os demais números. 

(b) Aqui /(O) - i está definida, mas 


Jim/(x)'“ lim— 

Jt" m +0 x-*0 x' 

não existe (veja o Exemplo 8 da Seção 2.2). Logo/é descontínua em 0. 
(c) Aqui /( 2) - 1 está definida e 


lim f(.x) ~ lim 


x~ - x- 2 
x 


l im í£zi X£±ü 

x-2 


lim(x + }) = 3 


existe. Porém 


lim/(.r)* /( 2) 


iogo,/não é contínua em 2. 

(d) A função maior inteiro/(x) = |xj tem descontinuidades em todos os inteiros, 
pois lim,-» !kj não existe se n for um inteiro (veja o Exemplo 10 e o Exercício 49 da 
Seção 2.3). 



A Figura 3 mostra o gráfico das funções no Exemplo 2. Em cada caso o gráfico não 
pode ser feito sem levantar a caneta do papel, pois um buraco, uma quebra ou pulo ocor- 
rem no gráfico. As descontinuidades ilustradas nas partes (a) e (c) são chamadas removíveis, 
pois podemos removê-las redefinindo / somente no número 2. f A função g(x) = x + 1 é 
contínua.] A descontinuidade da parte (b) é denominada descontínuidade infinita. As 
descontinuidades da parte (d) são ditas pulos de descontinuidades, porque a função 
“pula"' de um valor para outro. 



FIGURA 3 Gráficos das funções do Exemplo 2 




126 CALCULO Editora Thomsso 


1.1 &etm)çao Uma função/ é contínua à direita de um número a 

Hm f(x) = /'(a) 


e/é contínua à esquerda de a 


lim fi.x) = /(cí) 


EXEMPLO 3 o Em cada inteiro n, a função f(x) = / \x\ [veja a Figura 3<d>] é contínua à 
direita, mas descontínua à esquerda, pois 

lim /{•*■) iim M tt - : n = /(«) 


mas 


lim /(x) ~ Hm Ixi »=«-!=# /'{«) 


[3j Definição Uma função /é contínua em um intervalo se for contínua em 
todos os números do intervalo. (Se/for definida somente de um lado do extremo 
do intervalo, entendemos continuidade no extremo como continuidade à direita ou 
à esquerda.) 


EXEMPLO 4 □ Mostre que a função /(.r)« 1 - VI - x 2 é contínua no intervalo j 
SOLUÇÃO Se -1 < a < 1 , então, usando as Leis do Limite, temos 

lim f(x) = lim [ 1 - VU- x 2 

= 1 - lim \/l -x 2 (pelas Leis ii" : 2 e 7) 


1. iJ- 


= 1 -ylim(l ~ x 2 ) 


1 - vl - a" 
«/(a) 


V i 

i 

; /(x) = i - Vi FF 

\ 

\ 

1 

1 / 



d 

3 x 

FIGURA 4 



Assim, pela Definição 1 ,/é contínua em a se -1 < a < L Cálculos análogos mostram que 
lim. / (x) " 1 ~ /{— 1 ) e Hm f(x) ~ 1 = /( 1 ) 

logo,/é contínua à direita em -I e contínua à esquerda em 1 . Consequentemente, de 
acordo com a Definição 3 ,/é contínua em (-1, !]. 

O gráfico de/ está esboçado na Figura 4. É a metade inferior do círculo 

v 2 +/(>’- 1)" ; =1 


Em lugar de sempre usar as Definições 1 , 2 e 3 para verificar a continuidade de uma 
função como feito no Exemplo 4, muitas vezes é conveniente usar o próximo teorema, que 
mostra como construir as funções contínuas complicadas a partir das simples. 



James Stewart 


I 


CAPITULO 2 


f!i ,eôrBÍ,i8 Se/ e 9 forem contínuas em a e se c for uma constante, então as 
seguintes funções são contínuas, também, em a: 

t-f+9 2. /- g 3 . cf 

4. fg 5. ~ seg(a)*Q 


PfBVB. Cada uma das cinco partes desse teorema segue da correspondente Lei do Limite 
da Seção 2.3. Por exemplo, vamos dar a prova da parte 1 . Uma vez que/e g são con- 
tínuas em a, temos 


lim /(x) = f(a) e lim g(x) - g(a ) 


Conseqüentemente 


{M/ + 9)( x ) = lim [/(*) + g(x)] 

= lim/ (*) + lim g(x) f pela Lei n i ) 

.x-+a x— *a ' 

-■--f(a) + g{a) 

= (f+g)(a) 

Isso mostra que f + g é contínua em a. íS 

Segue do Teorema 4 e da Definição 3 que se/e 9 forem contínuas ern um intervalo, 
então / + g,f~ g, cf, fg e (se g nunca for 0) f/g também o são. O seguinte teorema foi enun- 
ciado na Seção 2.3 como a Propriedade da Substituição Direta. 


j~~~ [5j Teorema 

| (a) Qualquer polinómio é contínuo em toda a parte; ou seja, é contínuo em 

D ? = (-00 00 ). 

! 

j (b) Qualquer função racional é contínua sempre que estiver definida; ou seja, é 
contínua em seu domínio. 


Prova 

(a) Um polinómio é uma função da forma 

P(x) C n x” - C n _ i X n ~‘ -i + c.x + c 0 

onde co, c u . . . , c„ são constantes. Sabemos que 

lim c e — c 0 (pela n f - Lei 7) 

e lim x'" a” m ~ 3 , 2,..., n (pela n 1 ' Lei 9) 

Essa equação é precisamente a informação de que a função /(x) = x" é uma função 
contínua. Assim, pela parte 3 do Teorema 4, a função g(x) = cx" é contínua. Uma vez 
que Pé a soma das funções desta forma e uma função constante, segue-se da parte 1 do 
Teorema 4 que P é contínua. 




CALCULO 


Editora Thomsoí» 


(b) Uma função racional é'uma função da forma 


onde P e Q são polinómios. O domínio de/é D — {x e R/Q(.r) -f 0). Sabemos, da 
parte (a), que P e Q são contínuos em toda a parte. Assim, pela parte 5 do Teorema 4,/é 
contínua em todo o número em D. 


Como uma ilustração do Teorema 5, observe que o volume de uma esfera varia conto 
nuamente com seu raio, pois a fórmula V(r) = {-nr 3 a mostra que Vé uma função polinomial 
de r. Da mesma forma, se uma bola for atirada verticalmente no ar com uma velocidade de 
50 pés/s, então a altura da bola em pés após t segundos é dada pela fórmula h = 50? - 1 6? . 
Novamente, essa é uma função polinomial, portanto a altura é uma função contínua do 
tempo decorrido. 

O conhecimento de quais funções são contínuas nos capacita a calcular muito rapida- 
mente alguns limites, como os dos exemplos a seguir. Compare-os com o Exemplo 2(b) da 
Secão 2.3. 


EXEMPLO 5 c Encontre lim 


-2 5 - 3x 


SOLUÇÃO A função 


é racional; assim, pelo Teorema 0, é contínua em seu domínio, que é {.v L -.f. 
Portanto, 


X' -f ? -» I 

lira -, — = lim /EU /(” 2 > 

- r — 2 5-3.V *■ 

= (- 2) 3 + 2(-2/- l _ 

5 - 3(-2) l i 


Picos $ , sen d) 


4GURA5 


□ Outra forma de estabelecer os 
limites em (6) é fazer uso do 
Teorema do Confronto com a 
desigualdade sen B < 0 (para 0 > 0), 
que está provado na Seção 3.4. 


Isso resulta que as funções familiares são contínuas em todos os números de seus 
domínios. Por exemplo, a Lei do Limite 10 implica que as funções raízes são contínuas. 
(O Exemplo 3 da Seção 2.4 mostra que /( x)~yfx é contínua à direita de 0.) 

Da forma dos gráficos das funções seno e cosseno (Figura 1 8 da Seção 1 .2) iríamos cer- 
tamente conjecturar que elas são contínuas. Sabemos das definições de sen B e cos 0 que 
as coordenadas do ponto P na Figura 5 são (cos 0 , sen 0). À medida que 0 ~H), vemos que 
P tende ao ponto (1,0) e, portanto, cos 0 -*■ 1 e sen 0 -*0. Assim. 


lim cos 0 
e-H> 


lim sen 0 - 0 

0-X) 


Uma vez que cos 0 — 1 e sen 0 0, as equações em (6) asseguram que as funções seno e 

cosseno são contínuas em 0. As fórmulas de adição para seno e cosseno podem, então, ser 
usadas para deduzir que essas funções são contínuas em toda a parte (veja os Exercícios 
56 e 57). 

Segue da parte 5 do Teorema 4 que 


,12 



James àtewsrt 


MTUtO 2 Li 


c continua, exceto onde cos x 0. Isso acontece quando x é um múltiplo inteiro ímourd 
ir/2, portanto v = tg x tem descontinuidades infinitas quando .v =■ ^ n . ±3tt/2. ±5tt/ 2. e assir 
por diante (veia a Figura 6). 


1 |s v ' 

1 f i 

ü fl 

I| || 

i í i 

1 I 1 

1 / 1 1- 

1 1 / 1 
/ 1 / 1 

/ 1 /I 

: ./ ! 

1/ ' / 1 

_ .,711 /--7T _1T / 

? / A / 

0 ?A * 

; u 

^ i/ r 


FIGURA 6 
v — tg X 


□ As funções trigonométricas inversas A função inversa de qualquer função contínua é também contínua. (O gráfico de f ' 1 

foram revistas na Seçao 1 6. obtido refletindo o de/e m tomo da reta v = x. Portanto, se o gráfico de /'não tiver quebr 

isso também acontecerá com o de/ 1 .) Assim sendo, as funções trigonométricas inversa 
são contínuas. 

Na Seção 1 .5 definimos a função exponencial y — a* de forma a preencher os buraco 
no gráfico de y = a\ onde x é racional. Em outras palavras, a própria definição de y — c 
torna-a uma função contínua em R. Portanto, sua função inversa y = log fl x é contínu 
em (0. «). 


[f] Teorema Os seguintes tipos de funções são contínuas em todo o número de 
seus domínios: 

polinómio funções racionais funções raízes 

funções trigonométricas funções trigonométricas inversas 

funções exponenciais funções logarítmicas 


ln x + ig l x 

EXEMPLOS c Onde a função = é contínua? 

SOLUÇÃO Sabemos do Teorema 7 que a função y — ln x é contínua para x > 0 e que 
y tg = a- é contínua em U. Assim, pela parte 1 do Teorema 4 ,y = ln x + íg ! x é contínua 
em (0, oc ). O denominador v = f - 1 é um polinómio, portanto é contínuo em toda a parte. 
Assim, pela parte 5 do Teorema 4,/ é contínua em todos os números positivos x, exceto 
onde .r - 1 =0. Logo,/é contínua nos intervalos abertos (0, 1) e (1 , «>)• í 


□ Esse teorema afirma que um 
símbolo de limite pode ser movido por 
meio de urn s Em boio de função se eia 
for contínua e se o limite existir. Em 
outras palavras, a ordem desses dois 
símbolos pode ser revertida. 


Outra forma de combinar as funções contínuas /e g para obter novas funções contínua 
é formar a função composta/ ° g. Esse fato é uma consequência do seguinte teorema. 


[8 j Teorema Seja /contínua em b e hmg(x) — /.então lim/(0(*)) — /(/) 
Em outras palavras, 

lim/(^(-ri)-/(iirng(.T)) 





CÁLCULQ Edüofa Tiiornsan 


Intuitivamente esse teorema é razoável . pois se ,v estiver próximo cie a, então q(x) estará 
próximo de b\ e como / é contínua em h, se g(x) estiver próximo cie b. então j\g[x)) es- 
tará próximo de f(b). Uma prova do Teorema 8 está dada no Apêndice F. 

cXEM^LO 1 z Calcule hm arcsen j % -- | . 

SOLUÇÃO Uma vez que arcsen é uma função contínua, podemos aplicar o Teorema 8: 

.. (l-Jx) ( 1 ~-Jx) 

hm arcsen = arcsen hm 


.. 1-Vjc 

: arcsen hm =tí — 

i i _/7w i _u 


(l - Vx)(l + Vxjj 


arcsen iim — ~-= 
l ' i + yfx) 

1 7! 

--- arcsen — = — 

2 6 


Vamos aplicar agora o Teorema 8 no caso especial onde f(x) = tfx, onde néum inteiro 
positivo. Então 

/Íí/C>) {içH v) 


./(lnní/{x)j = , f ! im </(\) 


Se colocarmos essas expressões no Teorema 8 obteremos 


-«jhmg{x) 


e assim a Lei do Limite 1 1 foi provada. (Pressupomos que a raiz exista.) 


[|j Teorema Se g for contínua em a e/em g (a), então a função composta f c g 
dada por ( f° g)(x) =f(g(x )) é contínua em a. 


Esse teorema é com freqüência expresso informalmente como se segue: “Uma função 
contínua de uma função contínua é uma função contínua”. 

Prove Uma vez que g é contínua em a , temos 

lim g(x) — g(a ) 

Uma vez qu e/é contínua em b ~ g (a), podemos aplicar o Teorema 8 para obter 

Hm Mx)) = f(g(a)) 


que é precisamente a afirmação de que a função h(x) = f(g(xj) é contínua em a: isto é,/° g 
é contínua em a. n 




-James Stewart - ^PÍTUIQ 2 


FIGURA 7 
y = In (1 + COS x) 


EXEMPLO 8 ::: Onde as seguintes funções são contínuas? 

(a) h(x) --- sen(.v) (b) 'd A) --- !n( 1 + co$ x) 

SOLUÇÃO 

(a) Temos que híx) = f(g(x)). onde 

g{x) = x 2 e j\x) = sen x 

Agora g é contínua em SR, pois trata-se de um polinómio, e/ também é contínua em toda 
a parte. Assim, h = f° g é contínua em R pelo Teorema 9. 

(b) vSabemos do Teorema 7 que f(x) — In x é contínua e g(x) ~ 1 + cos x é contínua 
(pois ambas, v = 1 e y ~ cos a\ são contínuas). Portanto, pelo Teorema 9, F(x) = j(g( v)) 
é contínua onde está definida. Agora ln ( 1 + cos x) está definida quando 1 + cos x > 0. 
Dessa forma, não está definida quando cos x = -1, e isso acontece quando x = ± 77 . 

±3tt Logo, F tem descontinuidades quando x é um múltiplo ímpar de tt e é con- 
tínua nos intervalos entre esses valores (veja a Figura 7). & 

Uma propriedade importante das funções contínuas está expressa pelo teorema a seguir, 
cuja prova pode ser encontrada em textos mais avançados de cálculo. 


ííol Teorema do Valor Intermediário Suponha que /seja contínua em um intervalo 
fechado [a. b] e seja N um número qualquer entre /(a) tf(b). onde /(a) =b f(h). 
Então existe um número c em (a, b ) tal que f(c) — jV. 


O Teorema do Valor Intermediário estabelece que uma função contínua assume todos 
os valores intermediários entre os valores funcionais f(a) e f(b). Isso está ilustrado na 
Figura 8. Note que o valor N pode ser assumido unia vez [como na parte (a)) ou mais 
[como na parte (b)]. 


FIGURA 9 


yi 

i 


J W) 

N 


~~ ' / 



y = /( ri | 

i 

I f 

./(«) 

/ 



0 

a 

c b 


v 


FIGURA 8 (a) (b) 

Se pensarmos em uma função contínua como aquela cujo gráfico não tem nem buracos 
nem quebras, então é fácil acreditar que o Teorema do Valor Intermediário é verdadeiro. 
Em termos geométricos, ele estabelece que se for dada uma reta horizontal qualquer 
>’ = N entre y ~ f(a ) e y ~ //), como na Figura 9, então o gráfico de / não poderá pular 
sobre a reta - ele precisará interceptar v = N em algum ponto. 

E importante que a função / do Teorema 10 seja contínua. O Teorema do Valor 
Intermediário não é verdadeiro em geral para as funções descontínuas (veja o Exercício 44). 

Uma das aplicações do Teorema do Valor Intermediário é a localização das raízes de 
equações, como no exemplo a seguir. 




EXEMPLO 9 g Mostre que existe uma raiz da equação 

4r - 6.r + 3-v -2 = 0 

entre l e 2. 

SOLUÇÃO Seja/ÍA) = 4 a 3 - 6a 2 + 3a- 2, Estamos procurando por uma solução da 
equação dada, isto é, um número c entre 1 e 2 tal que j\c) — 0. Portanto, tomamos 
a = 1 , b = 2 e N = 0 no Teorema 10. Temos 

/(]) = 4- 6 + 3~2 = ~l <0 

e /( 2) = 32 - 24 + 6 - 2 = > 0 

Assim /(!)<() </( 2), isto é,N — 0 é um número entre /O) e/{ 2). Como/é contínua 
uma vez que é um polinómio, o Teorema do Valor Intermediário estabelece que existe 
um número c entre 1 e 2 tal que f(c) = 0. Em outras palavras, a equação 4.r - ó.r + 3a -2 = 0 
tem pelo menos uma raiz c no intervalo (1 , 2). 

De fato, podemos localizar mais precisamente a raiz usando novamente o Teorema do 
Valor Intermediário. Uma vez que 

/( 1 ,2) = - 0,128 <0 e /(1 ,3) = 0,548 > 0 

uma raiz deve estar entre 1 ,2 e 1 ,3. Uma calculadora fornece, por tentativa e erro, 

/(1 ,22) = - 0,007008 <0 e /(1 ,23) = - 0,056068 > 0 

assim, uma raiz está no intervalo (1,22, 1 ,23). r 

Podemos usar uma calculadora gráfica ou computador para ilustrar o uso do Teorema 
do Valor Intermediário no Exemplo 9. A Figura 10 mostra o gráfico de/ em uma janela de 
inspeção [-1, 3] por [-3, 3], e você pode ver o gráfico cruzando o eixo x entre I e 2. A 
Figura 1 1 mostra o resultado de se aplicar o zoom , obtendo a janela de inspeção [ 1 2, 1 ,3] 
por [- 0 , 2 , 0 , 23 . 


02 



/ 

.... .... 

s 1 

J i 

à 


\ ( 1 


- 

3 



1,3 


FIGURA 10 


- 0,2 

FIGURA 11 


De fato, o Teorema do Valor Intermediário desempenha um papel na própria maneira 
de funcionar desses instrumentos gráficos. Um computador calcula um número finito de 
pontos sobre o gráfico e liga os pixels que contêm os pontos calculados; ele pressupõe que 
a função é contínua e liga todos os valores intermediários entre dois pontos consecutivos. 
O computador, portanto, conecta os pixels ligando os pixels intermediários. 



i 



1. Escreva uma equação que expresse o tato de que uma função / 
é contínua no número 4. 

t Se / é contínua em (-» . =°). o que você pode dizer sobre seu 
gráfico? 


3. (a) Do gráfico de/, estabeleça os números nos quais fé 
descontínua e explique por quê. 

(b) Para cada um dos números estabelecidos na parte (a), 

determine se/é contínua à direita ou à esquerda, ou nenhum 
deles. 



4. Do gráfico de g, estabeleça os intervalos nos quais g é 
contínua. 



(h) Discuta as descontinuidades da função e sua signitícância 
para alguém que use o estacionamento. 

8. Explique por que cada função é contínua ou descontínua. 

(a) A temperatura em um local específico como uma função 
do tempo 

(b) A temperatura em um tempo específico como uma função 
da distância em direção a oeste a partir da cidade de Nova 
York 

(c) A altitude acima do nível do mar como uma função da 
distância em direção a oeste a partir da cidade de Nova York 

(d) O custo de uma corrida de táxi como uma função da 
distância percorrida 

(e) A corrente no circuito para as luzes de uma sala como um; 
função do tempo 

9 . Se /e g forem funções contínuas, eom/(3) — 5 e 

lim í ^ 3 [2/(x) - g(x)] ~ 4, encontre g( 3). 

10-12 D Use a definição de continuidade e propriedades dos limite; 

para provar que a função é contínua em um dado número. 

10 . / (x) = x* + -J 7 — x , a ~ 4 

11 . f(x) - (x + 2x') 4 , a — 

12 . q{x) = ** , íí = 4 

2x~ - 1 

13-14 □ Use a definição da continuidade e propriedades de limites 

para mostrar que a função é contínua no intervalo dado. 

2x + 3 

13 . f(x) - ±111 f ( 2 .«) * 

x-2 

14 . g(x) = 2 / 3 ^ 7 , 3 ] 

15-20 O Explique por que a função é descontínua no número dado 

Esboce o gráfico da função. 


15 . 

/(x) — ln |x - 

-2| 

a ~ 

2 


f-L 

se x * 1 



16 . 

i 

lt 

/ — , 

K 


a — 

1 


I 2 

se x - 1 




\e* 

se x < 0 



17 . 

fí-r) = , 


a — 

0 


K 

se x & 0 




5 . Esboce o gráfico de uma função que é contínua em toda a 
pane, exceto em/c ~ 3 e é contínua à esquerda em 3. 

6, Esboce o gráfico de urna função que tenha um salto de 
descontinuidade enu-2e uma descontinu idade removível em 
x = 4, mas é contínua no restante. 

1 „ Um estacionamento cobra $ 3 pela primeira hora, ou pane dela, 
e $ 2 por hora sucessiva, ou parte, até o máximo de $ 10. 

(a) Esboce o gráfico do custo do estacionamento como uma 
função do tempo decorrido. 


18 . f(x) - 

19 . f(x) - 


— _ — L. se x * 1 

\ x 2 - 1 

1 1 se x = 1 se x - 1 

[x 2 -~x--12 

— — se ,v * -3 

{ x + 3 


J ~5 se x — -3 

20 . f(x) ~ f 1 + x 2 se x < 1 
1 4 ■— jc se x a 1 


a — 1 


a - -3 


a — 1 




I ' CÁLCULO Editora Thomson 

lffp.21-28 n Explique, usando os Teoremas 4. 5. 7 e 9. por que a 
iij função é contínua em todo o número em seu domínio. Estabeleça 
o domínio. 


2i. F(x)=--—-r— 7 

x~ + 5-V + 6 

23. R(x) x 2 + \j 2x - 1 

25. f(x) = e' sen 5x 
27. G(í) = ln ( t - 1 ) 


22. G(x) = yjx (l + x J ) 

, sen .x 
24. h(x) = 

' ' v+1 

26. F(x) — sen '( v 2 — 1) 
28. H(x) - cosíe* ) 


|| 23-39 □ Localize as descontinuidades da função e ilustre com um 
gráfico. 


29. v = - 


30. y= InítgTv) 


31-34 □ Use a continuidade para calcular o limite. 


31. lim 


33. lim e* 2 


32. lim sen Cr -4- sen x) 


34. lim arctg 

•>'••*2 ' hjr * - 6 .x 


35-36 □ Mostre qu e/é contínua em í-x , <»). 


35. f(x) = 


jsenx se .r < -rr/4 
I cos x se a tt/4 


se x 2? 1 


36. fCr) 


37-39 O Encontre os pontos nos quais / é descontínua. Em quais 
desses pontos/ é contínua à direita, à esquerda ou em nenhum 
deles? Esboce o gráfico de/. 

f 1 + x* se x ' lz 0 


37. f(x) = J 2 - x se 0 *£ x N 


;x-2) 2 se x > 2 


x + 1 se x =£ í 

38. /(x) = il/x se 1< x< 3 


I x + 2 se x ss 0 
e : se 0 *£ x « 3 

2 - x se x > l 


40. A força gravitacional exercida pela Terra sobre uma unidade de 
massa a uma distância r do centro do planeta é 
’ GMr 

— ~t” se r < R 
GM 

— — se r s R 
r " 

onde M é a massa da Terra; R é seu raio; e G é a constante 
gravitacional. F é uma função contínua de ;•? 


41. Para quais valores da constante r a função fé contínua 

{ -■■X- . cc )7 

f esc 4- 1 se x" .* 

/(x)=j 

j CSC"' - i x 

42. Encontre a constante c que torna g contínua em í-x . x). 


(esc" +20 se x 5; 4 

43. Quais as seguintes funções / têm uma descontinuidade 

removível em a? Se a descontinuidade for removível, encontre 
uma função g que é igual a/para x #”« e é contínua em R. 

, . ... . x" - 2x - 8 _ 

(a) /(. \-)= , a-~ 2 

' ' x + 2 

(b) / (.r) — a = 7 


(c) f(x) 


a ~ —4 


(d) /(*)«= — a = 9 
9 - x 

44 . Suponha que uma função /seja contínua em [0, I }, exceto em 
0,25, e que /(O) = 1 e/(l) = 3. Seja N — 2. Esboce dois 
gráficos possíveis de/, um indicado que/ pode não satisfazer a 
conclusão do Teorema do Valor Intermediário e outro 
mostrando que /pode satisfazer a mesma conclusão. (Mesmo 
que nao satisfaça as hipóteses.) 

45 . Se/(x) = X' - x 2 + x, mostre que existe um número <: tal que 
f(c) = 10. 

46 . Use o Teorema do Valor Intermediário para provar que existe 
um número c positivo tal que seu quadrado é igual a c 2 — 2. 
(Isso prova a existência do número /2 .) 

47-50 D Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que 
existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado. 

47 . X 4 +X-3- o, (1,2) 

48 . yfx ~ 1 — x t (0,1) 

49 . cos x — x, (0,1) 

50. in x ~ e \ (1,2) 

51-52 (a) Prove que a equação tem pelo menos uma raiz real. 

(b) Use sua calculadora para encontrar o intervalo de comprimento 
0,01 que contenha uma raiz. 

51 . e - 2 - x 52 . V - .r + 2x + 3 = 0 

53-54 ü (a) Prove que a equação tem pelo menos uma raiz real. 

(b) Use recursos gráficos para encontrar a raiz correta até a terceira 
casa decimal . 

53 . x 5 - ,r - 4 - 0 54 . yfx-1 = 

x + 3 

55 . Prove que fé contínua em a se e somente se 
lim f(a+h)~f(a ) 

58. Para provar que seno é contínuo, precisamos mostrar que 
lim™ sen x - sen a para todo número real a. Pelo Exercício 
55 uma afirmativa equivalente é que 



mm 


James Stewart CAPÍTULO 2 LlVnfcS £ DERIVADAS 135 


Mm senící + h) ~~ sen a 

k o 

Use (6) para mostrar que isso 6 verdadeiro. 

57. Prove que o cosseno o uma função contínua. 

58. (a) Prove a parte 3 do Teorema 4. 

(h) Prove a parte 5 do Teorema 4. 

59 . Para que valores de x a função fé contínua? 

fO se v é racional 
ftx) - J 

1 1 se .v é irracional 

60. Para que valores de x a função g é contínua? 


g(.x) 


1 0 se x é racional 
x se x é irracional 


61. Existe um númer 0 que é exatamente um a mais que seu cubo? 

62. (a) Mostre que a função valor absoluto F{x) : = l.r[ é contínua 

em toda a pane. 

(b) Prove que se/for uma função contínua em um intervalo, 
então l/l também é. 

(c) O inverso da afirmativa da parte (b) também é verdadeiro? 
Em outras palavras, se l/i for contínua, segue que/ 
também é? Se for assim, prove isso. Caso contrário, 
encontre um Contra-exemplo. 


83. Um monge tibetario deixa o monastério às 7 horas da manhã e 
segue sua caminhada usual para o topo da montanha, chegando 
lá às 7 horas da noite. Na manhã seguinte, ele parte do topo às 
7 horas da manhã, pega o mesmo caminho de volta e chega ao 
monastério às 7 horas da noite. Use o Teorema do Valor Inter- 
mediário para mostrar que existe um ponto no caminho que o 
monge vai cruzar exatamente na mesma hora do dia em ambas 
as caminhadas. 



Limites no Infinito; Assintotas Horizontais 


.V 

f(x) 

p 

± 1 
'•*" 7 

o 

0,600000 

± 4 

0 ,800000 
0,882353 

± 5 

0,923077 

± lí) 

0.980198 

± 50 

0.999200 

:i: 100 

0,999800 

± 1.000 

0.999998 


FIGURA 1 


Nas Seções 2.2 e 2.4 estudamos os limites infinitos e as assintotas verticais. Lá tomamoí 
x tendendo a um número e, como resultado, os valores de y ficavam arbitrariamente 
grandes (em módulo). Nesta seção vamos tomar x arbitrariamente grande (em módulo) t 
ver o que acontece com v. 

Vamos começar por analisar o comportamento da função /definida por 


/(■*)“ 


x z -1 


quando x fica grande. A tabela ao lado fornece os valores dessa função corretos até a sext< 
casa decimal, e o gráfico de /feito por um computador está na Figura 1 . 



Quanto maior o x, mais próximos de 1 ficam os valores de/(x). De fato, temos ; 
impressão de que podemos tomar os valores de f(x) tão próximos de 1 quanto quisermo: 
tomando-se x suficientemente grande. Essa situação é expressa simbolicamentt 
escrevendo 


Em geral, usamos a notação 


fim ~ — - = 1 
-V" +1 


lim f(x) - L 


para indicar que os valores de/(x) ficam cada vez mais próximos de L à medida que x fic; 


maior. 







f 1 imi l : ■ 

mÊÊIÈÊÊÈÈÈmÊm; gfff# m>msm 









53 Seja/ uma função definida em alguni intervalo (a, '*-). Então 
lim f{x) - L 

ariamente próximos de L 




significa que os valores de f(x 
tomando-se x suficientemente grande. 


Outra notação para lim,..,,, /(>) = L é 

f(x) — L quando x <» 

O símbolo oo não representa um número. Todavia, frequentemente se lê a expressão 
lim f(x) -- L como “ 

“o limite de/Çr), quando x tende a infinito, é L" 


ou 

ou 


“o limite de /{.*), quando x fica infinito, é L“ 

“o limite de/(.r), quando x cresce sem limitação, é L" 


O significado dessas frases é dado pela Definição 1 . Unta definição mais precisa, análoga 
àquela de e, 8 da Seção 2.4, está dada no final desta seção. 

As ilustrações geométricas da Definição 1 estão na Figura 2. Note que existem muitas 
formas de o gráfico de /aproximar-se da reta y ~ L (chamada assintota horizontal ) quando 
fazemos x ir bem para a direita. 


V 

\ 

k y 

y = L :| 


y = L 

y =fix) 

0 

x d 

X 


Com referência à Figura 1 , vemos que para os valores de .v com grande valor absoluto, 
porém negativos, os valores de/(x) estão próximos de 1 . Fazendo x decrescer por meio de 
valores negativos sem limitação, podemos tornar f(x) tão próximos de 1 quanto quisermos. 
Isso é expresso escrevendo-se 


- .r + 1 

A definição geral é dada a seguir. 


[z] Definição Seja/uma função definida em algum intervalo (-<* , a ). Então 

lim f{x) = L 

significa que os valores de/(x) podem ficar arbitrariamente próximos de L. 
tomando-se x suficientemente grande em valor absoluto, mas negativo. 


FIGURA 2 

Exemplos ilustrando lim f(x) ~ L 




I plp 


y Á 

1 ^ 
\ S 
\ 

\ 

y = L 

1 

f 

0 

h í 

I 



Exemplos ilustrando lim f(x)~L 



FIGURA 4 
V — tg"’ x 


! ; 1! 

. : 

Y 

‘ 

~ f 


1 

. l\ _ 






. 

2 • \ /- - 


\ 

■“ \ / 
\y 

\ : 1 : \ 


0 

\ 2 x 


\ 

\ 


i\ 

i v : •• : 

L..1 


FIGURA 5 


James Stswart CAPÍTULO 2 üíviliSS £ DERIVADAS 1 13? 

Novamente, o símbolo — ^ não representa um número; todavia, a expressão lim /(*) = L 
é frequentemente lida como 

”o limite de/(.v), quando x tende a menos infinito, é L" 

A Definição 2 está ilustrada na Figura 3. Note que o gráfico aproxima-se da reta y = L 
quando olhamos bem para a esquerda. 


j [3 j Definsçio A reta y - Lé chamada assintota horizontal da curva y = f(x) se ou j 

{ j 

i lim f(x)—L ou lim f(x) — L i 

| ■*-**■' ' * — ' I 

I “ j 

... — ______ — .. J 

Por exemplo, a curva ilustrada na Figura 1 tem a reta y = 1 como uma assintota hori- 
zontal, pois 



Um exemplo de uma curva com duas assintotas horizontais é y = tg Ur (veja a Figura 4). 
De fato. 



j 

lim tg‘‘x— - — 
2 

limtg' , x = — S 

2 

: 


logo ambas as retas y ~ -ir/2 e y — tt/ 2 sao assintotas horizontais, (Isso segue do fato de 
que as retas x = ±tt/ 2 são assintotas verticais do gráfico da tangente.) 


EXEMPLO 1 d Encontre os limites infinitos, limites no infinito e assintotas para a função 
/ cujo gráfico está na Figura 5. 

SOLUÇÃO Vemos que os valores de ftx) ficam grandes quando x -*-l por ambos os 
lados; logo 

lim f (x) = =» 

Observe que/(x) torna-se grande em valor absoluto (mas negativo) quando x tende a 2 à 
esquerda, porém grande e positivo quando x tende a 2 à direita. Logo 

lim /(x) = - oo e lim /(x) = oo 


Assim, ambas as retas x ~ -1 e x ~ 2 são assintotas verticais. 

Quando x toma-se grande, vemos que f(x) tende a 4. Mas quando x decresce, /(x) 
tende a 2. Logo 

lim f(x) = 4 e lim /(x) •- 2 


Isso significa que y = 4 e y ~ 2 são assintotas horizontais. 




138 


fcXEMPLO 2 : Encontre Hm --- e iim 

SOLUÇÃO Observe que quando x é grande. l/x é pequeno. Por exe 
1 i 1 


100 = 0,01 


10.000 -= 0,0001 1 . 000*000 - 0 , 00000 ] 


De fato, tomando x grande o bastante, podemos fazer l/x tão próximo de 0 quanto qui- 
sermos. Portanto, conforme a Definição 1 . temos 


iim 


0 


Raciocínio análogo mostra que quando .v é grande em valor absoluto (porém negativo), 
l/x é pequeno em valor absoluto (mas negativo); logo temos também 


Iim 


0 


FIGURA 6 


Iim — = 0. Iim — = 0 


Segue-se que a reta y = 0 (o eixo x) é uma assintota horizontal da curva y = l/x. (Esta é 
uma hipérbole eqüilátera; veja a Figura 6.) 

Muitas das Leis do Limite que foram dadas na Seção 2.3 também são verdadeiras para 
os limites no infinito. Pode ser provado que as Leis do Limite listadas na Seção 23 (com 
exceção das Leis n- : 9 e 10) são também válidas se “x — » a'' for substituído por "x —* oo” 
ou “x Em particular, se combinarmos as Leis n® 6 e 1 1 com o resultado do Exem- 

plo 2. obteremos a seguinte regra importante no cálculo de limites. 


iesreiíia Se r > 0 for um número racional, então 


Iim — - ~ 0 
x r 


Se r > 0 for um número racional tal que x r seja definida para todo x, então 


lim — = 0 
— «, x r 


kXEMPLO 3 i Calcule 


í - =c 5x 2 + 4x + 1 

e indique quais as propriedades de limites que foram usadas em cada etapa. 

SOLUÇÃO Como jc cresce indefinidamente, ambos, o numerador e o denominador, 
também crescem indefinidamente, logo não é nada óbvio o que ocorre com a razão entre 
eles. Para eliminar essa indeterminação, precisaremos preliminarmente manipular 
algebrieamente a expressão. Para calcular o limite no infinito de uma função racional, 
primeiro dividimos o numerador e o denominador pela maior potência de a; que ocorre 
no denominador. (Podemos assumir que x -f 0, uma vez que estamos interessados ape- 
nas em valores grandes de x.) Nesse caso a maior potência de x no denominador é xfi 
logo, temos 




James Stewait 



CAPITULO 2 


lim 


lim ■ 


PX' -r 4í 4 ! 


lim 2L 

c 4 


lim 3 - -■ - - / 

1 X X* 


Hm 5 


4 1 


lim 3 -lim -2 lim - 

• • v 'f *“*» X" 


lim 5 + 4 lim - 4- lim ^ 

*-* *-** x *-* x" 


I 


M 


3-0-0 
5 4 0 + 0 

3 

5 


íPela Lei n- 


FIGURA 7 

3x J - x — 2 

f)X 4 4x 4 1 


Um cálculo análogo mostra que o limite quando x -+ ~oo é também | . A Figura 7 ilustra o 
resultado desses cálculos mostrando como o gráfico da função racional dada aproxima-se 
da assintota horizontal y — | . % 


EXEMPLO 4 □ Determine as assintotas horizontal e vertical do gráfico da função 


/(*) = 


■Jlx 2 4 j 

3x - 5 


SOLUÇÃO Dividindo o numerador e o denominador por x e usando as propriedades de 
limites, temos 


r v2x 2 4 1 ]j 
hm hm — 


24-.. 

X" 


(uma vez que w -- x para x > 0) 


lim y 2 + J 


y Hm 2 4 lim 


lím 


í 3 - 


lim 3-5 lim 


s/2 4 0 _V2 
3-5 • 0 3 


Portanto, a reta _y-~ V 2/3 é uma assintota horizontal do gráfico de/. 

_ Computando o limite quando x -* devemos lembrar que, para x < 0, temos 
= |x| = -x. Logo, quando dividimos o numerador por x, para x < 0, obtemos 

- 4lx l 4 1 - _ -jL V2x z +1 - - , Í2 4 i- 
* .C 



14© : _■ SALStíLO Editora Thornso» 

8if§ v \ : : . 


Portanto 


lim 


V2.x" + j 


. í2 


,12+ lim 


3 ~5 lim 


FIGURA 8 

v2x~ + 1 
" 3x - 5~ 


y â 

■ 

y= & 


\ 

\ 

\ 




_ — — 


X 

V2 

v = “T 

\ 

\ 

\ 

1 

5 

x ~ 'r 


Dessa forma, a reta >•=->/ 2/3 é também uma assintota horizontal. 

Uma assintota vertical provavelmente ocorre quando o denominador, 3x~ 5. é 0, isto 
é, quando x ~ | . Se x estiver próximo de § e x> l , então o denominador está próximo de 
0, e 3x - 5 é positivo. O numerador v ' 2x 2 + i é sempre positivo, logo / (x) é positivo. 
Portanto 


® Podemos pensar na função 
introduzida como tendo denominador 



-sÍ2x 2 + 1 

hm — 

-<V 3 >" 3x - 5 


Se x estiver próximo de j, mas x> j , então 3x - 5 < 0, logo/(x) é muito grande em 
valor absoluto (porém negativo). Assim 


A assintota vertical é x = j . Todas as três assintotas estão mostradas na Figura 8 
EXEMPLO 5 


Compute lim [ vx + 1 - x j. 

SOLUÇÃO Como dx 2 +1 e x são grandes quando x é grande, é difícil ver o que acontece 
com sua diferença; logo, usamos a álgebra para reescrever a função. Vamos primeiro 
multiplicar o numerador e o denominador pela conjugada radical: 

Í 1 Jx 2 +1 + X 

X 


lim 


n I \lx 2 + 1 - x| = lim | n/P^+T _ x j 


Vjc* +1 

f x 2 + 1 1 - x 2 

- lim-^s=s== = lim ■ 


V x 2 + 1 + x v x i + 1 +■ x 

O Teorema do Confronto poderia ser usado para mostrar que esse limite é 0. Mas um 
método mais fácil é dividir o numerador e o denominador por x. Fazendo isso e usando 
as Leis do Limite, obtemos 


lim j n/x 2 + 1 - x j Hm r — -L- — ■■ = lim 

' r * X ^ ~ ^ X ^ +■ 1 -F V X—*-'- ^ 1 y-'- 


Vx' + 1 + x 

X 


lim 


— -- Hm • 


0 


| j + 1. ] v 1 + 0 + 1 


À Figura 9 ilustra esse resultado. 


O gráfico da função exponencial natural y = e 1 tem a reta v = 0 (o eixo x) como uma 
assintota horizontal. (O mesmo é verdadeiro para qualquer função exponencial com base 




FtGURA 10 


§§ A estratégia problema-solução para o 
Exemplo 6 esta em introduzindo 
Alguma Coisa Extra (veja a página 7S>. 
Aqui, a alguma coisa extra, a ajuda au- 
xiliar, é a nova variável t. 


James Stewart CAPÍTULO 2 UM'T£S z DER ; VáOAS i-*” 

a > 1.) De fato; da Figura 10 e da tabela dos valores correspondentes ventos que 


j 6 ; \ lim e* 

Note que os valores de e x tendem a 0 muito rapidamente. 


v = 


EXEMPLO 6 : Calcule lim e Vx . 

x^tr 

SOLUÇÃO Se tomarmos t ~ l/x. sabemos que / ~*-a> quando x~*0~. Consequentemente, 
por (6) , 

lim e? ' * = lim e' = 0 

x 6 " jc-+~x 

(Veja o Exercício 67.) 

EXEMPLO 7 g Calcule lim sen x. 

SOLUÇÃO Quando x cresce, os valores de sen x oscilam entre 1 e -1 um número infinito de 
vezes; logo, eles não tendem a qualquer número definido. Assim, lim*-» sen x não existe. 

. í Limites Infinitos no Infinito 

A notação 

lim/(x)=» 

é usada para indicar que os valores de f{x) tornam-se tão grandes quanto x. Significados 
análogos são dados aos seguintes símbolos: 

lim f (x) = lim / (x) = - oc lim /(*) = - ° o 

EXEMPLO 8 3 Encontre Hm .r e fim .r . 

SOLUÇÃO Quando x toma-se grande, x ? também fica muito grande. Por exemplo, 

IO 3 = 1.000 lOO 3 = 1.000.000 j .000 ' = 1.000.000.000 

Na realidade, podemos fazer x 3 tão grande quanto quisermos tomando x grande o sufi- 
ciente. Portanto podemos escrever 

lim x 3 = -=» 









142 :: CALCULO Editora Tfismso.n 


Analogamente, quando x é muito grande em módulo (porém negativo). x ;: também o é. 
Assim, 


Essas ai ii mações sobre o limite também podem ser vistas no gráfico de v = .x da 
Figura 1 1 . 


Olhando para a Figura 10 vemos que 


iim X'' = iim x 3 = - oo 


tuas, como demonstra a Figura 1 2, y — e' torna-se grande mais rapidamente que y x' 
quando x ~*oc-. 


FIGURA 12 
Para grandes valores de x, e' 
é muito maior que :r‘ 


/ 

/ V - X 1 


EXEMPLOS □ Encontre limíx 2 -x) 


SOLUÇÃO Note que não podemos escrever 


lim ( v 3 - x ) “ lim v 3 - Jim x 


A Lei do Limite nao pode ser aplicada para os limites infinitos, pois =» não é um número 
(não podemos definir <» - oc). Contudo, podemos escrever 

lim (x‘ - x J = iim x(x - 1) = oo 

porque, como ki- 1 tornam-se arbitrariamente grandes, o mesmo acontece com seu 
produto. 

EXEMPLO 10 □ Encontre lim - — — _ 

3 - x 

SOLUÇÃO Corno no Exemplo 3. vamos dividir o numerador e o denominador pela potên- 
cia mais elevada do denominador, que é justamente x: 

Iim — = lim ' — - - oo 

3-jc 3 , 


pois a* + 1 —=» oo e 3 /a - l-> — 1 quando 





James Siewart CÃPITUtõ 2 LiMiTES E DERIVADAS Z 143 

O próximo exemplo mostra que usando o limite infinito no infinito, junto com o inter- 
cepto, podemos obter uma idéia aproximada do gráfico de um polinómio sem ter de dese- 
nhar um grande número de pontos, 

EXEMPLO 11 z Esboce o gráfico de y ~ (x - 2f(x + 1 f (x - 1 ) achando seus interceptos 
e seus limites quando x <» e quando x 

SOLUÇÃO O intercepto y é f(Q) ~ (— 2) 4 ( 1) 3 (— 1) = -16, e o intercepto x é encontrado 
fazendo-se y — 0: x = 2, -1 , 1 . Note que como (x — 2f é positivo, a função não muda de 
sinal em 2 ; assim, o gráfico não cruza o eixo x em 2. O gráfico cruza o eixo em -1 e 1 . 
Para os valores grandes de x, todos os três fatores também são grandes; logo, 

Hm(jc - 2) 4 (x + tf (x - 1 ) = oc 

quando os valores de x tiverem um módulo grande, porém negativos, o primeiro fator 
será positivo e grande, ao passo que o segundo e o terceiro fatores têm grande valor 
absoluto, porém são negativos. Portanto 

lim(x - 2f(x + 1 f (x ~ 1 ) = co 

Combinando essas informações, damos um esboço do gráfico na Figura 13. 


FiGURA 13 



| Definições Precisas 

Podemos estabelecer precisamente a Definição 1 da seguinte fornia. 

J 7] Definição Seja / uma função definida em algum intervalo (a. oc). Então 

lim /(x) — L 

significa que para todo z > 0 existe um correspondente número N tal que 
| /(x) - L ,< s sempre que x > N 


Em palavras, isso estabelece que os valores de /(x) podem ficar arbitrariamente próxi- 
mos de L (dentro de uma distância e, onde e é qualquer número positivo), bastando ape- 
nas tomar x suficientemente grande (maior que N, onde N depende de e). Graficamente 







5 Thsíssoi» 


isso quer dizer que escolhendo x suficieníemeníe grande (maior que algum número /V) 
podemos fazer o gráfico de / ficar entre duas retas horizontais dadas v = L - « e v = L + e . 
como na Figura 14. isso deve ser verdadeiro não importando quão pequeno seja «. A 
Figura 15 indica que se for escolhido o menor valor de e, então será necessário maior valor 
para N. 


i v = L + e 


v - L - e 


y=Ax) 


:r \ f(x) CStá 
_ j aqui 


FIGURA 14 
fim f(x) = L 


Quando .r está aqui 


: IGURA 15 


L I v-L+e 


v = L- e 


!™/M = L Ana 


y =f(x) 


Analogamente, pode ser dada uma versão precisa da Definição 2 pela Definição 8, que 
está ilustrada na Figura 16. 


LÍJ Oefinição Seja / uma função definida em algum intervalo (-00 , a). Então 

lim f(x) — L 

x -»■*« ac 

significa que para todo e > 0 positivo existe um correspondente número N tal que 
I f(x)~L I , < e sempre que x < N 


FIGURA 16 
lim f(x) -- L 


y = f(x) 


No Exemplo 3 calculamos que 


V — /> -f" £ 


y ~ f ■■■ £ 


XC - x - l _ X 
5x 2 + 4_t + 1 5 


No próximo exemplo vamos usar urn recurso gráfico para relacionar isso com a Definição 
7, sendo L- | e e = 0,1 . 




James Stewart CAPÍTULO 2 ÜMÍI 


bÁiPiíriM m Use um gráfico para encontrar um número N tal que 
i 3.r — .x — 2 

j— — — — - 0,6 < 0,1 sempre que x > N 

] jX j 

SOLUÇÃO Vamos escrever a desigualdade dada como 

3 x~ — x — 2 

0.5 < - — <0.7 

5V + 4x + 1 


^ 5x ' 4" Ax + I 


Precisamos determinar os valores de x para os quais a curva dada fica entre as retas 
horizontais v - 0,5 e y = 0,7. Assim, fazemos o gráfico da curva e dessas retas na 
Figura 17. Então usamos o cursor para estimar que a curva cruza a reta y — 05 quando * » 6,7. 
A direita desse número a curva fica entre as retas y — 0,5 e y — 0,7. Arredondando, 
podemos dizer que 


3jt - x- 2 
5x' + 4.x + 1 


0,6 <0,1 sempre que x > 1 


Em outras palavras, para e ~ 0,1 podemos escolher N = 7 (ou qualquer número maior) 
na Definição 7. 


EXEMPLO 13 ::: Use a Definição 7 para provar que lim — = 0. 

*-** X 

SOLUÇÃO 

1. Análise Preliminar do Problema (urna conjectura sobre um valor para A0. Dado 
e > 0, queremos encontrar N tal que 

- - 0 < e sempre que jc > N 
x 

Ao computar esse limite podemos supor jc > 0, nesse caso, 


I x x x 


Portanto, queremos 


<e sempre que x > N 


isto é, x '> - sempre que x > N 

e 

Isso sugere que devemos tomar N = l/e. 

2. Prova (provando que esse N funciona). Dado e > 0. escolhemos N = 1/e. Seja 
x > N. Então 

f _ o _ l .... 1 < 1 = 
x Ixl x N 


Assim 


- - Oj < F. sempre que x > N 

jx j 



d CALCULO Editora Thomson 




01 /V = 1 


: IGURA 18 


Logo, pela Definição 7,. 


lim — - () 

,v 


A Figura 18 ilustra a prova mostrando alguns valores de e e os valores correspondentes 
de N. 


£ - 0,2 L. 

I Oi 


N ~ 5 x 





c= 0,1 i 


! 

f 



N = 10 

\ 1 
\ j 

\ ] 
\ 

\ \ 
\ i 

5 




Finalmente, notamos que pode ser definido um limite infinito no infinito da fornia a 
seguir. A ilustração geométrica está dada na Figura 19. 


[9j Definição Seja / uma função definida em algum intervalo {cl *). Então 

lim f(x) - ^ 


FIGURA 19 
lim /(a) = oo 


n x significa que para todo positivo M existe um correspondente número positivo N tal 
que 

/(x) > M sempre que x > N 


Definições análogas podem ser feitas quando o símbolo <* é substituído por -oo (veja 
o Exercício 66). 


Exercícios 


1. Explique com suas palavras o significado de cada um dos itens 
que se seguem. 

(a) lim /'(x) = 5 (b) fim f(x) ~ 3 

2. (a) O gráfico de v = f(x) pode interceptar uma assintota 

vertical? E uma assintota horizontal? Ilustre com gráficos. 

(b) Quantas assintotas horizontais pode ter o gráfico de v = / 
(a)? Ilustre com um gráfico as possibilidades. 

3. Para a função/, cujo gráfico é dado, determine os limites. 


(a) fim f(x) (b) lim/fx) (c) Iim/(x) 

Jf-*2 x->-V~ .<-> 1 + 


(0 Determine as equações das assintotas. 

! : F"TÍ II 



(d) lim f(x) (e) lim/(x) 



James Stewart 


CAPITULO 2 


Para a função a. cujo gráfico é dado. determine o que se pede. 
(a) lim g(x) (b) Hm g(x) 

(c) .lim g(x) (d) lim g(x) 

(e) lini í/(.\ ) 

(f) As equações das assintotas 


Á 1 1 \ 


5-8 □ Esboce o gráfico de um exemplo de uma função/ que 
satisfaça a todas as condições dadas. 

5. f(x) = 0, f (x) = 1, lim f(x) = 0 fé ímpar 

.T 

6. lim f(x) = oo, lim/íx) = -oo, Hm f(x) ~ L 
lim/f.v) = 1 

7. lim/(x) = -*>, Hm f(x) = oo, lim f(x) ~ 0, 

lim f(x) = oo. Hm /(X) = —oo 

,r^0 + x-*0" 

8. lim f(x) — os, lim f(x) ~ 3, lim f(x) = -3 


|| 9. Faça uma conjectura sobre o valor do limite 

r ** 

hm — 

jt— 2 X 

calculando a função /(x) — x72‘ para x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. 
8, 9. 10, 20, 50 e 100. Então use o gráfico de /para sustentar 
sua conjectura. 

|| 10. (a) Use o gráfico de 


para estimar o valor de Hm X „ >cc /(x) correto até a segunda 
casa decimal. 

(b) Use a tabela de valores de/(x) para estimar o limite até 
quatro casas decimais. 

11-12 ü Calcule o limite e justifique cada passagem indicando a 
propriedade apropriada dos limites. 

3x 2 - x + 4 /12 a 3 -5x + 2 

11. 2 . o 12. ij 2 ÍTT 


mcontre o limite. 


13. Hm 

2a- + 3 

1-X-A 2 

15. lim — j 

— 2x l - 7 

x 3 + 5x 

17. hm — 

2x - x~+ 4 

4h "f 5 

19. lim-; r? r 

■'-(,,^2^-1) 

y/9x b ~X 

2 i, lim — 

x + 1 

23. lim | \Í9x 2 ~+ x - 3x j 


,• 3a +5 

x — 4 

2 -3v 2 
16 . lim--~- — - — 

y-.-v, \ y -f. > 

„„ .. / 2 + 2 

18 . hm-:: r 

+ 1 - 1 

1 • A 4- 2 

20. hm —=======• 


22. lim 


V 9.x 6 - A 


23. lim | f9x + a - 3a j 24. lim | a + y a 2 + 2x 

25. lim | s/x 2 f (7.x - Va 2 + bx j 26. lim cos x 

27. 28. lim yfx 

29. lim (a- Va) 30. lim ™ — ~ X , ^ 

31. lim (a 4 + a 3 ^ 32. Hm tg 1 ^x 2 - x 4 ] 


30. lim 


A" - 2x + 3 


l lim tg" 1 ( a 2 - a' 1 ) 

X-*ik w ^ t 


33. lim 


1 - A Z + A 


34. lim ' 


Hl 35 . (a) Estime o valor de 

lim js/V + x + 1 + x j 

por meio do gráfico /(x) = \Lx 2 + x +7 + x. 

(b) Use uma tabela de valores d e/(x) para fazer uma 
conjectura sobre o valor de limite. 

(c) Prove que sua conjectura está correta. 

1136. (a) Use o gráfico de 

/(a) » -Jlx 2 + 8a + 6 - \hx 2 +3x + 1 

para estimar o valor de lim.-,*- f(x) com uma casa 
decimal. 

(b) Use uma tabela de valores de f(x) para estimar o limite 
com quatro casas decimais. 

(c) Encontre o valor exato do limite. 

J|§j 37-42 c Encontre as assintotas horizontal e vertical de cada curva. 
Confira seu trabalho por meio de um gráfico da curva e das 
estimativas das assintotas. 


x* + 3 a- 10 


2x" +5 x-8 


1 + 4x 4 + 3x~ 


s/a 4 1 


V 4x" + 3 a 



Editora Thomson 



;j cáiculo 

ÜHSWS "Vvr : 


43. Encontre uma fórmula para a função/ que satisiaça as 
seguintes condições: 

lim f(x) = 0, . lim/(.v) - - ;c - /(2) = 0, 

t-í»0 

lim f(x) — «, lim / f-v) = 

44. Encontre uma fórmula para uma função que tenha por assinto- 
tas verticais x — 1 e x = 3, e por assintota horizontal v = i . 

45-48 c Encontre os limites quando x — *»> e quando x ~>-a° , Use 
essa informação, bem como os interceptos, para fazer um esboço 
do gráfico, como no Exemplo 1 1 . 

45. v = x%x - 2){ 1 - jr) 

45. v = (2 + xf( 1 - x){3 - v) 

47. y = (.r + 4) 5 (x - 3) 4 

48. y = (1 - _v)(.v 3)’(x - 5) 2 


49. Use o Teorema do Confronto para determinar lim 


5S 

as 


(b) Faça um gráfico de f(x) 
cmza a assintota? 


(sen x)/x. Quantas vezes o gráfico 


fSS 


50. 


Por comportamento final de uma função queremos indicar uma 
descrição do que acontece a seus valores quando x — ►<« e 
quando x — »~oc. 

(a) Descreva e compare o comportamento final das funções 


P(x) = 3x 5 - 5x’ + 2x 


Q(x) = 3x s 


2 , 2 ] 


51. 


52. 


53. 


54. 


{x>r meio do gráfico de ambas nas janelas de inspeção 
por [—2, 2] e 10, 10] por [- 10. (XX), 10.000]. 

(b) Dizemos que duas funções têm o mesmo comportamento 
fina} se sua razão tende a 1 quando x -> «=. Mostre que P e 
Q têm o mesmo comportamento final. 

Seja P e Q polinómios. Encontre 

iim Pã 

— e« 

se o grau de P for (a) menor que o grau dege (b) maior que o 
grau de Q. 

Faça um esboço da curva y = xf (n inteiro) nos seguintes casos: 
(i) n ~ 0 (ii) n > 0, n ímpar 

(iii) n > 0, n par (iv) n < 0, n ímpar 

(v) n < 0, n par 

Então use esses esboços para encontrar os seguintes limites: 

(a) lim x" (b) lim x” 

x-*(P~ x -*tr 

(c) lim x" 

Encontre lim , 


(d) lim x' 


~f(x) se 
4x 


< f(x) ' 


4a- + 3.x 


para todo x > 5 . 


(a) Um tanque contém 5.000 litros de água pura. A salmoura 
contendo 30 g de sal por litro de água é bombeada para 
dentro do tanque a uma taxa de 25 L/min. Mostre que a 


concentração de sal após i minutos íem gramas por litro) é 

,.. v .. 30? 

200 + / 

(b) O que acontece com a concentração quando t— > 

55. Seremos capazes de mostrar no Capítulo 9 do Volume II que. 
sob certas condições, a velocidade v(tj de uma gota de chuva 
caindo no instante t é 

v(f) = r-{ 1 - e 

onde g é a aceleração devida à gravidade; eri.a velocidade 
final da gota. 

(a) Encontre lim ; _»„ v(t). 

li (b) Faça o gráfico de v(t) se v* = 1 m/s e g — 9,8 m/s\ Quanto 
tempo levará para a velocidade da gota atingir 99% de sua 
velocidade final? 

!| 56. (a) Fazendo os gráficos de v ~ e - x/10 e v : 0,1 na mesma 
tela descubra quão grande você precisará tomar x para que 
e"‘ n0 < 0.1 . 

(b) A parte (a) pode ser resolvida sem usar um recurso gráfico? 

Hj 57. Use o gráfico para encontrar um número N tal que 

1 6x 2 + 5x - : 


2.r - 1 
SS 58. Para o limite 


< 0,2 


sempre que 


x > N 


lim 


sl4x- +J_ 
x + 1 


ilustre a Definição 7, encontrando os valores de N correspon- 
dentes a r = 0,5 e e = 0.1 . 




59. Para o limite 


lim 


V 4-t‘ + 2 
x + 1 


ilustre a Definição 8. encontrando os valores de N correspon- 
dentes a e ~ 0,5 er = 0.1 . 


60. Para o limite 


lim 


2x + l 


61. 


Vx + 1 

ilustre a Definição 9, encontrando um valor de N correspondente 
a M — 100. 

(a) De que tamanho devemos tomar x para que l/x 2 < 0,0001? 

(b) Tomando r = 2 no Teorema 5, temos a igualdade 


lim 


0 


62. 


Prove isso diretamente usando a Definição 7. 

(a) De que tamanho devemos tomar x para que l/fix < 0,0001 ' 

(b) Tomando r — ] no Teorema 5, temos a igualdade 

lim— = 0 
yx 

Prove isso direíameníe usando a Definição 7. 



James. Stewart CAPITÜtO 2 


fgl 63. Use a Definição 8 oara provar que lim — - 0. 

$->■!' : “ * — *'.x 

ÜM 84. Prove, usando a Definição 9. que lim = c °. 

85. Use a Definição 9 para provar que lim e* 00 . 

86. Fonnule precisamente a definição de 

lim f{x) -- -&> 


Então use sua definição para provar que 


67. Prove que 


Um ( 1 + .U) = -x 


lim f(x) -- lim /(l/r) 
lim f(:x) = lim/( 1//) 


se esses limites existirem. 


.7 Tangentes, Velocidades e Outras laxas de Variação 


Na Seção 2.1 estimamos, com base em informações numéricas, as inclinações das reta 
tangentes e as velocidades. Agora tendo já definido limite e aprendido como calculá-los 
retomamos a esses problemas com a capacidade de realmente computar as inclinações da 
tangentes, velocidades e outras taxas de variação. 

L.J Tangentes 

Se uma curva C tiver uma equação v = j(x) e quisermos encontrar a tangente a C em un 
ponto P(a,f(aj), consideramos um ponto vizinho Q(x, j{x)), onde x ■*. a , e calculamos . 
inclinação da reta secante PQ : 

f(x) - f(a) 


Então fazemos Q aproximar-se de P ao longo da curva C ao obrigar x tender a a. Se m f 
tender a um número m, então definimos a tangente t como a reta que passa por P e ten 
inclinação m. (Isso implica dizer que a reta tangente é a posição-I imite da reta secante P( 
quando Q tende a P. Veja a Figura 1 .) 



FiGURA 1 



130 


CÁLCULO Editora Thomson 


i. ÍJ A reta langente a uma curva y = f(x) em um ponto P{a).f{a) é a 

reta por P que tem a inclinação 


m lim 


j íx) - f(a) 


x - a 


I desde que esse limite exista. 


Em nosso primeiro exemplo vamos confirmar uma conjectura que foi feita no Exemplo 1 
da Seção 2. J. 

EXEMPLO 1 :• Encontre uma equação da reta tangente à parábola y = T no ponto PCI , 1). 
SOLUÇÃO Temos aqui a = 1 e fÇx) = .r. logo a inclinação é 

m = lira— ítzZtü = lim £lzi 

a -1 A‘ — 1 

*-*' x — 1 
*= lim (x + ] ) = 1 + 1 «= 2 


g A forma ponto- inclinação da equação Usando a forma ponto-inclinação da reta, encontramos que uma equação da reta tangente 
da reta por um ponto {x u y 5 ) com uma (] J^) g 


inclinação m é 

y ■■■■■ V] ~ m(x - A j) 



y — 1 = 2 (.T — 1 ) ou v = 2 a - ! 

Algumas vezes nos reierimos a inclinação da reta tangente como a inclinação da curva 
no ponto. A idéia por detrás disso é que, se dermos um grande zoom em direção ao ponto, 
a curva aparentará ser uma reta. A Figura 2 ilustra esse procedimento para a curva v = x 2 
do Exemplo 1. Quanto mais forte for o zoom , mais indistinguível da reta tangente será a 
parábola. 


1.5 


i..l 




<1,1 ) 


/(}, 1) 


03 ‘ ‘ 1,5 

FIGURA 2 

Um zoom cada vez mais forte sobre a parábola y - a 2 em direção ao ponto (1, 1) 


0,9 


],1 


Há outra expressão para a inclinação da reta tangente, às vezes mais fácil de ser 
usada. Seja 


h -- x - a 


Então 


x = a + h 


FIGURA 3 


I 


James Stewart CAPÍTULO 2 LIMITES E DERIVADAS 151 

Jogo a inclinação da reta secante PO é 

/ {u “=~ h ) — ( ci } 

nipn = — 

' 5/ h 

(Veja a Figura 3, na qual está ilustrado o caso h > 0 e Q está à direita de P. No caso de 
h < 0, o ponto Q estará à esquerda de P.) 



Observe que quando x tende a a, h tende a 0 (pois h = x ~ a)\ assim, a expressão parí 
a inclinação da reta tangente na Definição 1 fica 




m = lim = 

A—0 


f(a + h)~f(a ) 


EXEMPLO 1 Encontre uma equaçao da reta tangente à hipérbole y = 3/x no ponto (3. 1). 
SOLUÇÃO Seja /(x) = 3/x. Então a inclinação da reta tangente em (3, 1) é 


m = lim 

A-0 


/(3 + A)-/(3) 
h 


~ lim 

A-0 


3 

3 Th 


lim 


■(3 + h) 
3 + h 


= lim = lim 

h ~’° h(3 + h) í, '- >0 


1 

3 + h 


I 

3 


Portanto, urna equação da reta tangente no ponto (3, 1) é 




;í-çsxs 

a $$ 



Velocidades 

Na Seção 2.1 estudamos o movimento de uma bola a qual deixou-se cair de cima da Torre 
CN, e sua velocidade foi definida como o valor-iimite das velocidades médias em perío- 
dos cada ve 2 menores. 

Suponha um objeto movendo-se sobre uma linha reta de acordo com a equação s = f(t ) , 
onde í é o deslocamento do objeto a partir da origem no instante t. A função/que descreve 
o movimento é chamada função posição do objeto. No intervalo de tempo entre í = ae 
t = a + h a variação na posição será de f(a + h) -f(a) (veja a Figura 5). A velocidade 
média nesse intervalo é 

velocidade média _ deslocamento f(a + h) - /(a) 
tempo h 

que é igual à inclinação da reta tangente PQ na Figura 6. 


•v* 

Q(a + h , fia + h)} 



h fifl) *1 _ fia + h) -fia) 

m PQ - £ - 

! + ^ velocidade média 


FIGURA 5 


FIGURAS 



Stifc 


G Lembre-se da Seção 2.1 : A distância 
íem metros} percorrida após t 
segundos é 4,9/L 


James Stewart CAPITULO 2 üiVsí ! ES t DERIVADAS 

Suponha agora que a velocidade média seja calculada em intervalas cat |a vez menores 
[<a, a + /?]. Era outras palavras, fazemos /? tender a 0. Como no exempjo da queda da bola, 
definimos velocidade (ou velocidade instantânea) v(a) no instante r = a como o limite 
dessas velocidades médias: 


f{a h) - /‘{ a ) 

v(a) = iim 

h 


Isso significa que a velocidade no instante t - a é igual à inclinação da reta tangente em 
P (compare as Equações 2 e 3). 

Agora que sabemos computar os limites, vamos reconsiderar o probletna da queda da bola. 


EXEMPLO 4 ::: Suponha que a bola foi deixada cair do posto de observação da torre. 
450 m acima do solo. 

(a) Qual a velocidade da bola após 5 segundos? 

(b) Com qual velocidade a bola chega ao solo? 

SOLUÇÃO Em primeiro lugar vamos usar a equação do movimento s =/(/) = 4,9?" para 
encontrar a velocidade v(a) após a segundos: 


m - jim 


f(a + h) - f(a) 4,9f a + h)~ - 4.9a" 

= hm 


h 


4,9(a" + 2 ah + h~ - a " ) 

-- hm 

A-0 h 


lim 


4,9(2a/i + }{') 
h 


= lim 4,9(2a + h) ~ 9,8a 

h ~- *-0 


(a) À velocidade após 5 s é de t>(5) — (9,8)(5) — 49 m/s. 

(b) Uma vez que o posto de observação está 450 m acima do solo, a bola vai atingir o 
chão em q quando 5(í s ) — 450, isto é. 


Isso fornece 


4,9/ \ - 450 


, 450 (450 . . 

C = e t.~ *9,6 s 

1 4,9 ’ \ 4,9 


A velocidade com que a bola atinge o chão é, portanto. 


v(L ) = 9. 8/. = 9,8 J— - 94 m/s 
\ 4,9 


L.J Outras Taxas de Variação 

Suponha que y é uma quantidade que depende de outra quantidade x. Assim, y é uma 
função de x e escrevemos v = f(x). Se x variar de x% para xo . então a variação de x (tam- 
bém chamada incremento de x) é 


At = x 2 - Xj 



■fS4 G CÁLCULO Sdstsra Thomson 


e a variação correspondente de y_é. 


P(x l j(x ] y) / 


Q(x 2 ,f(x ? j) 

Av 


taxa média de variação = m P g 
taxa de variação instantânea 
nação da tangente em P 

FIGURA 7 


A y = /(x 2 )-f(.v i ) 


O quociente de diferenças 


Ay f(x,)~ f ixj 

A.t x 2 ~ x, 

é denominado de taxa média de variação de y em relação a jc no intervalo [* lf jc 3 ] e pode 
ser interpretado como a inclinação da reta secante PQ na Figura 7. 

Por analogia com a velocidade, consideramos a taxa média de variação em intervalos 
cada vez menores fazendo x 2 tender a jtj e, portanto, fazendo A.r tender a 0. O limite 
dessas taxas médias de variação é chamado taxa (instantânea) de variação de y em 
relação axemx = Xj, que é interpretada como a inclinação da tangente à curva y = f(x") 
em P{x^f(x { }): 


taxa instantânea de variação = lim ----- = lj m — llòl 

A.X *:'*«! X, -X 


.ví/i) 

TÇC) ii v( h ) 

TÇC ) 

0 

6.5 jj 13 

16.0 

.1 

6,1 1 14 

i 7 J 

7 

5 .6 1 5 

18.2 

3 

4 

4,9 16 

4,2 17 

18,8 

17,6 

5 

4.0 18 

16,0 

6 

4,0 j 19 

14.1 

7 

4.8 20 

1 1 .5 

O 

9 

DJ ei 

8.3 22 

I u u 
9.0 

i 0 

10.0 J 23 

7.9 

1 1 

12.1 í 24 

7.0 


^ 1 


1 

14,5 i 

í 



EXEMPLO 5 □ Foram registradas as leituras de temperatura Fiem graus Celsius) a cada 
hora, começando à meia-noite, em um dia de abril na cidade de Whitefish, em Montana, 
nos Estados Unidos. O tempo „v foi medido em horas a partir da meia-noite. Os dados 
estão na tabela. 

(a) Encontre a taxa média de variação da temperatura em relação ao tempo 

(i) do meio-dia até as 15 horas. (ii) do meio-dia até as 14 horas. 

(iii) do meio-dia até as 13 horas. 

(b) Estime a taxa de variação instantânea ao meio-dia. 

SOLUÇÃO 

(a) (i) Do meio-dia às 15 horas a temperatura varia de 14,3 °C a 18,2 °C; logo 

A T = 7 ( 1 5) - 7(12) = 18,2 - 14,3 - 3,9 °C 

enquanto a variação no tempo foi de Ar = 3 h. Dessa forma, a taxa de variação 
média da temperatura em relação ao tempo é 


AF _ 3,9 
Ar 3 


1.3 T/h 





As unidades para a taxa 'nédia de 
variação ST/Ax são unidades de ST 
divididas por _Lv, isto é, graus Celsius 
por hora. Corno a taxa de variação 
instantânea é o limite das taxas médias, 
ela é medida na mesma unidade: 
Celsius por hora. 


:j Outro método é tomar a média das 
inclinações das duas retas secantes. 
Veja o Exemplo 2 na Seção 2.1. 




James Stewart 


CAPITULO 2 


(ii) Do meio-dia às 14 horas a taxa média de variação 
ST T{ 1 4) - 7'(12) 17,3- j 4, 3 




14 


1,5 "C/h 


iii) Do meio-dia às 13 horas a taxa média de variação é 
A7 7(13)-r(12) 16,0 - 14,3 


Ar 


13-11 


1 , 7 °C/h 


(b) Desenhando os dados e usando-os para esboçar uma curva suave obtemos a Ficura 8, 
que aproxima a função temperatura. Então traçamos a reta tangente no ponto P, onde 
:v -- 12 e. após medir os lados do triângulo ABC . estimamos que a inclinação da tangente é 


BC 

AC 


!0,3 

5.5 


Portanto, a taxa de variação instantânea da temperatura ao meio-dia é de 1 ,9 °C/h. 



A velocidade de uma partícula é a taxa de variação do deslocamento em relação ao 
tempo. Há também um interesse dos físicos por outras taxas de variação, como, por exem- 
plo, a taxa de variação do trabalho em relação ao tempo (que é chamada potência). Quern 
estuda as reações químicas se interessa pela taxa de variação da concentração de um 
reagente em relação ao tempo (denominada taxa de reação). Uma siderúrgica se interessa 
pela taxa de variação do custo de produção de x toneladas de aço por dia em relação a 
x (definida como custo marginal). Um biólogo está interessado na taxa de variação popu- 
lacional de uma colônia de bactérias no tempo. De fato, o cálculo de taxas de variações é 
importante nas engenharias e em todas as ciências naturais, exatas e até mesmo as sociais. 
Posteriormente, na Seção 3.3, daremos outros exemplos. 

Todas essas taxas podem ser interpretadas como inclinações de tangentes. Isso torna 
significativa a solução do problema da tangente. Sempre que resolvemos um problema de 
reta tangente, não estamos tão-somente resolvendo um problema geométrico. Implici- 
tamente estamos resolvendo uma grande variedade de problemas envolvendo as taxas de 
variação. 



15»6 


CÁLCULO 


Editeis Tfeomsan 



Exercícios 



1. Uma curva tem por equação v = fix). 

(a) Escreva uma expressão para a inclinação da reta secante 
pelos pontos Pí3.f(3)) e Q{x.f(xf). 

(b) Escreva uma expressão para a inclinação da reta tangente em P. 

2. Considere um objeto movendo-se com uma função posição 
x -./{/). 

(a) Escreva uma expressão para a velocidade média dele no 
intervalo de tempo desde t ~ a até t — a + h. 

(b) Escreva uma expressão para a velocidade instantânea dele 
no tempo t — a. 

3. Considere a inclinação da curva em cada um dos cinco pontos da- 
dos. Classifique-os em ordem decrescente e explique seu raciocínio. 

v + 

i d \ / E 

I \ / 

B /D 



' 4. Faça o gráfico da curva y ~ e* nas janelas [— 1,1] por [0, 2j. 
[-•0,5, 055] por [0,5, 1 p] e [-0,1 , 0,1] por [0,9, 1 ,1 j. Dando um 
zoom em direção ao ponto (0, 1), o que você nota em (0, 1 )? 

5. (a) Encontre a inclinação da reta tangente à parábola 

v = x 2 + 2x no ponto (—3, 3) 

(i) usando a Definição 1 
(li) usando a Equação 2 

(b) Encontre a equação da reta tangente da parte (a). 

(c) Faça os gráficos da parábola e da reta tangente. Como 
verificação, dê um zoom em direção ao pomo (-3. 3) até 
que parábola e a reta tangente fiquem não distinguíveis. 

6. (a) Encontre a inclinação da reta tangente à curva y — x- no 

ponto (-1,-1) 

(i) usando a Definição 1 
(i.i) usando a Equação 2 

(b) Encontre a equação da reta tangente da parte (a). 

Si (c) Faça um gráfico da curva e da reta tangente em retângulos 
cada vez menores centrados no ponto (-1, — 1) até que a 
curva e a tangente fiquem não distinguíveis. 

/- -IS Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado. 

7. v = 1 + 2x-x\ (1,2) 

8- v - V2x+I, (4,3) 

9. ;y - (x- !)/(*- 2), (3,2) 

10. y - ZxKx + 1)\ (1,2) 


11. Ía.í Encontre a inclinação da tangente à curva v — 2/(x + 3) 

no ponto onde x = a. 

(b) Encontre as inclinações das retas tangentes nos pontos 
cujas coordenadas x são (i) -1 , (ii) 0 e (iií) 1 . 

12. (a) Encontre a inclinação da tangente à parábola 

y ” 5 + ■* + nos pontos onde x = a. 

(b) Encontre as inclinações das retas tangentes nos pontos 
cujas coordenadas x são (i) - 1 , (ij) — ] e (iii) 1 . 
li (c) Faça o gráfico da curva e das três 

retas tangentes em uma tela em comum. 

13. (a) Encontre a inclinação da tangente à curva 

}’ — x 3 — 4x + 1 no ponto onde x = a, 

(b) Encontre as equações das retas tangentes nos pontos 
(1* —2) e (2, 1). 

ii ( c ) Eaça ° gráfico da curva e das tangentes em uma tela em comum . 

14. (a) Encontre a inclinação da tangente à curva v ~ 1 / 4x no 

ponto onde jc = a. 

(b) Encontre as equações das retas tangentes nos pontos (1,1) 

e (4,{) . 

li (c) Faça o gráfico da curva e das tangentes em uma tela em comum . 

15. O gráfico ilustra a função posição de um cairo. Use a forma do 
gráfico para explicar sua resposta para as seguintes questões. 

(a) Qual a velocidade inicial do carro? 

(b) O carro está mais rápido em B ou em C? 

(c) O carro está aumentando ou diminuindo a rapidez em .4, B e C? 

(d) O que aconteceu entre D e £’? 



16 , Valéria dirige em uma auto-estrada. Esboce o gráfico da função 
posição do carro, se ela dirigir da seguinte maneira: no instante 
t - 0, o cano está no ponto onde o marcador de milhas mostra 

1 5 e viaja a uma velocidade constante de 55 milhas por hora. 
Continua com essa velocidade por exatamente 1 hora. Então 
gradualmente o carro vai diminuindo a velocidade em um 
período de 2 minutos, quando Valéria pára para jantar. O jantar 
dura 26 minutos e, assim, então ela recomeça a viagem aumen- 
tando gradualmente a velocidade até 65 milhas por hora, em 
um período de 2 minutos. Ela dirige a 65 milhas por hora por 2 
horas e. então, num período de 3 minutos, gradualmente pára 
completamente o carro. 

17. Se uma bola for atirada ao ar com uma velocidade de 40 pés/s. 
sua altura (em pés) depois de t segundos é dada por y = 40r - 16è, 
Encontre a velocidade quando / - 2. 




CAPITOLO 2 



Se uma flecha é atirada para cima sobre a superfície da Lua 
com uma velocidade de 58 m/s, sua altura (em metros) após / 
segundos é dada por H ~ 58* - 0,83*' . 

(a) Encontre a velocidade da flecha após uni segundo. 

(b) Encontre a velocidade da flecha quando t = a. 

(c) Quando a flecha volta para a Lua? 

(d) Com que velocidade ela atinge a Lua? 

O deslocamento (em metros) de uma partícula movendo-se ao 
longo da reta é dado pela equação do movimento 
5 — 4r- + 6/ + 2, onde t é medido em segundos. Encontre a 
velocidade da partícula no instante t - a f t = 1 , / ~ 2 e / = 3. 
O deslocamento (em metros) de uma partícula movendo-se ao 
longo da reta é dado pela equação s = r - 8? + 18. onde i é 
medido em segundos, 

(a) Encontre as velocidades médias sobre os seguintes 
intervalos de tempo: 

(i) [3,4] (ii) [3,5,4] (iü) [4,5] (iv) [4,4,5] 

(b) Encontre a velocidade instantânea quando t - 4. 

(c) Faça o gráfico de s como uma função de t e desenhe as 
retas secantes cujas inclinações sejam as velocidades 
médias da parte (a), e a reta tangente cuja inclinação seja a 
velocidade instantânea da parte (b). 


21 . Uma lata de refrigerante morna é colocada na geladeira. 
Esboce o gráfico da temperatura do refrigerante como uma 
função do tempo. A taxa de variação inicial da temperatura é 
maior ou menor que a taxa de variação após 1 hora? 


22. Um peru assado é tirado do forno quando sua temperatura 
atinge 185 "F e colocado sobre uma mesa na sala, na qual 
3 temperatura é de 75 °F. O gráfico mostra como decresce a 
temperatura do peru até que se aproxime da temperatura da 
sala. (Na Seção 9.4 poderemos usar a Lei do Resfriamento de 
Newton para encontrar uma equação para T como uma função 
do tempo.) Por meio da medida da inclinação da reta tangente, 
estime a taxa de variação da temperatura após 1 hora. 


7TF)f 
200 ! 

100 ! 


30 60 90 i 20 150 t 

(min) 


23 . (a) Use os dados do Exemplo 5 para achar a taxa média da 

mudança da temperatura em relação ao tempo 
(j) das 8 horas da noite às 1 1 horas da noite. 

(ti) das 8 horas da noite às 10 horas da noite, 

(iii) das 8 horas da noite às 9 horas da noite. 

(b) Estime a taxa instantânea da variação de T em relação ao 
instante 8 horas da noite medindo a inclinação de uma tangente. 

24 . Uma estimativa anual da população da Bélgica, P (em milhares), 
de 1992 a 2000 é mostrada na tabela a seguir. 


Ano 

1992 

1994 

! 996 

1998 

2000 

P 

10.036 

10.109 

10.152 

10.175 

10.186 


James Stewart 


(a) Encontre a -taxa média do crescimento 

(i) de 1 992 a 1 996 (ii) de 1994 a 1 996 (iii) de i 9% a ! 998 
Em cada caso, inclua as unidades, 
íb) Estime a taxa instantânea de crescimento Fiu 1996 tomando a 
média de duas taxas médias da variação. Q^is são suas unidades? 
(c) Estime a taxa instantânea de crescimento em 1996 
medindo a inclinação de uma tangente. 

25, Uma estimativa anual dos usuários de telefone celular na 
Malásia, N (em milhares), é mostrada na tabeja. 


r Aa ri 

1993 1 

1994 

1995 | í'996 s 199/ 

1 7/ ; 

304 j 

V77 

873 ! i .5 • ? ] 

2.46 i 


(a) Determinar a taxa média de crescimento 

(i) de 1995 a 1997 (ii) de 1995 a 1996 (iii) de 1994 a 1995 
Em cada caso inclua as unidades. 

(b) Dê uma estimativa da taxa de crescimento instantânea em 
3995 tomando a média de duas taxas médias de variação. 
Quais são suas unidades? 

(c) Dê uma estimativa da taxa de crescimento instantânea em 
1995 medindo a inclinação de uma tangente. 

26 . O número N de franquias de uma certa cadeia popular de 
cafeteiras é mostrada na tabela. (Esse número é obtido no dia 
30 de junho de cada ano.) 


Ano 

1996 ! 1997 

j 998 

1 999 2000 

A* 

LO .15 j 1.4 i 2 

S .886 í 2.1 35 | 3.300 


(a) Determinar a taxa média de crescimento 

(i) de 1996 a 1998 (ii) de 1997 a 1998 (iii) de 1998 a 1999 
Em cada caso inclua as unidades. 

(b) Dê uma estimativa da taxa de crescimento instantânea em 
1998 tomando a média de duas taxas médias de variação. 
Quais são suas unidades? 

(c) Dê uma estimativa da taxa de crescimento instantânea em 
1998 medindo a inclinação de uma tangente. 

27 . O custo (em dólares) de produzir x unidades de uma certa 
mercadoria é C(x) = 5.000 + 10x + 0 ,Ü5.r . 

(a) Encontre a taxa média da variação de C em relação a x 
quando os níveis de produção estiverem variando 

(i) de x = 100 a x = 105 (ii) de x = 100 a ,x ~ 1.01 

(b) Encontre a taxa instantânea da variação de C em relação a 
,x quando x — 100. (Isso é chamado custo marginal. Seu 
significado será explicado na Seção 3.3.) 

28 . Se um tanque cilíndrico comporta 1 00.000 galões de água, que 
podem ser escoados a partir da base do tanque em uma hora, 
então a Lei de Torricelli fornece o volume V 7 de água que 
restou no tanque após t minutos como 


V(f) = 100 .000 ( 1 - — 
60 


0 =s£ / =s 60 


Encontre a taxa segundo a qual a água está fluindo para fora do 
tanque (a taxa instantânea da variação de V em relação a t) 
como uma função de t. Quais são suas unidades? Para os 
instantes t = 0, 10, 20, 30. 40, 50 e 60 minutos, encontre a 
taxa do fluxo e a quantidade de água restante no tanque. 
Resuma o que você achou em uma ou duas sentenças. Em que 
instante está a taxa do fluxo máximo? E o mínimo? 





TS8 


Na Seção 2.7 definimos a inclinação da tangente à curva com equação y = fix) no ponto 
onde x = a como 


n 


rn — lim 

h >0 


fia + /,•} - /(q) 

h 


Também vimos que a velocidade de um objeto com uma função posição $ =■ f(t) no 
instante t = a é 


y(fl) ~ lim 

o 


/(q + /í) - fia) 


f'(a) é lido "/ linha de a" . 


De fato, o limite da forma 


lim 

/i-qt 


f{a + h) - fia) 
h 


surge sempre que calculamos uma taxa de variação em uma das ciências ou engenharia, 
tais como a taxa de reação em química ou o custo marginal em economia. Uma vez que 
esse tipo de limite ocorre amplamente, são dados a ele um nome e uma notação especiais. 


[2] Definição A derivada de uma função /em um número a, denotada por /'(«), é 


/V) = lim 

h-M) h 


se o limite existe. 


Se escrevermos x — a + /?, então h — x — a, e h tende a 0 se e somente se x aproximar- 
se de a. Conseqüentemente, uma maneira equivalente de enunciar a definição da derivada, 
como vimos na determinação das retas tangentes, é 



tXcMPLO 1 L.i Encontre a derivada da função j(x) ~ x 2 — 8x -r 9 em um número a. 
SOLUÇÃO Da Definição 2 temos 

f(a + h) — fia) 


f'(a ) = lim 


lim 

h •> 0 


lim 

k :>0 


[(« + hf - 8(q + h) + 9] - [a 2 - 8 a + 9] 


a 2 + 2 ah + h 2 - 8« - 8 h + 9 - a 2 + 8 a - 9 
h ‘ 


2 ah + h 2 - 8 h 

hrn - lim (2a + h - 8) 

h-H) h k~* o 


2a 8 






FIGURA 1 

Interpretação geométrica de uma 
derivada 


v = x‘ ~ 8x + 9 


"bf 


l <3, -6} 

v = - 2x 


James Stewarí CAPÍTULO 2 LIMITES E DERIVADAS )S3 

Q Interpretação da Derivada como a Inclinação da Reta Tangente 

Na Seção 2.7 definimos a reta tangente à curva v = f(.x) no ponto Pia, f{d}) como a ivta 
que passa em P e tem inclinação m dada pela Equação 1 . Urna vez que. pela Definição 2, 
isso é o mesmo que a derivada fia), podemos agora dizer o seguinte. 


I A reta tangente a y ~ f(x) em {a, fia)) é a reta que passa em (a, f(a)), cuja 
inclinação é igual a /'(«), a derivada de/em a. 

Assim, a interpretação geométrica de uma derivada [como definida por (2) ou (3)1 é 
como ilustrado na Figura 1 . 



= inclinação da tangente em P 
= inclinação da curva em P 



= inclinação da tangente em P 
= inclinação da curva em P 


Se usarmos a forma ponto-inclinação da equação de uma reta, poderemos escrever um; 
equação da reta tangente à curva y — f{x) no ponto («,/(«)): 


y ~ fiei) — f(a')(x — a) 


EXEMPLO 2 :: Encontre uma equação da reta tangente à parábola y — x 2 — 8x + 9 no 
ponto (3, — 6). 

SOLUÇÃO Do Exemplo 1 sabemos que a derivada de f(x) = x 2 — 8x + 9 no número a é 
f{a) = 2^ — 8. Portanto a inclinação da reta tangente em (3, — 6) é 
/'( 3) — 2(3) — 8 — --2. Dessa forma, uma equação da reta tangente, ilustrada na 
Figura 2, é 


y - (~6) = ( — 2)(x ~ 3) ou y = — 2x 


FIGURA 2 





Editora Thomson 


EXEMPLO 3 Seja j • x) ~ 2 V . Estime o valor de /'(O) de duas formas: 

(a) Usando a Definição 2 e tomando os valores de h sucessiva mente menores. 

(b) interpretando f (0) como a inclinação de uma tangente e usando uma calculadora 
gráfica para dar um zoom sobre o gráfico de y = 2 X . 


SOLUÇÃO 

(a) Da Definição 2 temos 


/'(O) 


r f(h) - f(0) 2* - 1 

fim : — lim — 

"« /? /t -o h 


h 

2 Í! — ! 

” h 

0.1 

0.7 1 8 

0,01 

0.696 

0.001 

0.693 

0.0001 

0,693 

“0,1 

0,670 

-0,01 

0,691 

--0,00! 

0,693 

---0.0001 

0,69.3 


Luna vez que ainda não somos capazes de calcular esse limite exatamente, vamos usar 
uma calculadora para aproximar os valores de f 2 h — ))//?. Da evidência numérica da 
tabela vemos que. quando h tende a 0, esses valores parecem tender a um número pró- 
ximo de 0,69. Logo nossa estimativa é 

/XO) ~ 0,69 

(b) Na Figura 3 vamos fazer um gráfico da curva y — 2 X e dar um zoom em direção ao 
ponto (0, 1). Quanto mais próximo estivermos de (0. 1), mais a curva se parecerá com 
uma reta. De fato, na Figura 3(c) a curva é praticamente indistinguível de sua reta 
tangente em (0, 1). Uma vez que a escala x e a escala y são ambas 0,01 , vamos estimar 
que a inclinação para essa reta é 


Logo nossa estimativa da derivada é J (0) ~ 0.7. Na Seção 3.0 vamos mostrar que. cor- 
reto até a sexta castrtiecimaL/XO) ~ 0,693 1 47. 






FIGURA 3 Dando um zoom no gráfico de y — 2 S próximo de (0, 1) 


OI Interpretação da Derivada como urna Taxa de Variação 

Na Seção 2.7 definimos a taxa de variação instantânea de y = f(x) em relação a x em 
.v = X) como o limite das taxas médias de variação sobre os intervalos cada vez menores. 
Se o intervalo for [xj, x;], então a variaçao em x é Ax — x-> — x \ , a variação correspon- 
dente em y é 

Ay •’ /< vri ~ f(x l) 


Ay f(xi ) 

taxa de variação instantânea — lim — /- = lim — — 

Ar Ax 


fM 


-V'2 — X i 




I 


James Sisws ri CAPÍTULO 2 LiMíTES E DERIVADAS 2 161 

Da Equação 3 reconhecemos esse limite como sendo a derivada de /'em jo. isto é. f'(x\) 
Isso fornece uma segunda interpretação da derivada: 


A derivada f(a) é a taxa de variação instantânea de y = f( x ) em relação a x quando 


> 

X 


A conexão com a primeira interpretação é que se esboçarmos a curva y ~ f(x) . então < 
taxa instantânea da variação será a inclinação da tangente a essa curva no ponto onde x — a 
Isso significa que quando a derivada for grande (e portanto a curva será íngreme no pontt 
P na Figura 4), os valores de y mudarão rapidamente. Quando a derivada for pequena, ; 
curva será relativamente achatada, e os valores de y mudarão lentamente. 

Em particular, se s =/(/) for a função posição de uma partícula que se move ao longt 
de unia reta, então, f‘(a) será a taxa de variação do deslocamento s em relação ao tempo t. Em ou 
tras palavras ,f’(a) é a velocidade da partícula no instante t - a (veja a Seção 2.7). A rapi 
dez da partícula é o valor absoluto da velocidade, isto é, j fia) |. 


FIGURA 4 

Os valores de y estão mudando rapi- 
damente em P e lentamente em Q 


EXEMPLO 4 □ A posição de uma partícula é dada pela equação do movimento 
s — /(O — 1/(1 tí), onde t é medido em segundos e s„ em metros. Encontre a 
velocidade e a rapidez após 2 segundos. 

SOLUÇÃO A derivada de / quando t = 2 é 

f(2) - Um /(2 + ~ /(2> 

0 h 


1 + (2 + h ) 

~~h 


3 - (3 + h) 
3(3 + lí) 
h 


I™ 3(3 + h)h 


hm 

! t — o 3(3 


Assim, a velocidade após 2 segundos é /'( 2) 

|f(2)| = i- 


õ m/s, e a rapidez é 
~ 1) m/s. 


EXEMPLO 5 □ Um fabricante protiuz peças de fazenda com largura fixa, e o custo da 
produção de x metros desse material é C = f{x). 

(a) Qual o significado da derivada /'(*)? Quais suas unidades? 

(b) Em termos práticos, o que significa dizer que /'(l .000) = 9? 

(c) O que você acha que é maior, /'(50) ou /'(SOO)? E /'(5.000)? 

SOLUÇÃO 

(a) A derivada f(x) é a taxa de variação instantânea de C em relação a x: isto é, / '(v) 
significa a taxa de variação do custo de produção em relação ao número de metros pro- 
duzidos. (Os economistas chamam essa taxa de variação de custo marginal. Essa idéia 
está discutida em mais detalhes nas Seções 3.3 e 4.8.) 



162 'C CÁLCULO Editora Thomson 

Como • 

.. AC 

/ \x) ------ li m 

à*—*o àx 

as unidades para f'{x) são iguais àquelas do quociente de diferenças AC/Ax. Uma vez 
que AC é medida em dólares e Ax em metros, segue que a unidade para f’( x) é dólares 
por metros. 

(b) A afirmação que /'(1 .000) = 9 significa que. depois de 1 .000 metros da peça terem 
sido fabricados, a taxa segundo a qual o custo de produção está aumentando é $ 9/metro. 
(Quando x = 1 .000, C está aumentando 9 vezes mais rápido que x.) 

Uma vez que Ax = 1 é pequeno comparado com x = 1 .(XX). podemos usar a aproximação 

AC AC 

f( 1.000)- — = — = AC 

L IX 1 

e dizer que o custo de fabricação de 1 .000 metros (ou os 1 .001 primeiros metros) está 
em torno de $ 9. 

(c) A taxa segundo a qual o custo de produção está crescendo (por metro) é 
provavelmente menor quando x - 500 do que quando x = 50 (o custo de fabricação do 
500“ metro é menor que o custo do 50“ metro), em virtude da escala econômica. (Um 
fabricante usa mais eficientemente os custos fixos de produção.) Então 

/150) > / '(500) 

Mas, à medida que a produção expande, a operação de larga escala resultante pode se 
tornar ineficiente, e poderiam ocorrer custos de horas extras. Assim, é possível que a 
taxa de crescimento dos custos em última análise comece a crescer 

/'(5.000) > /'(500) 

O exemplo a seguir mostra como estimar a derivada de uma função disposta em tabela, 
isto é, uma função definida não por uma fórmula, mas por uma tabela de valores. 

EXEMPLO 6 Seja D(t) a dívida dos Estados Unidos no instante t. A seguinte tabela 
concede os valores aproximados dessa função fornecendo as estimativas da dívida, ao 
fim de cada ano, em bilhões de dólares, no período de 1980 a 2000. interprete e estime 
os valores de D' (1990). 

SOLUÇÃO A derivada D' ( 1990) indica a taxa de variação da dívida D com relação a t quando 
/ = 1990. isto é, a taxa de crescimento da dívida nacional em 1990. 

De acordo com a Equação 3, 

£>'(1990) = lim D{ t) ~ lhV m) 

'-* 1 ® t - 1 990 




Aqui estamos assumindo que a 
função custo é bem comportada; ou 
seja C(x) não oscila muito rapidamente 
próximo a x 1 .000. 





i' ■' ' 


□ Outro método é desenhar a função 
dívida e estimar a inctí nação da reta 
tangente quando t - 1990 (veja o 
Exemplo 5 da Seçáo 2.7). 


James Stewart CAPÍTULO 2 LIMITES E DERIVADAS 

Dessa fornia, computamos os valores tabulados do quociente de diferenças (as taxas 
médias da variação) como a seguir: 


1 

- 1 
i 

D(t) - DÍ 1990 ) 
7 - 1/990 

1 980 
1985 
í 99 S 
2000 

257.48 

348.14 

244.09 


Da tabela vemos que D '(.1990) situa-se em algum lugar entre 257.48 e 348,14. [Aqui 
fizemos uma suposição de que a dívida não teve uma variação violenta entre 1980 e 
2000.] Estimamos que a taxa de crescimento da dívida nacional dos Estados Unidos em 
1990 foi a média desses dois números, a saber: 

D' (1990) ~ 303 bilhões de dólares por ano C 


Exercícios 



1. Sobre um dado gráfico/, marque o comprimento que 

represente /{2),/(2 + h)J{ 2 + h)-f( 2) e h, (Escolha h > 0.) 

/'( 2 + h) - f{ 2 ) 

Qual reta tem a inclinação 1 ; •• — — ? 

h 

í v = f(x) 


2 


2. Para a função /cujo gráfico está ilustrado no Exercício 1 , 
disponha os seguintes números em ordem crescente e 
explique seu raciocínio: 


f(2) /( 3) - /( 2) 


[7(4) — / (2)] 


3. Para a função g cujo gráfico é dado, disponha os seguintes 
números em ordem crescente e explique seu raciocínio: 

0 g’{- 2) £/'(()) g’{ 2) r/'(4) 


_SJ 

0j\ , 


y = 



4. Se a reta tangente a y ~ f(x) em (4, 3) passa no ponto (0, 2), 

encontre /( 4) e /'( 4). 


5. Esboce o gráfico de uma função de / para o qual /(0) — 0, 
/'(0) = 3, /'(l) — 0 e /'(2) = -1 . 

6. Esboce o gráfico de uma função g para o qual cjr(0) = 0, 
g’( 0) - 3, g’(\) ~ 0 eg’( 2) = 1. 

7. Se/fr) = 3x z - 5x. encontre /'( 2) e use-o para achar uma 
equação da reta tangente à parábola y — 3x : - 5,t no ponto (2, 2). 

8. Se g(x) = 1 - a~\ encontre /(()) e use-o para achar uma 
equação-da reta tangente à curva y ~ I -„v 4 5 no ponto (0, 1). 

9. (a) Se F(x) — x‘ - Sx + 1 , encontre F'( 1 ) e use-o para achar 

uma equação da reta tangente à curva y = x* - 5x + 1 no 
ponto ( 1 , -3). 

(b) Ilustre a parte (a) fazendo o gráfico da curva e a reta 
tangente na mesma tela. 

10. (a) Se G(x) — xj ( 1 + 2x), encontre G'(a) e use-o para achar 

uma equação da reta tangente à curva y = x/( 1 + 2x) no 
ponto -1). 

(b) Ilustre a parte (a) fazendo o gráfico da curva e a reta 
tangente na mesma tela. 

11. Seja f(x) — 3"‘. Estime o valor de /'( 1 ) de duas maneiras: 

(a) Use a Definição 2 e tome os valores sucessivamente 
menores de h. 

(b) Dê um zoom. sobre o gráfico de y = 3' 1 e estime a 
inclinação. 

12. Seja g(x) — tg x. Estime o valor de /pir/ 4) cie duas maneiras: 

(a) Use a Definição 2 e tome os valores sucessivamente 
menores de h. 

(b) Dê um zoom sobre o gráfico de y — tg x e estime a 
inclinação. 

13-18 □ Encontre f’(a). 

13. /( x) - 3 - 2x + 4x z 14. f(x) = í* -St 

2t + 1 . x* + 1 

15. f(x) - 16- f(x ) - - 

t + 3 x -2 






y/x + 2 


19-24 □ Cada limite representa a derivada de alguma função/ em 
algum número a. Estabeleça /e a em cada caso. 


13. 

lim 

{ i + h) :t " I 

20. 

VÍ6+Ã-2 


h -»0 

h 

™ h 

21. 

inqn 

2' -32 

22. 

! ^-l 


.v - 5 

x - -tt/4 

23. 

lim 

cos(ir + h) + 1 

24. 

j. t 4 +t- 2 


h~f 0 

h 

-•- 1 t _ j 

25 - 

26 !j 

Uma partícula move-s 

e ao longo de uma reta com a 


equação do movimento s ~ /(:), onde s é medido em metros e t em 
segundos. Encontre a velocidade quando t — 2. 

25. /(» = t~ - 6/ - 5 26. fit) •• 2r - i + 1 

27. O custo da produção de x onças ( 1 libra — 12 onças) de ouro 
provenientes de uma nova rnina é C — f(x) dólares. 

(a) Qual o significado da derivada de //.r)? Quais são suas unidades? 

(b) O que significa /'(SOO) = 17? 

(c) Você acha que os valores de /'(. x) vão crescer ou decrescer 
a curto prazo? E a longo prazo? Explique. 

28. O número de bactéria depois de t horas em um laboratório 
experimental controlado é n — /(/). 

(a) Qual o significado da derivada de // 5)? Quais são suas unidades? 

(b) Suponha que haja uma quantidade ilimitada de espaço e 
nutrientes para a bactéria. O que é maior: // 5) ou /'(IO)? 
Se a oferta de nutrientes for limitada, o que afetaria sua 
conclusão? Explique. 

29. O consumo de combustível (medido em galões por hora) de um 
carro viajando a uma velocidade deu milhas por hora é c — f(v). 

(a) Qual o significado da derivada de //£)? Quais suas unidades? 

(b) Escreva uma sentença (em termos leigos) que explique o 
significado da equação /'(20) - -0.05. 

30. A quantidade (em libras) de café vendida por unia companhia para 
uma lanchonete a um preço de p dólares por libra éQ ~ f(p). 
ta) Qual o significado da derivada de f/8)? Quais são suas unidades? 
(b) .f/8) é positivo ou negativo? Explique. 

31. Seja 7(0 a temperatura (em C F) em Dallas t horas após a meia- 
noite em 2 de junho de 2001 . A tabela mostra os valores dessa 
função registrados de duas em duas horas. Qual o significado de 
T (10)? Estime o seu valor. 


32. 


33. 


A expectativa de vida melhorou significai ivamente no século 
XX. A tabela fornece os valores de /•:(?), a expectativa de vida 
no nascimento (em anos) de um menino no ano / nos Estados 
Unidos. Interprete e estime os valores de £"(1910) e £'(1950). 


! 930 
i 940 
1 950 


i 960 


1980 

j ()()0 


A quantidade de oxigênio dissolvido em água depende da 
temperatura da água. (Logo, a poluição térmica influencia o 
oxigênio contido ern água.) O gráfico mostra como a solubilidade 
do oxigênio S varia como uma função da temperatura 7‘da água. 

(a) Qual o significado da derivada 5/7)? Quais são suas unidades? 

(b) Dê uma estimativa cio valor 5 (16) e ínterprete-o. 

5* 

(mg/L) 


34. 


16 


40 T ( ! 'C) 


O gráfico mostra a influência da temperatura £ sobre 5 a 
velocidade máxima de nado sustentável do salmão Coho. 

(a) Qual o significado da derivada 5/7)? Quais são suas unidades? 

(b) Dê uma estimativa do valor 5/15) e de 5/25) e interprete-os. 

S * 


10 


35-36 □ Determine se existe ou não f/0). 


TO 


35./w = £ sen 7 se - T5í0 m /w »T scn 7 se * 5é ° 


se x = 0 


se x ~ 0 


Profeto Escritè Métodos Iniciais para Encontrar as Tangentes 

A primeira pessoa a formular explícitamente as idéias de limite e derívàda fdt sir Isáae Newtoh, em 1660. 
Mas Newton reconhecia que “Se vejo mais longe do que outros homens é porque estou sobre os ombros 
de gigantes . Dois desses gigantes eram Pierre Fermat (1601-1665) e seu professor em Gambridse, Isaac 
Ban _ ow (1630-1677). Newton estava familiarizado com os métodos deles para encontrar as retas 
tangentes, e esses métodos desempenham papel importante na formulação final do cálculo de Newton. 






James Sfewert CAPITULO. 2 LjMiTnS E DtRÍ^TÂDAS I. 18S 


As seguintes referências contêm explicações desses métodos. Leia uma ou mais referências e 
escreva um relatório comparando os métodos ou de Fermat ou de Barrow com os métodos 
modernos. Em particular, use o método da Seção 2.8 para achar uma equação da reta tangente à 
curva y - .r + 2v no ponto (1 , 3) e mostre como Fermat ou Bãrrow teriam resolvido o mesmo 
problema. Embora você tenha usado as derivadas e eles não, mostre a analogia entre os métodos. 

1. BOYER, Cari; MERZBACH Uta. A tiistory of Mathematics. Nova York: John Wiley, 1989, 
p. 389,432. 

2. EDWARDS, C. H. The Histõrical Development of lhe Calculus. Nova York: Springer-Verlag, 
1979, p. 124, 132. 

3. EVES, Howard. An Jníroducthm to the tiistory of Mathematics . 6. ed. Nova York: Saunders. 
1990, p. 391.395. 

4. KLINE, Morris. Mathematical Thoughffrom Ancient to Modem Times. Nova York: Oxford 
University Press, 1972, p. 344, 346. 


A Derivada como uma Função 


Na seção precedente consideramos a derivada de uma função /em um número fixo a: 


f'(a ) ~ lim 

/(—>o 


f(a + h) - f{a) 


Aqui mudamos nosso ponto de vista e vamos variar o número a. Se substituirmos a nt 
Equação 1 por uma variável x, obteremos 


Dado um número x para o qual esse limite existe, atribuímos a x o número f'(x). Logo 
podemos considerar /' como uma nova função, chamada derivada de / e definida pelt 
Equação 2. Sabemos que o valor de /' em x, f'(x), pode ser interpretado geometricamente 
como a inclinação da reta tangente ao gráfico de /no ponto {x.f(x)). 

A função f é denominada derivada de /, pois tem sido “derivada"' de /pela operação- 
limite na Equação 2. O domínio de féo conjunto {x { f(x) existe) e podería ser menoi 
que o domínio de/ 

EXEIVIFLO 1 □ O gráfico de uma função fé ilustrado na Figura 1 . Use-o para esboçar o 
gráfico da derivada f . 


V = f(x) 


FIGURA 1 










CÁLCULO 


Editara Thomson 


ILv:;.:/... 


SOLUÇÃO Podemos estimar o valor da derivada de qualquer valor de .v traçando a 
tangente no ponto (x,j(x)) e estimando sua inclinação. Por exemplo, para ,v — 5 traça mo? 
a tangente em P na Figura 2(a) e estimamos sua inclinação para estar em torno de L 
assim /'( 5) ~ 1 ,5. Isso nos permite desenhar o ponto P’{ 5, 1 .5) sobre o gráfico de f 
diretamente abaixo de P . Repetindo esse procedimento em vários pontos, obtemos o 
gráfico ilustrado na Figura 2(b). Note que as tangentes em A, B e C são horizontais; 
logo, a derivada é 0 lá e o gráfico de /' cruza o eixo x no ponto A\ B' e C diretamente 
abaixo de A, B e C. Entre Ag B as tangentes têm inclinação positiva; logo, /'(.*) é posi- 
tivo lá. Mas entre B e C as tangentes têm inclinação negativa; logo. f’(x) é negativo lá. 



v =f(x) 



:: Observe que onde a derivada é 
positiva fà direita de C e entre A e B), . 
função/ é crescente. Onde/'Cv) é 
negativa (à esquerda de ,4 e entre 
B e O, / é decrescente. Na Seção 4.3 
provaremos que isso é válido para 
todas as funções. 


P\ 5, 125) 


y — f(x) 


FIGURA 2 


Se uma função estiver definida por uma tabefa de valores, então poderemos construir 
uma tabela de valores aproximados de sua derivada, como no exemplo a seguir. 


James Stewart CAPÍTULO 2 UMiTES 



/ 


1980 

4,5 

1982 

2,0 

1984 

i .5 

1986 

73 

1988 

25/í 

1990 

38,0 

1992 

36,8 

1 994 

29.0 

1996 

1 6.5 

1 998 

8.5 

2000 

S 3 


□ A Figura 3 iiustra o Exemplo 2 
mostrando os gráficos da função 
população Bit) e de sua derivada 
Observe que a taxa de crescimento 
populacional cresce até um máximo 
em 1 990 e, depois, passa a decrescer. 


'EXEMPLO 2 " Seja B(t) a população da Bélgica no instante t. A tabela fornece os valores 
médios anuais de B(t), em milhares, de 1980 a 2000. Construa uma tabela de Valores 
para a derivada dessa função. 

SOLUÇÃO Presumindo que não haja uma flutuação violenta nessa população entre os 
valores estabelecidos, vamos começar dando uma aproximação para #'(1988), a taxa de 
crescimento populacional da Bélgica em 1988. Como 

h 


Obtemos 


para os valores menores de h. 
Para h = 2, temos 


#'(1988) 


#(1988+ h) - .#(1988) 
~~h~ 


#(1990)- #(1988) 9862-9884 


' ' 2 2 
(Essa é a taxa média de crescimento entre 1988 e 1990.) Para h = -2. temos 

a-(i988) - g l 19 8 9 j) 19 -) - ”f2i 9884 _ , 1 

que é a taxa média de crescimento entre 1986 e 1998. Teremos uma aproximação mais 
precisa se tomarmos a média dessas duas taxas de variação: 

#'(1988) «4 (39 + 1 1) - 25 

Isso significa que em 1988 a população estava crescendo a uma taxa de 25 mil pessoas 
por ano. 

Fazendo os cálculos análogos para outros valores (exceto os extremos, 1980 e 2000), 
temos a tabela que mostra os valores aproximados para a derivada. 

y a 

10.200 - 
10.100 

v = B(t) 

10.000 - 
9.900 - 
9.800 - 


1980 1984 1988 1992 1996 2000 


— t — ► 

nnn t 


y = B'(t) 


1984 1988 1992 1996 2000 


FIGURA 3 





CÁLCULO Editora Thomson 



FIGURA 4 


! / i 

: / 

V 1 


- 

2 

2 

f\ \ 


'■ \ 

7” ' 




EXEMPLO 3 

(a) Se f(x) - x- - x, encontre uma fórmula para/'(x). 

(b) Ilustre comparando os gráficos de/e/'. 

SOLUÇÃO 

(a) Ao usar a Equação 2 para computar uma derivada, devemos nos lembrar de que a 
variável é h e de que x é considerado temporariamente como uma constante durante os 
cálculos do limite. 


fix) — Hm 

h >0 


fix + h) — fix) 


lim 

h h ■■■:■■() h 

x' 4- 3 x 2 h 4 3xh 1 4- /r — x — h — x* 4- x 


[(jc + hf — {x 4- /?)] [x ' — x] 


Um 

h ■■■■■■• 0 


= lim 

h ■■■■■- 0 


h 

3 x 2 h 4- 3x7? 2 4- h i — h 
~h~ 


— lím (3.x: 2 4 3x/i 4 - h 2 — 1) — 3x 2 — 1 

/;~M) 

(b) Vamos fazer os gráficos de ftf utilizando algum recurso gráfico. O resultado está 
na Figura 4. Note que f(x) = 0 quando /tem tangentes horizontais, e fix) é positivo 
quando as tangentes têm inclinação positiva. Assim, esses gráficos servem como 
verificação do trabalho leito em (a). 


Ui 


xoui racionalizamos o 


EXEMPLO 4 ::: Se fix) — fx — 1 , encontre a derivada de /. Estabeleça o domínio de /'. 
SOLUÇÃO 

f(x + hh— f(x) 


fix) — lim 

h 0 


lim 

h — o 


h 


\/x 4 - h — 1 — v'x 



•o v "\ 4- h ~ 14- y/x — f 


X X 1 “O y.X 1 2 \''X 1 

Vemos que fix) existe se x > 1 ; logo, o domínio de/' é (I , f. Ele é menor que o 
domínio de / que é [ 1 . *). 


Vejamos se o resultado do Exemplo 4 é razoável observando os gráficos de/e /' na 
Figura 5. Qu ando x estiver próximo de 1, yx - 1 estará próximo de 0; logo, 
fix) = 1/(2 y/x — I ) é muito grande, e isso corresponde a retas tangentes íngremes pró- 
ximas de (1 , 0) na Figura 5(a) e a grandes valores de /' (x) exatamente à direita de 1 na 
Figura 5(b). Quando x for grande, f{x) será muito pequena, e o que corresponde ao 
achatamento das retas tangentes no extremo direito do gráfico de /e à assintota horizontal 
do gráfico de f . 





169 





James Stewart 


CAPÍTULO 2 UMÍ 




FfGURA 5 


(a) /(-*■) = Vx - 1 


(b) /'(*) 


?v/m 


EXEMPL 


1 — x 

5 ::: Encontre f se j(x) ~ 

2 + x 


d ad — bc 


SOLUÇÃO f\x) = lim 


= lim 

A— 0 


= lim 

k-f o 


f(x + h) — f(x) 
h 

1 — (x + h) 1 — x 

2 + (x + h) 2 + x 

~7i 

(1 — x ~ h){ 2 + x) ~ (1 — x)(2 + x + h ) 
h{ 2 + x + h){ 2 + x) 

(2 — x — 2 h — x“ — xh) - (2 - x 4- h ~ x 2 — xh) 
h( 2 + x + h){ 2 + x) 


-3 h 

lim — — — — 

ft—o h( 2 + x.+ h)( 2 + x) 


h - o (2 + x + h)(2 + x) (2 + xf 


fy '' -í 

Outras Notações 

Se usarmos a notação tradicional y — /(x) para indicar que a variável independente é a 
enquanto y é a variável dependente, então algumas notações alternativas para a derivada 
são como se seeue: 


f'(x) - y’ 


dy _ df __ d 
dx dx dx 


f(x) - Df(x) - DJ(x) 


Os símbolos D e dj dx são chamados operadores diferenciais, pois indicam a operação de 
diferenciação, que é o processo de cálculo de uma derivada. 

O símbolo dy/dx , introduzido por Leibniz, não deve ser encarado como um quociente 
(por ora); trata-se simplesmente de um sinônimo para f'(x). Todavia, essa notação é muito 
útil e proveitosa, especialmente quando usada em conjunto com a notação de incremento. 
Podemos reescrever a definição de derivada (Equação 2.8.4) como 


lim 

dx &X -+0 Ax 




gflffbrar.Tàosnssm 


Wrtheim Le.bmz nasceu em 
Leipztg em 1 646 e estudou direito, 
teologia filosofia e matemática na 
universidade local, graduando-se com 
17 anos. Após obter seu doutorado em 
direito aos 20 anos, Leibníz entrou para 
o serviço diplomático, passando a 
maior parte de sua vida viajando pelas 
capitais européias em missões 
políticas. Em particular trabalhou para 
afastar uma ameaça militar da França 
contra a Alemanha e tentou reconciliar 
as igrejas Católica e Protestante. 

Leibniz só começou a estudar 
seriamente matemática em 1672, 
quando em missão diplomática em 
Paris, lá ele construiu uma máquina de 
calcular e encontrou cientistas, como 
Huygens, que dirigiram sua atenção 
para os últimos desenvolvimentos da 
matemática e da ciência. Leibniz 
procurou desenvolver uma lógica 
simbólica e um sistema de notação 
que simplificariam o raciocínio lógico. 
Em particular, a versão do cálculo 
publicada por eie em 1684 estabeleceu 
a notação e as regras para encontrar as 
derivadas usadas até hoje, 

Infelizmente, uma disputa muito 
acirrada de prioridades surgiu em 1 690 
entre os seguidores de Newton e os 
de Leibníz sobre quem teria inventado 
primeiro o cálculo. Leibniz foi até 
mesmo acusado de plágio pelos 
membros da Royai Society na 
Inglaterra. A verdade é que cada um 
inventou independentemente o 
cálculo. Newton chegou primeiro à sua 
versão do cálculo, mas, por temer 
controvérsias, não o publicou 
imediata mente. Assim, a publicação do 
cáicuio de Leibniz em 1684 foi a 
primeira a aparecer. 


Para indicar o valor de uma derivada dy/dx na notação de Leibniz em uni’ número especi- 
fico a , usamos a notação 


e/v | 

~dx L 


dy 

dx 


que é um sinônimo para f’(a). 


Üebriçáj Uma função fé diferenciável em a se j"(a) existir. É diferenciável 
em um intervalo aberto (a, b) [ou (a, <*) ou (-=» , a ) ou (-ce ; cc) j se f or diferen- 
ciável em cada número do intervalo. 


OEMPlíí 6 Onde a função f(x) ~ jxj é diferenciável? 

SOLUÇÃO Se -V > 0, então | x [ = x e podemos escolher h suficientemente pequeno tal 
que .v + h > 0 e ainda \x + h j = x + h. Consequentemente, para x < 0 temos 

v + /?!“! ..v I 


f'(x) — Hm 

o h 

(x + h) — x h 

— — lim — = lim 1 — 1 

•••••> o h h-*o h o 

e fé diferenciável para qualquer x > 0. 

Analogamente, para x < 0 temos | x j = —x e podemos escolher h su Hei entemente 
pequeno tal que x + h < 0 e, assim, J x + h j = — (x + h) . Portanto, para x < 0, 


f'(x) ~ lim 


x + h j — j x \ 

h 


— (x + h) — (— x) ~h 

— ] jm — lim — — = lim (—1)= —1 

h >0 fi h -'>0 h b *0 


e dessa forma fé diferenciável para qualquer x < 0. 
Para x — 0 temos de verificar 


/'(O) - lim 

h - >0 


/(() + h) -/(Q) 
h 


— lim 

h --:■*<} 


0 + h ! - 1 0 


(se ele existe) 


Vamos computar o limite esquerdo e o direito: 


i, m J°- 

o - 


h\ 


0 


- L — lim 

h -■> O 4 


h 


lim — = lim 1 

h *0‘ fl h .-0 l 


lim 

/!->() 


o + h I - ! o 


— lim 


Itm 

h »0 


— h 

h 


lim (-1) - -1 

h-> O” 


Uma vez que esses limites sao diferentes, /'(()) não existe. Portanto,/ é diferenciável 
para todo x, exceto em 0. 





James Síewart 



V i 
1 ■ 


0 

■ -J 

(b) y 

= f’(x) 


FIGURA 6 


CAPÍTULO 2 LjyiTE 


Uma fórmula para f ' é dada por 

f'(x) 

e seu gráfico esta ilustrado na Figura 6(b). O fato de que /'(O) não existe está refletido 
geometricamente no fato de que a curva y= | *j não tem ret* tangente em (0, 0). 

[Veja a Figura 6(a).] 

Tanto a continuidade como a diferenciabilidade são propriedades desejáveis para um 
função. () seguinte teorema mostra como essas propriedades c s tã Q relacionadas 


| |4j Teorema Se /for diferencia' vel em a, então fé contínua em a. 


f 1 se jf > 0 
1 "" 1 se x < 0 


Prova Para provar que fé contínua em a, temos de mostrar que lim, a fix) — fia). 

Fazemos isso mostrando que a diferença f(x) - f(a ) tende a 0. 

A informação dada é qu e/é diferenciável em a. isto é, 


f'(a) — lim 


fix) — fia) 


existe (veja a Equação 2.8.3). Para conectar o dado com o desconhecido, dividimos e 
multiplicamos fix) -f(a) por x - a (o que pode ser feito quando a* # a): 


/(,) - /(a ) - m zm u . - a) 


Assim, usando a Lei do Produto e a Equação 2.8.3. podemos escrever 


lim [fix) — /(«)] = lim 

x—+a ’ “ x >íí 


fix) - fia) , 

— ix ~ a) 

x — a 


fix) - f(a) 

lim — - — — — — lim (a ^ a) 


— fia) -0 = 0 


Para usar o que acabamos de provar, vamos começar com /(a) e somar e subtrair f(a): 


lim fix) — lim [fia) + (/(a) - fia))) 


~ lim f(a) + lim [fix) - fia)) 

x-^o x a 

= fia) + 0 = fia) 


Conseqüentemeníe,/é contínua em a. 


NOTA o A recíproca do Teorema 


ísa. isto é. há funções aue são contínuas. 


são diferenciáveis. Por exemplo, a função fix) — j a ( é contínua em 0, pois 

lim fix) = lim ixl = 0 — f( 0) 

■S —>0' ' A- - ->(} ’ 


is nãt 


(Veja o Exemplo 7 na Seção 2.3.) Mas no Exemplo 6 mostramos que / não é diferenciáve 
em 0. 



172 CÁLCULO Edffsra ThomsGfi 


y , 

reta tangente 


vertical . ^ 




\j 


N 

j 

0 

a v 


FIGURA 7 


Êáã Como Pode uma Função Deixar de Ser Diferencia ve!? 

Vimos que a função y — j.v) do Exemplo 6 não é diferencia vel em 0. e a Figura 6(a) 
mostra que em x — 0 a curva muda abruptamente de direção. Em geral, se o gráfico de uma 
í unção/ tiver uma “quina ou uma “dobra", então o gráfico de f não terá tangente nesse 
ponto, e/ nao será diferenciável ali. (Ao tentar calcular /'(«), vamos descobrir que o limite 
esquerdo e o direito são diferentes.) 

O Teorema 4 nos dá outra forma de uma função deixar de ter uma derivada. Ele afirma 
que se/tor descontínua em a, então / não será diferenciável em a. Assim, em toda descon- 
tinuidade de/(por exemplo, um pulo de descontinuidade). ela deixa de ser diferenciável. 

Uma terceira possibilidade surge quando a curva tem uma reta tangente vertical em 
x = a. isto é,/é contínua em a e 


Jim | f'(x) | — oo 

X (i 

Isso significa que a reta tangente fica cada vez mais íngreme quando r — > a. A Figura 7 
mostra uma forma de isso acontecer, e a Figura 8(c), outra. A Figura 8 ilustra as três pos- 
sibilidades discutidas. 


V i 

1 A y 

/ 

/ 

> Vi 

/ \ 

0 

a x 0 

a x 0 

a x 

FIGURA 8 




Três formas de/ deixar de 

1 



ser diferenciável em a 

(a) Quina 

(b) Descontinuidade 

<<c) Tangente veittcaf 



As calculadoras gráficas e os computadores são outra possibilidade de análise da diferen- 
ciabilidade. Se/ for diferenciável em a , então, se dermos um zoom em direção ao ponto 
(a, f(a)), o gráfico vai se endireitando e se parecerá cada vez mais com uma reta (veja a 
Figura 9. Vimos um exemplo específico na Figura 3 da Seção 2.8). Por outro lado, inde- 
pendentemente da maneira como dermos o zoom em direção a pontos como os das Figuras 
7 e 8(a), não poderemos eliminar a ponta aguda ou quina (veja a Figura 10). 




FIGURA 9 

fé diferenciável em a 


FIGURA 10 

/não é diferenciável em a 




James Stewart CAPÍTULO 2 LiMITES E DERIVADAS 


173 


Exercícios 


üíííW«5ff^rO«í«írf>Xr«r?Í^^»:^:r,ií^ 


1-3 ::; Use os gráficos dados para estimar o valor de cada derivada. 
Esboce então o gráfico de f , 

1. (a) /’(!) 
fb) /'( 2) 

(c) /'(3) 

(d) /'(4) 


í t: 



j • 

>-=/(*) 

t 


\ 


M^\j 



: 0 

1 : ; X 

: 



ry: 

L i 



— f{x 1 1/ 

-H 



i y - 


r ° 

1 : 

x 


2. (a) /'(O) 

(b) /'(O 

(c) /'(2) 

(d) /'( 3) 

(e) /'(4) 

(f) /'(5) 


3. (a) /'(-3) 

(b) /'(— 2) 

(c) /'(-D 

(d) /'(O) 

(e) /'(l) 

(f) /'(2) 

(g) /'(3) 


4. Associe o gráfico de cada função em (a)-(d) com o gráfico de 
sua derivada em MV. Dê razões para suas escolhas. 





5-13 □ Trace ou copie o gráfico de /. (Suponha os eixos com a 
mesma escala.) Use então o método do Exemplo 1 para esboçar o 
gráfico de /'. 

5. * 8. 







Editora Thomson ■ 


~ : W. O gráfico mostrado corresponde ao da função população Pm. 

S®§§ff ' de cultura cm laboratório, de células de levedo. Use o método 
pfffrri ' do Exemplo ! para obter o gráfico da derivada p'(/>. () que o 
gráfico de P' nos diz sobre a população da levedo? 

P a (células de levedo) 


21 . f(x) = 37 
23 . fix) = 1 - 3.r 
25 . /(.. v) — x l ■■■■■ 3,v + 5 


27. j/.ú - yl 3 2 a 
4r 

23. Cif/i = — 

/ + 1 

31. /h) - .r’’ 


22 . /(.vi = 12 + 7,v 
24 . /Çv) = 5.r + 3:v • 
28 . fix) — .v -I- v V 

28 . fix) - • 

1 - 3 j 
30. í/f x) - 


5 10 lí t (horas) 

15. O gráfico mostra corno a idade média dos homens japoneses 
que se casam pela primeira vez variou na última metade do 
século XX. Esboce o gráfico da função derivada Quais 
os anos que a derivada foi negativa? 


16—18 o Faça um esboço cuidadoso de/ e desenhe o sráftco de f' 

como nos Exercícios 5X 3. Você pode sugerir uma fórmula para 

fix) a partir de seu gráfico? 

16 . fix) ~ sen x 

17. f{x) - e * 

18. f(x) = ln x 

1 19- Seja fix) = xf 

(a) Estime os valores de /'(O), /'(|), /'(]) e /'( 2) fazendo 
uso de um recurso gráfico para um zoom no gráfico de f. 

(b) Use a simetria para deduzir os valores de f’{ — \) e 

n -2i. 

(c) Utilize os resultados de (a) e (b) para coiijecturar uma fór- 
mula para fix). 

(d) Use a definição de derivada para provar que sua conjectura 
em (c) está correta. 

1 20 . Seja fix) = ;r\ 

(a) Estime os valores de /'(O), /'( |), /'(]). /'( 2} e /'( 3) 
fazendo uso de um recurso gráfico para um z.oom no 
gráfico de / 

(b) Use simetria para deduzir os valores de f '{—\ ). / '< — 1 ). 
f'Í-2) e /'(~3). 

(c) Empregue os valores de (a) e (b) para para fazer o gráfico d e/ \ 

(d) Conjecture uma fórmula para fix). 

(e) Use a definição de derivada para provar que sua conjectura 
em (d) está correta. 

21 " 31 Encontre a derivada da função dada usando a definição. 

Estabeleça os domínios da função e da derivada. 


(a) Esboce o gráfico de fix) — y 6 - x começando pelo 
gráfico de v — y x e usando as transformações da Seção 1 .3. 

(b) Use o gráfico da parte (a) para esboçar o gráfico de/'. 

(c) Use a definição de derivada para encontrar/' (x). Quais os 
domínios de/e f ? 

(d) Use um recurso gráfico para fazer o gráfico f e compare-o 
com o esboço de (b). 

(a) Se fix) ™ x — (2/x) . encontre fix), 

(b) Verifique se sua resposta em (a) foi razoável comparando 
os gráficos de/e/' . 

(a) Se fit) 6/(1 + t 2 ), encontre /'(/), 

(b) Verifique se sua resposta em (a) foi razoável comparando 
os gráficos d e/e /'. 

A taxa de desemprego U(t) varia com o tempo. A tabela (do 

Bureau of Labor Statistícs) dá a porcentagem de desemprego 

na força de trabalho norte-americana de 1991 a 2000. 


(a) Qual o significado de U’ (ff. Quais são suas unidades? 

(b) Construa a tabela de valores de Uft). 

36 . Seja P(i) a porcentagem de norte-americanos menores de 1 8 
anos no tempo t. A tabela dá os valores dessa função nos cen- 
sos realizados de 1950 a 2000. 


(a) Qual o significado de P'(í)? Quais são suas unidades? 

(b) Construa uma tabela de valores para P/í). 

(c) Faça os gráficos de P e P'. 

(d) Como seria possível obter valores mais precisos paia P'(/)? 
37 . O gráfico de/ é dado. Estabeleça, explicando, os números nos 

quais / não é diferenciável. 






4 6 8 


.10 \ 12 


38. O gráfico de g é dado. 

(a) Em quais números g é descontínua? Por quê? 

(b) Em quais números g não é diferenciável? Por quê? 


rA! 


' ÍU) , 


55 39. Faça o gráfico da função /(. x) = x + yj * | . Dê um zoom 
primeiro em direção ao ponto (-1 , 0) e então em direção à 


origem. Qual a diferença entre os comportamentos de/ nas 
vizinhanças desses dois pontos? O que você conclui sobre a 
diferenciabilidade de f? 


Dê um zoom em direção aos pontos (1 , 0). (0. 1 ) e (-1 , 0) 
sobre o gráfico da função g(x) ~ (x 1 — 1 1 O que você 
nota? Relate o que você viu em termos da diferenciabilidade de g. 


Seja f(x) - f/x. 

(a) Se a r 0, use a Equação 2.8.3 para encontrar fia). 

(b) Mostre que /'(()) não existe. 

(c) Mostre que y — çór tem uma reta tangente vertical em (0, 0). 
(Lembre-se da forma do gráfico de/. Veja a Figura 13 na 
Seção 1 .2.) 

(a) Se g{x) ~ a ’ . mostre que /(()) não existe. 

(h) Se a -■£ 0. encontre g'(a). 

(c) Mostre que y = x 2/3 tem uma reta tangente em (0, 0). 

(d) Ilustre a parte (c) fazendo o gráfico de y = x 2r \ 


Mostre que a função f(x) = | x — 6 j não é diferenciável em 6. 
Encontre uma fórmula para f'c esboce seu gráfico. 


•James Stewart 


CAPÍTULO 2 


44. Onde a função maior inteiro f(x) — K-rf não é diferenciável 0 
Encontre uma fórmula para/' e esboce seu gráfico. 


45. (ai Esboce o gráfico da função f(x) - x\x\. 

í b) Para que os valores de x são /diferenciáveis? 

(c) Encontre uma fórmula para f , 

46. A derivada esquerda e a direita de /em a são definid as P or 


t’- (a) - lim 

h > 0 “ 


fia + h ) — fia) 


fiiUò = lim 

h — !■ 0 - 


fia + h) — fia) 


se esses limites existirem. Então /'(a) existe se e somente se 
essas derivadas unilaterais existirem e forem iguais. 

(a) Encontre f '.(4) e /+(4) encontre a função 


/(■*) = 


se x <- 0 


-v se 0 < x < 4 


(b) Esboce o gráfico de / 

(c) Onde fé descontínua? 

(d) Onde f não é diferenciável? 


47. Lembre-se de que uma função/é chamada par se/(-r) — f(x) 
para todo x em seu domínio, e ímpar se/(~,r) = -f(x) para 
todo x. Prove cada uma das afirmativas a seguir. 

(a) A derivada de uma função par é uma função ímpar. 

(b) A derivada de uma função ímpar é uma função par. 


48. Quando você abre uma torneira de água quente, a temperatura 
T da água depende de quanto tempo a água está correndo. 

(a) Esboce um gráfico possível de T como uma função de t y 
que decorreu desde que a torneira foi aberta, 

(b) Descreva como é a taxa de variação de 7 em relação a t 
quando t está crescendo. 

(c) Esboce um gráfico da derivada de T. 


49. Seja k a reta tangente à parábola y ~ no ponto (1 , 1) 0 
ângulo de inclinação de f é o ângulo é que € faz com a 
direção positiva do eixo x. Calcule ò correta até o grau mais 
próximo. 




/6 


igMct: Úiitvm Them&on 


Revisão 


VERiFiCAÇAO DE CONCEITOS 


1. Explique o significado de cada um dos limites a seguir e ilustre 
com um esboço. 

(a) lim f(x) = JL (b) lim f{x) — L 

(c) lim f(x) = L (d) lim/(x) ~ °° 

(e) lim f{x) — L 

2. Descreva as várias situações para que um limite possa não 
existir. Ilustre-as com uma figura. 

3. Enuncie cada uma das seguintes Leis do Limite. 

(a) Lei da Soma (b) Lei da Diferença 

(c) Lei do Múltiplo Constante (d) Lei do Produto 

(e) Lei do Quociente (f) Lei da Potência 

(g) Lei da Raiz 

4. O que afirma o Teorema do Confronto? 

5. (a) O que significa dizer que uma reta x ~ a é uma assintota 

vertical da curva y = /(.*)? Trace as curvas que ilustrem 
cada uma das várias possibilidades. 

(b) O que significa dizer que uma reta y — Lê uma assintota 
horizontal da curva y - /(x)? Trace as curvas que ilustrem 
cada uma das várias possibilidades. 

6. Quais das curvas a seguir têm assintotas verticais? E 
horizontais? 

(a) y = x 4 5 6 7 8 (b) y -■ sen x (c) v = tg x 

(d) v - tg" ! x (e) v = e* (f) v — lnx 

(g) v — 1 / x (h) v = fx 


1 . (a) Qual o significado de/ ser contínua em a? 

(b) Qual o significado de /ser contínua em intervalos (-=» , )? 
Nesse caso, o que se pode dizer sobre o gráfico de/? 

8. O que afirma o Teorema do Valor Intermediário? 

9. Escreva uma expressão para a inclinação da reta tangente à 
curva v -/(/) no ponto (a,f(a)). 

10. Considere um objeto movendo-se ao longo de uma reta com a 
posição dada por f(t ) no instante t. Escreva uma expressão para 
a velocidade instantânea do objeto em r — a. Como pode ser 
interpretada essa velocidade em termos do gráfico de/? 

11. Se v = /(x) e x variar de x s a x 2 . escreva uma expressão para o 
seguinte. 

(a) Taxa média de variação de v em relação a x no intervalo 

(b) Taxa instantânea de variação de y ern relação a x ern x ~ x t . 

12. Defina a derivada /'(«). Discuta as duas maneiras de 
interpretar esse número. 

13. (a) O que significa/ser diferenciável em a? 

(b) Que relação subsiste entre diferenciabilidade e 
continuidade de uma função? 

(c) Esboce o gráfico de uma função que é contínua, mas que 
não é diferenciável em a — 2. 

14. Descreva as várias situações para que uma função não seja 
diferenciável. Ilustre-as com fisuras. 


TESTES FALSO-VERDADEIRO 


Determine se o que está estabelecido é falso ou verdadeiro. Se verdadeiro, 
explique por quê. Se falso, explique por que ou dê um contra-exemplo do que 
está estabelecido. 


f 6x — 7 


v + 5x 


3. fim — — 

> -a x i- 2x — 4 


lim (x 2 f 6x — 7) 

x-*i 

lim (x 2 + 5x — 6) 


lim (x — 3) 

x-> 1 

lim (x 2 + 2x — 4) 


4. Se Hm , T ...íj/fx) = 2 e lim A ..*s g(x) — 0, então 
lim ,_,5 [f(x)/g(x) ] não existe. 

5. Se íim. r ~>s/(x} = 0 e lim,.,? g(x) = 0. então 
lim*...,..'* [f(x)/g(x)} não existe. 

6. Se lim x -, 6 f(x)g(x) existe, então o limite deve ser f(6)g(6). 

7. Se p for um polinómio, então lim,-..,* p(x) = p(b). 

8. Se lim í ...,o/(x) = « e lim x g(x) ~ então 

lim._, () [/(x) - g{x ) ] = 0. 


9. Uma função pode ter duas assintotas horizontais distintas. 

10. Se/ em domínio [0. a>] e não possui assintota horizontal, então 
lim *.*,.<* f(x) = oo ou lim,„.., x f(x) — ~oo 

11. Se a reta x — 1 for uma assintota vertical de y =/(jc), então/ 
não está definida em 1 . 

12. Se /(1 1 > 0 e / (3) < 0, então existe um número c entre 1 e 3 
tal que/fe) ~ 0. 

13. Se / for contínua em 5 e/(5) = 2 e/{ 4) — 3, então 

lim., ,i/(4x 2 - 1 1) = 2. 

14. Se/for contínua em [- 1, 1 J e /( — 1) = 4 e /(!) = 3, então 
existe um número r tal que | r j < 1 e f(r) = tt. 

15. Seja / uma função tal que lim, > 0 /(x) = 6. Então existe um 

número 8 tal que, se 0 < [xj < 8, então j/(x) - 6] < 1. 

16. Se f(x) > 1 para todo xe lim Jr .,o/(x) existe, então 

lim r ....,o/(x) > 1. 

17. Se/for contínua em a, fé diferenciável em a. 

18. Se f'{r) existe, então lim ...... r /(x) = /(r). 






CÁICUIQ 


Editora Thomson 


178 

35-38 c Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que 
existe uma raiz da equação no intervalo dado. 

35. 2.x ? + x‘ + 2 — 0. (-2, - 1) 

36. e~ ,: = x. (0. 1) 

37 . (a) Encontre a inclinação da reta tangente à curva y - 9 - 2.r 

no ponto ( 2 , 1 ). 

(b) Encontre uma equação dessa reta tangente. 

38. Encontre as equações da reta tangente à curva 

7 

1 - 3.x 

nos pontos com a coordenada x, 0 e - 1 . 

39. O deslocamento (em metros) de um objeto movendo-se ao 
longo de uma reta é dado por s == 1 + 2 ? +■ f/4, onde / é 
medido era segundos. 

(a) Encontre a velocidade média nos seguintes períodos. 

(I) [1,3] (ii) [1.2] 

(íii) [1,1.5] (iv) [1,1,1] 

(b) Encontre a velocidade instantânea quando t ~ 1 . 

40 . De acordo com a Lei de Boyle, se a temperatura de um gás 
confinado for mantida constante, então o produto da pressão P 
com o volume V é uma constante. Suponha que. para ura certo 
gás, PV — 800, onde P é medido em libras por polegada 
quadrada e Vé medido em polegadas cúbicas. 

(a) Encontre a taxa de variação média de P quando V aumenta 
de 200 poP para 250 poP . 

(b) Expresse V como uma função de P e mostre que a taxa de 
variação instantânea de Vem relação a Pé inversamente 
proporcional ao quadrado de P. 

41 . (a) Use a definição de derivada para encontrar /'( 2), onde 

f(x) = x* - 2 .x. 

(b) Encontre uma equação da reta tangente à curva 
y = x * — 2 x no ponto (2, 4). 

(c) Ilustre a parte (b) fazendo o gráfico da curva e da reta 
tangente na mesma tela. 


42. Encontre uma função /e um número a tais que 

(2 + hf 64 

lim • 7 - — =■■■■ fia) 

h ü /? 

43. O custo total de saldar uma dívida a uma taxa de juros de r 
ao ano é C = /(>). 

(a) Qual o significado da derivada /'(/}? Quais são suas 
unidades? 

(b) O que significa a afirmativa /'(IO) — 1.200? 

(c) f'(r) é sempre positiva ou muda de sinal? 

44-46 □ Trace ou copie o gráfico da função. Então esboce o 
gráfico de sua derivada. 



45 . 

V A 


O! \ x 



47 . (a) Se f(x) = y3 ~ 5x, use a definição de derivada para 
encontrar /'(x). 

(b) Encontre os domínios de/e /'. 

aS íc) Faça os gráficos na mesma tela d e/e /'. Compare os 

gráficos para ver se sua resposta da parte (a) é razoável. 


Jaraes Sfewart 


48. (a) Encontre as assintotas do gráfico de 

... 4-.t 

í(x) 

3 f .x 

e use-as para esboçar o gráfico. 

(b) Use o gráfico da parte (a) para esboçar o gráfico de/' . 

(c) Use a definição de derivada para encontrar/' (x). 

|| (d) Use um recurso computacional para fazer o gráfico de/' e 

compare-o com o esboço da parte (b). 

49. É dado o gráfico de/. Estabeleça, com explicações, os números 
nos quais/ não é diferenciável. 




50. A taxa de fertilidade total no instante t é denotada por 
F(t) e é uma estimativa do número médio de crianças 
nascidas de cada mulher (supondo que a taxa de nascimento 
corrente permaneça constante). O gráfico da taxa de 
fertilidade total nos Estados Unidos mostra as flutuações 
de 1940 a 1990. 

(a) Estime os valores de F’{ 1950), F'(1965) e F'(1987). 

(b) Qual o significado dessas derivadas? 

(c) Você pode sugerir as razões para os valores dessas 
derivadas? 



CAPÍTULO 2 LIMITES E DERIVADAS 





51. Seja B{t) o valor total de moeda norte-americana em circulação 
no instante t. A tabela fornece os valores dessa função de 1980 
a 1998. ao fim de cada ano. em bilhões de dólares. Interprete e 
estime o valor de B’( 1 990). 


/ 


1980 

124,8 

1985 

182.0 

1990 

268.2 

1995 

•40 J s5 

1998 

492.2 


52. Faça o gráfico da curva v — (x + l)/(x — 1) e das retas 
tangentes à curva nos pontos (2. 3) e (— 1 , 0). 

53. Suponha que )/(x) j =£ g(x) para todo x, onde lim *...,« g(x) ~ 0. 
Encontre Jim i— a f (/) - 

54. Seja /(x) = M + I~4 

(a) Para quais valores de a existe lí m.« ....>« /( jc)? 

(b) Em quais números fé descontínua? 















Em uma discussão anterior consideramos a estratégia de Introduzir alguma coisa extra no 
problema— solução (veja a página 78). No exemplo a seguir vamos mostrar como esse 
princípio é algumas vezes proveitoso quando calculamos os limites. Â idéia é mudar a va- 
riável - introduzir uma nova variável relacionada á original - de forma a tornar mais sim- 
ples o problema. Mais tarde, na Seção 5.5, faremos uso mais extensivo dessa idéia geral. 


e v''l + CX — 1 

Exemplo § Calcule hm 


, onde c é uma constante. 


Solução Colocado dessa forma, esse limite parece desafiador. Na Seção 2.3 calculamos 
vários limites nos quais tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero. Lá 
nossa estratégia foi realizar algum tipo de manipulação algébrica que levasse a um 
cancelamento simplificador, porém aqui não está claro que tipo de álgebra será 


necessário. 


Assim, introduzimos uma nova variável t pela equação 

t — v 1 4- cx 

Também necessitamos expressar x ern termos de t, e então resolvemos esta equação: 

C — 1 + cx 
r- - 1 


Note que x-^Oé equivalente a t — > I . Isso nos permite converter o limite dado em 
outro envolvendo a variável t: 


\ + cx — 1 


1 

fim — t tt” 

' >! (C - 1 )/c 

c(r — í) 

hm — r 

/•"»! t 3 - 1 


A mudança de variável nos permitiu substituir um limite relativamente complicado por 
um mais simples de um tipo já visto antes. Fatorando o denominador como uma 
diferença de cubos, obtemos 


,. c{t~ 1 ) 
hm — ^ 


c(t - 1) 

l)(r + í + 1) 


r + t + 1 


As questões a seguir se destinam a testar e desafiar suas habilidades em 
problema-solução. Algumas delas requerem uma considerável quantidade de tempo para 
serem resolvidas; assim sendo, não se desencoraje se não puder resolvê-las de imediato. 
Se você tiver dificuldades, pode ser proveitoso rever a discussão sobre os princípios do 
problema-solução da página 78. 





Problemas 

y X — 1 

1. Calcule Um— 7= 

*-*l yX ~ 1 ___ 

■y/ax + b — 2 

2. Encontre números ac b tais que Hm ” 1 - 

Jf-+0 x 


3. Calcule Hm 


I I - I 2x 


\ Q 

\ 


: IGURA PARA O PROBLEMA 4 



FIGURA PARA 0 PROBLEMA 10 


4. A figura mostra um ponto P sobre a parábola y = f eum ponto Q onde a perpendicular bis- 
secta OP e intercepta o eixo y. À medida que P tende à origem ao longo da parábola, o que 
acontece com Q2 Ele tem uma posição-Iimite? Se sim, encontre-a. 

5. Se Ixl denota a função maior inteiro, encontre lim , . .=> x/|xjj. 

6. Esboce a região do plano definida em cada uma das seguintes equações. 

(a) H 2 + 5 >'! 2 “ I (b) W 2 - I>-1 2 = 3 (c) lx + yj 2 - 1 (d) M 4- lyl - 1 

7. Encontre todos os valores de a para os quais / é contínua em U: 

. . [ x + 1 se x *£ a 

/(*) = 2 

(x se x > a 

8 . Um ponto fixo de uma função/ é um número c em seu domínio tal que/(c) = c. (A função 
não movimenta c ; ele fica fixo.) 

(a) Esboce o gráfico de uma função contínua com o domínio [0, 1] cuja imagem também está 
em [0, 1]. Localize um ponto fixo de /. 

(b) Teme fazer o gráfico de uma função contínua com o domínio [0, 1] e a imagem em [0, 1] 
que não tenha um ponto fixo. Qual é o obstáculo? 

(c) Use o Teorema do Valor Intermediário para provar que toda função contínua com o 
domínio [0, 1] e a imagem em [0, 1] deve ter um ponto fixo. 

9. Se lint ,..,*[/(*) + 9(x)\ “ 2 e [/(*) ~ g(x)) — 1, encontre \ím x , >a f(x)g(x). 

10. (a) A figura mostra um triângulo tsósceles ABC com AB = AC. A bissetriz do ângulo B 

intercepta o lado AC em um ponto P. Suponha que a base BC permaneça fixa, mas a altura 
| AM | do triângulo tende a 0, de forma que A tenda ao ponto médio M de BC. O que 
acontece com o ponto P durante esse processo? Ele tem uma posição-Iimite? Se sim, 
encontre-a. 

(b) Tente esboçar a trajetória descrita por P durante esse processo. Então encontre a equação 
dessa curva e use-a para esboçar a curva. 

11. (a) Se começarmos da latitude 0 o e procedermos na direção oeste, poderemos denotar T(x) 

como a temperatura de um ponto x em um dado instante. Supondo que T é uma função 
contínua de .r, mostre que a todo instante fixo existe pelo menos dois pontos 
diametralmente opostos sobre o Equador com exatamente a mesma temperatura. 

(b) O resultado da parte (a) é verdadeiro para os pontos sobre qualquer círculo sobre a 
superfície da Terra? 

(c) O resultado da parte (a) vale para a pressão barométrica e para a altura acima do nível do 


12. Se /for uma função diferenciável e g{x) = xf(x), use a definição de derivada para mostrar que 
g’(x) — xf'{x) + /( x). 

13. Suponha que / é uma função que satisfaz a equação f(x + y) — /(*) + /(>’) + x 2 y + xy" 
para todos os números reais x e y. Suponha também que 

f(x) , 


(a) Encontre /(0). (b) Encontre /'(0). (c) Encontre /'(x). 

14. Suponha que/ é uma função com a propriedade \f(x) | < x 2 para todo x. Mostre que /(0) = 0. 
Então mostre que /'(0) — 0. 


1 










FIGURA 1 

O gráfico de f(x) c é a reta y = c*; dessa 
forma, f'{x) — 0 


Vimos que as derivadas são interpretadas como as inclinações e as taxas de variação. 

E vimos como estimar as derivadas de funções dadas pelas tabelas de valores- Aprendemos 
a fazer os gráficos de derivadas de funções definidas graficamente. Usamos a definição de 
uma derivada para calcular as derivadas de funções definidas pelas fórmulas Mas seria 
tedioso se sempre usássemos a definição; logo. neste capítulo desenvolveremos regras 
para encontrar as derivadas sem ter de usar diretamente a definição. Essas reeras de 
diferenciação capacitam-nos a calcular com facilidade relativa as derivadas de polinómios, 
funções racionais, funções algébricas, funções exponenciais e logarítmicas e funções 
trigonométricas e inversas trigonométricas. Então, usaremos essas regras para resolver 
os problemas envolvendo as taxas de variação e aproximação de funções. 


Der ivadas de F unções Polinomiais e Exp onenciais 

Nesta seção vamos aprender como diferenciar as funções constantes, funções potências 
funções polinomiais e exponenciais. 

Vamos iniciar com a função mais simples, a função constante, f(x)~ c. O gráfico dess; 
função é a reta horizontal y — c, cuja inclinação é 0; logo, devemos ter f'(x) — 0 (veja i 
Figura 1). Uma prova formal da definição de uma derivada é fácil: 

ru /Ú + h) ~ f(x) c-c 

f m — hm — lun 

' ■ h— o h h 

— lim 0 = 0 

;i->o 

A seguir vamos escrever essas regras na notação de Leibniz. 


i Derivadas de uma Função Constante — (c) = 0 

dx 



Função Potência 

Vamos olhar a função f(x) — x'\ onde n é um inteiro positivo. Se n = 1 , o gráfico de f(x) = ; 
é a reta y = x, cuja inclinação é 1 (veja a Figura 2). Logo 



(Você também pode verificar a Equação 1 a partir da definição de uma derivada.) Temo 
já investigado os casos onde n — 2 e n = 3. De fato, na Seção 2.9 (Exercícios 19 e 20 
determinamos que 


FIGURA 2 

O gráfico de f(x) = x é a reta y — x; 

assim. fXx) — ! [_2j 


“ D 2 ) = 2x {x 3 ) = 3x 2 

dx dx 


is: 



1S4 


lÁlCUiÕ 


Eúlírjis liiemmn 


□ O Teorema Binomial é dado ao final 
do livro. 


Assim 


Para n = 4 achamos a derivada de f(x) — x 4 a seguir: 

f(x + h) ~f(x) Çx + /?) 4 - A ' 4 

/ '(a) = hm ~ ~ hm 

h~M) h k-~ o h 

x ” 4- 4x'/i + 6 a 2 h + 4 a/z 3 + h 4 — x 4 

— hm — — — 

/!->() /? 


= lim 

A— *0 


4 a h + 6x z h z + 4 xh 3 + /T 


h 


— lim (4a 3 + 6a 2 h d- 4 a/z 2 + /z 3 ) = 4x 3 

ft--> o 


dx 


(a 4 ) == 4x ? 


Comparando as equações em (1), (2) e (3), vimos um modelo emergente. Parece ser urna 
suposição razoável achar que, quando n é um número inteiro, (dfdx){x r ) — nx n ~ ! . Essa su- 
posição pode ser provada de duas maneiras, e a segunda prova usa o Teorema Binomial. 


Pegra da Potência Se n for um inteiro positivo, então 

d 


dx 


(a") = nx* 


Primeira Prova A fórmula 

x n ~~ a n ~ (x — £z)(x rt_1 T x n ~ 2 a + • ■ • + xa n ~ 2 + rz" -1 ) 

pode ser simplesmente verificada multiplicando-se o lado direito (ou somando-se o 
segundo fator como uma série geométrica). Se /(a) — a”, podemos usar a Equação 2.8.3 
para f'(a ) e a equação anterior para escrever 


m - ii- AdxiM _ lim £iA£; 


x-*<* X — ü x-*a X — a 

lim (a"" 1 + x n ~ 2 a + - ■ ■ f ia”' 2 + a n ~ l ) 


Sequnda Pzova 


a nX + a n~Z a + 

na n ~ l 


+ aa n ~ 2 + a n ~ l 


su \ i- f( x + h ) ~ /(*) U + hf - x n 

A--»o h o h 

Para achar a derivada de a 4 desenvolvemos (a + hf. Aqui precisamos desenvolver (a + h)\ 
e usamos o Teorema Binomial para fazer isto: 


f'(x) — lim 

*~-ü 


a” + nx”' l h + —a *’ 2 h 2 + 


+ nxh n 1 + h’ 



James Stewart 


185 



CAPITULO 3 m 


.... _ n(n - 1 ) __ 7 , 

nx' h t - x r - ~h + • * * 4- nxh n ~ l + h n 
= lim — — 

h ■■■■■ > 0 h 


— lim 


porque todo termo, exceto o primeiro, tem h como um fator, consequentemente 
tende a 0. g 

Ilustraremos a Regra da Potência usando várias notações no Exemplo 1 . 

EXEMPLO 1 

(a) Se f(x) — x 6 , então f'{x) = 6x 5 . (b) Se y — ,t IOÜO , então y' — \ .OOOx 999 . 

(c) Se v = t 4 , então “ = 4/ 3 . (d) — (r 3 ) — 3r 2 

dt dr Q 

O que dizer sobre as funções potências com os expoentes negativos? No Exercício 53 
solicitamos que você verifique, da definição de uma derivada, que 



Podemos reescrever essa equação como 

4 C*" 1 ) = (-!)*-’ 

dx 

logo, a Regra da Potência é verdadeira quando n — -1 . De fato, mostraremos na próxima 
seção [Exercício 44(c)] que isso é assegurado para todo inteiro negativo. 

E se o expoente for uma fração? No Exemplo 3 da Seção 2.7 encontramos, na verdade 
que 


n(n - 1 ) 


x n ~ 2 h + * * * + nxh n 2 + h n " 


d r 1 
dx 2yx 

Podemos reescrever essa equação como 

4 (*' n ) - b" /2 

dx 

Isso mostra que a Regra da Potência é verdadeira quando n — \. Na realidade, 
mostraremos na Seção 3.8 que ela é verdadeira para todo número real n. 


 Regra da Potência (Versão Geral) Se n for um número real qualquer, então 


d_ 

dx 


(x n ) = nx 


irr.y 



MI 


/□ A Figura 3 ilustra a função y do 
Exemplo 2(b) e sua derivada /. Note 
que y não é diferenciável em 0 fy' não 
está definida lá). Observe que y’ é 
positiva quando y cresce, e é negativa 


quando y decresce 

l 



A 

''y/' V- 

/ 




FIGURA 3 
v = íx' ; 


FIGURA 4 


EXEMPLO 2 . Diferencie: 
1 


(a) f(x) 


(b) v 


SOLUÇÃO Em cada caso reescrevemos a função como urna potência de x. 
(a) Uma vez que f(x) = :v % usamos a Regra da Potência com n = -2: 


d 


f'(x) - t U" 3 ) 

dx 


2x 




(b) 


dv 


d i . / — d 


./> _ *v x ‘r ã (x > 


xW» 1 - 


EXEMPLO 3 Ache uma equação da reta tangente à curva v = xy/x no ponto 0,1 ). 
Ilustre fazendo o gráfico da curva e sua reta tangente. 


SOLUÇÃO A derivada de f(x) — xy/x — xx ! ' 

f'(x) = 


x ' 1 * e 


: \ v 


Logo a inclinação da reta tangente em (1 , 1) é /'( j ) — Portanto, uma equação da reta 
tangente é 


ou 


V = kx — 


v I |í \ - 1 ) 

Vamos fazer o gráfico da curva e sua reta tangente na Figura 4. 


V — X xx /. 


-I 


/ 3 1 

/ y j x - z 


í Novas Derivadas a partir das Antigas 


Quando as novas funções são formadas a partir das antigas funções por adição, subtração, 
multiplicação ou divisão, suas derivadas podem ser calculadas em termos das derivadas 
das antigas funções. Em particular, a fórmula a seguir nos diz que a derivada de uma 
constante vezes uma função é a constante vezes a derivada da função. 


| Ã Regra do fiflóltíplo Constante Se c for uma constante e / uma função diferenciável, 
| então 


d 

dx U 


dx 




" 





Jsroes Stewart CAPÍTULO 3 REGRAS DE D 


IS? 


do Múltiplo Constante 


v = 2/U) 
v = : /U) 


Seja g(x) = cfix). Então 


g(x + ti) - g(x) c f(x + /?) - c/(.r) 

Q tv) = hm - - ; ; - = !im — — — 

h *-o h 


= lim c 

ft-*0 


/( \ + //) - / (a : 
h 


/(.r + /;) - /(x) 

= c lim 

h o h 

— cfix) 

A multiplicação por c ~ 2 estica o grá- 
fico verticalmente por um fator de 2. 

Todas as subidas têm de ser dobradas. EXEMPLO 4 

mas a corrida continua a mesma. Logo j ^ 

as inclinações ficam dobradas também. (a) — (3x 4 ) =■■ 3 — { x 4 ) = 3(4x 3 ) — 12a 3 

dx dx 

cl , d r , . , . . d , , 

(b) i-x) = — - [(- l)x] - (- 1) " 7 “ (x) = - 
í/x í/v dx 


1 ( 1 ) 


A regra a seguir nos diz que a derivada de uma soma de funções é uma soma das 
derivadas de suas funções . 


□ Usando a notação linha, podemos 
escrever a Regra da Soma como 

(/ + gY = /' + g’ 


j  Regre da Soma Se / e g forem ambas diferenciáveis, então 


f [/(.v) + 9 W] = -f /« + -f 

í/x dx dx 


Prova Seja F(x) — f(x) + g(x). Então 


F(x + h) ~ F(x) 

r (x) = hm 

*—>o h 

[f(x + ti) + g(x + ti)] - [/{» + g(x)] 
= lim 

n ■•••■* 0 h 


lim 

h-U) 


f(x + ti) — f(x) g(x + ti) — g(x) 


h 


h 


f(x + ti) - f(x) g{x + h) — g(x) 

hm b hm 

h~* o h *0 h 


f(x) + g'(x) 


A Regra da Soma pode ser estendida para a soma de qualquer número de funções. Poi 
exemplo, usando esse teorema duas vezes, obtemos 

(7+ g x ti)' = [(/ + g) + ti]' = (/+ gf + /*'=/' + g’ + ti 

Escrevendo f - g como / + (-l)g e aplicando a Regra da Soma e a Regra do Múltipk 
Constante, obtemos a seguinte fórmula. 




As três regras anteriores podem ser combinadas com a Regra da Potência para diferen- 
ciar qualquer polinómio, como demonstram os exemplos a seguir. 

EXEMPLO 5 

d 


dx 


, d , . d , 

6 W + {5) 
dx dx 


(x x + 1 2x 5 — 4x 4 + lOx' — 6x + 5)" 

= í-* s ) + 12 (x 5 ) - 4 (x 4 ) + 10 (x 3 ) 

dx dx dx dx 

- 8x 7 + 12(5x 4 ) - 4(4x 3 ) + 10(3x 2 ) — 6(1) + 0 

— 8x 7 + 60x 4 — 16x 3 + 30x 2 — 6 


EXEMPLO 8 g Ache os pontos sobre a curva y = x 4 - 6x 2 -f 4 onde a reta tangente é 
horizontal. 

SOLUÇÃO As tangentes horizontais ocorrem quando a derivada for zero. Temos 


= A- ( X *) 

dx dx 


6~~~{x r ) + (4) 

dx dx 


— 4^-’ — 12x + 0 = 4x{x 2 — 3) 


Assim, dy/dx — 0 se x = 0 ou x 2 — 3 = 0, isto é, x = ±-y/3. Logo a curva dada tem 
tangentes horizontais quando x = 0, yp> e - yfò. Os pontos correspondentes são (0, 4), 
(yl —5) e (— 1/3, —5) (veja a Figura 5). 


FIGURA 5 

A curva y ~ x“ ~ 6.r + 4e 
suas tangentes horizontais 


(0.4) 

'X " 


\ / 

(-V3, -5) I - 5) 

Funções Exponenciais 

Vamos tentar computar a derivada da função exponencial f(x) = a* usando a definição de 
uma derivada: 

\ f(x + h)-f(x) a** h - a x 

f (x) = hm j im 

a->o n h-H) h 



James Stewarí 


189 


CAPÍTULOS Rí 


\S Dfc DíFERENCiAÇÃO 


a x a n — a* a x <a h — 1) 

= i!m lim l) 

h--> 0 


lim 

h -o 


h h -■■■■> o f t 

O fator a não depende de h, logo podemos colocá-lo adiante do limite: 

. Q ^ — 1 

f (x) = a x lim 

*-■**> h 

Note que o limite é o valor da derivada de / em 0, isto é. 

a h - 1 

hm — PíO) 

«->•0 h 

f órtanto, mostramos que se a função exponencial f(x) — a ' for diferenciável em 0. então 
é diferenciável em toda a parte e 


n 

2' 1 - ,i ! y : - 1 

h I h 

q i 


0.0 i 

0.6956 1 ,1047 

0 /X- ! 

n ao :j, 1 i qqo"í 

IRUOU, 

0.6932 - .0087 


f’(x) = f'( 0) rr 

Essa equação diz que a taxa de variação de qualquer função exponencial é proporcional 
à sua função. (A inclinação é proporcional à altura.) 

Uma evidência numérica para a existência de /'(O) é dada na tabela para o caso a - 2 
e « = 3. (Os valores são enunciados corretos até a quarta casa decimal. Para o caso a = 2. 
veja o Exemplo 3 da Seção 2.8.) Mostra-se que o limite existe e 


2 h — 1 

para a = 2, / '(()) — lim — — — 

A~* 0 h 


para a = 3, /'(O) = lim 


3 h 


h-a> h 


0,69 


1,10 


No Exercício 1 veremos que 
e situa-se entre 2,7 e 2,8. Na 
Seção 5.6, a definição dada 
de e nos possibiíita mostrar 
que, correto até a quinta casa 
decimai, 

e - 2,71828 


De fato, como mostraremos na Seção 5.6, pode ser provado que o limite existe e. correto 
até a sexta casa decimal, os valores são 



** 0,693147 
0 


Assim, da Equaçao 4 temos 



* 1 .098612 



(0,69)2' 



(1,10)3* 


De todas as possíveis escolhas para a base a do Exemplo 4, a fórmula de diferenciação 
mais simples ocorre quando /'(0) = 1 . Em consideração da estimativa de /'(0) para 
a — 2 e a — 3, parece ser razoável que haja um número a entre 2 e 3 para o qual /'( 0) — 
1 . É tradicional denotar esse valor pela letra e. (De fato, foi assim que introduzimos e na 
Seção 1 .5.) Dessa forma, temos a seguinte definição. 



- 1 

e e um numero tal que lim — — — — 1 
h->{) h 





Geometricamente, isso significa que de iodas as possíveis funções exponenciais v — a ' . a 
função f(x) e l é aqueia cuja reta tangente em (0, 1) tem uma inclinação /'(()) que é 
exatamente 1 (veja as Figuras 6 e 7). 




Se pusermos conseqüentemente, /'(()) “ 1 na Equação 4, teremos a seguinte 

importante fórmula de diferenciação. 



FIGURA 8 


v * 

I 




Assim, a função exponencial f(x) = e’ tem como propriedade o fato de que sua derivada 
é ela mesma. O significado geométrico desse fato é que a inclinação da reta tangente à 
curva y — e' é igual à coordenada y do ponto (veja a Figura 7). 

EXEMPLO 7 □ Se f(x) = e* - x, ache /'. Compare o gráfico de / e 
SOLUÇÃO Usando a Regra da Diferença, temos 

, d , . d d 

./ (a) = — ~ ie x - x) = {e x ) ( v) == e x ~ 1 

dx dx dx 

A Figura 8 mostra o gráfico da função f e sua derivada /'. Note que f tem uma tangente 
horizontal quando x — 0, o que corresponde ao fato de que /'(O) = 0. Note tam- 
bém que, para x > 0. f(x) é positivo e / é crescente. Quando x < 0, f(x) é negativo e 
f é decrescente. p 

EXEMPLO S n Em que ponto da curva y = e x a reta tangente é paralela à reta y — 2x1 

SOLUÇÃO Uma vez que y ~ e \ temos v' = e*. Seja a a coordenada do ponto ern 
questão. Então a inclinação da reta tangente naquele ponto é e a . Essa reta tangente será 
paralela à reta y — 2x se ela tiver a mesma inclinação, isto é, 2. Igualando as inclinações, 
obtemos 


e a ~ 2 a = ln 2 


FIGURA 9 


Portanto, o ponto requerido é (a, e c ) = (ln 2, 2) (veja a Figura 9). 



James Sfewsrt 


CAPÍTULO 3 REGRAS DE 


131 



Exercícios 




1 . (a) Como o número e está definido? 

(b) Use uma calculadora para estimar os valores dos limites 


lim 

(=■■■■» o 


2.7* 


1 


lim 

tr—O 


2 . 8 ' 


1 


corretos até a segunda casa decimal. O que você pode con- 
cluir sobre o valor de e? 

2 . (a) Esboce, à mão, o gráfico da função f(x) - e\ prestando 
particular atenção em como o gráfico cruza o eixo y. Que 
fato lhe permite fazer isso? 

(b) Que tipos de funções são f(x) = e' e g(x) - x‘‘? 

Compare as fórmulas de diferenciação para/e g. 

(c) Quais das funções da parte (b) crescem mais rapidamente 
quando x é muito grande? 


33-36 Ache f(x). Compare os gráficos de / e /' e use-os para 
explicar por que sua resposta é razoável. 

33 . /( x) - e x - 5x 34 . f(x) ~-= 3x* - 20 j 3 + 50 x 


35 . f(x) -- 3x !? - 5.x 5 -4- 3 


36 . f(x) =x 


"5^3 

2 Diferencie a função. 


41. 

3 . 

f(x) - 186,5 

4. Ax) = V 30 

42. 

5 . 

/(*)- 5.x -1 

6. F(x) - -4/° 





mm 43. 

7 . 

f(x) .C + 3.x - 4 

8. g(x) = 5.x 8 - 2x’ 4 6 


9 . 

m -- i(/ +8 ) 

10. /(/)= i/-3/ + í 


n. 

y ~ .y ‘ " 

F 5 

ii 

U\ 

4. 

Uí 


13. 

V(r) — | tt r 5 

14. R(í) = 5 r 3 ' 5 


15. 

Y(n - 6r 9 

16. RÍX) - M- 
x’ 

ia 44 . 

17. 

G(x) — sjx - 2e x 

L R 
Rz 

lí 

cd 


19. 

F(x) - { 

20. fit) - Ví— l 




V/ 


21. 

, 1 

g{x) - x" 4 -~ 

22. y— \fx(x~ l) 



x‘ 



23. 

X 2 4 4x 4 3 

?a v= x 2 - 2\fx 



Vx 

X 

45 . 

25. 

y — 4tr 2 

26. g(u) = V2« 4 V3m 





46, 

27. 

v = ax 2 4 bx 4 c 

tI O c 
28. v = ae 4 — 4 — 




V V 


29. 

v - t 2 1 

30. u • V? 4 2\[? 

47. 


Vc 






11 48. 

31. 

2 “ 17 + Fo y 

32. y - e 5+1 4 1 



Estime o valor de f‘(a) dando um zoom no gráfico de j 
Depois derive f e determine o valor exato de/ (a) e compare com ; 
"sua estimativa. 

37. f(x) = 3x" x\ a = 1 38 . /(.*) = 1/Vx, a = 4 

Ache uma equação da reta tangente à curva no ponto dado 
39. v — x A + 2e\ (0,2) 40. y — (l + 2.x)', (1.9) 

41-42 Ache uma equação da reta tangente à curva no ponto dado 
Ilustre fazendo o gráfico da curva e a reta tangente sobre a mesma tela 

= 3x 2 -x\ ( 1 . 2 ) 


(a) Use uma calculadora gráfica ou computador para fazer o 
gráfico da (unção f(x) = ;r 4 — 3.x ’ — 6.x • 4 7.x + 30 ein uma 
janela retangular [-3, 5] por [—10, 50]. 

(b) Usando o gráfico da parte (a) para estimar as inclinações, 
faça um esboço rudimentar, à mão. do gráfico de /'(veja o 
Exemplo 1 da Seção 2.9). 

(c) Calcule / (x) e use essa expressão com um recurso gráfico, 
para fazer o gráfico de/'. Compare com seu esboço da 
parte (b). 

(a) Use uma calculadora gráfica ou computador para fazer o 
gráfico da função g(x) = e x - 3.x 2 na janela retangular 
[-1, 4 ] por [-8. 8 ]. 

(b) Usando o gráfico da parte (a) para estimar a inclinação, 
faça um esboço rudimentar, à mão. do gráfico de g’ (veja o 
Exemplo 1 da Seção 2.9). 

(c) Calcule g'(x) e use essa expressão, com urn recurso gráfico, 
para fazer o gráfico de g' . Compare com seu esboço da 
parte (b). 

Ache os pontos sobre a curva y - 2x } + 3.x 2 12.x 4 1 onde a 

tangente é horizontal. 

Quais são os valores de x que fazem que o gráfico 
f(x) - x' -f 3x’ +x + 3 tenha tangentes horizontais? 

Mostre que a curva y — 6 .x 3 + 5.x - 3 não tem reta tangente 
com a inclinação 4. 

Em quais pontos sobre a curva y - 1 + 2e x - 3.x está a reta 
tangente paralela à reta 3x - y = 5? Ilustre fazendo o gráfico 
da curva e ambas as retas. 

49 . Trace um diagrama para mostrar que há duas retas tangentes à 
parábola y — .x 2 que passa por meio do ponto (0, -4). Ache as 
coordenadas dos pontos onde essas retas tangentes intersectam 
a parábola. 





passam pelo ponto (2. ---3) que sãc 
+ x. 

curva C em um ponto P é, pela definição, a reta 
que passa por P e é perpendicular à reta tangente a C em P. Ache 
uma equação da reta normal a parábola v = 1 — x~ no ponto 


(2, -3). Esboce a parábola e sua reta normal. 


52. Onde a reta normal à parábola y = x - x 2 no ponto ( 1 , 0) intercepta 
a parábola uma segunda vez? Ilustre com um esboço. 


5?. (a) Para quais valores de x a função f(.v) «= | .r ■■■■- 9 j é diferen- 
ciávei? Ache uma fórmula para f . 

(b) Esboce os gráficos de / e 

58. Onde a função h(x) — j x - 1 j + | x + 2 | é diferenciável? Dê urna 
fórmula para ti e esboce os gráficos de h e ti . 

59. Para quais valores de a e b a reta 2c + y ~ b é tangente à 
parábola y — ar quando x ~ 2? 

69. Seja 


53. Use a definição de derivada para mostrar que se f(x) = i/x, 
então f’(x) = -l/x 2 . (Isso prova a Regra da Potência para o 
caso onde n = -1 .) 

54. Ache a parábola com a equação y = ax- + bx cuja reta tangente em 
(1,1) tenha a equação y = 3:x - 2. 

55. Seja 


mx + b se > 2 
Ache os valores de m e b que façam / diferenciável em toda a parte. 
61. Ache uma função cúbica 

y — ax : + hx 2 + cx + d 

cujo gráfico tem tangentes horizontais nos pontos (—2, 6) e (2, 0). 


I 

! 


f(x) — 


\ 2 r 1 

[x" — 2_x 4- 2 


se x m: i 
se x > 1 


fé diferenciável em 1? Esboce os gráficos de / e f . 

56. Em quais números a seguinte função g é diferenciável? 


g(x) 


{ — 1 - 2x se x < - 1 
X 2 se 1 1 

x se x > 1 


Dê uma fórmula para g ! e esboce os gráficos de g e g . 


62. Uma reta tangente à hipérbole xv = c é traçada em um ponto P. 

(a) Mostre que o ponto médio do segmento de reta corta a 
partir dessa reta tangente pelo eixo coordenado é P. 

(b) Mostre que o triângulo formado pela reta tangente e os 
eixos coordenados sempre têm a mesma área, não importa 
onde P esteja localizado sobre a hipérbole. 

T f 000 -I 

63. Calcule lim = — . 

*«i -x-1 

64. Trace um diagrama ilustrando duas retas perpendiculares que 

se interceptam sobre o eixoy, ambas as tangentes à parábola 

v — x 2 . Onde essas retas se interceptam? 


3.2 


As Regras do Produto e do Quociente 


As fórmulas desta seçao nos permitem diferenciar novas funções formadas a partir das 
antigas funções por multiplicação ou divisão. 


u Av 


UV 

VA u 


u Au 


L I A Regra do Produto 

8Sí P° r analogia com as Regras da Soma e da Diferença, alguém poderia tentar conjecturar, 
como Leibniz o fez três séculos atrás, que a derivada de um produto é o produto da derivada. 
Podemos ver, contudo, que a conjectura descrita está errada examinando um exemplo parti- 
cular. Seja f(x) — .ve g(x) = .v 2 . Então a Regra do Produto fornece f’(x) = 1 e g’(x) — 2x. 
Mas (fg)(x) — x\ assim (fg)'(x) = xx 2 . Dessa forma, ifgiti- fg' . A fórmula correta foi 
descoberta por Leibniz (logo depois de tentar a fórmula falsa) e é chamada Regra do Produto. 

Depois de formular a Regra do Produto, vamos ver como poderíamos descobri-lo. No 
caso onde u ~ f(x) e v = g(x) são funções positivas, podemos interpretar o produto uv 
como uma área de um retângulo (veja a Figura 1), Se x variar uma quantidade A.v. temos 
a variação correspondente em u e v como se segue 

Am —f(x + A.v) — f(x) Av = g(x + Ax) — g(x) 


fut 

de 

qu 

ne 


-3 


FIGURA 1 

Geometria da Regra do Produto 


e um novo valor do produto, ( u + An) rí + Ay), pode ser interpretado como a área do 
maior triângulo da Figura 1 (com Au e Ay positivos). 


FIGt 






Lembre-se de que na notação de 
Leibniz a definição de uma derivada 
pode ser escrita como 


- James Stewarf CAPÍTULO 3 REGRAS OE DIFERENCIAÇÃO 1S3 

A variação na área do retângula é • 

A{uv) ! !! ^ Au)(v "t An) — uv ■-= u Av -f v Au + lS.ii Av 
— soma das três áreas sombreadas 


Se dividirmos por Ax, obteremos 


Av Au 

li — F V 

Ax Ax 


Se fizermos Ax — » 0 , obteremos a derivada de uv: 



A(uv) 

- üm 

/ An Au 

Hm 

— — — 

1 14 “T — + v — + 

á.v 0 

Ax 

àjf *0 

\ Ax Ax 


Av 


Au l . \ 

u hm — F 

v lim 

— F 1 lim An 


•0 Ax 

A x --•> 0 

Ax \ A> * 0 J 

dv 

du 

+ 0 * 

dv 

u — 

+ v 

- — 

dx 

dx 

dx 

dv 

du 



u — 




dx 

dx 




Na notação "tinha”: 
(fgY ~fg’ + aí 


(Note que Au — » 0 quando Ax 0, uma vez que f é diferenciável e, portanto, contínua.) 

Embora comecemos assumindo (para a interpretação geométrica) que todas as quanti- 
dades são positivas, vemos que a Equação 1 é sempre verdadeira. (A álgebra é válida se u, 
v, Am e Av forem positivas ou negativas.) Assim demonstramos a Equação 2 , conhecida 
como a Regra do Produto, para todas as funções diferenciáveis de u e v. 


A Regra do Produto Se / e g forem diferenciáveis, então 

[/(v)rf(x)] - f(x) ~ 0(x)] + g(x) [/(x)] 


:: A Figura 2 iiustra os gráficos da 
função / do Exemplo 1 e suas 
derivadas /'. Note que fíx) é positiva 
quando f está crescendo e 
negativa quando / está decrescendo. 



f / 
/ / 
/ / 


i / / 

^ / 

f/ 

/ 


/ .... T . . 

I ’ 



Em outras palavras, a Regra do Produto diz que a derivada de um produto de duas 
funções é a primeira função vezes a derivada da segunda função mais a segunda função 
vezes a derivada da primeira função . 


EXEMPLO 1 Se f(x) — xe\ encontre f'(x). 
SOLUÇÃO Pela Regra do Produto, temos 


d / d , s d , , 

-7- Cxe\) - x—(e x ) + (x) 

r/x dx dx 

xe x + rr x • 1 - (x + \)e x 


FIGURA 2 


EXEMPLO 2 ::: Diferencie a função f(t) — ft (1 — /). 
SOLUÇÃO 1 Usando a Regra do Produto, temos 




Editors Tfjsmson 



- d , , s d 

í u) ~ 'v ? — i i - n + n - n — 
dl dt 

— y/t f-~ 1) + (1 - /) • 


1 "f 


t 1-3/ 


SOLUÇÃO 2 Se primeiro usarmos as leis dos expoentes para reescrever /{/}, então podere- 
mos prosseguir diretamente sem usar a Regra do Produto. 

/(/) — y/t - tyft = t l/2 - t Vi 

fV) - 1 r 1/2 - õV /2 


que é igual à resposta dada na Solução I . 


O Exemplo 2 mostra que algumas vezes é mais fácil simplificar um produto de funções 
do que usar a Regra do Produto. No Exemplo 1 , entretanto, a Regra do Produto é o único 
método possível . 


EXEMPLO 3 Se f(x) — y/xg(x), onde g( 4) = 2 e g'(4) — 3. encontre /'( 4). 
SOLUÇÃO Aplicando a Regra do Produto, obtemos 

/'(-r) = ~~~~ [yfx <?(*)] = y/x ~ [$(*)] + gix) ~ [y/x ] 
dx dx dx 

= V-v g r (x) + g(x) • |.v 1/2 
2vr 


Consequentemente 


/'(4) - v -i </'(4) + -: /(4! - 2 - 3 + - 2 - - 65 


c4 


2 • 2 


EXEMPLO 4 Uma companhia telefônica quer estimar o número de novas linhas 
residenciais que deverá instalar em um dado mês. No inicio de janeiro tinha 100.000 
assinantes, cada um com 1 .2 linha, em média. A companhia estimou o crescimento 
das assinaturas a uma taxa mensal de 1 .000. Pesquisando os assinantes existentes, 
descobriu que cada um pretendia instalar uma média de 0,01 linha telefônica nova até o 
final de daquele mês. Estime o número de novas linhas que a companhia deverá instalar 
até o final de janeiro, calculando a taxa de crescimento das linhas no começo do mês. 

SOLUÇÃO Seja s(t) o número de assinantes e n(t) o número de linhas telefônicas por 
assinante em um instante /, onde t é medido em meses e? = 0 corresponde ao início de 
janeiro. Então o número total de linhas é dado por 

L(t) — s(t)n(t) 

e precisamos achar Z/(0). Segundo a Regra do Produto, temos 

L'{t) — — - [j(í)«(r)] — si?) — n(t) + n(t) — - s(t) 
dt' dt dt 






James Síewsrt CAPÍTULO 3 REGRAS DE DiEERENCSAÇÃO 195 

Assim, 5(0) ~ 100.000 e «(().) = 1 . 2 . As estimativas da companhia com referência 3 taxas 
de crescimento são ,v'(0) ~ 1 .000 e «'( 0 ) =s 0.01 - Consequentemente, 

£/( 0 ) = 5(0 }«'(()) + /r( 0 ).v'( 0 ) 

~ 100.000 • 0,01 + 1 .2 • 1 .000 = 2.200 

A companhia precisou instalar aproximadamente 2.200 novas linhas telefônicas durante 
janeiro. 

Note que os dois termos que aparecem da Regra do Produto vêm de fontes diferentes - 
os antigos e novos assinantes. Uma contribuição para L’ é um número de assinantes exis- 
tentes ( 100 . 000 ) vezes a taxa na qual eles ordenam novas linhas (em torno de 0,01 por assi- 
nante mensalmente). Uma segunda contribuição é o número médio de linhas por assinante 
( 1 -2 no início do mês) vezes a taxa de crescimento dos assinantes ( 1 .000 mensalmentç). 



A Regra do Quociente 


Vamos determinar uma íórmuía para diferenciar o quociente de duas funções diferen- 
ciáveis u — j (.v) e» = í/t r) do mesmo modo que obtivemos a Regra do Produto. Se .y. a e 
v têm variações Av. Au e At’, respectivamente, então a correspondente variação no quo- 
ciente u/v será 


í ti \ u + Au u _ (m + Au ) V - u ( V + A V) VAii ~ u&V 
[ vj V + A V V v(v + At) V ( t + AV ) 

Logo, 


d í u 
dx \ V 


A (ufv) 
hm 

ií-o Ar 


V 


Au _ _ AV 


lim - 

A*~0 


At At 
t(t + At) 


Como g é diferenciável e, portanto, contínua, At — * 0 quando At > 0 . Assim, usando as 
Leis dos Limites, temos 


Au AV du í/t 

> . , tdim ii hm ~ v- - u 

a , u \ - At-o Av ^--0 Ax dx dx 


dx \ V J V- Um (V’+ At j 


Vr 


A Regra do Quociente Se / e g forem diferenciáveis, então 
f(x) 


d 

dx 


9«7[/W]-/w4lf 

dx dx 


lg(x)Y 


Em palavras, a Regra do Quociente diz que a derivada de um quociente é o denomi- 
nador vezes a derivada do numerador menos o numerador vezes a derivada do denomi- 
nador, todos divididos pelo quadrado do denominador. 

A Regra do Quociente e as outras fórmulas de diferenciação capacitam-nos a computar 
a derivada de qualquer função racional, como ilustrado no exemplo a seguir. 

x 2 + x ~ 2 

EXEMPLO 5 n Seja v = - 

x + 6 


Então 





NMteri5M*<*gr _ _ , . 

^ |jppy Eértora T&oiai 


v ■ - r - ■■■•:■; $. •••.■••' 

i^ P^ÉÉÉ^ :<ísaf íurni- recurso gráfico 
para provar que a resposta para o 
Exemotò 5 é plausivei A Figura 3 ilustra 
os gráficos da função do Exemplo 5 e 
suas derivadas. Note que quando y 
cresce rapidamente {próximo de 2), y' 
é muito grande. E quando y cresce 
vagarosamente, y' está próximo de 0. 


FIGURA 3 




íx 3 + 6) (x 2 + ;v - 2) - {x 2 + x - 2) ----- ( r + 6) 

dx dx 

} (x 3 + 6) 2 

- (r ' + 6)(2 y + ]) - (x 2 + x - 2)(3x 2 ) 
íx 3 + 6 f 

= (2x 4 + x 3 + 12x + 6) - (3x 4 + 3x 3 - 6x 2 ) 

(x 3 + 6) 2 

— x 4 — 2x 3 + 6x 2 + 12x + 6 

EXEMPLO 6 Encontre uma equação da reta tangente à curva y = e v /(l + r) no ponto 
(he/2). 

SOLUÇÃO Segundo a Regra do Quociente, temos 

(1 +jr J )-f <«*) + V) 

«v _ r/x rZx 

c/x (I + x 2 ) 2 

(1 + x 2 )c* — e x (2x) _ r T (l — x) 2 

(1 + ~ 7 

Logo a inclinação da reta tangente em (1 , e/2) é 


FIGURA 4 


£_ 

1 +.T' / 




Isso significa que a reta tangente em (1 , e/2) é horizontal, e sua equação êy — ef 2. [Veja a 
Figura 4. Observe que a função está crescendo e cruza sua reta tangente em (1 , c/2).] 


NOTA o Não use a Regra do Quociente toda vez que você vir um quociente. Algumas 
vezes é mais fácil reescrever um quociente primeiro, colocando-o em uma forma que é 
mais simples para a resolução da diferenciação. Por exemplo, embora seja possível dife- 
renciar a função 

3x 2 + 2 Jx 


usando a Regra do Quociente, deve ser mais fácil efetuar primeiro a divisão e escrever a 
função como 

F(x) — 3x + 2x"" 1/2 

antes de diferenciar. 

A seguir, um resumo das regras de derivação que aprendemos até agora: 


S“>-« 

d ( „_j 

— (x ) = nx 
dx 

-(«■w : 

dx X ! 

(Cf)’ -Cf’ 

( f+g)' =f +g' 

if-gy =/' -9* 

(fu)' =./9 + gf 

(fY-aT-fg' 

i 


U / 9 2 

t 




James Stewart CAPÍTULO 3 REGRAS DE DIFERENCIAÇÃO 


197 





Exercícios 


1. Encontre a derivada de y = (.ri + l)(ri + 1) de duas maneiras: 
usando a Regra do Produto e fazendo primeiro a multiplicação. 
As respostas são iguais? 

2. Encontre a derivada da função 

y/X 

de duas maneiras: usando a Regra do Quociente e 
simplificando primeiro. Mostre que suas respostas são 
equivalentes. Qual método você prefere? 

3-22 □ Diferencie. 


3. f(x) “ xV 


5. y = — r 
x* 


3x- 1 

9. V(x ) = ( 2 x 3 + 3)(ri' - 2x) 
/I 3W 


4. g(x) = yfx e ' 
e* 


8. /(O = 


* 4 + r 

10. Y(u) = («"* + w' 3 )(w 5 - 2u : ) 


11. F(y) = í-j " A) (> , + 5 >’ :i ) 12 - = (* + e ' ){ 3 “ y fi) 

\ y y / 


13. V = -T 

.>/ —■ 2/ + 1 

15. y — {r Z ~2r)e r 

V* ~ 2V yfv 

17 . y = ^ 

v 

19. y - - r A — 

x" + Jt“ + 1 


16. y - — 

s + ke 

18. z — vu 3a (xu + ce u ) 

s/x -1 

20. v = - ■ ■ 


21. /(*) = 


22. /(x) 


1 

Vx 4- 1 

__ OX + 

cx + d 


23-26 Encontre uma equação da reta tangente à curva em um 
dado ponto. 

2x 

23. y = — - . (1.1) 24. y — — - — (4.0.4) 

x 4- 1 x + 1 

e x 

25. y = 2xe x , (0.0) 26. v = — , (l.e) 

x 


27. (a) A curva y --1/(1 + x 2 ) é chamada bruxa de Maria de 

Agnesi. Encontre uma equação da reta tangente para essa 
curva no ponto (—1.1). 

11 (b) Ilustre a parte (a) fazendo o gráfico da curva e a reta tangente 

na mesma tela. 

28. (a) A curva y — x/(l + x 2 ) é denominada serpentina. Encontre 

uma equação da reta tangente a essa curva no ponto (3, 0.3). 
|| (b) Ilustre a parte (a) fazendo o gráfico da curva e a reta 

tangente na mesma tela. 

29. (a) Se /(.r) — e x /x\ encontre f(x). 


(b) Verifique que sua resposta da parte (a) é razoável 
comparando os gráficos de / e f. 

30. (a) Se f(x ) = x/{x í — 1), encontre f{x). 

(b) Verifique que sua resposta da parte (a) é razoável 
comparando os gráficos de / e f . 

31. Suponha que /( 5) = 1 , /'(5) — 6, g( 5) — — 3 e g’(5) — 2. 
Encontre os valores de (a) (fg)’( 5), (b) (//<?)'( 5) e (c) (g/f)’ (5). 

32. Se /( 3) = 4, g( 3) = 2, /'( 3) = - 6 e g’{ 3) = 5. encontre os 
seguintes números: 

(a) í/+ a) '(3) (b) (fgY(3) 

(c> (í) (3) <d) (jhh 

33. Se f(x) = e'g{x ) . onde $(()) = 2e g’(Q) = 5, encontre /'(()). 

34. Se h( 2) ~ 4 e /t'(2) — -- 3. encontre 

dx i x j x „ 2 

35. Se/e g forem funções cujos gráficos estão ilustrados, seja 
u(x) — j\x)g(x) e t’(x) = fix)/g(x) . 

(a) Encontre u’( 1 ). (b) Encontre t>'(5). 

‘ VA 

\ V "" 

1 ' N \ 9 


"oí 1 


36. Seja P(x) ~ F(x)G(x) e Q(x) - F(x)/G(x) onde Fe G são as 
funções cujos gráficos estão representados a seguir. 

(a) Encontre Pfl). (b) Encontre Q’{ 7). 

qvn j. .iirn 


F\ 



\ 





\.y'! 









— 


37. Se g é uma função diferenciável, encontre uma expressão para 
a derivada de cada uma das seguintes funções. 

í \ " x * 0\ x ) 

(a) y - (b) y - (c) y - 

38. Se / for uma função diferenciável, encontre uma expressão 
para a derivada de cada uma das seguintes funções: 

2X/.X .. /(*) 


(a) y = X 2 /(x) 


(d) y — 


1 4- x/(x) 








198 :Ii CÃICULO Editora Thomson 

39. Neste exercício estimamos a taxa segundo a qual a lenoa pessoal 
total está subindo na area rnetropolitana da csdíioc de RicLmond- 
Petersbura, Virgínia. Em julho de 1999. a população dessa área era 
de 961 .400, e estava crescendo aproximadamente em 9.200 pessoas 
por ano. O rendimento armai médio era de $ 30.593 per capita . e 
essa média estava crescendo em torno de $ 1 .400 por ano (bem 
acima da média nacional, de cerca de S 1 .225 anuais). Use a Regra 
do Produto e os dados aqui fornecidos para estimar a taxa segundo 
a qual a renda pessoal total estava crescendo na cidade em julho de 
1999. Explique o significado de cada termo na Regra do Produto. 

40. Um fabricante produz peças de fazenda com tamanho fixo. A 
quantidade q de cada peça de fazenda (medida em jardas) 
vendida é uma função do preço/? (em dólares por jardas); logo. 
podemos escrever q — /(/?). Então o rendimento total conseguido 
com o preço de venda p é R(p) — pf(p). 

(a) O que significa dizer que /(20) — 10.000 e /'(20) = -350? 

(b) Assumindo os valores da parte (a), encontre R'( 20} e 
interprete sua resposta. 

41 . Quantas retas tangentes à curva y = x/(x +1) passam pelo ponto 
( 1 . 2)? Em quais pontos essas retas tangentes tocam a curva? 

v x — I 

42 . Encontre as equações de retas tangentes a curva y 

paralelas à reta x — 2 y = 2. ' r * 


43. (a) Use duas vezes a Regra do Produto para provar que se /. g 

e h forem diferenciáveis, então 

[fghY = fgh + fg’h 4- fgh' 

(b) Fazendo / = g h da parte (a), mostre que 

4~ f /Ú)l ? = 3 [f(x)fnx) 

dx 

(c) Use a parte (b) para diferenciar v — e >! . 

44. (a) Se g for diferencia veL a Regra da Recíproca afirma que 


í 1 • 

g'(x) 

i 7UQ 



Use a Regra do Quociente para provar a Regra da Recíproca. 

(b) Use a Regra da Recíproca para diferenciar a função do 
Exercício 19. 

(c) Use a Regra da Recíproca para verificar que a Regra da 
Potência é válida para os inteiros negativos, isto é, 

d , 

— í.v ' ) — — nx ' 1 
dx 

para todo número positivo n. 



jaxa de Variação nas Ciências Natur ais e Sociais 

Lembre da Seção 2.8 que se y ~ f(x), então a derivada dy/dx pode ser interpretada como a 
taxa de variação de y em relação a x. Nesta seção examinamos algumas das aplicações 
dessa idéia na física, química, biologia, economia e outras ciências. 

Vamos nos recordar da Seção 2.7 que apresentou a idéia básica das taxas de variação. 
Se x variar de x, a x?, então a variação em x será 


A.X = X 2 ~~ X\ 



m - média da taxa de variação 
m = f'(x ) - taxa de variação instantânea 


e a variação correspondente em y será 

Ay ~ f(x 2 ) — /( v i ) 


O quociente da diferença 

Ay _ f(x 2 ) ~ f(x i) 

Ax X 2 — Xi 


é a taxa média da variação de y em relação a .r sobre o intervalo [xj, x 2 \ e pode ser inter- 
pretado como a inclinação da reta secante PQ da Figura 1 . Seu limite quando Ax — > 0 é a 
derivada f'(x i), que pode ser interpretada como a taxa de variação instantânea de y em 
relação a x ou a inclinação da reta tangente em P(x t ,f{x i )). Usando a notação de Leibniz, 
escrevemos o processo na forma: 


dy 

dx 


Av 
lim ---- 
àx 


FIGURA 1 



James Stewart 


CAPITULO 3 



188 


Sempre que a função y ~ f(x) tiver uma interpretação específica em uma da- ciências, sua 
derivada terá uma interpretação específica como uma taxa de variação. (Como discutido 
na Seção 2.7, as unidades dyf dx sao as unidades para y dividido pela unidade de ,v.) Agora 
vamos examinar algumas dessas interpretações nas ciências naturais e socDb. 

0 Física 

Se s = f(í) for uma função posição de uma partícula que está se movendo em uma reta. 
então às/àt representa a velocidade média sobre um período de tempo do, e v — ds/dt 
representa a velocidade instantânea (a taxa de variação do deslocamento em relação ao 
tempo). Isso foi discutido nas Seções 2.7 e 2.8. mas agora que conhecemos as fórmulas de 
diferenciação, estamos habilitados a resolver os problemas de velocidade mais facilmente 

EXEMPLO 1 ei A posição de uma partícula é dada pela equação 

s =/( /) — t' — 6 1 2 + 9 / 

onde t é medido em segundos e .v em metros. 

(a) Encontre a velocidade no instante /. 

(b) Qual é a velocidade após 2 s? Depois de 4 s? 

(c) Quando a partícula está em repouso? 

(d) Quando a partícula está se movendo para a frente (isto é, no sentido positivo)? 

(e) Faça um diagrama para representar o movimento da partícula. 

(f) Encontre a distância total percorrida pela partícula durante os primeiros cinco segundos 

SOLUÇÃO 

(a) A função velocidade é a derivada da função posição. 

s' — f(t) — r 3 — 6/ 2 + 9/ 

, . ds 

v{t) = — = 3 r - 12í + 9 

aí 

(b) A velocidade depois de 2 s é a velocidade instantânea quando t — 2, isto é, 

tf 2) - — I = 3(2) 2 - 12(2) + 9 - ”3 m/s 

dl *■ 2 

A velocidade depois de 4 s é 

t>(4) - 3(4) 2 - 12(4) + 9 = 9tn/s 

(c) A partícula está em repouso quando v(t) = 0, isto é, 

3r - 12/ + 9 - 3(z 2 - 4/ + 3) = 3(/ - 1)(> - 3) = 0 

e isso acontece quando t ~ 1 ou t = 3. Dessa forma, a partícula está em repouso após 

1 s e depois de 3 s. 

(d) A partícula move-se no sentido positivo quando v{t) > 0, isto é, 

3 r - 12/ +■ 9 - 3 (/ - !)(/ - 3) > 0 

Essa desigualdade é verdadeira quando ambos os fatores forem positivos (/ > 3) ou 
quando ambos os fatores forem negativos (/ < 1). Assim, a partícula move-se no sentidc 
positivo no intervalo de tempo / < 1 e t < 3. Move-se para trás (no sentido negativo) 
quando 3 < / < 3. 








Editora Thomson 


(e) Usando as informações da parte (d) fazemos um esquema ilustrativo do movimento da 
partícula, que volta e depois toma a avançar, ao longo da reta (eixo s) como mostrado na 
Figura 2. 

( f ) _ Por causa do que aprendemos nas panes (d) e (e), precisamos calcular separadamente 
a distância percorrida durante o intervalo de tempo [0, !]. f] . 3] e (3. 5). 

A distância percorrida nos primeiros segundos é 

!/( 1 ) /(0) j = ! 4 — 0 j — 4 m 

ide t — j a / = 3 a distância percorrida é 

í./(3) /( 1 ) I = 1 0 — 4 j = 4 m 


í./(3) y ( 1 ) | = 1 0 — 4 J = 4 m 

De t — 3 a t = 5 a distância percorrida é 

1/(5) ~ / (3) | = 1 20 — 0 1 = 20 m 
A distância total é 4 + 4 + 20 = 28 rn. 

caízMPLu £ Se uma barra ou pedaço de fio forem homogêneos, então sua densidade 
iineaf scra uniforme e estará definida como a massa por unidade de comprimento 
íp — in/l) medida em quilogramas por metro. Suponha, contudo, que a barra não seja 
homogênea, mas que sua massa medida a partir da extremidade esquerda até um ponto a 
seja m — /(a). conforme mostrado na Figura 3. 


— H 


FIGURA 3 


Esta parte da barra tem massa f(x). 

A massa da parte da barra que esta situada entre x ~ x j e a — x-> é dada por 
Am — f{x%) — j{x j); logo, a densidade média daquela parte da barra é 

densidade média = 


X2 ~ X] 


Se fizermos Aa — > 0 (isto é. x 2 — > a 3 ), estamos computando a densidade média sobre os 
intervalos cada vez menores. A densidade linear p em x 3 é o limite dessa densidade 
média quando Ax -> 0; isto é, a densidade linear é a taxa de variação da massa em 
relação ao comprimento. Simbolicamente, 

Am dm 

p — lim - — — — — 

Ar->0 Aa dx 

Assim, a densidade linear da barra é a derivada da massa em relação ao comprimento. 

Por exemplo, se m ~ /(a) = y'a, onde a é medida ern metros e m em quilogramas, 
então a densidade média da parte da barra dada em 1 1 .2 é 


= /(F2 ) -/( 1 ) _ v 1 ,2 - 1 
áa 1,2-1 0,2 


0,48 kg/m 


enquanto a densidade à direita de a = 1 é 


i 2 va 


— 0,50 kg/m 


V X . X = 1 




CALCULO 


Edito 


( e ) Usando as informações da parte (d) fazemos r 

partícula, que volta e depois torna a avançar, ao lonso d: 
Figura 2. 

( 0 Por causa do que aprendemos nas partes (d) e (e). precisai 
a distância percorrida durante o intervalo de tempo [O. J ]„ [J . 
A distância percorrida nos primeiros segundos é 

1/0) - /(O) | = | 4 — O j = 4 m 
De l = 1 a : = 3 a distância percorrida c 


um esquema ilustrativo do r 
. Ja reta (eixo s) como 


iGURA 2 


De / — 3 a t — distância percorrida é 


A distância total é 4 + 4 + 20 = 28 m. 

EXEMPLO 2 g Se uma bana ou pedaço de fio forem homogêneos, então - 
Umar será uniforme e estará definida como a massa por unidade de com f 
ip - m/l) medida em quilogramas por metro. Suponha, contudo, que a b 
homogênea, mas que sua massa medida a partir da extremidade esquerda 
seja m — f(x), conforme mostrado na Figura 3. 


Esta parte da barra tem massa f(x) 


A massa da parte da barra que está situada entre x — ,*i e x = x-> é d 
1 = ~ /(*i); logo, a densidade média daquela parte da barra é 


densidade média 


enquanto a densidade à direita de x ~ 1 é 





(e) Usando as informações da parte (d) í azemos um esquema ilustrativo do movimento dr 
partícula, que volta e depois torna a avançar, ao longo da reta (eixo s) corno mostrado m 
Figura 2. 


(t) Por causa do que aprendemos nas partes (d) e (e). precisamos calcular separadamente 
a distância percorrida durante o intervalo de tempo [0. I j. j i . 3) e [3. 5}. 

A distância percorrida nos primeiros segundos é 

l/íl) -/Í0}j - ! 4 - í.)j Mm 


De / — 1 a t — 3 a distância percorrida é 

|/(3) ■-/(.{) 


De r — 3 a / = 5 a distância percorrida é 

|/(5) -/( 3)| = j 20 - O) 


A distância total é 4 + 4 + 20 -- 28 m. 


AMMFLO 2 Se uma barra ou pedaço de fio forem homogêneos, então sua densidade 
linear será uniforme e estará definida como a massa por unidade de comprimento 
(p — m/l ) medida em quilogramas por metro. Suponha, contudo, que a barra não seja 
homogênea, mas que sua massa medida a partir da extremidade esquerda até um ponto a* 
seja m = /(a), conforme mostrado na Figura 3. 


Esta parte da barra fem massa f(x). 


A massa da parte da barra que está situada entre x — v, e x — a 2 é dada por 
Am = /(* 2 ) — /(Aq); logo, a densidade média daquela parte da barra é 


densidade média = Ai . IEíLl/M 

A A' A' a — A| 


Se fizermos Aa > 0 (isto é, a 2 — > ,V|), estamos computando a densidade média sobre os 
intervalos cada vez menores. A densidade linear p em Aq é o limite dessa densidade 
média quando Aa ■> 0; isto é. a densidade linear é a taxa de variação da massa em 
relação ao comprimento. Simbolicamente, 


Am dm 

hm - 

At >0 A A d.x 


Assim, a densidade linear da b 


irraj: a derivada da massa em relação ao comprimento. 


Por exemplo, se tn f(x) — v \ . onde x é medida em metros e m em quilogramas. 


então a densidade média da parte da barra dada em 1 a «s 1 .2 é 


/( D 2 ) - /( 1 


V D2 - 1 

0.2 


048 kg/m 


enquanto a densidade à direita de a ^ 1 é 


0.50 kg/m 




201 



James Stewart CAPÍTULO 3 REGRAS DE DIFERENCIAÇÃO 



üsi&mr uv o Uma conente existe sempre que a carga elétrica se move. A Figura 4 
ilustra a parte de um fio e elétrons movimentando-se através de uma superfície plana 
sombreada. Se AQ for a quantidade de carga líquida que passa através dessa superfície 
durante um período de tempo á/, então a corrente média durante esse intervalo de tempo 
é definida como 


corrente média = 


At 


Ü2 - g, 

h ~~ h 


Se fizermos o limite dessa corrente média sobre os intervalos de tempo cada vez 
menores, obteremos o que denominamos corrente / em um dado instante q: 


AQ 

/ — Jim — — 
Af— *0 Aí 


dQ 

dt 


Assim, a corrente é a taxa na qual o fluxo de carga atravessa uma superfície, medida em 
unidades de carga por unidade de tempo (freqüentemente coulombs por segundo, chamado 
amperes). 


Além da velocidade, da densidade e da corrente, outras taxas de variação são impor- 
tantes na física, como a potência (a taxa segundo a qual um trabalho é realizado), a taxa 
do fluxo de calor, o gradiente da temperatura (a taxa de variação da temperatura em relação 
à posição) e a taxa de decaimento radioativo de uma substância na física nuclear. 


I I Química 

EXEMPLO 4 Uma reação química resulta na formação de uma ou mais substâncias 
(conhecidas como produtos) a partir de um ou mais materiais iniciais (ditos reagentes). Por 
exemplo, a “equação” 

2H 2 + O, -> 2H 2 0 

indica que duas moléculas de hidrogênio e uma molécula de oxigênio formam duas 
moléculas de água. Consideremos a reação 

A + B > C 

onde A e B são reagentes e C é o produto. A concentração de um reagente A é o número 
de mols ( I mol = 6,022 X lü 23 moléculas) por litro e é denotada por [A]. A concentração 
varia durante a reação, logo [A], [B] e [C] são funções do tempo (0- A taxa média da 
reação do produto C sobre um intervalo de tempo q «s / / 2 é 

a[c] = ce ife) - raio 

At í? t\ 

Mas os químicos estão mais interessados na taxa de reação instantânea, obtida 
fazendo-se o limite da taxa de reação média quando o intervalo de tempo At tende a 0: 

( A[C] d[C ] 

taxa de reaçao = hm — — 1 

às ■■■■■* o At dt 


Uma vez que a concentração do produto aumenta quando a reação avança, a derivada d[C)!dt 
será positiva. (Você pode ver intuitivamente que a inclinação da reta tangente ao gráfico 
de uma função crescente é positiva.) Assim, a taxa de reação de C é positiva. 




202 


CÁLCULO 


Editora Thomson 


A concentração de reagentes, entretanto, decresce durante a reação; logo, para fazer as 
taxas de reação de A e B números positivos, colocamos sinais de menos na frente das 
derivadas d\A]/dt e d[B]/dt. Uma vez que [A] e [B] decrescem na mesma taxa que JC] 
aumenta, temos 


taxa de reação 


4ç] 

dt 



</[B] 


dt 


Mais geralmente, isso resulta que, para uma reação da forma 

aA + bB > cC + d D 


temos 


I <Á A i ~ I - I 5ÍÍS - 1 

a dt b dt c dt d dt 

A taxa de reação pode ser determinada por métodos gráficos (veja o Exercício 22). Em 
alguns casos podemos usar a taxa de reação para achar as fórmulas explícitas para as 
concentrações como funções do tempo (veja o Exercício 9.3). 

EXEMPLO 5 l Uma das grandezas de interesse na termodinâmica é a compressibilidade. 
Se uma dada substância for mantida em uma temperatura constante, então seu volume V 
depende de sua pressão P. Podemos considerar a taxa de variação do volume em relação 
à pressão — isto é, a derivada dV/dP. Quando P cresce, V decresce; logo, dVjdP < 0. A 
compressibilidade é definida introduzindo-se o sinal menos e dividindo essa derivada 
pelo volume V: 

...... . . . . 1 dV 

compressibilidade isotérmica — fí = 



Assim. {3 mede quão rápido, por unidade de volume, o volume de uma substância decresce 
quando a pressão sobre ela cresce em uma temperatura constante. 

Por exemplo, o volume V (em metros cúbicos) de uma amostra do ar a 25 "C está rela- 
cionado com a pressão P (em quilopascals) pela equação 


V — 


5,3 

P 


A taxa de variação de V em relação a P quando P — 50 kPa é 


dV\ _ 53 

dP !’ •- 30 P 


50 


53 

2.500 


-0.00212 m 3 /k.Pa 


A compressibilidade naquela pressão é 

1 dV | 0-00212 

^~~V~dP |p.so” 53 
50 


0,02 (m 3 /kPa)/m 3 



James Stewart CAPÍTULO 3 REGRAS Oi: DIFERENCIAÇÃO 203 


fOf Biologia 

EXEMPLO 6 Seja n - jy) o número de indivíduos em uma população (animal ou 
vegetal) no instante t, A variação no tamanho da população entre os instantes t — í\ e 
? — t 2 é An — /(>; ) - /(í t ) e, portanto, a taxa média de crescimento durante o período de 
tempo / 1 -E t «S h é 


taxa média de crescimento = 


An 

~Ã7 


/(u) -/(;,) 

O - /] 


A taxa de crescimento instantâneo é obtida dessa taxa média de crescimento 
fazendo-se o período de tempo At tender a 0: 


, An dn 

taxa de crescimento = lim — 

Aí- o At dt 


Estritamente falando, isso não é bem preciso, pois o gráfico real de uma função população 
n — j(t) seria uma função escada, que é descontínua sempre que ocorre um nascimento ou 
morte e, portanto, não é diferenciável. Contudo, para uma grande população animal ou 
vegetal, podemos substituir o gráfico por uma curva aproximada suave, como na Figura 5. 



FIGURA 5 
Uma curva aproximada suave 
de uma função crescimento 


Para ser mais específico, considere uma população de bactérias em um meio nutriente 
homogêneo. Suponha que amostrando a população em um certo intervalo determina-se 
que ela duplique a cada hora. Se a população inicial forno e o instante t for medido em 
horas, então 


e, em geral, 


/( D = 2/(0) - 2 no 

/( 2) - 2/(1) = 2 2 /i 0 

m - 2/(2) = 2 '«o 

f(t) = 2 ! n ( ) 


A função população é n — n q2‘. 



204 


CALCULO 


Editora Thomson 


Fluxo de sangi 


FIGURA 6 
em uma artéria 


Na Seção 3.1 discutimos as 'derivadas de t unções exponenciais e descobrimos que 

d 

— (20 ^ ÍO 69)2' 
dx 

Portanto a taxa de crescimento da população de bactérias no instante t é 

dn d / 

= (n d 2 ! ) « «,,(0,69)2' 

dt dt 

Por exemplo, suponha que comecemos com uma população inicial de «<> — 100 bactérias. 
Então a taxa de crescimento depois de 4 horas é 

« 100(0 ,69) 2 4 = 1.104 

dt j f = 4 

Isso quer dizer que, depois de 4 horas, a população de bactérias está crescendo a uma 
taxa de cerca de 1 .100 bactérias por hora. 


EXEMPLO 1 g Considerando o fluxo de sangue através de um vaso sanguíneo, como 
uma veia ou artéria, podemos supor a forma do vaso sangüíneo como um tubo cilíndrico 
com raio R e comprimento /, conforme ilustrado na Figura 6. 



Em razão do atrito nas paredes do tubo, a velocidade v do sangue é a maior ao longo 
do eixo central e decresce à medida que r, que é a distância do eixo central até a parede, 
cresce até que v toma-se 0 na parede. A relação entre v e ré dada pela lei do fluxo laminar, 
descoberta em 1840 pelo físico francês Je an -Loui s-M arie Poiseuille. Isso estabelece que 


P 

V ~ 4r)l 


0 R 2 - r 2 ) 


onde t] é a viscosidade do sangue e P, a diferença entre as pressões nos extremos do 
tubo. Se P e / forem constantes, então v é uma função de r com o domínio [0, R\. [Para 
informações mais detalhadas, veja W. Nichols e M. 0'Rourke (eds.), McDonald' s Blood 
Flow in Arteries : Theoretic , Experimentai and Clinicai Principies , 4. ed. (Nova York: 
Oxford University Press, 1998).] 

A taxa da variação da velocidade média quando movemos de r - r= para r = r? é 
dada por 


At’ _ v(r 2 ) — v{r\) 

A r r 2 ~~ r- s 

e se fizermos Ar — > 0, obteremos o gradiente da velocidade, isto é, a taxa instantânea 
de variação da velocidade em relação a r: 

gradiente da velocidade — ]jm -- - • — 

Xr--»o Ar dr 



James Stewart 


205 



CAPÍTULO 3 REGRAS DE DÍFERENOAÇAO 

Usando a Equação 1 , obtemos 

(lv P p r 

— ~ — ~r ~7 10 - 2 r) — — — — 
dr 4rjl 2 rjl 

Para uma artéria menor, podemos tomar 77 — 0,027, R ~ 0,008 cm. / — 2 cm e P — 4.000 
dinas/cm 2 , o que fornece 


v = 


4 000 

— —(0,000064 - r 2 ) 

4(0 027)2 


Em r — 0,002 cm o sangue está fluindo a uma velocidade de 

i>(0 f 002) - .1.85 X 10 4 (64 X 10 6 - 4 X 10“ 6 ) 
= 1 ,1 1 cm/s 


e o gradiente da velocidade nesse ponto é 


dv 

dr 


4.000(0,002) 

2(0,027)2 


— 74(cm/s)/cm 


Para sentir o que isso significa, vamos mudar nossas unidades de centímetros para 
micrômetros (1 cm = 10.000 jxm). Então o raio da artéria é 80 fim. A velocidade no 
eixo central é 1 1.850 gm/s, que decresce para 11.110 p.m /5 a uma distância de 
r = 20 fim. O fato de que ãvjdr — —74 ( gm/sj/gm quer dizer que quando r = 20 fim. 
a velocidade está decrescendo a uma taxa de cerca de 74 gm/s para cada micrômetro 
afastado do centro. 


; Economia 


EXEMPLO 8 Suponha que C(x) é o custo total que uma companhia incorre na produção 
de x unidades de um certo produto. A função C é chamada função custo. Se o número de 
itens produzido estiver crescendo de jci para x 2 ,o custo adicional será AC — C(x 2 ) ~ C(xj), e 
a taxa média de variação do custo será 


AC _ C(x 2 ) ~ C(xj) _ Ç( Xl + A.v) - C( Xl ) 

Aa X 2 Aj Aa 

O limite dessa grandeza quando Ax — > 0, isto é, a taxa de variação instantânea de variação 
do custo em relação ao número de itens produzidos, é denominado de custo marginal 
pelos economistas: 

AC dC 

custo marginal = hm — — = 

a.í->o Ax dx 

[Uma vez que x pode geralmente assumir somente os valores inteiros, pode não fazer sen- 
tido tomar Ax, mas podemos sempre substituir C(x) por uma função aproximativa suave, 
como no Exemplo 6 .] 

Fazendo Ax — 1 e n muito grande (tal que Ax é pequeno comparado com n), temos 

C(n) « C(n + 1) - C(n) 

Assim, o custo marginal de produção de n unidades é aproximadamente igual ao custo 
da produção de mais uma unidade [a (n + 1 )ésima unidade]. 




Em geral é apropriado representar uma função custo por um polinómio 

C(a) a + kx + c.x : + c/.r' 

onde a representa os custos gerais indiretos (aluguel, aquecimento, manutenção), e os 
outros termos representam o custo das matérias-primas, da mão-de-obra e assim por 
diante. (O custo das matérias-primas pode ser proporciona] a.v. mas o custo da mão-de-obn 
poderia depender parcialmente de potências mais altas de a. em decorrência dos custos 
de horas extras e ineficiências envolvidas em operações cie larga escala.) 

Por exemplo, suponha que uma companhia tenha estimado que o custo (em dólares) 
de produção cie .x itens seja 


CU) = 10.000 + 5.v + 0.01 a 


Então a função custo marsina! é 


C(x) 


0.02 a 


O custo marginal no nível de produção de 500 itens é 

< "(500) = 5 +• 0.02(500) - $ 15/item 

Isso dá a taxa segundo a qual os custos estão crescendo em relação ao nível de produção 
quando a = 500 e prediz o custo dos 501 primeiros itens. 

O custo real da produção dos 501 primeiros itens é 

C(50 1 > - CÍ500) = [10.000 + 5(501) + 0.01(501 ) | 

- [10.000 + 5(500) + 0.01(500) [ 

= $15.01 

Note que 0500} * C(501) - C(500). 

Os economistas também estudam a demanda marginal, a renda marginal e o lucro marginal, 
que são derivadas das funções demanda, renda e lucro. Isso será visto no Capítulo 4, depois que 
desenvolvermos as técnicas para encontrar os valores máximo e mínimo de funções. 


L Outras Ciências 

As taxas de variação ocorrem em todas as ciências. Um geólogo se interessa em saber a 
taxa na qual uma massa de rocha fundida resfria através da condutivídade térmica com o 
meio rochoso que a envolve. Um engenheiro quer saber a taxa segundo a qual a água flui 
para dentro ou para fora de um reservatório; um geógrafo está interessado na taxa de varia- 
ção da densidade populacional em uma cidade à medida que aumenta a distância de seu 
centro; um meteorologista está interessado na taxa de variação da pressão atmosférica em 
relação à altura (veja o Exercício 17 da Seção 9.4 no Volume 2). 

Em psicologia, aqueles interessados na teoria do aprendizado estudam a chamada curva 
do aprendizado, que é o gráfico do desempenho P(t) de alguém aprender alguma coisa 
como função do tempo de treinamento /. E de particular interesse a taxa segundo a qual o 
desempenho melhora à medida que o tempo passa, isto é, dP/dt. 

Em sociologia, o cálculo diferencial é usado na análise do espalhamento do boato (ou 
inovações, ou modismos, ou padrões). Se p(t) denota a proporção de uma população que 
fica sabendo de um boato no instante t, então a derivada dp/dt representa a taxa de espa- 
lhamento do boato (veja o Exercício 70 na Seção 3.5). 



James Steyyart 


207 


CAPÍTULO 3 R Ê G RÃS DE DiFtREN C i A ÇÀO 


LI; Resumo 

A velocidade, a densidade, a corrente, a potência e o gradiente da temperatura na física; a 
taxa de reação e a compressíbil idade na química; a taxa de crescimento e o gradiente da 
velocidade do sangue na biologia; o custo e o lucro marginal na economia; a taxa do fluxo 
do calor na geologia; a taxa de desenvolvimento do desempenho na psicologia; a taxa de 
espalhamento de um boato na sociologia — todos esses são casos especiais de um único 
conceito matemático, a derivada. 

Isto é uma ilustração do fato de que parte do poder da matemática está em sua 
abstração. Um único conceito matemático abstrato (tal como a derivada) pode ter inter- 
pretações diferentes em cada uma das ciências. Quando desenvolvemos as propriedades dc 
conceito matemático de uma vez por todas, podemos voltar e aplicar esses resultados para 
todas as ciências. Isso é muito mais eficiente do que desenvolver as propriedades de 
conceitos especiais separadas para cada ciência. O matemático francês Joseph Fouriei 


( 1768 - 1830 ) colocou isso sucintamente: “Os matemáticos comparam os mais diversos 
fenômenos e descobrem as analogias secretas que os unem". 


Exercícios 




1-8 Uma partícula move-se segundo a lei do movimento s — f(t), 

{ 3= 0, onde t é medido em segundos e s em pés. 

(a) Encontre a velocidade no instante /. 

(b) Qual a velocidade depois de 3 s? 

(c) Quando a partícula está em repouso? 

(d) Quando a partícula está se movendo no sentido positivo? 

(e) Encontre a distância total percorrida durante os 8 primeiros segundos. 

(f) Desenhe um diagrama como na Figura 2 para ilustrar o movimento 
da partícula. 

1. /(/) - r -10/ +12 2 . /(/) - r‘ - 9 1 2 + 15/ + 10 

3. /(/) ■» z 3 - 12/ 2 + 36/ 4 . /(/) ='/ 4 - 4/ + 1 

5 . s « 6 . 5 = y/(3/ 2 - 35/ + 90) 

/“ + 1 

7. A função posição de uma partícula é dada por 

s « / ? - 4õ/ 2 - 7/ t 3= 0 
Quando a partícula atinge a velocidade de 5 m/s? 

8, Se uma bola for empurrada ladeira abaixo, sobre um plano 
inclinado, a uma velocidade inicial de 5 m/s a distância que ela 
rola, após / segundos, será dada por s ~ 5t + 3/\ 

(a) Determine sua velocidade após 2 s. 

(b) Quão longe ela estará do ponto de partida quando sua 
velocidade atingir 35 m/s? 

8. Se uma pedra for atirada verticalmente para cirna sobre a superfície 
da Lua com uma velocidade de 10 m/s, sua altura (em metros) 
após / segundos será h — 10/ - 0.83/7 

(a) Qual a velocidade da pedra após 3 s? 

(b) Qual a velocidade da pedra quando ela atingir 25 m? 

18. Se uma bola for atirada verticalmente para cima com uma velocidade 
de 80 pés/s, então sua altura depois de / segundos é s — 80 1 ~ ió/ 2 . 

(a) Qual a altura máxima atingida pela bola? 

(b) Qual a velocidade da bola quando estiver 96 pés acima do 
solo na subida? 


11. (a) Uma companhia produz chips de computador. Ela quer 

manter o comprimento do lado da placa muito próximo de 
15 mm e deseja saber como a área A(x) da placa varia 
quando mudamos o comprimento do lado x. Encontre 
i4'(15) e explique seu significado nessa situação. 

(b) Mostre que a taxa de variação da área de um quadrado em 
relação ao comprimento de seu lado é a metade de seu 
perímetro. Tente explicar geometricamente por que isso é 
verdade desenhando um quadrado cujo comprimento de 
lado x é aumentado em áx. Como aproximar as mudanças 
resultantes na área A.4 se Aa for pequeno? 

12 . (a) Os cristais de clorato de sódio são fáceis de crescer no 

formato de cubos permitindo a uma solução de água e 
clorato de sódio evaporar vagarosamente. Se V for o 
volume de cada cubo com comprimento de lado x, calcule 
dVfdx quando x ~ 3 mm e explique seu significado. 

(b) Mostre que a taxa de variação do volume de cada cubo 
em relação ao comprimento da aresta é igual à metade da 
área da superfície do cubo. Explique geometricamente 
por que esse resultado é verdadeiro mostrando um 
argumento análogo ao do Exercício 1 l(b). 

13 . (a) Encontre a taxa de variação média da área de um círculo 

em relação a seu raio r quando r varia de 
(i) 2 a 3 (ii) 2 a 2,5 (iii) 2 a 2,1 

(b) Encontre a taxa de variação instantânea quando r — 2. 

(c) Mostre que a taxa de variação da área de um circulo en 
relação a seu raio (para qualquer r) é igual à circunferênci; 
do círculo. Tente explicar geometricamente por que isso < 
verdadeiro desenhando um círculo cujo raio foi aumentad» 
em Ar. Como você pode aproximar a variação resultante A/ 
se Ar for pequeno? 

14. Uma pedra caiu dentro de um lago, produzindo uma ondulaçãi 
circular que cresce para fora a uma velocidade de 60 cm/s. Encon 



Editora Tlsojnson 


tre a taxa segundo a quai a área dentro do círculo está crescendo 
depois de (a) 1 s, (b) 3 s e (c) 5 s. O que você pode concluir? 

15 . Um balão esférico começa a ser inflado. Encontre a taxa de 
crescimento da área da superfície (5 — 4 trr 2 ) em relação ao 
raio r quando r é (a) 1 pé, (b) 2 pés e (c) 3 pés. Que conclusão 
você pode tirar? 

IS. (a) O volume de uma célula esférica em crescimento é V — f rrr 3 , 
onde o raio r é medido em micrômetros { 1 prn = 10" 6 m). 
Encontre a taxa de variação média de V em relação a r 
quando r varia de 

0) 5 a 8 jx m (ii) 5 a 6 fim (iii) 5 a 5,1 pm 

(b) Encontre a taxa de variação instantânea de V em relação a 
r quando r — 5 jurn. 

(c) Mostre que a taxa de variação do volume de uma esfera em 
relação a seu raio é igual à área de sua superfície. Explique 
geometricamente por que esse resultado é verdadeiro. Mostre 
um argumento análogo ao do Exercício J3(c). 

17 . A massa da parte de uma barra de metal que está situada entre 
o extremo esquerdo e um ponto x metros à direita é 3.r' : kg. 
Encontre a densidade linear (veja o Exemplo 2) quando x for 

(a) 1 m,(b)2me(c)3m. Onde a densidade é maior? E menor? 

18. Se um tanque mantém 5.000 galões de água, que escoa pelo 
fundo em 40 minutos, então a Lei de Torricelli dá o volume V 
de água que restou no tanque depois de t minutos como 


Encontre a taxa segundo a qual a água está escoando do tanque 
depois de (a) 5 min, (b) 10 min, (c) 20 min e (d) 40 min. Em 
que instante o fluxo é mais rápido? E mais vagaroso? Resuma 
o que você encontrou . 

19 . A quantidade de carga Q em coloumbs (C) que passa através de um 
ponto em um fio até o instante t (medido em segundos) é dada por 
Q(t) — f - 2t + 6/ + 2. Encontre a corrente quando (a) t = 0A s e 

(b )t~ 1 s. [Veja o Exemplo 3. A unidade de corrente é o ampère 
(IA— 1 C/s).] Em que instante a corrente é mais baixa? 

20 . A Lei de Gravitação de Nevvton diz que a grandeza p da força 
exercida por um corpo de massa m sobre um corpo de massa M é 


em que G é a constante graviíacional e r, é a distância entre os 
corpos. 

(a) Se os corpos estão se movendo, encontre dF/dr e explique 
seu significado. O que o sinal de menos indica? 

(b) Suponha que se tenha conhecimento de que a Terra atrai 
um objeto com uma força que decresce a uma taxa de 2 
N/km quando r — 20.000 km. Quão rápido essa força varia 
quando r = 10.000? 

21 . A Lei de Boyle estabelece que quando uma amostra de gás é 
comprimida a uma temperatura constante, o produto da pressão 
e o volume permanecem constantes: PV — C. 


(a) Encontre a taxa de variação do volume em relação à pressão. 

(b) Uma amostra de gás está em um recipiente à baixa pressão 
e é regularmente comprimida à temperatura constante por 
10 minutos. O volume decresce mais rapidamente no início 
ou no final dos 30 minutos? Explique. 

(c) Prove que a compressibilidade isotérmica (veja o exemplo 5) 
é dada por {3 = 1/P. 

22 . Q dado mostrado na tabela diz respeito à lactonização do ácido 
hidroxjvalérico a 25 °C. É dada a concentração C{t) desse 
ácido em mols por litro depois de t minutos. 


(a) Encontre a taxa de reaçao média para os seguintes 
intervalos de tempo: 

(i) 2 t 6 (ii) 2 ^ t 4 (iii) 0 2 

(b) Desenhe os pontos da tabela e trace por eles uma curva 
suave com uma aproximação ao gráfico da função concen- 
tração. Então trace a tangente em t = 2 e use-a para 
estimar a taxa de reação instantânea quando t — 2. 

23 . A tabela dá a população mundial no século XX. 


(em milhões) 





(a) Estime a taxa de crescimento populacional em 1920 e em 
1980 fazendo a média das inclinações de duas retas secantes. 

(b) Use uma calculadora gráfica ou computador para achar 
uma função cúbica (um polinómio de terceiro grau) que 
modela os dados (veja a Seção 1.2). 

(c) Utilize o modelo da parte (b) para achar um modelo para a 
taxa de crescimento populacional no século XX. 

(d) Use a parte (c) para estimar as taxas de crescimento em 
1920 e 1980. Compare com sua estimativa da parte (a). 

(e) Estime a taxa de crescimento em 1985. 

24 . A tabela mostra como a média de idade das mulheres 
japonesas que se casam pela primeira vez variou na última 
metade do século XX. 


ii 1 9S0 I 


> ! 85 i 25.4 





20S 



(a) Use uma calculadora gráfica ou computador para modelar 
esses dados por um polinómio dc quarto grau. 

(b) Use a parte (a) para achar um modelo para A'(í). 

(c) Estime a taxa de variação da idade de primeiro casamento 
dessas mulheres em 1990. 

(d) Faça o gráfico dos pontos dados e os modelos para A e A'. 

Se, no Exemplo 4, uma molécula do produto C é produzida de 
uma molécula do reagente A e de uma molécula do reagente B. 
e as concentrações iniciais de A e B têm um valor comum 
[A] = [B| — a mols/L, então 

[C] — a 2 kt/(akt + 1) 

onde k é uma constante. 

(a) Encontre a taxa de reação no instante /. 

(b) Mostre que se x — [C], então 

dx , 

— — k(a ~ xr 
dt 


(c) O que acontece com a concentração quando t —> »? 

(d) O que acontece com a taxa de reação quando / — > <*? 

(e) O que os resultados da parte (c) e (d) significam em 
termos práticos? 


26, Suponha que uma população de bactérias inicialmente com 
500 bactérias triplique a cada hora. 

(a) Qual a população depois de 3 horas? Depois de 4 horas? 
Depois de t horas? 

(b) Use o resultado de (5) da Seção 3.1 para estimar a taxa de 
crescimento da população de bactérias depois de 6 horas. 


27. Considere a lei do fluxo laminar dado no Exemplo 7 . Seja um 
vaso sangüíneo com raio 0,01 cm, comprimento 3 cm, diferença 
de pressão 3.000 dinas/cm 2 , e viscosidade 17 — 0,027. 

(a) Encontre a velocidade do sangue ao longo do eixo central 
r — 0. no raio r — 0,005 cm, e na parede r ~ R~ 0,01 cm. 

(b) Encontre o gradiente da velocidade em r — 0, r = 0.005 

cr — 0.01 . 

(c) Onde a velocidade é máxima? Onde a velocidade muda 
mais? 


28. A frequência da vibração de uma corda de violino é dada por 



onde Lé o comprimento da corda; T, sua tensão; p, sua den- 
sidade linear. [Veja o Capítulo 11 em D. E. Hall, Musical Acoustics, 
3. ed. (Pacific Grover, CA: Brooks/Cole. 2002).] 

(a) Encontre a taxa de variação da frequência em relação 

(i) ao comprimento (quando Te p são constantes); 

(ii) à tensão (quando L e p são constantes); 

(iii) à densidade linear (quando LcT são constantes). 

(b) A intensidade de uma nota (quão alta ou baixa soa a nota) 
é determinada pela frequência /. (Quanto maior a 
frequência, maior a intensidade.) Use os sinais das 
derivadas da parte (a) para determinar o que acontece com 
a intensidade de uma nota 


James Sfewarf CAPÍTULO 3 


DIFERENCIAÇÃO 


ü) quando o comprimento efetivo de uma corda é 
decrescido colocando-se o dedo sobre a corda, de 
forma que uma porção menor da corda vibre; 

(ii) 4 uani '° a tensão é aumentada girando-se a cravelha 
(pino de afinação); 

(iii) quando a densidade linear é aumentada, mudando-se 2 
corda. 


29. Suponha que o custo, em dólares, para uma companhia 
produzir x novas linhas de jeans é 

C(x) = 2.000+ 3* + 0,0 Lr 2 + 0,0002* 3 

(a) Encontre a função custo marginal. 

(b) Encontre C'(100) e explique seu resultado. O que ele prediz) 

(c) Compare C(100) com o custo de manufaturar os 101 primeiros 
jeans. 

30. A função custo para uma certa mercadoria é 

C(x) = 84 + 0,16* ~ 0,0006* 2 + 0,000003* : 5 

(a) Encontre e interprete C'(100). 

(b) Compare C'( 100) com o custo de produzir o 10L item. 

31. Se p(x) for o valor total da produção quando há * trabalhadores 
em uma fábrica, então a produtividade média da força de 
trabalho da fábrica é 


* 

(a) Encontre A ' (x) . Por que a companhia precisa empregar 
mais trabalhadores se A ’ (*) > 0? 

(b) Mostre que A r (x) > 0 se //(*) for maior que a 
produtividade média. 

32. Se R denota a reação do corpo para algum estímulo de 
intensidade x, a sensitividade S é definida como a taxa de 
variação da reação em relação a *. Um exemplo acontece 
quando a luminosidade * de uma fonte de luz é aumentada e o 
olho reage decrescendo a área R da pupila. A fórmula 
experimental 


„ 40 + 24* 0,4 

1 + 4* 0,4 

tem sido usada para modelar a dependência de R em * quando 
R é medido em milímetros quadrados e * em uma unidade 
apropriada de luminosidade. 

(a) Encontre a sensitividade. 

51 (b) ilustre a parte (a) fazendo o gráfico d e Re S como funções 

de *. Comente sobre os valores de R e 5 em baixos níveis 
de luminosidade. Isso é o que você esperaria? 

33. A lei dos gases para um gás ideal à temperatura absoluta T 
(em kelvins), pressão P (em atmosferas) e volume V (em litros, 
é py — nRT, onde n é o número de mols de gás e R = 0,0821 
é uma constante do gás. Suponha que, em um certo instante. 






crescendo a uma iaxa de 0.10 atm/min, e 
V —10 L. e está decrescendo a uma taxa de 0,15 L/min. 
Encontre a taxa de variação de T em relação ao tempo naquele 
instante se n = 10 mols. 


34. Em uma fazenda de piscicultura, uma população de peixes é 
colocada dentro de um pequeno lago e colhida regularmente. Um 
modelo para a taxa de variação da população é dado peia equação 


dP 

Ht 


P (?) 
Pr 


p(t) - mo 


onde r 0 é a taxa de nascimento dos peixes; a população 
máxima que o pequeno lago pode manter (ou seja, sua 
capacidade de suporte ); e 0, a porcentagem da população 
que é colhida. 

(a) Qual o valor de dPidt que corresponde à população estável? 


(b) Se o pequeno lago pode manter 10.000 peixes, a taxa de 
nascimento é 5% e a taxa de colheita, 4%, encontre o nível 
estável da população. 

(c) O que acontece se 0 está elevando para 5%? 


35. No estudo de ecossistemas, o modelo predador-presa 
é muitas vexes usado para estudar a interação entre as 
espécies. Considere uma população de lobos da tundra. 
dada por W{t), e caribus, dada por Cif), no norte do 
Canadá. A interação íem sido modelada pelas equações: 

dC dW 

— — — aC — bCW -= — c íV -f dCW 

dt dl 

(a) Que valores de dC/dt e dW/dt correspondem a populações 
estáveis? 

(b) Como representar matematicamente a afirmativa: “O 
caribu está se extinguindo' 5 ? 

(c) Suponha que a — 0,05, b = 0,001 , c — 0.05 e 
d = 0,0001. Encontre todos os pares (C, W) que 
levam a populações estáveis. Segundo esse modelo, é 
possível para as espécies vi verem em harmonia, ou 
uma ou as duas espécies acabam por se extinguir? 



Derivadas 




Uma revisão das funções Antes de começar esta seção, talvez você precise revisar as funções trigonométricas. Em 

trigonométricas é dada no Apêndice D. particular, é importante lembrar-se de que quando falamos sobre a função / definida para 

todo o número real x por 

/(..* :)-= sen x 

deve ser entendido que sen x significa o seno do ângulo cuja medida em radianos é x. Uma 
convenção análoga é verdadeira para as outras funções trigonométricas, cos, tg, cossec, sec 
e cotg. Lembre-se da Seção 2.5 em que todas as funções trigonométricas são contínuas em 
todo número em seus domínios. 

Se esboçarmos o gráfico da função fix) = sen x e usarmos a interpretação de f'(x) como 
a inclinação da tangente à senóide a fim de esboçar o gráfico de f (veja o Exercício 1 6 da 
Seção 2.9), isso dará a impressão de que o gráfico de/' pode ser igual à cossenóide (veja 
a Figura 1). 



fix) = sen v* 



i 


FIGURA 1 


James Stewart 


CAPITULO 3 



O Temos usado a fórmula da adição 
para o seno. Veja o Apêndice D. 


Vamos tentar confirmar nossa conjectura de que se f(x) sen x. então f'{x) ~ cos x. 
Da definição da derivada temos 


f"(x) — lim 

k *o 


/(-V + h) - f (.x) 
h 


nm 

h -*0 


senfx + li) — sen.* 
~h 


iim 

h -o 0 


sen x cos h + cos x sen h — sen v 
h 


lim 

h-* 0 


sen x cos h — sen x cos x sen h 

h h 


fim 

h >o 


sen x 


cos h - 1 

~~~h~ 


~r COS X 


sen li 
h 


DO 


cos h - i sen h 

lim sen x * hm ; + fim cos x * fim 

/!■■■••*<) ft-»o h a -o h-+ o h 


D 




Dois desses quatro limites são fáceis de calcular. Uma vez que consideramos x como uma 
constante quando computamos um limite quando h — > 0, temos 

lim sen x — sen x e fim cos x ~ cos x 

h ■■■*() A— “0 


O limite de (sen h)/h não é óbvio. No Exemplo 3 da Seção 2.2 fazemos a conjectura, sobre 
a base das evidências numérica e gráfica, de que 

sen 0 


Agora usamos um argumento geométrico para provar a Equação 2. Pressuponha primeiro 
que $ está entre 0 e rr/2. A Figura 2(a) mostra um setor do círculo com o centro (7. o 
ângulo central 6 e o raio 1 . Desenhamos BC perpendicular a (M. Pela definição de medida do 
radiano, temos arc AB — 0. Também, j BC | = | OB [sen 0 — sen fl.Do diagrama vemos que 


Portanto 


BC I < | AB | < arc AB 


sen B < d 


logo 


sen 0 
0 


< 1 


Suponha que as tangentes em A e B interceptam em E. Você pode ver da Figura 2(b) que 
a circunferência de um círculo é menor que o comprimento de um polígono circunscrito; 
logo, arc AB < j AE \ + j EB |. Assim 

0 - arc AB < ] AE] + ] EB \ 

< | AE | + j ED | 

— ] AD \ = ! O A | tg 0 

= tg 0 


FIGURA 2 


(No Apêndice F a desigualdade 0 ^ tg 0 é provada diretamente da definição do com- 
primento de um arco sem que se recorra à intuição geométrica, como feito aqui.) 



Conseqüentemeníe. temos 




Íí S SÁLCÜLO- 'édiiora fíroaisoii 


sen 0 
cos 0 


loeo 


sen 0 

COS 0 < < 1 


□ Multiplicamos o numerador e o 
denominador porcos 0 + 1 para colocar a 
função em uma forma na qual podemos 
usar os limites que conhecemos. 


Sabemos que lim^-o 1 — 1 e lim e ~*o cos 0=1; logo, pelo Teorema do Confronto, temos 


sen 0 

lim — 1 

6-*o* 0 


Mas a função (sen 0)/0é uma função par; assim, seus limites direito e esquerdo devem ser 
iguais. Daqui, temos 

sen 0 

hm 1 

0 

e provamos a Equação 2. 

Podemos deduzir o valor do limite que restou em (1) como se segue 


cos 0—1 / cos 0 

hm = hm 

s~*o 0 $-*a\ 0 


1 cos 0 + 1 


cos 0 + 1 


= lim 


sen 2 0 


lim 


sen 0 


0 -*o 0(cos 0+1) o-* o 0 

sen 0 sen 0 

— —hm hm 

0^0 0 9~*o cos 0 + 1 

0 


cos"0 - 1 

hm — : 

'j ™*0 0 (cos 0+1 

sen0 

cos 0 + 1 


1 


1 + 1 


0 




m 



Se pusermos agora os limites (2) e (3) em (1), obteremos 

m \ t . co $ h _ 1 , sen h 

J (a) = hm sen a- • hm h hm cosa • hm —— 

h—0 h—*0 h ti 0 h~* 0 h 

= (sen a) • 0 + (cosa) * 1 — cosa 
L ogo, provamos a fórmula para a derivada da função seno: 


i 4 



r A Figura 3 ilustra os gráficos da 
função do Exemplo 1 e suas derivadas. 
Note que >•' — 0 sempre que y tiver a 
tangente horizontal. 


/~\ i v 1 /7 

/ \ j / / 


FIGURA 3 


James Stewart CAPÍTUi-5 3 %6RAS D5 DÜ-cRENCIAÇAO Z 213 


EXEMPLO 1 Diferencie y — x 2 sen x. 

SOLUÇÃO Usando a Regra do Produto e a Fórmula 4, Untos 

dy , d d 

~7~ — -F — (sen*) + sen x - — (jt) 
dx dx (jx 

~ * 2 cos x + 2x sen * 

Utilizando o mesmo método como na prova da Fórmula 4, você pode provar (veja o 
Exercício 20) que 



A função tangente também pode ser diferenciável empregando a definição de uma 
derivada, mas é mais fácil usar a Regra do Quociente junto com as Fórmulas 4 e 5: 

d .dl sen x \ 

~T (tg *) = ~r I ) 

dx dx \ cos x / 

cos x ~~ (sen*) “ sen* (cos x) 
dx dx 


cos .v * cos x — sen x (~ sen x) 


coszv + sen 2 * 


(tg x) — sec 2 * 


As derivadas das funções trigonométricas que restaram, cossec, sec e cotg, tambén 
podem ser encontradas facilmente usando a Regra do Quociente (veja os Exercícios 17-19) 
Reunimos todas as fórmulas de diferenciação para as funções trigonométricas na tabela ; 
seguir: 

[ ' 

\ 

I Derivadas das Funções Trigonométricas 


n Para memorizar essa tabela mais 
facilmente, note que o sinal de menos 
aparece nas derivadas das funções que 
têm "co ;; no nome: cosseno, 
cossecante e cotangente. 


(sen*) — cos x 


(cos x) 


(cossec) x — - cossec x cotg * 


(sec *) — sec x tg x 


(tg *) ~ sen 2 * 


(cotg x) — - cossec 2 * 





Jjli 2 14 > A-- CÁLCULO 'Eàitór a Thorason 
■ ' ' • 



EXEfWPLO 2 •: Diferencie /(.v) = ~ 
íem uma tangente horizontal? 

SOLUÇÃO A Regra do Quociente dá 


Para quais valores de a o sráíico de f 


FIGURA 4 

As tangentes horizontais do Exemplo 


FIGURA 5 


FIGURA 6 


II 4. x) — (sec -V ) — sec .v — ( 1 + ía v) 
dx ‘ t/v 

f'(x) = ; - 

u + tgxr 

(1 + tg a') sec x tg x — sec x * sec A 
(1 + tg xf 

sec x [ tg x + tg- x — secAj 
(1 + tg a)' 

sec x (tg v — 1) 

(I + tg a) 2 

Simplificando a resposta, usamos a identidade tg\v + 1 ~ secA. 

Uma vez que sec x nunca é 0, vemos que f'(x) — 0 quando tg x = 1 , e isso ocorre 
quando x = rnr + rr/4, onde n é um inteiro (veja a Figura 4). 

As funções trigonométricas muitas vezes são usadas em modelos para os fenômenos 
do mundo real. Em particular, as vibrações, ondas, movimentos elásticos e outras 
grandezas que variem de uma maneira periódica podem ser descritos utilizando-se as 
funções trigonométricas. 

EXEMPLO 3 i: Um objeto na extremidade de uma mola vertical é esticado 4 cm além de 
sua posição no repouso e solto no instante t — 0. (Veja a Figura 5 e note que o sentido 
positivo é para baixo.) Sua posição no instante t é 

s = f(t) — 4 cos t 

Encontre a velocidade no instante t e use-a para analisar o movimento do objeto. 

SOLUÇÃO A velocidade é 

ds d . d r 

v = — •- — (4 cos /) — 4 — (cos t) — —4 sen / 
dt dt dt 

O objeto oscila desde o ponto mais baixo (s — 4 cm) até o mais alto (s = —4 cm). O 
período de oscilação é 2 tt\ que é o período do cosseno de /. 

A rapidez é [ v } ~ 4] sen t \ . que é máxima quando | sen / 1 — 1 , isto é, quando cos t = 0. 
Assim, os objetos movem-se mais rapidamente quando passam por sua posição de equi- 
líbrio (s — - 0). Sua rapidez é 0 quando sen t = 0, isto é, no ponto mais alto e no mais 
baixo. Veja os gráficos na Figura 6. 

Nosso uso principal para o limite na Equação 2 tem sido provar a fórmula de diferen- 
ciação para a função seno. Mas esse limite é também proveitoso na determinação de ou- 
tros limites envolvendo a trigonometria, como nos dois exemplos a seguir. 


sen 7 a 

EXEMPLO 4 : Encontre Jim 

X~~0 4X 


James Stewart 


CAPtT ULO 3 


SOLUÇÃO Para aplicar a Equação 2. vamos reescrever a função multiplicando e dividindo 
por 7 : 

sen lx J í sen lx \ 

"" 4 ',”17' / 


Observe que quando x ---> 0, temos lx —> 0; portanto, pela Equação 2 com 0 = lx, 

.. sen7x sen ( 7x) 

hm — hm — ' = 1 

■ *0 7 V 7.V >0 7.x 


Assim, 


sen lx 7 ( sen lx 

bm — - = lim —I — — 

x : ‘*t 4x < -»o 4 \ lx 


7 sen lx 7 7 

= “T lim “ — * 1 = T 

4 .x~>o lx 4 4 


:XcWrlO 3 


Calcule lim x cotg r 

.t— >o 


SOLUÇÃO Aqui vamos dividir numerador e denominador por x: 


Exercícios 


xcosx 

hm x certa x = hm 

o ' *o senx 


rrili v lim cos x 

cos X x~»0 

— j }m == 

senx senx 

j im 

x x~*o x 


(pela continuidade do cosseno e da Equação 2) 


Diferencie. 


1. f(x) -- x — 3 senx 


3 . y ; - sen x + ) 0 te x 


2. f(x) = xsenx 


I. v — 2 cossec x + d cos x 


17 . Prove que — (cossec x) ~ - cossec x cotg x. 


18 . Prove que — (sec x) = sec x tg x 
dx 


5 . g(t) — t 3 cos t 


6. g(t) = 4 sec / + tg t 


7 . h(0) — cossec 0 f c f ’coíg 0 8 . y = e (cos u + a 


11. f(6) 


I + sec 6 


10 . y = 


I + sen x 


12 . v = 


tg x — 1 


14. v — cossec 0(0 + cotg ff) 


19 . Prove que — — (cotg x) — ~ cossec x. 

dx 

20 . Prove, usando a definição de derivada, que se f(x) — cos x, 
então f(x) ~ -sen x. 

21-24 Encontre uma equação da reta tangente à curva dada no 
ponto especificado. 

21 . y= tg x, (ít/4,1) 22. y = e x cosx, (0,1) 


15 . v = sec0tg0 


16 . y ~ x senx cos x 


23 . v = x + cos x. (0, D 24 . v = . (0,1) 

sen x + cos x 



SAiéHÍO- Eástora Thsmsm 

25. - (a) Encontre uma equação dá reta tangente à curva y — x cos .x 
H| ; y no ponto (rr, -ir). 

■§f| (b) Ilustre a parte (a) fazendo o gráfico da curva e a reta 

tangente na mesma tela. 

26. (a) Encontre uma equação da reta tangente à curva 

y — secx — 2 cos x no ponto ( irj 3 . 1). 

11 (b) Ilustre a parte (a) fazendo o gráfico da curva e a reta 

tangente na mesma tela. 

27. (a) Se/(x) = 2x + eotg x, encontre f'{x). 

11 (b) Verifique que sua resposta para a parte (a) é razoável fazendo 

os gráficos f t f para 0 < r < rr. 

_ 28. (a) Se /(.r) = \ú sen x, encontre /'(x). 

11 (b) Verifique que sua resposta para a parte (a) é razoável 

fazendo os gráficos de/e /' para 0 x 2 tt. 

29. Que valores de x fazem que o gráfico de 
J\x) = x + 2 sen x tenha uma reta horizontal? 


30. Encontre os pontos sobre a curva y 
qual a tangente é horizontal. 


(cos x)/(2 -t sen x ) na 


Uma massa em uma mola vibra horizontabnente sobre uma 
superfície lisa (veja a figura). Sua equação de movimento é 
x{t) ~ 8 sen /, onde t está em segundos e x, em centímetros. 

(a) Encontre a velocidade no instante t. 

(b) Encontre a posição e a velocidade da massa no instante 

t — 2tt/ 3. Em que sentido ela está se movendo nesse instante? 


posição de 
equilíbrio 


/AA/VsA a/ 


e x a distância da base da escada até a parede. Se a base da 
escada escorregar para longe da parede, com que rapidez x 
variará em relação a 0 quando $ = tt/3? 

34. Um objeto com peso W é arrastado ao longo de um plano 
horizontal por uma força agindo ao longo de uma corda atada 
ao objeto. Se a corda faz um ângulo 0 com o plano, então a 
grandeza da forca é 


pt sen $ + cos 0 

onde fi é uma constante chamada coeficiente de atrito. 

(a) Encontre a taxa de variação de F em relação a 0. 

(b) Quando essa taxa de variação é igual a 0? 

(c) Se W ~ 50 1b e q, — 0,6, faça o gráfico de F como uma 
função de 0 e use-o para localizar o valor de Q para o qual 
dFjdB = 0. Esse valor é consistente com a resposta dada 
na parte (b). 


Encontre o limite. 


sen 3x 
35. hm— 


37. lim 

f '~° sen 2 1 

sen(cos 0) 

39. lim — — - 

sec 0 

41. fa„ . 

A --.+0 cossec x 

„ sen 0 

43. hm 

e-*° 0 + tg 0 


.. sen4x 
36. hm — — 
sen 6x 

„ , . cos 0 - I 

38. hm 

8-*o sen 0 

sen" 1 3r 
40. lim— = — - 

í~~0 


.. senx-cosx 
42. hm 

A -'-*•57/4 COS 2x 

„ sen(x ~ 1) 

44. lim— r ~ 

4-»i x 1 4- x ~~ 2 


45. Diferencie cada identidade trigonométrica para obter outra 


nova ou antiga. 


Sis 32. Uma faixa elástica é pendurada em um gancho e uma massa 
está presa na extremidade inferior da faixa. Quando a massa é 
puxada para baixo e então solta, ela vibra verticalmente. A 
equação do movimento és — 2 cos t + 3 sen t, t > 0, onde s é 
medida em centímetros e /, em segundos. (Consideramos o 
sentido positivo como sendo para baixo.) 

(a) Encontre a velocidade no instante t. 

(b) Faça os gráficos das funções velocidade e posição. 

(c) Quando a massa passa pela posição de equilíbrio pela 
primeira vez? 

(d) A que distância da posição de equilíbrio a massa chega? 

(e) Quando a velocidade é máxima? 

33. Uma escada com 10 pés de comprimento está apoiada em uma 
parede vertical. Seja 0 o ângulo entre o topo da escada e a parede. 


(a) tg x 


(b) sec x 


(c ) senx + cos x 


1 -f- cotg x 


46. O semicírculo com diâmetro PQ está sobre um triângulo isósce- 
les PQR para formar uma região com um formato de sorvete, 
conforme mostra a figura. Se A(0) for a área do semicírculo e 
B{Q), a área do triângulo, encontre 

M0) 

hm — — — 

«-■ar mm 


217 



p ' ■ Fi 

47. A figura mostra urn arco de círculo com comprimento s e 
uma corda com comprimento d, ambos subentendidos por 
um ângulo central 0. Encontre 


fim 

# ‘ir d 


:apítulo 3 



««as 


Regra da Cadeia 

Suponha que lhe foi pedido para diferenciar a função 


no - Va' + 


As fórmulas de diferenciação que você aprendeu nas seções precedentes deste capítulo não 
::: Veia a Seção 1 .3 para a revisão de o capacitaram a calcular F'(x). 

funções compostas. Observe que F é uma função composta. De fato, se tomarmos y — /(«) == gu e seja 

u — g(x) — x 2 4- 1, então poderemos escrever y — F(x) — f(g(x)), isto é, F — /« g. 
Sabemos como diferenciar ambos, f e g, então seria proveitoso ter uma regra que nos 
dissesse como achar a derivada de F — f a g em termos das derivadas de f e g , 

Isso resulta que a derivada da função composta f°gé o produto das derivadas de/e g. 
Esse fato é uma das mais importantes regras de diferenciação, chamada Regra da Cadeia. 
Parece plausível interpretarmos as derivadas como taxas de variação. Considere dujdx 
como a taxa de variação de u em relação a x, dyfdu corno a taxa de variação de v em 
relação a u, e dy/dx como a taxa de variação de y em relação a x. Se u variar duas vezes 
mais rápido que x e y três vezes mais rápido que u , então parece razoável que y varia seis 
vezes mais rápido que x, e assim esperamos que 

dy _ dy du 
dx du dx 


j A Regra ds Cadeia Se / e g forem diferenciáveis e F — f° g for a função composta j 
i definida por F(x) = f{g(x )). então F é diferenciável e F' é dada pelo produto 

F'(x) ^ f'ig(x))g'(x) 

| Na notação de Leibniz, se y — /(«) e« = g(x) forem funções diferenciáveis, então | 

j ! 

dy _ dy du 

i dx du dx í 

I j 






' SÃLè/ÜLtf Editora Ttiomson 


Seja A« a variação cie u correspondente à 


variação de A.v em .x. isto é: 

Ac/ = gi-x + A.v) — g{.x) 

Então a variação correspondente em v é 

Av — f(u + Ah) — fiii) 

Assim 

r/v Av 

— - = imi ~~ 
d.x x.í -.- o A.v 

Av Ah 

1 1 -- hm • — — - 

a.» *o Ah A.v 

Av A ií 

—■ lim • lim 

•v« o An .o 0 A.v 

Av A U ( : VcHCCji!e f! í-:í;;-;Çc: /■ ••• • •• f; 

hm — ■— • hm — ~ ; 

v«”*o Ah A.v— '0 Ax uma vc;< que í? c contAiun.) 

dy du 
du dx 

A única falha nesse raciocínio é que em (1) pode acontecer que An = 0 (mesmo quando 
Ax ¥= 0) e, obviamente, não podemos dividir por 0. Não obstante, esse raciocínio no 
mínimo sugere que a Regra da Cadeia é verdadeira. Uma prova completa da Regra da 
Cadeia é dada no final desta seção. 

A Regra da Cadeia pode ser escrita também na notação linha 

QEI (/<> gYix) =* f'(g(x))g'(x) 

ou, se y — f(u) e u — g(x) , na notação Leibniz: 

dy dy du 

dx du dx 

A Equação 3 é fácil de ser lembrada, pois se dy/ du e du/dx forem quocientes, então deve- 
mos cancelar du. Lembre-se, entretanto, de que du não foi definida, e du/dx não deve ser 
interpretado como um quociente usual. 


Encontre F'(x) se F(x) 


'X ~ + 1 


SOLUÇÃO 1 (usando a Equação 2): No início desta seção expressamos F como 
F(x) = ( f c g)(x) — ficj(x)). onde f(u) ~ y/u e g(x) — x 2 4- 1 . Uma vez que 


s lu -rn = y_ 

2 y/u 

F%x) - f f {g(x))g'(x) 

1 

" 2Jx 2 + 1 * 


g'(x) — 2x 


2x 


v- ! ! 


temos 




219 



Carnes Stewart GAPÍTUiO 3 REGRAS OE DíFERENCIACáQ 


SOLUÇÃO 2 (usando a Equação 3): Se tomarmos u 


f f 1 e y — v u, então 


F/x) 


dy du 


1 


du dx 2 y/u 
1 


(2.x) 


2 J x í + 1 


(2a) 


Quando usarmos a Fórmula 3, deveremos ter em mente que dy/dx refere-se à derivada 
de y quando y é tida como uma função de x (chamada derivada de y em relação a x ), ao 
passo que dy/du se refere à derivada de y quando y é considerada como uma função de u 
(a derivada de y em re lação a u). Assim, no Exemplo 1 , y pode ser considerada como uma 
função de x (y = y/x 2 + j ) e também como uma função de u (y — y/u). Observe que 


dy 

dx 


F/x) = 


x 

y/X 2 + 1 


enquanto 


dy 

du 


f/ti) 


1 

2 y/U 


NOTA n Ao usarmos a Regra da Cadeia trabalhamos de fora para dentro. A Fórmula 2 
diz que diferenciamos a função de fora f [na função de dentro g(x) J e então multiplicamos 
pela derivada da função de dentro. 


~~ f (g(x)) 
dx - „ 



f (í ?(•*)) * g/x) 



ik dcm.ro 


V £ j 


Diferencie (a) y = sen (O) e (b) y — senlr. 


SOLUÇÃO 

(a) Se y — senÇC), então a função de fora é a função seno, e a função de dentro é a 
função quadrada; logo, a Regra da Cadeia dã 



= 2 A' COS (a 3 ) 


u 2 ) 





(b) Note que sen 2 x — (sen a)\ Aqui a função de fora é a função quadrada, e a função de 
dentro é a função seno. Então 

dy d . , 

“ — “(sen a)' — 2 ‘ (sen a) * cosa 

função derivada calculada demacía 

mserna da fundão na função da função 

A resposta pode ser deixada como 2 sen x cos x ou sen 2a (pela identidade 
trigonométrica conhecida como fórmula do ângulo duplo). 

No Exemplo 2(a) combinamos a Regra da Cadeia com a regra para diferenciar a função 
seno. Em geral, se y — sen u, onde u é uma função diferenciãvel de x, então, pela Regra 
da Cadeia, 

dy ^ dy du _ du 

dx du dx dx 





220 


CÁLCULO 


Eáilsra ThoíJisss 


Assim 


d . . au 

- — (sen u) — cos u — 
dx dx 


Todas as fórmulas para diferenciar as funções trigonométricas podem ser combinadas 
com a Regra da Cadeia. 

Vamos explicitar o caso especial da Regra da Cadeia, onde a função de fora / é urna 
função potência. Se y = [g(x)]d então podemos escrever y = /(«) = u% onde u = <j(x). 
Usando a Regra da Cadeia e então a Regra da Potência, obtemos 


dy __ dy du 
dx du dx 


nu’-' = «[»wr '9’W 

dx 


i à Regra da Potência Combinads com s bsgra «a t-; 

número e« = g{x) for diferenciãvel, então 

d / . , . du 

~T~ (u n ) — nu 
dx dx 


Se n for qualquer 


Altemati vamente . 


dx 


[g(x)Y‘ - 4g(x)Y ] • g'U) 


Note que a derivada no Exemplo 1 poderia ser calculada tomando n 

EXEMPLO 3 : Diferencie y = (U- \) m . 

SOLUÇÃO Tomando u - g(x) == x 3 ~ 1 e « = 100 em (4), temos 

A = A ( X J - i)ioo = ioou 3 - i) w A u ! - i) 

í/x dx «X 

- 100(x 3 - l) 99 • 3x 2 = 300x 2 (x 3 - l) 99 


■k na Regra 4. 


EXEMPLO 4 Encontre f(x) se f(x) — . 

v,c + x + 1 

SOLUÇÃO Primeiro reescreva /: /(x) — (x 2 + x + 1) A Assim 

/'(x) - -Hx 2 + x + i)~ 4/3 ~(x 2 + x + o 

dx 

= -i(x 2 + x + 1)“ 4/3 (2 x + 1) 
EXEMPLO 5 Encontre a derivada da função 

t - 2 X9 


g(t) ~ 


2r 4- 1 


SOLUÇÃO Combinando a Regra da Potência, da Cadeia e Quociente, obtemos 

^ = 9 (vtt)a(íãt) 

= / r — 2 V (2r + 1) • 1 - 2(f - 2) = 45 (t - 2f 

\2t + 1 / (2t + l) 2 (2f+l) 10 



James Stewsrt CAPÍTULO 3 REGRAS DE Dl 


f|pg Os gráficos d3S funções y e y’ do 
|f-. Exemplo 6 são mostrados na Figura 1 
iUlNote que y' é maior quando y cresce 
rapidamente, e y' = 0 quando y tem 
uma tangente horizontal. Logo nossa 
I resposta parece ser razoável. 


EXEMPLO 8 Diferencie y — (2.x + í) 5 ú 3 — x + l) 4 . 

SOLUÇÃO Neste exemplo devemos usar a Regra do Produto antes de usar a Regra da Cadeia 

~~ (2-v + 1 )' — (x ' - A" + ) ) ' + {,v - x + j ) 4 — (2x + 1 f 
dx dx dx ' 

— (2a + 3) 5 • 4(x 3 - a + l) 3 — (a 3 — x 4- 1) 




+ (a 3 - X + l) 4 * 5(2x + l) 4 — (2 a d- 1) 

dx 

= 4 (2a + l) 5 (x 3 - x + ff(3x 2 - 1 ) + 5(* 3 - x + 1 ) 4 (2x + l) 4 * 2 


Notando que cada termo tem um fator comum 2(2x + i ) 4 (.r 3 - a + 1)\ podemos fatorá-lo 
e escrever a resposta como 


FIGURA 1 


2 (2a + 1) 4 (a 3 - x + 1) 3 (17a 3 + 6x 2 - 9x + 3) 


De forma geral, a Regra da Cadeia dá 

d , „ du 

— (í> ) =•■ e* — 
du dx 


EXEMPLO 7 □ Diferencie y = eT\ 

SOLUÇÃO Aqui a função de dentro é g(x) = sen a* e a função de fora é a função exponen- 
cial /(a) — (d. Logo, pela Regra da Cadeia, 


dy d d 

— = — ) — e™* — (sen a) — 1 cos a 

dx dx dx 


Podemos usar a Regra da Cadeia para diferenciar uma função exponencial com qualquer 
base a > 0. Lembre-se da Seção 1 .6 em que a = e ,na . Logo 

a x = {e lna y = e ífn<?)v 


e a Regra da Cadeia dá 


JL ( ü -) _ JL = e ^™( ln a ) a 

dx dx dx 

— e úaa}x • ln a — « r ln a 


Não confunda a Fórmula 5 (onde x é 
o expoente) com a Regra da Potência 
{onde ,x é a base): 

d , n 

— (x ) — nx 


porque ln a é uma constante. Portanto, temos a fórmula 


— (a 5 ) — «Mn « 
dx 


Em particular, se a = 2, obtemos 


— (2 X ) - 2 T ln 2 
dx 








ilLO Sdiíora Thojnso» 




Na Secão 3.1 ciemos a estimativa 


d , 


« ( 0 . 69 ) 2 ' 


Ela é consistente com a fórmula exata (6), pois In 2 ~ 0.693 147. 

No Exemplo 6 da Seção 3.3 consideramos a população de bactérias que dobra a cada 
hora e vimos que após / horas a população é n ~ Hq2\ onde n 0 é a população inicial. A fór- 
mula (6) capacita-nos encontrar a taxa de crescimento da população de bactérias: 


dn 

— = «o2 Jn 2 
dt 


A razão para o nome “Regra da Cadeia” ficou evidente quando fizemos uma cadeia 
maior adicionando mais um elo. Suponha que y = /(«), » = f/í-Ó e x = h(t), onde f , g e h 
são funções diferenciáveis. Então, para computar a derivada de y em relação a /. usamos 
duas vezes a Resra da Cadeia 


dy dy dx _ dy du dx 

dt dx dt du dx dt 


EXEPJPLO 8 g Se f(x) = sen(cos(tg *)), então 


f'(x) = cos(cos(tg x)) — cosftg x) 
dx 


= cos(cos(tg :v))(~sen(tg:v) ] — (tan x) 

dx 


— -cos(cos(tg X)) senftg .v) secA 


Observe que usamos duas vezes a Regra da Cadeia. 


EXEMPLO 3 □ Diferencie y = e scc3(? 


SOLUÇÃO A função de fora é uma exponencial, a média é uma função secante, e a função 
de dentro é um triplo. Assim temos 


(sec3 0) 


sec 3 0 tg 3(9— (30) 


3<?* c5ff sec30 tg 30 


| Como Provar a Regra da Cadeia 

Lembre-se de que se y = f(x) e x variar de a a a + Ax, definimos o incremento de y como 

Ay — f(a f âx) - fia) 


De acordo com a definição de derivada, temos 


lím = fia) 

í.í— 0 A.v 



223 


gjjF Bgp— E 


James Stewart CAPÍTULO 3 REGRAS 


Dessa forma, se denotarmos por e a diferença entre o quociente de diferenças e a derivada, 
obteremos 


I 


lim e = Hml -/'(«) 3 =f'(a) - f\a) = 0 


Mas s = - /'(a) => Ay = /''(a) Ax + e Ax 

Ax 

Se definirmos e = 0 quando Ax = 0, então s se torna uma função contínua de A*. Assim 
para uma função difereneiável /, podemos escrever 

LU Ay = f{a) A v + e A.v onde c 0 quando Av — () 

eeé uma função contínua de Ar. Essa propriedade de funções diferenciáveis é que nos 
possibilita provar a Regra da Cadeia. 

Prova da Regra ds Cadeia Suponha que u = t/(x) é difereneiável em a e y = f(u) é dife- 
reneiável em b = gia). Se àx for um incremento de x e Am e Ay forem os incrementos 
correspondentes em u e y, então poderemos usar a Equação 7 para escrever 

j 8 ! Am — g’{a) Ax + e-, A.v ~ \g'(a) + sj A.v 

onde B\ —> 0 quando Ax — > 0. Da mesma forma 

|fj Ay = fib) Au + e 2 Am — [fib) + e 2 ] Am 

onde ei ■“"> 0 quando Am — > 0. Se substituirmos agora a expressão para Am da Equação 8 
na Equação 9, obteremos 

Ay = [fib) + Bi\[g'(a) + e 3 ] A.v 

logo - [f(b) + e 2 ][g'(a) + Bl ] 

Quando Ax -•-> 0, a Equação 8 mostra que Am 0. Assim, e f — ■> 0 e e 2 — * 0 quando 
Ax — > 0. Portanto 

C ~f = lim ~~ ~ lim [fib) + e 2 ][g’(a) + cj 
ax &x-*o Ax àx-- o 

^ f(b)g’ (a) = f{g{a))g'(a) 

Isso prova a Regra da Cadeia. 


Exercícios 




1-6 Escreva na forma f(gÇxj) a função composta. 
[Identifique a função de dentro u - g(x) e a de fora v - /(«}.] 
Então encontre a derivada dyjdx. 


7-42 Encontre a derivada da função. 

7 . F(x) -- íx' + 4x) ; 8 . F(x) = (x * 5 — x + !)' 


1. y = sen 4,r 
3 . y — (l-x 2 ’ 
6. v ~ (? vJr 


2 . y - 4 4- 3x 

4 . y= tg(senxç 
6. v = sen(íR) 


9 . F(x) =• yl + 2x + x } 


II. g(t) 


13 . y = eos (rr + } 


10 . f(x) - (1 + 


12. /(/) = f v tg t 


14. V = a 3 + cos’x 






izMS- *CÂtCyLO - Editora Thomson 


16. >• — 4 sec 5.x 


.£££ . • . - 20. V — < -'-v 

15. y = e ■ ■ 

17. g(x) - {1 + 4x) 5 (3 + .x - x-f 

18 . h(t) « (í J - l) (/ + ! ) 

19. v - (2x - 5) 4 (8 .í 2 - 5)- 3 20. v = U 2 + DV-* 2 


21. y = xe'*' 
23. y £* 105 ' 


22. y = e~* cos 3x 


24. v = 3 O 1 


25 . F(i0 - ^ 


26. G(y) = 


( v 2 + 2yf 


V r‘ + 1 


29. y - tg(cos.x) 


32. y — tg 2 (30) 


33. y “ ( 1 + cosV) 6 


34. v — -vsen — 
.x 


35. y = sec 2 x + tg 2 x 


36. v — e 1 


37. y = cotg 2 (sen ff) 


38 v = sen(sen(sen x)) 


V-X + V- T 


40. y '-= y.T + y.x + y/x 


41. y = sen(íg Vsen x 


42. v = 2 31 


43_46 Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto 
ciado. , _ 


uauu. , 

43. y - (l + 2x) , (0. 1) 44 - y = sen X 4 sen*x, (0, 0) 

45 y = sen(sen x), {tt, 0 ) 4 0- y ~ x e (2* ^ ' e ^ 


47. (a) Encontre uma equação da reta tangente à curva 

v = 2/(1 + e~ x ) no ponto (0, 1). 

II (b) ilustre a parte (a) fazendo o gráfico da curva e da tangente 
na mesma tela. 

48. (a) A curva y = jx j JyJY^^ é chamada curva ponta de 

baia. Encontre uma equação da reta tangente a essa curva 
no ponto (1,1). 

|| (b) Ilustre a parte (a) fazendo o gráfico da curva e da tangente 

na mesma tela. 

49. (a) Se f(x) = y/l - *7*, encontre f(x). 

I! (b) Verifique se sua resposta em (a) é razoável comparando os 
gráficos de / e /' . 

50. A função fix) = sen(x + sen 2x), 0 x ir, aparece em 
modulada (FM) aplicações para a sintetização de frequência. 

|1 (a) Use uma calculadora gráfica para esboçar um gráfico da /e 

use esse gráfico para dar um esboço, mesmo que grosseiro, 
do gráfico de / ’ . 

(b) Calcule f(x) e utilizando uma calculadora gráfica use a 
expressão de /'para obter seu gráfico. Compare com o 
obtido no item (a). 


51. Encontre todos os pontos sobre o gráfico da í unção 

fix) = 2 sen x + sen-x 
nos quais a reta tangente é horizontal. 

52. Encontre as coordenadas x de todos os pontos sobre a curva 
v - sen 2x - 2 senx em que a reta tangente é horizontal. 

53. Suponha que F(x) - f(g{x)) e g( 3) = 6, g\ 3) - 4, / (3) = 2 e 

/'( 6) 7. Encontre F'(3). 


54, Suponha que w = u° vt u(0) =~ 1 , t ! (0) — 2, u (0) — 3, u (2) 4, 

*,.'(()) — 5 e v'{2) = 6. Encontre ufiO). 


55. É dada uma tabela de valores para /, g, f e g' . 




(a) Se h(x) -- f(g(x)). encontre h’(\). 

(b) Se H{x) -= g(f(x)), encontre H’{ 1). 


56. Sejam f tg as funções do Exercício 55. 

(a) Se F(x) =* /(/(*)), encontre F'( 2). 

(b) Se G(x) * g(g(x)), encontre G'(3). 


57. Se f e g forem as funções cujos gráficos estão mostrados, seja 
u(x) 'fUi(x )). v(x) - <?(/(.*)) e w(x) - g(g(x)). Encontre cada 
derivada, se ela existir. Se não existir, explique por quê. 

(a) u'(l) (b) p'(l) (c) w'(l) 


58. Se f for a função cujo gráfico está mostrado, seja h(x) - f(f(x)) 
e g(x) = /(X a ). Use o gráfico de / para estimar o valor de cada 
uma das derivadas. 

(a) h’{ 2) (b) g '(2) 


y = fix) f 




mm 




61 . Suponha que /seja diferenciável em !R. Seja F(x) =<=/(e") e 
ü(x) - é U) . Encontre as expressões para (a) F\x) e (b) G'(x). 


62 . Suponha que / seja diferenciável em I e a, um número real. 
Seja F{x) —f{x a ) e G(x ) = [/( x)] a . Encontre as expressões 
para (a) F'(x) e (b) G’(x). 

63 . Suponha que L seja uma função tal que L'(x) = \fx para x > 0. 
Determinar uma expressão para a derivada de cada função. 

(a )/(x) - L(r) (b) g(x) - L(4x) 

(c) F(x) - 1 L(x)Y (d) G(jc) = L( 1 lx) 

64 . Seja r(x) - fig(h(x))) onde h{ 1 ) = 2, g( 2) = 3, h'( \ ) = 4. 
g'{ 2) = 5e /'(3) = 6. Encontre r'(l). 

65 . O deslocamento de uma partícula sobre uma corda vibrante é 
dado pela equação 

s(l) =10 + ^sen(lOirr) 

onde a' é medido em centímetros e t em segundos. Encontre a 
velocidade da partícula após t segundos. 

66. Se a equação de movimento de uma partícula for dada por 
s — A cos(íu/ + Ô), dizemos que a partícula está em um 
movimento harmônico simples. 

(a) Encontre a velocidade da partícula no instante t. 

(b) Quando a velocidade é zero? 

67 . A Cefeu é uma constelação cujo brilho é variável. A estrela 
mais visível dessa constelação é a Delta Cefeu. para a qual o 
intervalo de tempo entre os brilhos máximos é de 5,4 dias. O 
brilho médio dessa estrela é de 4,0, com uma variação de 
±0,35. Em vista desses dados, o brilho de Delta Cefeu no 
instante /, onde t é medido em dias, foi modelado pela função 

B(t) — 4.0 + 0,35sen(2ir//5,4) 

(a) Encontre a taxa de variação do brilho após t dias. 

(b) Encontre, correta até duas casas decimais, a taxa de 
crescimento após 1 dia. 

68. No Exemplo 4 da Seção 1 .3 chegamos a um modelo para a duração 
da luz do dia (em horas) na Filadélfia no r-ésimo dia do ano: 

2'77 

Lit) = 12 + 2,8 sen ~—(t - 80) 

36õ 

Use esse modelo para comparar como o número de horas da 
duração da luz do dia está crescendo na Filadélfia em 21 de 
março e 21 de maio. 


James Stewart ’ CAPÍTULO 3 p.f RAS JE jíF - 3 40 I 22S 


ü 89. 0 movimento de uma mqa sujeita a uma força de atrito ou a uma 
força de amortecimento (tal como amortecedor em um carro) é 
frequentemente medel a do pelo produto de unia função 
exponencial e uma função seno ou cosseno. Suponha que a 
equação de movimento c{ e um ponto sobre essa mola é 

AÍ?) ^ 2e" uii sen 2irt 

onde s é medida em centímetros e ?, em segundos. Encontre a 
velocidade após t seguru] os e faça o gráfico das funções 
posição e velocidade par a 0 t «£ 2. 


70 . Sob certas circunstâncias um boato se espalha de acordo com a 
equação 


onde p(t) é a proporção da população que já ouviu o boato no 
instante t,eaek são constantes positivas [na Seção 9.5 
veremos que esta é uma equação razoável para p{t)\. 

(a) Encontre li 

(b) Encontre a taxa de espalhamento do boato. 

11 (c) Faça o gráfico de p para o caso a = 10, k = 0,5, onde t é 

medido em horas. Use o gráfico para estimar quanto tempo 
será necessário para o boato atingir 80% da população, 
lí 71- O flash de uma câmera estoca carga em um capacitor e a 

dispara instantaneamente quando ativado. Os dados a seguir 
descrevem a carga remanescente no capacitor (medida em 
microcoulombs, çtC) no instante / (medido em segundos). 



(a) Use uma calculadora gráfica ou computador para encontrar 
um modelo exponencial para a carga (veja a Seção 1 .5). 

(b) A derivada £>'(?) representa a corrente elétrica (medida em 
microampères, /xA ) que flui do capacitor para a lâmpada 
do flash. Use a parte (a) para estimai a corrente quando 

t 0,04 s. Compare com o resultado do Exemplo 2 na 
Seção 2.1. 

§§§ 72 . A tabela fornece a população dos Estados Unidos de 1790 a 1 860. 


Ano | População , 

Ano 

i" 5 op ü 1 <.tÇ <.k> 

1790 | 3.929.000 | 

1830 

1 2.861 .000 

1810 1 7.240.000 

4so 

23.192.000 

í <<n{} | O ono 1 

1860 

3 ] .443.000 


(a) Use uma calculadora gráfica ou computador para ajustar um; 
função exponencial aos dados. Faça um gráfico dos ponto 4 
dados e do modelo exponencial. Qual a qualidade do ajuste? 

(b) Estime as taxas de crescimento populacional em 1 800 e 
1 850 fazendo a média de inclinações de retas secantes. 

(c) Use o modelo exponencial da parte (a) para estimar as 
taxas de crescimento em 1800 e 1850. Compare essas 
estimativas com as da parte (b). 





CÁLCULO • Editora Thomson 


|lSl|te (d) Use o modelo exponencial para predizer a população em 
1870. Compare com a população real de 38-558.000. Você 
-'C'' " pode explicar a discrepância? 

: SÉ 73. Os CAS têrn comandos que diferenciam as funções, mas a forma da 
resposta pode não ser conveniente e, portanto, os comandos 
posteriores podem ser necessários para simplificar a resposta. 

(a) Use um CAS para encontrar a derivada do Exemplo 5 e 
compare com a resposta dele. Então use o comando 
simplificar e compare novamente. 

(b) Use um CAS para diferenciar a função do Exemplo 6. O 
que acontecerá se você usar o comando simplificar? O que 
acontecerá se você usar o comando fato nu? Qual a forma 
da resposta para melhor localizar as tangentes horizontais? 

74. (a) Use um CAS para diferenciar a função 


/Ú) - y ^ + x + j 

e para simplificar o resultado. 

(b) Onde o gráfico de / tem tangentes horizontais? 

(c) Faça na mesma tela os gráficos de/ e/' . Os gráficos são 
consistentes com sua resposta da parte (b)? 

75. Use a Regra da Cadeia para provar o que se segue. 

(a) A derivada de uma função par é uma função ímpar. 

(b) A derivada de uma função ímpar é uma função par. 

76. Use a Regra da Cadeia e a Regra do Produto para dar uma 
prova alternativa da Regra do Quociente. 

{Sugestão: Descreva f{x)/g{x) = f(x)[g{x)}" 1 ] 

77. (a) Se n for um inteiro positivo, prove que 

d . n , 

(sen x cos nx) — n sen" - 'ar cos(n + 1 ).v 


(b) Encontre uma fórmula para a derivada de 
v = coscv cos nx 
íjue seja similar àquela da parte (a). 

78. Suponha que v ~ f{x) seja uma curva que está sempre acima do 
eixo a e não tenha uma tangente horizontal, sendo f diferenciável 
em toda a parte. Para quais valores de y a taxa de variação de 
/ em relação a x é 80 vezes a taxa de variação de y em relação a :t? 

79. Use a Regra da Cadeia para mostrar que, se 0 for medido 
em graus, então 

Ti^-W*** 

(Isso dá uma razao para a convenção de que a medida em 
radianos e sempre usada quando tratamos no cálculo com 
as funções trigonométricas: as fórmulas de diferenciação 
não são simples se usamos a medida em graus.) 

80. (a) Escreva J x j — y x 2 e use a Regra da Cadeia para mostrar que 


(b) Se f(x) = jsenx j, encontre /'(.r) e esboce os gráficos 
de/e/' . Onde / não é diferenciável? 

(c) Se g(x) — sen | x | , encontre g'(x) e esboce os gráficos de g 
e g . Onde g não é diferenciável? 

81. Suponha que P e Q sejam polinómios e n seja um número 
inteiro positivo. Use o princípio de indução matemática 
para prover que a n-ésima deri vada da função racional 
J(x) — P{x)!Q(x) pode ser escrita como uma função 
racional com denominador [Q(j)] ,; *\ Em outras palavras, 
existe um polinómio A, , ta] que/ ! %f) = A,/Q/(Q(x}] ,! * ! . 


Diferenc iação Implícita 


As funções encontradas até agora podem ser descritas expressando* se uma variável 
explicitamente em termos de outra; por exemplo. 

y — V'C + 1 ou y — x sen x 

ou, em geral, v = f(x). Algumas funções, entretanto, são definidas implicitamente por uma 
relação entre a- e y, tal como 


a 2 + v 2 = 25 


Lm alguns casos é possível resolver uma equação para y como uma função explícita (ou 
várias f unções) de x. Por exemplo, se resolvermos a Equação 1 para y, obteremos 
y — — y 25 — x*, logo, duas funções determinadas pela Equação implícita 1 são 
./ U) — V 25 — x “ e g(x) — — y 25 — r 4 . Os gráficos de j e g são os semicírculos superior 
e inferior do círculo ,r + y 2 = 25 (veja a Figura 1). 


James Stewart 



CAPÍTULO 3 REGRAS Dc DIFERENCIAÇÃO 227 


v A y * y | 



(a) jr + y : = 25 (b) f(:x) = V'25 - x- (c) g(x) - -V25 ~x ! 


Não é fácil resolver a Equação 2 para v explicitamente como uma função de x à mão. 
(Para o sistema algébrico computacional não há problema, mas as expressões obtidas são 
muito complicadas.) Não obstante, (2) é a equação da curva chamada fólio de Descartes, 
mostrada na Figura 2, e implicitamente define y como várias funções de.*. Os gráficos de 
três dessas funções estão representados na Figura 3. Quando dizemos que/é uma função 
definida implicitamente pela Equação 2, isso significa que a equação 

* 3 + [/U)f = 6 xf(x) 
é verdadeira para todos os valores de x no domínio de f. 


y y * v a 



FiGURA 3 

Gráficos de três funções definidas pelo fólio de Descartes 

Felizmente não precisamos resolver uma equação para v em termos de x para de encon- 
trar a derivada de y. Em vez disso, podemos usar o método da diferenciação implícita, 
que consiste em diferenciar ambos os lados da equação em relação are então resolver a 
equação resultante para y’ . Nos exemplos e exercícios desta seção presuma sempre que 
a equação dada determine y implicitamente como uma função diferenciávei de x de forma 
que o método da diferenciação implícita possa ser aplicado. 


EXEMPLO 1 :: 

dy 

(a) Se x 2 + y 2 — 25, encontre 

dx 

(b) Encontre uma equação tangente ao círculo x 2 + v 2 — 25 no ponto (3,4). 
SOLUÇÃO 1 

(a) Diferencie ambos os lados da equação x z + y = 25: 


d , „ 

— kx' + y) 

dx 



d 

dx 


(x 2 ) + 


d 

dx 


(v 2 ) = 0 




• " Z2B j|j CÁLCULO 


Etífíors Thomson 


m brando que y é uma função de x e usando a Regra da Cadeia, temos 


Assim, 


d . d „ dv dy 

~dx ir = i/v 7 (>,Í) ~dx = 2j "dx 


2.x 4- 2v -f- = 0 
r/x 


A fc ora, vamos resolver essa equação para dy/dx: 

dy _ x 
dx y 

^ Aã) ponto (3, 4 ) temos x = 3 ey = 4; logo: 


^ e quação da reta tangente ao círculo em (3, 4) é, portanto: 

y — 4 = ~|(.r — 3) ou 3x + 4>’ ~ 25 

SOLUÇÃO 2 

sobre^ eS °^ Ven ^° a et l ua Ç ao x 2 + y 2 — 25, obtemos y ~ ±y>25 — x 2 . O ponto (3, 4) está 
f(x) ° S£ — 1Clrcu ^° superior y — y25 — x 2 , e assim vamos considerar a função 
v25 — x~. Diferenciando / usando a Regra da Cadeia, temos 

f'(x) - |(25 - x 2 r 1/2 - f (25 - x 2 ) 

dx 

- 1(25 - x 2 )“ 1/2 (— 2x) 


V25 - x 3 


V25 ~ 3 2 4 

’ C ° m ° na s °íução 1 , uma equação da reta tangente é 3x + 4y — 25. 

^P"[^ ^ O Exemplo 1 ilustra que, mesmo quando é possível resolver uma equação 
tieníe para y em termos de x, pode ser fácil usar a diferenciação implícita. 

relo ^ ^ expressão dy/dx — —x/y dá a derivada em termos de x e y. Isso está cor- 

pendentemente de qual função v ficará determinada pela equação dada. Por exern- 
plo, para y = f( \ __ , y, , . M 

/ vx) — y 25 — ,t‘ temos 


v/25 ~ x 3 


uquanto para y = y(^) — -y'25 — x 2 temos 


v/25 — x 2 


-James Stswarl 


225 



FIGURA 5 


CAPÍTULO 3 REGRAS 


(a) Encontre v' se x 3 + y 3 = 6xy. 

(b) Encontre a reta tangente ao fólio de Descartes x ; + y 5 = óxy no ponto (3, 3). 

(c) Quais pontos sobre a curva à reta tangente são horizontais ou verticais? 


SOLUÇÃO 

(a) Diferenciando ambos os lados de x 3 + y 3 = 6 xy em relação a x, considerando y como 
uma função de x e usando a Regra da Cadeia no termo y 3 e a R e gra do Produto no termo 
6xy, obtemos 


3x 2 + 3y 2 y' = 6y + óxy' 
ou A' 2 + y 2 y* = 2y + 2 xy' 

Agora vamos resolver para y': y 2 y' ~ 2 xy' — 2 y - x 2 

(y 2 - 2x)y' = 2y - x 2 
, 2y — x 2 


(b) Quando x — y — 3, 


, _ 2 ♦ 3 — 3 2 _ __ 
y ~ 3 2 - 2 • 3 “ 1 

e uma olhada na Figura 4 confirma que este é um valor razoável para a inclinação em 
(3, 3). Logo, uma equação da tangente ao fólio de (3, 3) é 

y — 3 = — l(x — 3) ou x + y — 6 


(c) A reta tangente é horizontal se y' = 0. Usando a expressão de y' da parte (a) vemos 
que y' = 0 quando 2y — x 2 = 0. Substituindo y — |x 2 na equação da curva, obtemos 

x 3 + (|x 2 ) 3 = 6x(|x 2 ) 

que se simplifica para x 6 = 16x 3 . Portanto, tanto x = 0 como x ? = 16. Se x = 16 í,: ’ = 2 4/3 , 
então y — |(2 S/3 ) = 2 5A \ Assim, a tangente é horizontal em (0, 0} e em (2 m , 2 5/3 ), que é 
aproximadamente (2,5198; 3,1748). Olhando a Figura 5 vemos que nossa resposta é 
razoável. 

NOTA 3 □ Há uma fórmula para as três raízes de uma equação cúbica que é 
semelhante à fórmula quadrática, mas muito mais complicada. Se usarmos essa fórmula 
(ou um CAS) para resolver a equação x 3 + y 3 = 6xy para y em termos de x, vamos obter 
as três funções determinadas pela equação: 


y — f(x) = yf |x' 


A 


Sx 1 + </- 


í 3 

■a 


V|x 6 


8x ■' 


e 





provou em 1824 que não existe uma 
íórrnuia gera! dada para as raízes de 

uma equação de quinto grau em 

termos de radicais. Mais tarde o 
matemático francês Evariste Galois 
provou que é impossível encontrar 
uma fórmula gerai para as raízes de 
uma equação de n~é simo grau (em 
termos de operações algébricas sobre 
os coeficientes) se n for qualquer 
Inteiro maior que 4. 


v = ; ["“/(x) £ V 3 ( \ 2 -V + vi-V' H.V •' \ — 4 . — V 1 ,v fe 8x")j 

(Essas são as três funções cujos gráficos estão na Figura 3.) Você pode ver que o método 
da diferenciação implícita poupa uma enorme quantidade de trabalho em casos como este. 
Além disso, a diferenciação implícita funciona tão facilmente para as equações corno 

y* 4- 3js :*y 2 + 5.x 4 — 12 

para os quais é impossível encontrar uma expressão similar para y em termos de x. 
EXEMPLO 3 ’ Encontre y r se sen (.v 4- y) = y 2 cos x. 

SOLUÇÃO Diferenciando implicitamente em relação a x e lembrando que y é uma função 
em x, obtemos 

cos(.v + y) • (1 + y') = 2yy' cos x + y 2 ( — sen.r) 

(Note que usamos a Regra da Cadeia no lado esquerdo e as Regras da Cadeia e do Pro- 
duto no lado direito.) Juntando os termos que envolvem y’ obtemos 

cosíx + y) 4- y 2 seu x — (2ycos x)y' — cos(x + y) * y' 

_ , y 2 sen x + cos(x 4- v) 

Portanto y f - — - — 

2vcos x ~ cosíx + v) 


A Figura 6, feita com o comando implicit-plott tle um CAS, mostra parte da curva 
sen(x 4- y) — y 2 cos x. Como uma verificação de nossos cálculos, observe que y ' — - 1 
quando x ~ y — 0, e no gráfico temos a impressão de que a inclinação é de 
aproximadamente —1 na origem. 


FIGURA 6 


./ V 

y :/nV 


a&ê 
mm 
\ / " 

ii ui 


feJS Trajetórias Ortogonais 

Duas curvas são chamadas ortogonais se em cada ponto de interseção suas tangentes são 
perpendiculares. No próximo exemplo vamos usar a diferenciação implícita para mostrar 
que duas famílias de curvas são trajetórias ortogonais uma da outra; isto é, cada curva 
em uma família é ortogonal a todas as curvas da outra família. As famílias ortogonais 
surgem em várias áreas da física. Por exemplo, as linhas de força em um campo ele- 
trostático são ortogonais às linhas de potencial constante. Em termodinâmica, as isotérmi- 
cas (curvas de mesma temperatura) são ortogonais às linhas de íluxo de calor. As linhas 
aerodinâmicas (curvas de direção do fluxo de ar) são trajetórias ortogonais às curvas t 
velocidade-equipotenciais. ‘ 

\ 

EXEMP10 4 o A equação ! 


representa uma família de hipérboles. (Os valores distintos da constante c dão origem a 
diferentes hipérboles. Veja a Figura 7.) A equação 


representa outra família de hipérboles com assintotas y = ±x. Mostre que toda curva da 
família (3) é ortogonal a toda curva na família (4); as famílias são trajetórias ortogonais 
uma da outra. 


FIGURA 7 


4GURA 8 



.23 



O Esse mesmo método pode ser 
utilizado para obter a fórmula da 
derivada de qualquer função inversa. 
Veja o Exercício 67. 


;;;; A Figura 8 mostra o gráfico de 
/(,í) -- tg lx e sus derivada 
f’(.x) =1/(1 -f rfl. Note que / é 
crescente e f'(x) é sempre positiva. O 
fato de que tg "br —*■ t.n/2 quando 
x ±-oc está refletido em que 
fix) — > 0 quando x ±<*. 


James Stewart 


CAPITULO 3 


SOLUÇÃO Diferenciando implicitamente a Equação 3 obtemos 

... . í/V V 

: fe ; -V -f V — 0 logo = — 

dx " dx x 

Diferenciando implicitamente a Equação 4 obtemos 

r/v í/y Y 

! 6] 2x ~ 2y -f- = 0 logo i 

' cfr fc dx v 

De (5) e (6) vemos que em qualquer ponto de interseção das curvas em cada família, as 
inclinações das tangentes são os recíprocos negativos uma da outra. Portanto as curvas 
se interceptam em ângulos retos. 

Derivadas das Funções Trigonométricas Inversas 

As funções inversas trigonométricas foram revisadas na Seção 1.6. Discutimos suas cor 
tinuidades na Seção 2.5 e suas assintotas na Seção 2.6. Aqui a diferenciação implícita sei 
usada para determinar as derivadas das funções trigonométricas inversas, supondo qu 
essas funções sejam diferenciáveis [de fato, qualquer que seja a função f difereneiável 
um a um, pode ser provado que sua função inversa,/ 1 , é também diferencia v e fi excet 
onde suas tangentes são verticais. Isso é plausível, pois o gráfico de uma função díferei 
ciável não possuí bicos ou dobras e se o refletimos em torno de y — x, o gráfico de st; 
função inversa também não terá bicos ou dobras j. 

Lembre-se de que a função inversa da função seno foi dada por: 

. 7 T TT 

y — sen x Significa sen y = x e — — - ■ y ^ — 

Diferenciando sen y — x implicitamente em relação a x obtemos 

í/v dx 1 


Agora cosy > 0, uma vez que — tt/2 =£ y ^ rr/2, logo: 

cos y — yl — sen 2 y — y 1 — x 2 


Portanto 


v/ l - v 2 


(sen 5 ;r) 


A fórmula para a derivada da função arco tangente é deduzida de maneira similar. Se 
V = tg '.v, então tg y = r. Diferenciando essa ultima equação implicitamente em relação 
a x temos 


1 + tg'V 


(tg " ^r) 


FIGURA 8 



■■KRfe Editora Thorason 


7 .'' ■ ■ 


SOLUÇÃO 


Diferencie (a) v — — e íb) /‘{Yb- r arctg J x . 

sen ‘x 


c/v í/ . , „ cl 

-r- — (sen x) — — (sen YT" — (sen~Y) 

dx dx dx 


r: Lembre-se de que arctg x é uma (b) 

notação também utilizada para tg"'Y 


(sen' Y ) 2 ví — x 2 

f'{x) = x — + arctg -Jx 

ujv.rf ‘ 

= + arctg -Jx 

2(1 + *) 


As fórmulas para as derivadas de 
cossec _! x e sec 1 jc dependem das 
definições que foram usadas para 
essas funções (veja o Exercício 54). 


As funções trigonométricas inversas que ocorrem com mais frequência são aquelas que 
acabamos de discutir. As derivadas das quatro funções remanescentes estão dadas na 
tabela a seguir. As provas das fórmulas ficam como exercício. 




d , , 1 

— (sen x) = —j==== 
dx v 1 ~ X a 


(cos" Y) — 


V l ■ x' } 


- — (cossecY) — — — 
dx xJx 2 — 1 


íc (SeC "- r) “ 17^7 


( tg“‘ x) 


1 + x 2 


— (cotgY) 2 = — 

dx 1 + ,r 


Exercícios 


(a) Encontre y' diferenciando implicitamente. 

(b) Resolva a equação e.xplicitamente para y e diferencie para obter 
y' em tennos de x. 

(c) Verifique se suas soluções para as panes (a) e (b) são consistentes 
substituindo a expressão para y em sua solução para a parte (a). 

1. xy + 2x + 3x 2 — 4 2. 4x 2 4- 9y 2 = 36 


3 . ! + !-i 

X V 


4. y/x + Jy - 4 


5-20 O Encontre dy/dx diferenciando implicitamente. 

5. x 2 + v 2 = 1 6. x 2 - y 2 = 1 

1. x 3 + x 2 y + 4y 2 — 6 8, x 2 - 2xy + _v 3 = c 

9. x 2 v + xv 2 = 3x 10. v 5 + x 2 v 3 ~ 1 + ve 3 


11. x 2 v 2 + x sen y — 4 
13. 4 cos x sen y = 1 


17. yjxy — 1 + x z y 
19. xy - cotg(xy) 


12. 1 + x = sen(xy 2 j 

1 4. y sen (x : 2 j = x sen j y 2 ) 
16- Jx + y~- 1 + x 2 >’ 2 
18. t e (x- r )=-X- 


18. tg(* -}')=-Y 

1 + X" 

20. sen x + cos v — sen x cos v 


21. Se 1 + /(x) + x 2 [/(x)j"“ 0 e/(i)— 2, ache/'(l). 

22. Se g(x) + x sen g(x) — x 2 e g( 1 ) — 0, ache </(!). 

23-24 Considere y como a variável independente e x como a variável 
dependente e use a diferenciação implícita para encontrar dx/dy. 

23. v 4 + x*y 2 + yx 4 = y + 1 24. (x 2 + y 2 ) 2 = ax 2 y 


James Stewart 



25-30 Use a derivação implícita para achar uma equação da reta 
tangente à curva no ponto dado. 


25 . x 2 + xy + v 2 = 3, 


(1, 1) (elipse) 


28. x 2 + 2 xy - y~ + x~ 2, ( 1.2) (hipérbole) 

27. x 2 + y 2 = (ix 2 + 2y 2 - x ) 1 28. x 2/3 + y 2/ 3 = 4 

(0,{) (cardióide) . (-3 v /3,l) 

(astróide) 



y á 

j 

/; 

1 


\ 

/ 




X 

/ 


29 . 2(x 2 + j 2 ) 2 — 25 (x 2 — v 2 ) 30 , y 2 (y 2 ~ 4) — x 2 (x 2 - 5), 


(3,1) 

(lemnisçata) 


( 0 ,- 2 ) 

(curva do diabo) 


SAPÍTUiO 3 REGRAS Dt DipERENCÍAÇÀO- 3 235 


(c) Encontre as coordenadas x exatas- nos pontos da -parte (a). 

(d) Crie curvas mais extravagantes ainda modificando a equaçãc 
da parte (a). 

34. (a) A curva com a equação 

2 y J + y 2 - y" = x* - 2x i 4- jc 2 


tem sido comparada com um vagão sacolejante. Use um CAÍ 
para fazer essa curva e descubra o porquê desse nome. 

(b) Em quantos pontos essa curva tem retas tangentes horizon- 
tais? Encontre as coordenadas de x desses pontos. 

35 . Encontre os pontos sobre a lemnisçata do Exercício 29 onde a 
tangente é horizontal. 

36 . Mostre, fazendo a diferenciação implícita, que a tangente à elips 


x 
a 1 



1 


no ponto (xo , yo ) é 


XgX 

cr 




b 2 


= 1 


37 . Encontre uma equação da reta tangente à hipérbole 


L 



31 . (a) A curva com equação y 2 — 5x* — jt é chamada 

kampyle de Eudoxus. Encontre uma equação da reta 
tangente para essa curva no ponto (1,2). 

(b) Ilustre a parte (a) fazendo o gráfico da curva e a reta 
tangente sobre urna tela em comum. (Se seu recurso 
gráfico puder fazer o gráfico de curvas definidas 
implicitamente, então use essa capacidade. Se não, 
você poderá ainda fazer o gráfico dessa curva 
separando sua metade superior da inferior.) 

32 . (a) A curva com equação y 2 = x' + 3x’ é denominada 

cúbica de Tschirnhausen. Encontre uma equação da 
reta tangente a essa curva no ponto (1 , -2). 

(b) Em que pontos essa curva tem uma tangente horizontal? 

(c) Ilustre as partes (a) e (b) fazendo o gráfico da curva e 
as retas tangentes sobre uma tela em comum. 

33 . Formas extravagantes podem ser criadas usando-se a 
capacidade implícita de desenhar de um CAS. 

(a) Faça o gráfico da curva com equação 

y(y 2 " l)(y - 2) = x(x - l)(x - 2) 

Em quantos pontos essa curva tem tangentes horizontais? 
Estime as coordenadas x desses pontos. 

(b) Encontre as equações das retas tangentes nos pontos 
(0, l)e (0,2). 


no ponto (xo, yo.)- 

38 . Mostre que a soma dos interceptos x e y de qualquer reta tan- 
gente à curva y/x + Vy = yc é igual a c. 

39 . Mostre, usando a diferenciação implícita, que qualquer reta tangeni 
em um ponto P a um círculo com centro O é perpendicular ac 
raio OP. 

40 . A Regra da Potência pode ser provada usando-se a diferenciaçã 
implícita para o caso onde n é um número racional, n = p/q, 
y ~ f(x) — x n é assumida de antemão como uma função diferen 
ciãvel. Sey — x p/ 'x então y q ~ x p . Use a diferenciação implícita 
para mostrar que 

v' = ^x^-' 

q 


Encontre a derivada da função. Simplifique onde possíve 


41 . y — tg 1 yfx 

42 . y = y\g l X 

43 . y = sen' 1 (2x + 1) 

44 . hix) = y/l - x 2 arcsen . 

45 . H(x) — (1 + .ri) arctg x 

46. y = tg _i (x - y/í + x 2 ) 

47 , h(l) = cotg ! (0 + cotg ’(l/í) 

48. y — xcos ^x — y 1 — 

49 , y— cos"‘(e 2 ‘ j 

50 . v — arctg(cos 0) 

j§§j 51-52 ~2 Encontre f'(x). Verifique se sua resposta é razoável 
comparando os gráficos de / e 

51 . jix) — e* - x 2 arctg x 

52 . /(x) - x arcsend ~ x 2 ) 



CÁLCULO Editora Thoirison 

ff* 53. Prove a fórmula para (d/d. r) (cos '.t) pelo mesmo método como 
para (d/dx)( senfv). 

54. (a) Uma maneira de definir sec v é dizer que 

v = sec' lx <-■'■■■:> sec y — x e 0 «S y < tt/2 ou 

tt y < 3 77 / 2. Mostre que. se essa definição for adotada. 



então 


d . 

— (sec A) 
dx 


1 

t vÁ 2 - 1 


(b) Outra maneira de definir sec "fx é dizer que 

v = sec " U <“> sec y — x e 0 *£ y -S tt. y # 0. Mostre 
que. se essa definição for adotada, então 

d 1 

dx 1 j í K r 3 - 1 

55-56 Mostre que as curvas dadas são ortogonais. 

55. 2jc" + y 2 — 3, x y 1 

56, v 2 - y 2 - 5, 4.x- 2 + 9y- = 72 


57. As curvas de nível de urna região montanhosa são aquelas que 
ligam os pontos com a mesma elevação. Uma bola caindo de 
uma montanha segue a curva de descida mais inclinada, 
ortogonal às curvas de nível. Dado o mapa de nível de uma 
montanha, esboce os caminhos de bolas que começam nas 
posições A e B. 


A 



58. O homem do tempo da TV muitas vezes apresenta mapas mostrando 
frentes de pressão. Esses mapas exibem as curvas isobáricas ao 
longo das quais a pressão do ar é constante. Considere a família 
isobárica mostrada na figura. 



Esboce os vários membros ua família de trajetórias ort os onais dos 
isóbaros. Dado o fato de que o vento sopra da região de alta pressão 
para a de baixa, o que a família de ortogonais representa? 

írtM?2 Mostre que as famílias de curvas dadas são trajetórias 

ortogonais uma da outra. Esboce ambas as famílias de curvas sobre 

o mesmo eixo. 

59. x* + y 2 = r 2 , ax + by = 0 

60. x~ + y* = ax, x 2 + y 2 — by 

61. v cx 2 , x 2 + 2 y 2 -■■■ k 

62. v — ax\ x 2 + 3y 2 — b 

63. A equação ,r ~ xy + y — 3 representa uma “elipse girada", isto é. 
urna elipse cujos eixos não são paralelos aos eixos coordenados. 
Encontre os pontos nos quais essa elipse cruza o eixo x e 
mostre que as retas tangentes nesses pontos são paralelas. 


64. (a) Onde a reta normal à elipse jr — xy + v 2 = 3 no ponto 

( — 1.1) intercepta a elipse uma segunda vez? 

(b) ilustre a parte (a) fazendo o gráfico da elipse e a reta normal. 

65. Encontre todos os pontos sobre a curva .r 2 f + xy ~ 2 onde a 
inclinação da reta tangente é - 1 . 

66. Encontre as equações de ambas as retas tangentes à elipse 
j 3 + 4v 2 = 36 que passa pelo ponto (12, 3). 

67. (a) Suponha que f seja uma função um a um, difere nc tá ve 1, e 

que sua função inversa f seja também diferenciável. Use 
a diferenciação implícita para mostrar que 


Í/“W 


1 

nrix)) 


contanto que o denominador não seja 0, 

(b) Se /( 4) = 5e /'( 4) — encontre (/ : )'{5). 


68 . (a) Mostre que f(x) — 2.x + cos x é um a um. 

(b) Qual o valor de / i 1 )? 

(c) Use a fórmula do Exercício 67(a) para determinar (/-')'( 1). 

69. A figura mostra uma lâmpada localizada três unidades à direita 
do eixo v e uma sombra originada pela região elíptica 

.v 4 4y" 5. Se o ponto (—5. 0) estiver na borda da sombra, 

qual o afastamento da lâmpada acima do eixo x? 




3 


LO 3 


Deri va da s S up e río r e s 


Se / to.r uma função diferenciável, então sua derivada /é também uma função, logo / 
podería ter sua própria derivada, denotada por (/ )' = /" . Essa nova função/" é ehamad 
derivada segunda de/, pois é a derivada da derivada de/ Usando a notação de Leibni 2 
escrevemos a derivada segunda de y — /(a) como 


±( ( Jl 

dx \ f/v 


Outra notação é/"(x) = D 2 f(x). 


EXEMPLO 1 o Se /(*) - a cos .v, encontre e interprete f" ( x ). 
SOLUÇÃO Usando a Regra do Produto, temos 

/ , d . , d 

f (x) — X ÍCOS A) + COS X~~~ (-0 

dx dx 


/ ÀV ' /:. 
T 7TVT' 

V / \ V / 


FIGURA 1 

Os gráficos de /(; t) = x cos r e soas 
derivadas primeira e segunda 


— — x sen x -t- cos x 
Para achar /"(x) diferenciamos f (x): 

f”(x) - — ( -a- sen a + cosa) 
dx 

d d , , t d , v 

= a — (sen x ) + $en x ~ ( x) + -7- (cos x) 
dx ' dx dx 

— — x cos jc ~ sen x — sen x 

— — x cos x — 2 sen a 

Os gráficos de// e/" estão mostrados na Figura 1. 

Podemos interpretar /"(a ) como a inclinação da curva y = /(a) no ponto (a%/(a)). Em 
outras palavras, é a taxa de variação da inclinação da curva original y —/(*). 

Da Figura 1 , pode-se notar que /" (a) « 0 sempre que y =f'(x) tem uma tangente 
horizontal. Também,/" (a) é positiva quando y - f (a) tem inclinação positiva, e negativa 
quando y =/' (a) tem inclinação negativa. Logo, os gráficos servem como uma verificação 
sobre nossos cálculos. 

Em geral, podemos interpretar uma derivada segunda como uma taxa de variação * 
taxa de variação. O exemplo mais conhecido disso é a aceleração , que definimos a segu 

Se s — s(f) é a função posição de um objeto que se move ao longo de uma linha ret 
sabemos que sua primeira derivada representa a velocidade v(t) do objeto como un 
função do tempo: 

ds 

v(j) = s U) = — 
dl 

A taxa de variação instantânea da velocidade em relação ao tempo é denominada ace! 
ração a(t) do objeto. Assim, a função aceleração é a derivada da função velocidade e 
portanto, a derivada segunda da função posição: 



ou, na notação de Leibniz, 



EXEMPLO 2 A posição da partícula é dada pela equação 

s — f(t) — t — 6r 4- 9 1 
onde t é medido em segundos e s, em metros. 

(a) Encontre a aceleração no instante t. Qual é a aceleração depois de 4 s? 

(b) Faça o gráfico da função posição, velocidade e aceleração para 0 *£ / *= 5- 

(c) Quando a partícula está aumentando a velocidade? Quando está diminuindo? 

SOLUÇÃO 

(a) A função velocidade é a derivada da função posição: 

s =/(í) = / 3 - 6r + 9 1 


V 


(» 


ds 

dt 


3 V 


12 1 + 9 



A aceleração é a derivada da função velocidade: 



d 2 s 

dv 

= 6t - 12 

a(t) 


~ dt 1 ~ 

~ dt 


a( 4) 

= 6(4) - 

- 12 

- 12 m/s 2 


A unidade usada para a aceleração é 
metro por segundo, denotada m/s'. 


25 



FIGURA 2 


(b) A Figura 2 mostra os gráficos dej.Ka. 

(c) A partícula aumenta a rapidez quando a velocidade é positiva e crescente (v e a são 
ambos positivos) e também quando a velocidade é negativa e decrescente {ve a são ambos 
negativos). Em outras palavras, a partícula aumenta a rapidez quando a velocidade e a acele- 
ração têm o mesmo sinal. (A partícula e empurrada no mesmo sentido de seu movimento.) 
Da Figura 2 vemos que isso acontece quando 1 < / < 2 e t > 3. A partícula diminui a rapi- 
dez quando v e a têm sinais opostos, isto é, quando 0 t < 1 e 2 < / < 3. A Figura 3 
resume o movimento da partícula. 



FIGURA 3 



u O fator {-})" ocorre na fórmula para 
f%T) porque introduzimos outro sinal 
negativo toda vez que diferenciamos. 
Uma vez que os valores sucessivos de 

(- 1 )" são ~1 , 1,-1, 1 4 -1, 1 a 

presença de (-1)" indica que o sinal 
varia para cada derivada sucessiva. 


James Stewsrt CAPÍTULO 3 REGRAS DE DIFERENCiAÇÁÍ 


23? 


A derivada terceira f" é a derivada da derivada segunda: f" = (/")'. Logo f‘\x) pode 
ser interpretada como a inclinação da curva y = f'(x). ou como a taxa de variação L 1e f'(x). 
Se y = f(x), então as notações alternativas para a derivada terceira são 


y m =/"'( x) 


d 2 y 
dx \ dx 2 


d~y 

~dx* 


D : /íx) 


O processo pode ser continuado. A derivada quarta /"" é geralmente denotada por / !4) . Em 
geral, a derivada u-ésima de / é denotada por f a) e é obtida de / diferenciando n v e zes. Se 
v = f(x), escrevemos 


,.fnf — — 


d n y 


f M = -yt = D"/W 

dx 

Podemos interpretar a derivada terceira fisicamente no caso onde a função é a função 
posição s = s(r) de um objeto que se move ao longo de uma reta. Como s m — (s") r = a 7 , a 
derivada terceira da função posição é a derivada da função aceleração e é chamada 

arranco: 

da d~s 
J dt dt 3 

Logo, o arranco é a taxa de variação da aceleração. Ela é assim chamada porque um grande 
arranco significa um movimento rápido na aceleração, que causa um movimento rápido 
em um veículo. 


EXEMPLO ■ 

então 


Se 


y — — õ.r — 5x + 3 

y' = 3x 2 — \2x ~~ 5 
y" — 6x - 12 
/" “ 6 
y (4) = 0 

e de fato y in) = 0 para todo n 3* 4. 

1 


EXEMPLO 4 


SOLUÇÃO 


Se f(x) = —* , encontre f n) (x). 
x 


1 


1 


f(x) 

n x) 

x~ 

f"{x) - (~2)(— l)x~ 3 = A 

X’ 

f m {x) = -3-2*1* jC 4 
/ (4 >(jc) = 4 * 3 • 2 • 1 • x“ 5 

= -5 * 4 ♦ 3 * 2 * 1 * jc" 6 = ~5 !jc" 6 


f M (x) = (-1 ) n n(n - 1 )(« - 2 ) • * * 2 * 1 • x' ÍH+l) 





Aqui temos usado o símbolo fatorial nl para o produto dos primeiros n inteiros positivos. 



:i A Figura 4 mostra o gráfico da curva 
r + / = 16 do Exemplo 5. Note que 
ela é uma versão esticada e achatada 
do círculo „y‘ + r = 4. Por essa razão 
ela é algumas vezes chamada de 
círculo gordo. Ele começa muito 
íngreme pela esquerda e rapidamente 
se torna bem plano. Isso pode ser 
notado da expressão 

x* ( x\ 
j 



FIGURA 4 


O exemplo a seguir mostra como achar a derivada segunda de uma função que é 
definida implicitamente. 

EXEMPLO 5 o Encontre y" se x' 1 + r = 16. 

SOLUÇÃO Diferenciando a equação implicitamente em relação a x, obtemos 

4a- 3 -f 4yV =* 0 

Resolvendo para y' temos 


1 


Para achar y" diferenciamos essa expressão para y' usando a Regra do Quociente e lem- 
brando que y é uma função de x: 


d 


v = 


A 

dx l y 

v ' * 3 a 2 • ,v í 3 v ' v' ) 


y’ (d/dx){x y ) - .v’ (d/dx)(y ') 


(v 3 ) 3 


Se substituirmos a Equaçao 1 dentro dessa expressão obteremos 

3 x 2 y' — 3 ;r , y 2 |- —p~ 


3 (a 2 v 4 4 - x <! ) 3 x 2 (y 4 + a' 4 ) 


Mas os valores de x e y devem satisfazer a equação origina] jri + y* = 16. Logo, a 
resposta simpliíiea-se para 


tf 

V = 


3 a' 2 ( 16 ) 
y ' 



EXEMPLOS □ Encontre D 27 cos a. 

SOLUÇÃO Algumas das primeiras derivadas de cos x são as seguintes: 


D cos x — -sen x 


Observe o padrão. 


D 2 cos x = —cos x 


D’ cos x = sen x 



James Stewart 


CAPITULO 3 


239 




D 4 COS A' = COS X 
iy cos x ™ -sen x 

Vemos que as derivadas sucessivas ocorrem em um cicio de período 4 e, em particular. 

D' cos x — cos x sempre que n é um múltiplo de 4. Consequentemente 

D 24 cos x = cos x 

e, diferenciando mais três vezes, temos 

D 2 cosa = sen x 

Vimos que uma aplicação das derivadas segunda e terceira ocorre analisando o movimento dos 
objetos usando a aceleração e um arranco. Investigaremos outra aplicação de derivada segunda no 
Exercício 62 e na Seção 4.3, nas quais mostraremos como o conhecimento d tf nos dá infor- 
mação sobre a forma do gráfico de /. No Capítulo 1 1 do Volume II veremos como as derivadas 
segunda e superiores nos capacitam a representar as funções como as somas de série infinita. 



Exercícios 


1. A figura mostra os gráficos de /,/ e/'. Identifique cada curva e 
explique sua escolha. 



Z A figura mostra gráficos de /,/,/' e/". Identifique cada curva 
e explique sua escolha. 


a b c d 



3. A figura mostra os gráficos de três funções. Uma é a função 
posição de um carro, a outra, a velocidade tio carro e uma 
terceira, sua aceleração. Identifique cada curva e explique sua 
escolha. 



4 . A figura mostra os gráficos de quatro funções. Uma é a função 
posição do carro, a outra, a velocidade do carro, unia terceira, 
a aceleração e uma quarta, o arranco. Identifique cada curva e 
explique sua escolha. 



5-20 n Encontre as derivadas primeira e segunda da função. 

5. fix) - x 5 + 6x 2 ~ lx 6. fit) » ~ 7ri + 2? 4 

7. >• = cos 20 8. y — 0 sen 0 

9. F(?) = (l - 7/)* 10. g(x) ~ — -y 

x - 1 

I - 4 u r b 

11. W(k)= 12. H{s)= a-Js + — 

1 + 3 u ss 




Editora TSromsoa 


14. v = xe c 


15. v 


4x 


17. //(/) — tg 3/ 
19. g(t) = rV' 


fx + 1 

18. g(s) ~ ,v z cos s 
20. h{x) ~ tg“*(^) 


21. (a) Se/(x) = 2 cos x + serrx, encontre f(x) e f”(x). 

j§§ (b) Para ver se suas respostas para a parte (a) são razoáveis 

compare os gráficos de f,f tf" - 

22. (a) Se f(x) — <f - x\ encontre f'(x) g f"(x). 

§j| <b) Para ver se suas respostas para a parte (a) são razoáveis 

compare os gráficos de /, /' e f ” . 


23-24 : Encontre / 
23. v = J2x + 3 


24. j 


2x - 1 


25. S e/(t) = t cos í, encontre /"(O). 

26. Se g(x) — y/T~2x, encontre g'”( 2). 

27. S tf (6) = cotg 0. encontre /"(tt/6). 

28. Se </(x) — sec x, encontre p'"(7r/4). 

29-32 - Encontre / diferenciando implicitamente. 

29. 9x 2 + / = 1 30. a/Sc 4- y/y — \ 


31. ./ + / =1 


32. x 4 + y 4 — a 4 


33-37 Encontre uma fórmula para f x '(x). 

33. /(x) = x n 34. f(x) = 


1 


35. /(x) = c 2 ‘ 


5x- 1 
36. f(x) = vi 


37 * /(*)“ _ 


_L 

3x a 


38-40 Encontre a derivada dada encontrando algumas das 
primeiras derivadas e observando o padrão que ocorre. 

38. D 74 sen x 

39. D m cos 2x 

40. D imQ xe-' 


41. 


Um carro inicia do repouso, e o gráfico de sua função posição 
está mostrado na figura, onde s é medida em pés e /, em segun- 
dos. Use-o para fazer o gráfico da velocidade e estime a acele- 
ração em t — 2 segundos do gráfico da velocidade. Então esboce 
um gráfico da função aceleração. 


120 1 
100 
80 
60 
40 
20 


0 




42. (a) O gráfico de uma função posição de um carro é mostrado, 
onde s é medida em pés e /. em segundos. Use-o para fazer 
o gráfico da velocidade e da aceleração do cairo. Qual é a 
aceleração em r — 10 segundos? 



(b) Use a curva da aceleração da parle (a) para estimar o arranco 
em t — 10 segundos. Quais são as unidades para o arranco? 

43-46 A equação do movimento é dada por uma partícula, onde 
s está em metros e f, em segundos. Encontre (a) a velocidade e a 
aceleração como funções em /, (b) a aceleração depois de 1 segundo 
e (c) a aceleração no instante em que a velocidade é 0. 

43. s = 2f - 1 5 r + 36? + 2, ? 5? 0 

44. s *» 2r - 3r - 1 2t, t 2* 0 

45. s = sen (tt//6) + cos(tt//6), 0 2 

46. s — 2 f - lt + 4t + 1, 0 

47-48 : Urna equação do movimento é dada, onde s está em me- 
tros e r, em segundos. Encontre (a) o instante em que a aceleração 
é 0 e (b) o deslocamento e a velocidade nesse instante. 


47. s - ? 4 


4/ 


2 


48. ^ - 2/ - 9/ 2 



James Stewart 


CAFÍTOiO 3 


49. Uma partícula move-se de acordo com uma lei do movimento 
s = f(t) = f — \2t 2 + 36/, ? 52 0. onde t está medido em 
segundos e s, em metros. 

(a) Encontre a aceleração no instante í e depois de 3 s. 

I (b) Faça o gráfico das funções posição, velocidade e aceleração 
para 0 t =s 8. 

(c) Quando a partícula está aumentando a rapidez? E quando 
está diminuindo? 

50. Uma partícula move-se ao longo do eixo x, sua posição no instante 
t dado por x(t) ~ //( 1 + / 2 ), t 3* 0, onde / está medido em 
segundos e x, em metros. 

(a) Encontre a aceleração no instante /. Quando ela está em 0? 

[ (b) Faça o gráfico das funções posição, velocidade e aceleração 

para 0 / «£ 4. 

(c) Quando a partícula está aumentando a rapidez? E quando 
está diminuindo? 

51. Uma massa atada a uma mola vertical tem função posição dada 
por > ! (Ò — A sen to/, onde A é a amplitude de sua oscilação e ca, 
é uma constante. 

(a) Encontre a velocidade e aceleração como função do tempo. 

(b) Mostre que a aceleração é proporcional ao deslocamento de y. 

(c) Mostre que a velocidade é máxima quando a aceleração é 0. 

52. Urna partícula move-se ao longo de uma reta como o deslocamento 
s(t), velocidade v(t) e aceleração a(t). Mostre que 

a(t) = v(t) — 
as 

Explique a diferença entre os significados das derivadas dv/di 
e dvjds. — 

53. Encontre um polinómio de segundo grau P tal que P{ 2) — 5, 
P'{ 2) ~ 3 e F’( 2) - 2. 

54. Encontre um polinómio de terceiro grau Q tal que Q{ 1) — 1 , 
fi'(l>“3,Ô"(l>-6eô'"<l)“ 12. 

55. A equação y" + y' — 2y — sen x é chamada equação diferencial, 
pois envolve a função desconhecida y e suas derivada y r e y". 
Encontre as constantes A e B tal que sua função 

y = A sen x + B cos x satisfaça essa equação. (Equações 
diferenciais serão estudadas no Capítulo 9 do Volume II.) 

56. Encontre as constantes A, B e C tal que a função v — Ar + Bx + C 
satisfaça a equação diferencial y" + y’ — 2y = x 2 . 

57. Para que os valores de r a função y — e TX satisfaz a equação 
y" + 5y' - 6 y = 0? 

58. Encontre os valores de X para os quais y = e ÀÍ satisfaz a equação 
y + y' — y'- 

59-61 A função g é uma função duas vezes diferenciável. 

Encontre f em termos de g , g' e g". 

59. f(x) = xg{x 2 ) 




50. f(x) 


_ 9Í-V 


81. f{x) — fjt(vx) 

62. Se fix) — 3x 5 ~ 10x 3 + 5, faça os gráficos de f e /". Em quais 
intervalos f”(x) > 0? Nesses intervalos, como está relacionado 
o gráfico de / a suas retas tangentes? O que acontece nos 
intervalos onde f"(x) < 0? 

63. (a) Compute algumas das primeiras derivadas tia função 

f(x) — 1/Q 2 + x) até ver que os cálculos ficam 
algebricamente intratáveis. 

(b) Use a identidade 

1 ” J_ L_ 

x(x +1) X X + 1 

para computar as derivadas mais facilmente. Então encontre 
uma expressão para f n) (x). Esse método de tfividir uma 
fração em termos de frações mais simples, charlado frações 
parciais, será visto com mais detalhes na Seção 7.4. 

64. (a) Use um sistema algébrico computacional para calcular /"', 

onde „ , _ 

ri \ 7.V + 17 

/W“TT “ n 7 

2x - lx - 4 


(b) Determine uma expressão para /"', expressando, primeiramente 
/ em frações parciais. [No Maple, use o comando 
convert(f.parfrac,x); no Mathematica, utilize Apart[f].] 

65. Determine as expressões para as cinco primeiras derivadas 

d ej{x) — xV. Você vê alguma regra nessas expressões? 
Proponha uma fórmula para f ,r ‘(x) e prove-a usando a indução 
matemática. Uy- 

66. (a) Se F{x ) = f(x)g(x), onde / e g têm derivadas de todas as 

ordens, mostre que 

F" — f"g + 2f’g’ + fg” 

(b) Encontre fórmulas similares para F m e 

(c) Conjecture uma fórmula para F in) . 

67 . Se y — f(u) e u ~ g(x), onde / e g são funções duas vezes 
diferenciáveis, mostre que 

d 2 y __ d 2 y / du \ 2 + dy d 2 u 
dx 2 du 2 \ dx I du dx 1 

68. Se y — f(u) e u = g(x), onde / e g possuem derivadas terceiras 
encontre uma fórmula para d i yjdx’ similar à dada no Exercício 67 

69. Suponha p um inteiro positivo e/uma função p vezes o diferen- 
ciável tal que Usando a indução matemática, 

mostre que f ên vezes o diferenciável, para todo o inteiro 
positivo n, e que cada uma das suas derivadas mais altas,/ w , é 
igual a uma das p funções ■ - ■> 




Um caminho de aproximação para uma aeronave aterrissar e mostrado na figura e $at 
ségulntès condições: 

(i) A altitude é h quando a descida começa, a uma distância horizontal € da origehi 




Editora Thomso» 


.tem de manter uma velocidade constante horizontal v ao longo da descida, 
íiíi) O : valor absoluto da aceleração vertical não deveria exceder uma constante k {que é muito 
menor que a aceleração devido à gravidade). 

1 ÂCfié um poHmônio P(x) — ax 3 + bx 2 + cx + d que satisfaça a condição (i) impondo 
condições satisfatórias em.P(íj e P r (x) para o começo da descida e para a aterrissagem. 

2. Use as condições (ií) e (m) para mostrar 

6 hv 2 


3. Suponha que uma companhia aérea decida não permitir que a aceleração vertic al de um avião 
exceda k = 860 mi/h 2 . Se a altitude de um avião é 35.000 pés e a velocidade é 300 mi/h, a 
que distância do aeroporto o piloto deve iniciar a descida? 

4. Faça um caminho de aproximação se as condições declaradas no Problema 3 estiverem satisfeitas. 


Construindo uma Montanha-russa Melhor 

Suponha que você tenha sido contratado para construir a piimeira rampa de subida e de descida de 
uma nova montanha-russa. Analisando as fotografias de suas montanhas-russas preferidas, você 
decidiu construir a rampa de ascensão com inclinação de 0.8 e a de descida com inclinação de -1 ,6. 
Decidiu também ligar essas duas semi-rctas v ~ £,(x) e y — Cr), com parte de unia parábola y -- / (x) = 
ax 2 + bx + c, onde x e /(x) são medidos em pés. Para que a trajetória seja suave, não deve haver 
mudanças bruscas na direção e sentido dó movimento, por isso você quer qúe os segmentos de retas 
L x e £2 sejam tangentes à parábola nos pontos de transição. P e Q (veja a figura). Para tomar suas 
equações mais simples, você escolheu o ponto P como origem de seu sistema de referência, 
t, (a) Suponha que a distância horizontal entre P e Q seja dé 100 pés. Escreva equações em a , b 
e c que lhe garantam que a trajetória seja suave nos pontos de transição. 

(b) Resolva as equações da parte (a) para a ,b e c e encontre uma fórmula para f(x). 

la (c) Faça gráficos de £,,/e £> para verificar geometricamente que as transições são suaves. 

(d) Ache a diferença de elevação entre P e Q. 

2, A solução obtida no Problema 1 pode parecer suave, mas ela poderá não ser sentida suave visto que 
a função definida por partes [formada por £j(x) parax < 0,/(x) para 0 ^ x 100 e por LÂx) 
para x > 100] não tem segunda derivada contínua. Então você decide melhorar seu projeto 
usando uma função quadrática <?(x) = ar + bx + c somente no intervalo 10 - x - 90 e 
conectando-a com as duas funções lineares por meio das duas funções cúbicas seguintes: 
g(x) - lá 3 + lx 2 + mx + n, 0 -s x ,< 10 
h(x) = px 3 + qx 2 + rx + s, 90 < x ^ 100 
(a) Escreva um sistema de equações em 1 1 variáveis que garanta que as funções e suas 
primeiras duas derivadas sejam concordantes nos pontos de transição. 

22 (b) Resolva as equações da parte (a) usando um sistema algébrico computacional e determine 
as fórmulas para qíx), g(x) e h(x). 

(c) Faça gráficos de £,, g, q. A, e £2 e compare com os desenhados no Problema l(c). 


Derivadas de Funções Logarítmicas 


Nesta seção vamos usar a diferenciação implícita para achar as derivadas das funções logarít- 
micas y = Ioga x e, em particular, a função logarítmica natural y = ln x. Assumiremos que 
as funções logarítmicas são diferenciáveis: com certeza isso é plausível a partir dos seus 
gráficos. (Veja Figura 12 na Seção 1.6.) 




James Stewart CAPÍTULOS REGRAS DE D i F b R G NCIAÇAO 


□ A Fórmula 3.5.5 diz que 

d t . 

ia) ■ « In a 


Prova Seja y — log í; x. Então . • ' 

* x 

Diferenciando essa equação implicitamente em relação a a. usando a Fórmula 3.5.5, obtemos 

a ’<ln«>& = , 

<b C. 

f/v 1 1 

e logo — = -~__ 

dx a ln q x: in a w 

Se pusermos a = e na Fórmula 1 . então o f a ^ or \ n a n0 5 ado direito torna-se ln e = 1 . e 
obtemos a fórmula para a derivada da função logarítmica natural !og ( , x ~ ln x: 

[2] I -7- (ln -U = — i 

! dx x 

i_- - — — . 1 

Comparando-se as Fórmulas 1 e 2, vemos Urna das principais razões para os logaritmo; 
naturais (logaritmos com base e) serem usados em cálculo. A fórmula de diferenciação é t 
mais simples quando a s - e, pois ln e = 1 . 

EXEMPLO 1 □ Diferencie y = ln (x 5 + 1). 

SOLUÇÃO Para usar a Regra da Cadeia vamos fazer u - x i + 1 . Então y = ln «; logo: 


dy _ dy du _ 1 du~ _ 1 

dx d u dx a dx x 3 + 1 


x 3 + 1 


Em geral, sc combinarmos a Fórmula 2 com a Regra da Cadeia, como no Exemplo 1 , obtemo 


d I du 

— (ln u) — — 

dx a dx 


EXEMPLO 2 □ Encontre ln(sen x). 

dx 

SOLUÇÃO Usando (3), temos 


d r, f V-, 9 \x) 

- [xng(x) ^— 



U J >< , , 

— intsen x) = • “7- IsenU 

dx sen x dx 


COS X = cotg X 


EXEMPLO 3 Diferencie f(x) = Vln x. 

SOLUÇÃO Dessa vez 0 logaritmo é a função de dentro; logo, a Regra da Cadeia dá 


f'(x) = 4 (ln x)" j/2 — (ln x) — - "r — — = ~ — 7jr sssr 

^ dx 2vlnx x 2xyln x 

EXEMPLO 4 □ Diferencie /(x) = log ;0 (2 + senx). 

SOLUÇÃO Usando a Fórmula 1 com a — 10, temos 

d 1 d 

f’(x) = logio(2 + sen x) -777 , . , ,, ~T (2 + sen x) 

■’ dx (2 + senx; ln 10 dx 


(2 -f senx) ln 10 


d x + 1 

EXEMPLO 5 □ Encontre In -7== 
dx v'x - 2 




244 


CALCULO 


Editora Thomson 


A Figura 1 mostra o gráfico ds 
função / do Exemplo 5 junto com o 
gráfico de suas derivadas. Ela dá uma 
verificação visual de nossos cálculos. 
Note que fix) é muito grande em 
valor absoluto (negativo) quando / está 
decrescendo rapidamente. 


/ 



°l f 

I /' 


FIGURA 1 


□ A Figura 2 mostra o gráfico da função 
flx) = ln | x \ do Exemplo 6 e suas 
derivadas f'(x) = l/x. Observe que 
quando jc é pequeno, o gráfico de y = In 
[ x j é íngreme e, portanto, f'(x) é grande 
(positiva ou negativa). 


3 

TT 



\ W 
. 1 . 1 .. 

-3 


FIGURA 2 


SOLUÇÃO 1 

d x + 1 __ 1 d x 4- J 

~dx ln “ x + I dx 2 

>-2 

= v :v 2 ’1-U+ H(|)ú ~ 2) l/; 

x + I x - 2 

x — 2 — |(x + 1) __ x - 5 
” (.v + 1 )(jc - 2)~” “ 2(x + 1 )(.*; - 2 ) 


SOLUÇÃO 2 Se primeiro simplificarmos a função ciada usando as leis do logaritmo, então 
a diferenciação ficará mais fácil: 


d x + 1 


[ln(.x + 
dx 


1) - \ln(x - 2)] 


-i--l(-L-) 

x + 1 2 \ x - 2/ 


(Essa resposta pode ser deixada assim, mas se usássemos um denominador comum 
obteríamos a mesma resposta da Solução 1 .) 


EXEMPLO 8 a Encontre f'(x) se f{x) — In \x 
SOLUÇÃO Uma vez que 


sempre que 


f(x) = 


ln x 
ln( — A') 


se .v > 0 
se x < 0 


/'(*) 


! 


x 



~X X 


se x > 0 


se x < 0 


Assim, f ! (x ) = 1 jx para todo x 0. 

O resultado do Exemplo 6 vale a pena ser lembrado: 







Diferenciação Logarítmica 


Os cálculos de derivadas de funções complicadas envolvendo produtos, quocientes ou 
potências podem muitas vezes ser simplificados tomando-se os logaritmos. O método 
usado no exemplo a seguir é chamado diferenciação logarítmica. 





James Stewart CAPÍTULO 3 REGRAS DE DirERfcNGi^v.AO 245 


□ Se não usássemos a diferenciação 
logarítmica no Exemplo 7, teríamos de 
utilizar tanto a Regra do Quociente 
quanto a Regra do Produto. Os cálculos 
resultantes seriam horríveis. 


EXEMPLO 7 ::: Diferencie y = 


x 3/ Vr 2 + 1 


' ' (3x + 2) 5 ‘ 

SOLUÇÃO Tome o logaritmo em ambos os lados da equação e use as Leis dq Logaritmo 
para simplificar: 

ln y — |ln x + | Iníx 2 + 1) — 5 ln(3x + 2) 

Diferenciando implicitamente em relação a x temos 


1 cfy _ 2 1,1. 2x 

y dx 4 x 2 x i + 1 


3x + 2 


Resolvendo dy/dx, obtemos 


3 X 

v — - + t : 


dx " \ 4x x A +1 3x + 2 / 

Como temos uma expressão explícita para y, podemos substituí-lo por ela e ü SC rever 


dy _ Ly/ + 1 / 3 -r _ 13 

dx (3x + 2'f \4x x 2 -f ] 3x + 2 


Passos na Diferenciação Logarítmica 

1. Tome o logaritmo natural em ambos os lados de uma equação y — f(x) e use as 
Leis dos Logaritmos para simplificar. 

2 . Diferencie implicitamente em relação a x. 

3 . Resolva a equação resultante para y' . 


Se f(x) < 0 para algum valor de x, então ln f(x) não está definida, mas podemos es 
crever j y | — | f(x) I e usar a Equação 4. Ilustramos esse procedimento provando a versã< 
geral da Regra da Potência, como prometemos na Seção 3.1 . 


A Regra da Potência Se n for qualquer número real e f(x) = x\ então 


f\x) ^ nx n " } 


□ Se x = 0, podemos mostrar que 
f<0) - 0 para n > 1 diretamente da 
definição de uma derivada. 


Prova Seja y = x\ Use a diferenciação logarítmica: 


Conseqüentemente 


ln I y I = ln I x I" — n ln I x j x ¥= 0 


y x 


V x 

y' — n — — n — — nx* 
x x 


Você deve distinguir cuidadosamente entre a Regra da Potência [fx") r = n.v' : L onde 
base é variável e o expoente, constante, e a regra para diferenciar as funções exponenciai 
\{(i ‘V ■ a • ln £yí„ oncle a base ê constante e o expoente, variável. 




O CÁLCULO Editora Tfiomson 


D A Figura 3 ilustra o Exemplo 8 
mostrando os gráficos de f(x) = jrí* e 
suas derivadas. 



Em gera! há quatro casos para os expoentes e as bases: 
d . b . 

1. (a ’) 0 (a e b são constantes) 

ax ' ’ 


d_ 

dx 


[n x) 


3. — {a**} - a^On a)q'(x) 

dx ' ' 

4. Para achar (dy/i dx)lf(x) f „ a diferenciação logarítmica pode ser usada, como no 
exemplo a seguir. 

EXEfVIPiO a Diferencie y = x'\ 

SOLUÇÃO 1 Usando a diferenciação logarítmica, temos 


-y(x' r *) = d-( e S„«,) 

dx dx 


— — - (y/x ln x) 

dx 


( 2 + ln x 
2 -Jx 


(como na Solução 1) 


E3 O Número c como um Limite 

lemos mos ti ado que se f (x ) — ln x, então f (x) = 1 / x. Assim, f{ 1) = 1. Usamos esse fato 
para expressar o número e como um limite. 

Da definição de uma derivada como um limite temos 

/(I + h) -/( 1) 


/'(D — lim 


lim 

.r ■'■■■> 0 


/( 1 + x) -/( 1) 


lim 


ln(l -f x) ~ ln 1 


— lim In ( I + a) 

x ••«) 


X 

•M/.r 


lim — ln( 1 + x) 

x ■•■■!■() x 


m 

Jfc 


I 

'M 

*1 


P 


•■= y/x ln X 


* 







(ln.x)— -U- 


rijll 







ln x \ ^ 

/ \ 

lll 

2 + ln _v j 


2 -v/x y * 

>, 2 -v/x j 




''Í0& 

= ( É gn, 

PA 



M 


Como /'( 1) = 1 . temos 


jirnln(l + x) ,/Jt = 1 


James Stevuar! 


CAPITULO 3 


,JV 


i « 

! 

FtGURA 4 


_Y 

(1 -!•■ x) 1 "'-’ 

0.1 

2.59374246 

0.01 

2.70481383 

0.001 

2.71692393 

0,0001 

2,71814593 

0.00001 

2.71826824 

0,000001 

2,71828047 

0,0000001 

2.71828169 

0.00000001 

2,71828181 


Assim, pelo Teorema 2.5.8 e pela continuidade da função exponencial, temos 

e ~ e l = e Ur ' % '"'" in!1 1 >! = limíí h,ilH ' /is/l = ]i m (.1 + xf s 

1 e lim(H-x) li! 


A Fórmula 5 está ilustrada pelo gráfico da função y — (1 + x) ]h da Figura 4 e na tabel 
para os valores pequenos de x. isso ilustra o fato de que, correto até a sétima casa decima 

es 2,7182818 

Se colocarmos n \/x na Fórmula 5. então quando x 0% e uma expressa 

alternativa para e é 


e — lim 1 + 


Jflllfi O Exercícios 

1. Explique por que a função logarítmica natural y = ln x é 
usada mais vezes no cálculo do que as outras funções 
logarítmicas y — log a x. 


2--20 □ Diferencie a função. 

2. fi.x) = ln(.x 2 + 1 o) 

3. f(d) * Intcos 6) 

5. /(x)- log, (l - 3x) 

7. f(x) = <j\nx 
3. f(x) — yx ln x 

, (2/ + lf 

11 V L_ 


11. F(0 - ln 
13. g(x) — ln 


(3? - lf 
a - x 


4. f(x) — cos(ln x) 

6. /(x) = iogioí ^ ) 

8. / (x) ~ ln Vx 

1 + ln t 

10. f(t) = ~ 

1 — ln r 

12. h{x) = ln(x + Vx 3 ^!) 
14. F ( v) - y ln(l + A) 


ln u 

/(«) “ | + i„(2 I( ) 

16. y ~ ln |xÂsen 2 xj 

17. y — ln 1 2 - x- 5x 2 | 

/ 3u + 2 

18. G(«) = ln A /, 

V JU — 1 

19. y = ]n(e~ x + xe~ x ) 

20. y — | ln 1 1 + e 1 )j 

21-24 : Encontre v ey . 
21 . y — x ln x 

Inx 

22. v — — 

X* 

23. y = logiox 

24. y = 1 n(sec x + tg x) 

25-28 □ Diferencie / e encontre o 

domínio de /. 

25 - 


26 - /<r) -T + i„x 










248 □ CÁLCULO Editora IhomsoB 


27. /(jc) — Jt 2 ln(l - x r ) 

28. f(x) — In In ln x 


seifx fgV 


(a-' + íf 


29. Se f(x) = -- — , encontre /''(<?). 
In -v 


,/x 2 + } 

38. v «= V/“ 

\ < - 1 


30. Se /(. x) ~ x 2 ln x, encontre /'(!}. 


39. v = jc 1 


40. v = x ‘ 


41. v-x™ 


á? v*i Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto 
dado. 


42. y — (sen a*)' 


43. y - (ln x)' 


44. v = jc* 


31. y = ln ln a, (e, 0) 


32. v = 


>’ ~ ln(.x 3 -7). (2,0) 


45, v = x f 


46. y — (ln x) IWJ 


47. Encontre y' se y = ln(x 2 + y 2 ). 


11 33. Se f(x) - sen x + ln x, encontre f(x). Verilique se suaresposta 
é razoável comparando os gráficos de / e , 

li 34. Encontre as equações das retas tangentes à curva y = (ln x)/x 
nos pontos ( 1 , 0) e (c , l/e). Ilustre fazendo o gráfico da curva 
e suas retas tangentes. 


48. Encontre v' se x y — y*. 


49. Encontre uma fórmula para f in) (x) se f(x) = ln(x - ]). 


50. Encontre — {x* ln x) . 
dx 


35-46 D Use a diferenciação logarítmica para achar a derivada de 
função. 


51. Use a definição da derivada para provar que 
ln( l -f x) 


35. y = (2x + l) 3 (x 4 - 3) 6 

36, y — Jxe* (x 2 + l) !0 


52. Mostre que iim { 1 f 


e* para qualquer x > 0. 


:oes Hiperbólicas 


Certas combinações das funções exponenciais e* e e~ x surgem frequentemente em 
matemática e suas aplicações e, por isso, merecem nomes especiais. Elas são análogas de 
muitas formas às funções trigonométricas e possuem a mesma relação com a hipérbole que 
as funções trigonométricas têm com o círculo. Por essa razão são chamadas funções 
hiperbólicas, particularmente seno hiperbólico, cosseno hiperbólico e assim por diante. 


Definições de Funções Hiperbólicas 


cossech x 


senh x 


cosh x 


sech x = 


cosh x 


cosh x 


cot eh x 


cosh x 


senh x 


Os gráficos do seno e cosseno hiperbólico podem ser esboçados usando-se um recurso 
gráfico como nas Figuras 1 e 2. 




FIGURA 4 

Uma catenária y — c + a cosh (x/a) 



Note que senh possui domínio e imagem iguais a IR, enquanto cosh tem domínio ÍR e 
imagem [l, 00 )- O gráfico de tgh está mostrado na Figura 3. Tem assintotas horizontais 
y — ± 1 (veja o Exercício 23). 

Alguns dos usos matemáticos de funções hiperbólicas serão vistos no Capítulo 7. As 
aplicações na ciência e engenharia ocorrem sempre que uma entidade, como a luz, a 
velocidade, a eletricidade ou a radioatividade, é gradualmente absorvida ou extinguida, 
pois o decaimento pode ser representado por funções hiperbólicas. A aplicação mais 
famosa é o uso do cosseno hiperbólico para descrever a forma de um fio dependurado. 
Pode ser provado que se um cabo flexível pesado (como uma linha de telefone ou de ele- 
tricidade) estiver suspenso entre dois pontos na mesma altura, então ele assume a forma 
de uma curva com a equação y = c + a cosh (x/a), chamada catenária (veja a Figura 4). 
(A palavra latina catena significa “cadeia” .) 

As funções trigonométricas satisfazem um número de identidades que são análogas a 
bem conhecidas identidades trigonométricas. Listemos algumas aqui e deixemos muitas 
das provas para os exercícios. 


Identidades Hiperbólicas 

senh(~x) = —senh x cosh(-x) = cosh x 

cosh 2 * - senh 2 * — 1 1 — tgh 2 * = sech 2 * 

senh(* + y) = senh* cosh y + cosh * senh y 
eosh(x + v) — cosh * cosh y + senh * senh y 


EXEMPLO 1 

SOLUÇÃO 

(a) 


Prove (a) cosh 2 * - senh 2 * = 1 e (b) 1 — tgh 2 * = sech 2 *. 


cosh 2 * — senh 2 * 


e x + é~ x u 


e - e 


2 / \ 2 

e 2x + 2 + e~ 2 * e 2x - 2 + 


— 4 ' 1 







||l|lf GÃtCUtO : : Editora- TI iOíeSor 


(b) Vamos começar com a Identidade provada na parte (a): 


coslrx - sen hm = 1 


Se dividirmos ambos os lados por coshlv, obteremos 


senhor 1 

coshlv coshlv 


1 - tshlr = sechlv 



Picos t, sen /) 


Q x 


X 1 + v ! = 1 



FIGURA 5 


A identidade provada no Exemplo 1 (a) fornece um indício para a razão do nome “funções hiper- 
bólicas”. 

Se t for qualquer número real. então o ponto Picos t, sen /) está sobre o círculo unitário 
:r + y 2 ~ 1 , pois cos ó 4- se nó ~ i . De fato. t pode ser interpretada como a medida em ra- 
dianos de L.POQ da Figura 5. Por essa razão as funções trigonométricas são algumas 
vezes chamadas funções circulares. 

Da mesma maneira, se / for qualquer número real, então o ponto P (cosh t, senh f) está 
sobre o ramo direito da hipérbole x 1 — y 2 = 1 . pois cosh 2 / — senh 2 / — 1 e cosh / 3® 1 . Dessa 
vez, / não representa a medida de um ângulo. Entretanto, resulta que / representa o dobro 
da área sombreada do setor hiperbólico da Figura 6, da mesma forma que no caso 
trigonométrico / representa o dobro da área sombreada do setor circular na Figura 5. 

As derivadas das funções hiperbólicas são facilmente computadas. Por exemplo. 


Pi cosh !, senh /)> 


d d 

(senha) = — 
dx dx 


— cosh x 


\ u 


Vamos listar as fórmulas de diferenciação para as funções hiperbólicas como Tabela 1 . As 
provas restantes ficarão como exercícios. Note a analogia com as fórmulas de diferen- 
ciação para as funções trigonométricas, mas esteja alerta — os sinais algumas vezes são 
diferentes. 


| | jj Derivadas de Funções Hiperbólicas 


(senh jv) = cosh x 


— (cossech vj— — cossech x cotgh x 
dx 


(cosh x) = senh x 


— (sech A*) = — seeh x tgh.v 
dx 


— (tgh x) = sechl x 
dx 


— — (cotgh a') — - -cossech 2 x 
dx 


EXEMPLO 2 o Qualquer uma dessas regras de diferenciação pode ser combinada corn a 
Regra da Cadeia. Por exemplo, 


— (cosh V a } — senh y x • — 
dx dx 


d r- senh y x 

Jx — 7 = 

i > / 




James Stewart ÇAPiTUlO 3 REGRAS DE DlFFprfJCIAÇAO I 28 


Funções Hiperbólicas Inversas 

Você pode ver a partir das Figuras J e 3 que senh e tgh são funções um a um; logo, ela 
têm funções inversas denotadas por senh 5 e tgh . A Figura 2 mostra que cosh não é um 
um, mas quando restringida no domínio [o,oo) torna-se um a um. A inversa da funçã* 
cosseno hiperbólico está definida como a inversa dessa função restrita. 


y — senh A 


senh y ^ x 

y — cosh” A 


cosh y — x e y A (} 

11 


tgh y = x 


J 


As inversas das demais funções hiperbólicas são definidas analogamente (veja o Exercício 28; 

Podemos esboçar os gráficos de senh 1 , cosh' 1 e tgh 1 nas Figuras 7, 8 e 9 usando a 
Figuras L 2 e 3. 


| 






y — senh A 
domínio — R 
imagem = R 



FIGURA 8 
y — coshA 
domínio ~ [ I , *>) 
imagem — [0, <») 



FIGURA 9 
v = tgh lx 
domínio — ( — 1, I) 
imagem = 


Uma vez que as funções hiperbólicas estão definidas em termos das funções exponen 
ciais, não é surpreendente aprender que as das funções hiperbólicas inversas podem se 
expressas em termos de logaritmos. Em particular, temos: 


l r 


D A Fórmula 3 está provada no 
Exemplo 3. As provas das Fórmulas 4 
e 5 são requisitadas nos Exercícios 26 
e 27. 


[41 



! 


senh A = ln(A + y/x 2 + l) xEH 

cosh “A = ln(x + \ Y 2 - l) .Y 1 


tgh A == 


ln 



1 < x < 1 


EXEMPLO 3 n Mostre que senh A— \n{ x 4- y/x 2 + l). 
SOLUÇÃO Seja y — senhA. Então 

e v _ € -y 
x = senh v — — 

- o 


e- 


br - 


e"~- — 


logo 


0 







ÉÜiaíi Thomson 


ou. multiplicando por e\ 


e 2y - 2xe y - I - 0 


Isso é realmente uma equação quadrática em e y : 


(e y Y — 2x{e') — 1 — 0 


Resolvendo a fórmula quadrática, obtemos 

2x ± y4x 2 + 4 

e = = -v ± yx- + 1 

Note que e- > 0, mas x — yx 2 + 1 < 0 (pois x < yx 2 4- 1 ). Assim, o sinal de menos é 
inadmissível e temos 

e y = x + v/x 2 4- 1 


Conseqüentemente 


= ln(<?>') = ln(x + yx 2 4- 1 ) 


(Veja o Exercício 25 para outro método.) 


O Observe que as fórmulas para as 
derivadas de tgh ’ x e cotg' ! x parecem ser 
idênticas. Mas os domínios dessas 
funções não têm nenhum ponto em 
comum: tg ‘x é definida para brl < 1, 
enquanto cotgbr é definida para Lrl > 1. 



As funções hiperbólicas inversas são todas diferenciáveis, pois as funções hiperbólicas 
são diferenciáveis. As fórmulas na Tabela 6 podem ser provadas ou pelo método para as 
funções inversas ou diferenciando as Fórmulas 3, 4 e 5. 


Prove que — (senh 'x). 
dx 


J 1 4 x 2 


SOLUÇÃO 1 Seja y — senh 4x. Então senh v — x. Se diferenciarmos essa equação implici- 
tamente em relação a x, obteremos 

cosh v — — 1 
dx 

Uma vez que cosh 2 }’ — senlry = 1 e cosh v s? {), temos cosh y = y 1 4 senh 2 y. logo 


dx cosh y yl 4 senh 2 y yi + x 2 




James Stewart CAPÍTULO 3 REGRAS 


.SOLUÇÃO 2 Da Equação 3. temos 


— (senh-'x) = — jníx 3- y^x 2 + ~l) 
dx d:x 


j a , , 

— rffTT 1 + V-T 2 + 
X -+• v/X” ■+■ 1 dx 


— 1 1 H 

x + yx" + 3 \ y x • 

y/X 2 + 1 + X 
(x + yx 2 + l)y/P + i 


y X 2 + I 


EXEMPLOS r Encontre — [tgh”'(sen x)]. 

dx 

SOLUÇÃO Usando a Tabela 6 e a Regra da Cadeia, temos 


[tgh '(sen x)] = — — (sen x) 

dx 1 — (senx) - dx 


1 cos x 

cos x — — 

1 ~ setrx cos‘x 


Exercícios 


Encontre o valor numérico de cada expressão. 


(a) senh 0 
(a) tgh 0 
(a) senh(ln 2) 
(a) cosh 3 
(a) sech 0 
(a) senh 1 


(b) cosh 0 
(b) tgh 1 
(b) senh 2 
(b) cosh(ln 3) 
(b) cosh' 1 1 
(b) senh 1 1 


14. tgh(x + y) = 


tgh x + tgh y 
1 + tgh x tgh y 


15. senh 2x = 2 senh x cosh x 

16. cosh 2x — cosfrx + senbrx 

17 tgh(ln x) = x 7li, 


1 + tgh x 


S Prove a identidade. 
senh(-x) — -senh x 

(Isso mostra que senh é uma função ímpar.) 
cosh(-x) ” cosh x 

(Isso mostra que cosh é uma função par.) 
cosh x + senh x = <r 
cosh x - senh x — e'* 

senhíx + y) — senh x cosh y + cosh x senh y 
cosh(x + y) = cosh x cosh y + senh x senh y 
coíg 2 x — 1 — cossech 2 x 


19. (cosh x + senh x)” — cosh nx + senh nx 
(n qualquer número real) 

20. Se senh x ~ \ . encontre os valores das outras funções 
hiperbólicas em x. 

21. Se tgh x — f , encontre os valores das outras funções 
hiperbólicas em x. 

22. (a) Use os gráficos de senh, cosh e tgh das Figuras 1-3 para 

fazer os gráficos de cossech, sech e cotgh. 

(b) Verifique os gráficos que você esboçou na parte (a) usando 
o recurso gráfico para produzí -los. 




54 Editoís Tflss.Eisson 

í. Use as definições das funções hiperbólicas para achar os 
seguintes limites. 

(à) lim tgh x fb) lim tgh x 


(c) lim senh x 
(e) lim sech x 
(g) lim cotgh x 

x -* Q * 

(i) lim cossech x 


(d) lim senh v 
(f) lim cotgh x 
(h) lim cotgh .v 


24. Prove as fórmulas dadas na Tabela 1 para as derivadas das 
funções (a) cosh. (b) tgh, (c) cossech, (d) sech e (e) cotgh. 

25. Dê uma solução alternativa para o Exemplo 3 tomando v ~ senh a 
e então usando o Exercício 9 e o Exemplo l(a) com x 
substituído por y. 

26. Prove a Equação 4. 

27. Prove a Equação 5 usando (a) o método do Exemplo 3 e (b) o 
Exercício 1 8 com .r substituído por v. 

28. Para cada uma das seguintes funções (i) dê uma definição como 
aquelas em (2), (ii) esboce o gráfico e (iii) encontre uma fórmula 
similar à Equação 3. 

(a) cossech * (b) sech" 1 (c) cotgh 1 

29. Prove as fórmulas dadas na Tabela 6 para as derivadas das 
funções que se seguem. 


(a) cosh' 
(d) sech" 


(b) tgh 1 
(e) cot eh" 


(c) cossech 


ÍA* 

CD 

1 

•47 D 

Encontre a derivt 

ida. 




30. 

Ax) 

= tgh 4x 


31. 

f(x) 

— x cosh x 

32. 

g(x) 

— senfrx 


33. 

Mx) 

— senh(;r) 

34. 

F(x) 

= senh -v tgh x 


35. 

G(x) 

1 ~~ cosh x 
1 + cosh x 

36. 

f(t) 

— e* sech t 


37. 

h(t) ■■ 

“cotghyd + i 2 

38. 

A0 - 

- lnísenh r) 


39. 

mo 

— tgh(>') 

40. 

y- 

senh ( cosh x) 


41. 

y ~ 1 


42. 

y- 

x" senhiZx) 


43. 

y ~ 

tgh V* 

44. 

y — 

x tgh ? v -1- ln yi 

- ,i' 2 




45. 

y = 

.v senh ! (x/3) - y 

ví! 

+ j 

* j 




46. 

y = 

sech 1 v I - x\ 

x > 0 





ái 48. Um cabo flexível sempre fica pendurado na forma de uma catenãria 
>’ — c + a cosh(x/a), onde c e a são constantes e a > 0 (veja a 
Figura 4 e o Exercício 50). Faça o gráfico de vários membros 
da família de funções y = a coshfx/ a). Como o gráfico muda 
quando a varia? 


49. Uma linha de telefone é pendurada entre dois postes separados 
a 14 m na forma da catenáriay 20 eosh(.v/20) 15. em que.v 

e y são medidas em metros. 

(a) Encontre a inclinação dessa curva quando ela encontra o 
poste à direita. 

(b) Encontre o ângulo 6 entre a reta e o poste. 


5Í í 


50. Usando os princípios da física pode ser mostrado que, quando 
um cabo é pendurado entre dois postes, toma a forma de uma 
curva y = /(x), que satisfaz a equação diferencial 

= » /, + / ÊLY 

dx* 1 \ \ dx J 

onde p é a densidade linear do cabo . gê a aceleração devido à 
gravidade e T, a tensão no cabo no ponto mais baixo, e o sistema 
de coordenada é apropriadamente escolhido. Verifique que a função 


V -/(■>') - — CTShUft) 

P9 \ I J 

é a solução dessa equação diferencial. 

51. (a) Mostre que qualquer função da forma 
>' = A senh mx + fí cosh mx 
satisfaz a equação diferencial y" ~ rn 2 y. 
(b) Encontre y = y(.v) tal que y" — 9v, y(0) - 


4, e y'(0) ™ 6. 


52. Calcule lim — — 


53. Em quais pontos da curva y = cosh x faz a tangente ter 
inclinação 1? 

54. Se x = ln(sec 0 + tg $), mostre que sec 0 ~ cosh x. 

55. Mostre que se a 4= 0 e h -f- 0 . então existem números a e (3 tal 
que ae* + be ' é igual à a senhÇv + (3) ou a cosh(.v + j3). 
Em outras palavras, quase todas as funções da forma 
J(x) — ae' + be são as funções seno ou cosseno hiperbólicas 
esticadas e deslocadas. 


Jainss St»H-art 


CAPITULO 3 


2S5 


StT: 

-,G- v-. 


Taxas Relacionadas 


g De acordo com os Princípios de 
Problema-Solução discutidos no Capi- 
tulo 1 , na página 80 o primeiro passo é 
entender o problema. Isso inclui lê-to 
cuídadosamente, identificando o que 
foi dado e pedido, e introduzir uma 
notação adequada. 


Quando bombeamos ar para denlr 0 <j e um balão, tanto o volume como o raio do balão 
crescem, e suas taxas de crescimento estão relacionadas. Mas é muito mais fácil medir 
diretamente a taxa de crescimento <Jo volume do que a do raio. 

Em um problema de taxas relacionadas, a idéia é computar a taxa de variação de uma 
grandeza em termos da taxa de variação da outra (que pode ser medida mais facilmente). 
O procedimento é achar uma equação que relacione as duas grandezas e então usar a Regra 
da Cadeia para diferenciar ambos os lados em relação ao tempo. 

EXEMPLO 1 g Está sendo bombeado ar para dentro de um balão esférico, e seu volume 
cresce a uma taxa de 100 crn Vs. Quão rápido o raio do balão está crescendo quando o 
diâmetro é 50 em? 

SOLUÇÃO Vamos começar identificando duas coisas: 
a in formação dada : 

a taxa de crescimento do volume do ar é 100 cmVs 
e o que foi pedido: 

a taxa de crescimento do raio quando o diâmetro é 50 cm 
Para expressar matematicamente essas grandezas introduzimos alguma notação sugestiva: 
Seja V o volume do balão e r o seu raio. 

A chave está em lembrar-se de que taxas de variação são derivadas. Neste problema, o 
volume e o raio são ambos funções do tempo t. A taxa de crescimento do volume em 
relação ao tempo é a derivada dVfdt , e a taxa de crescimento do raio é dr/dt. Podemos, 
portanto, reapresentar o que foi dado e pedido como a seguir: 


— 100 cm 3 /s 


Pedido: 


quando r = 25 cm 


s O segundo estágio do 
problema-solução é idealizar um plano 
para conectar o que foi dado e o que 
foi pedido. 


k Observe que, embora dVidt seja 
constante, dr/dt não é constante. 


Para conectar dVjdt e dr/dt primeiro relacionamos V e r pela fórmula para o volume 
de uma esfera: 

V = ~ 7 rr 3 

Para usar a informação dada, diferenciamos cada lado dessa equação em relação a t. Para 
diferenciar o lado direito precisamos usar a Regra da Cadeia: 

dV dV dr , dr 

dt dr dt ^ 7Tr dt 

Agora resolvemos para a grandeza desconhecida: 

dr _ 1 d V 

dt 4ur 2 dt 




O raio do balao está crescendo a uma taxa de 1/(25 tt) cm/s. 


parede 


10 


FIGURA 1 


solo 


fcXEMFLO 2 Uma escada com 10 pés de comprimento está apoiada em uma parede 
vertical. .Se a base da-escada desliza, afastando-se da parede a uma taxa de 1 pé/s, quão 
rápido o topo da escada está escorregando para baixo na parede quando a base da escada 
está a 6 pés da parede? 

SOLUÇÃO Primeiro desenhe um diagrama e marque-o como na Figura 1 . Seja x em pés a 
distância da base da escada à parede, ev em pés a distância do topo da escada ao solo. 
Note que x e y são ambas as funções de t (tempo). 

Estamos dando que dx/dt — 1 pé/s e vamos querer achar dy/dt quando x — 6 pés (veja 
a Figura 2). Neste problema, a relação entre ,r e v é dada pelo Teorema de Pitágoras: 

A - 2 + V 2 - 100 

Diferenciando cada lado em relação a / usando a Regra da Cadeia, temos 


dx dv 

2x — + 2y 
dt dt 


0 


e resolvendo essa equação para a taxa desejada, obtemos 


m 


dy 

dt 


FIGURA 2 


dx 

dt 



dy 

dt 


x dx 
V dt 


Quando x — 6, o Teorema de Pitágoras fornece v = 8; logo, substituindo esses valores e 
dxfdt ~ 1 , temos 

dy 6/ s 3 

— = -- 11= -- pe/s 
dt 8 W 4 

O fato de dy/dt ser negativo significa que a distância do topo da escada ao solo está 
decrescendo a uma taxa de j pé/s. Em outras palavras, o topo da escada está deslizando 
para baixo a uma taxa de f pé/s. 

EXEMPLO 3 Um tanque de água tem a forma de um cone circular invertido com base 
de raio de 2 m e altura igual a 4 m. Se a água está sendo bombeada dentro do tanque a 
uma taxa de 2 nP/min, encontre a taxa na qual o nível da água estará elevado quando a 
água estiver a 3 m de profundidade. 

SOLUÇÃO Primeiro vamos esboçar o cone e marcá-lo, como na Figura 3. Seja V, r e h 
o volume da água, o raio da superfície e a altura no instante t, onde t está medido em 
minutos. 

Dado que dVldt ~ 2 nP/min, precisamos achar dhldt quando h = 3 m. A grandeza V e 
h estão relacionadas pela equação 

V — \ Trr 2 h 


FIGURA 3 


mas é muito proveitoso expressar V como uma função de h. Em ordem, para eliminar r, usamos 


James Stswart CAPÍTULO 3 REGRAS D 


os triângulos similares na Figura 3 para escrever 


s O que temos de aprender dos Exem- 
plos 1-3 que nos ajudará a resolver os 
problemas futuros? 


üll Advertência: Um erro comum é 
substituir a informação numérica dada 
(para as grandezas que variam com o 
tempo) precocemente. Isso deve ser 
feito somente após a diferenciação. (O 
Passo 7 segue o Passo 6.) Por exemplo, 
no Exemplo 3 tratamos com os valores 
genéricos com h até que finaimente na 
última etapa substituímos h — 3. (Se 
tivéssemos feito h = 3 anteriormente, 
teríamos obtido dVídt = 0, que está 
claramente errado.) 


r_ _ 2_ 
h 4 


- j l 

t - 


e a expressão para V toma-se 




Agora podemos diferenciar cada lado em relação a t: 


dV 

77 , , 

dh 

— 

h~ 

— 

dt 

4 

dt 

dh _ 

4 

dV 

dt 

irh 2 

dt 


Substituindo h = 3 m e dVjdt ~ 2 rnVrnin, temos 

dh_ _ 4 8 

dt 7r(3) 2 977 l 

O nível da agua estará subindo uma taxa de 8/(9 tt) ^ 0,28 m/min. 

Estratégia É útil lembrar-se de alguns dos princípios do problema-solução do Capí- 
tulo 1 , na página 80, e adaptá-los para as taxas relacionadas com a base em nossa 
experiência dos Exemplos 1-3: 

1. Leia cuidadosamente o problema. 

2. Se possível, faça um diagrama. 

3. Introduza a notação. Atribua os símbolos para todas as grandezas que são funções do 
tempo. 

4. Expresse a informação dada e a taxa requerida em termos das derivadas. 

5. Escreva uma equação que relacione as várias grandezas do problema. Se necessário, 
use a geometria da situação para eliminar uma das variáveis por substituição (como 
no Exemplo 3). 

6. Use a Regra da Cadeia para diferenciar ambos os lados da equação em relação a t. 

7. Substitua a informação dada dentro da equação resultante e resolva-a para a taxa 
desconhecida. 

Os exemplos a seguir são ilustrações da estratégia. 



FIGURA 4 


EXEMPLO 4 c O carro A está indo Rimo ao oeste a 50 mi/h e o carro B está indo rumo 
ao norte a 60 mi/h. Ambos estão dirigindo para a interseção de duas estradas. A que taxe 
os carros estão se aproximando um do outro quando o carro A está a 0,3 mi e o carro B 
está a 0,4 mi da interseção? 

SOLUÇÃO Desenhemos a Figura 4, onde C é a interseção das estradas. Em um dado 
instante i } seja x a distância do carro A a C, seja 3? a distância do carro B a C, e seja z a 
distância entre os carros, onde x.y e z são dadas em milhas. 

Dado que dxídt ~ -50 mi/h e dy/dt = - 60 mi/h. (As derivadas são negativas porque 
e >• são decrescentes.) Pedimos para encontrar dzJdt. A equação que relaciona x, y e zé 
dada pelo Teorema de Pitágoras: 




3 J CÁLCULO 


Editora TtioiosoB 


Diferenciando cada lado em relação a i. temos 


dx _ dv 


7 ; vv . ... 7.,, 



cfe = 1 / dx_ </y\ 
f/í ■ \ dt ' dt } 

Quando .v = 0.3 mi e y = 0.4 mi, o Teorema de Pi ui goras dá £ = 0,5 mi; logo 


1 

dt 0. 


- [ 0 , 3 (- 50 ) + 0 . 4 (- 60 )] 


= - 78 mi/h 

Os carros se aproximam um do outro a urna taxa de 78 mi/h. 

EXEMPLO 5 Urn homem anda ao longo de um caminho reto a uma velocidade de 
4 pés/s. Um holofote localizado no chão a 20 pés do caminho focaliza o homem. A que 
taxa o holofote está girando quando o homem está a 15 pés do ponto do caminho mais 
próximo da luz? 

SOLUÇÃO Fizemos um esboço da Figura 5, onde x é a distância entre o homem e 0 ponto 
do caminho mais próximo ao holofote. Seja 9 o ângulo entre o feixe do holofote e a 
perpendicular ao caminho. 

Dado que dx/di = 4 pés/s, nos foi pedido para encontrar dS/dt quando x =15. A 
equação que relaciona x e fí pode ser escrita a partir da Figura 5: 


= ts 0 


x = 20 ta 9 


Diferenciando cada lado ern relaçao a /, obtemos 

dx , dfí 

— = 20 sec 2 0 — 
dt dt 


d 9 j dx 

— = 20 CO r0 — 
dt dt 


cos 2 0(4) = 5 cos 2 // 


Quando v = 15, o comprimento do feixe é 25, logo cos 9 = ^ e 

dO 1 / 4 \ 16 


dt 5 \ 5 


O holofote está girando a uma taxa de 0,128 rad/s. 




Jasües Stewart 


CAPITULO 3 


Exercícios 




1. Se V for o volume de um cubo com a aresta de comprimento x 
e à medida que o tempo passa o cubo se expande, encontre dV/di 
em termos de dx/dt. 

2. (a) Se A for a área do circulo com raio r e à medida que o 

tempo passa o círculo se expande, encontre dAjdt em 
termos de drjdt. 

(b) Suponha que o óleo sai por uma ruptura de um petroleiro 
e espalha-se em um padrão circular. Se o raio do óleo 
derramado cresce a uma taxa constante de 1 m/s. quão 
rápido a área do derramamento está crescendo quando o 
raio é igual a 30 m? 

3. Se y — ,r 5 + 2x e dx/dt — 5, encontre dy/d! quando x ~ 2. 

4. Se jc + y 2 — 25 e dy/dt 6. encontre dx/dt quando y = 4. 

5. Se r - a-’ + v, dx/dt = 2 e dy/dt = 3, encontre dzUit quando 

x = 5 e y - 12. 

6. Uma partícula move-se ao longo da curva v = v I + x i . 
Quando ela atinge o ponto (2, 3), a coordenada y está 
crescendo a uma taxa de 4 cm/s. Quão rápido está variando a 
coordenada ido ponto naquele instante? 

7-40 □ 

(a) Quais são as grandezas dadas no problema? 

(b) Qual é a grandeza desconhecida? 

(c) Faça um desenho da situação para qualquer instante í. 

(d) Escreva uma equação que relacione as grandezas. 

(e) Termine resolvendo o problema. 

íjy Um avião voa horizontalmente a uma altitude de 1 mi, a 500 
mi/h, e passa diretamente sobre uma estação de radar. 

Encontre a taxa segundo a qual a distância do avião até a 
estação está crescendo quando ele está a 2 mi além da estação. 

8. Sc uma bola de neve derrete cie forma que sua área de superfície 
decresce a uma taxa de 1 cm 2 / min, encontre a taxa segundo a 
qual o diâmetro decresce quando o diâmetro está a 10 cm. 

9. Uma luz de rua é colocada no topo de um poste de .15 pés, Um 
homem com 6 pés de altura anda afastando-se do poste corn 
uma velocidade de 5 pés/s de acordo com urna trajetória reta. 
Com que velocidade se move o topo de sua sombra quando ele 
está a 40 pés do poste? 

10 . Ao meio-dia, o navio A está a 150 km a oeste do navio B. O 
navio A está navegando para o leste a 35 km/h, e o navio B 
está navegando para norte a 25 km/h. Quão rápido estará 
variando a distância entre os navios às 4 horas da tarde? 

( 11 j Dois carros iniciam o movimento de um mesmo ponto. Um viaja 
para o sul a 60 mi/h, e o outro para o oeste a 25 mi/h. A que taxa 
está crescendo a distância entre os carros duas horas depois? 

12. Um holofote sobre o chão ilumina uma parede 12 m distante 
dele. Se um homem de 2 m de altura anda do holofote em 
direção à parede a uma velocidade de 1 ,6 m/s, quão rápido 
decresce sua sombra sobre a parede quando ele está a 4 m dela? 

13 . j Um homem começa a andar para o norte a 4 pés/s a partir de um ponto 

P. Cinco minutos depois uma mulher começa a andar para o sui a 


5 pés/s de um ponto a 500 pés a leste de P. A que taxa as pessoas estíy 
se separando 15 minutos depois de a mulher começar a andar? 

14. Uma quadra de beisebol é um quadrado com 90 pés. Um bate-, 
dor atinge a boia e corre em direção à primeira base com uma 
velocidade de 24 pés/s. 

(a) A que Taxa está decrescendo sua distância da segunda base 
quando ele está a meio caminho da primeira base? 

(b) A que taxa está aumentando sua distância da terceira base 
no mesmo momento? 


W / wW 

> \ @ -Mpa 


v j$ 90 pés 


15. A altura de um triângulo cresce a uma taxa de 1 cm/min, enquant 
a área do triângulo cresce a uma taxa de 2 c nr/ min. A que taxa est 

variando a base do triângulo quando a altura é 10 cm e a área, KK) cnf 

16 . Um bote é puxado em direção ao ancoradouro por uma corda 
que está atada na proa do bote e que passa por uma polia sobre < 
ancoradouro (que está 1 m mais alto que a proa). Se a corda for 
puxada a uma taxa de 1 m/s, quão rápido está se aproximando t 
bote do ancoradouro quando ele estiver a 8 m dele? 




17 . Ao meio-dia, um navio A está 100 km a oeste do navio B. O 
navio A está navegando para o sul a 35 km/h, e o B está indo 
para o norte a 25 km/h. Quão rápido está variando a distância 
entre eles às 4 horas da tarde? 

18 . Uma partícula está se movendo ao longo da curva y = y v. 
Quando a partícula passa pelo ponto (4,2), sua coordenada x 
cresce a uma taxa de 3 cm/s. Quão rápido está variando a 
distância da partícula à origem nesse instante? 

19 . Está vazando água de urn tanque cônico invertido a uma taxa d 
l()j (XX) cm 5 / min. Ao mesmo tempo está sendo bombeada a água pai 
dento do tanque a uma taxa constante. O tanque tem 6 m de altura, 
o diâmetro no topo é de 4 m. Se o nível da água estiver subindo 
uma taxa de 20 cm/min quando a altura da água for 2 m, encontre 
taxa segundo a qual a água está sendo bombeada dentro do tanque 

20 . Um cocho tem 10 pés de comprimento, e suas extremidades 
têm a forma de triângulos ísósceles com 3 pés na base e 1 pé 
de altura. Se o cocho for preenchido com água a uma taxa de 
12 pés’/ min, quão rápido estará se elevando o nível da água 
quando ele estiver com 6 polegadas de profundidade? 



Editora Thomson 



21 . ' Uma tina de água tem 10 m de comprimento e uma secção 

transversal com a forma de um írapezóide isósceles com oO cm 
de comprimento na base. 80 cm de extensão no topo e 50 cm 
de altura. Se a tina for preenchida com água a uma taxa de 
0.2 m s / min. quão rápido estará subindo o nível da água quando 
ela estiver a 30 em de profundidade? 

22 . Uma piscina tem 20 pés de largura por 40 pés de comprimento. 
3 pés de profundidade na parle rasa, e 9 pés na parte mais 
funda. Urna secção transversal está mostrada na figura. Se a 
piscina for preenchida a urna taxa de 0.8 pésrimin. quão rápido 
estará subindo o nível da água quando sua profundidade no 
ponto mais profundo for de 5 pés? 



— *r — H- *•« — 

6 12 16 6 


23 . Uma esteira transportadora está descarregando cascalho a uma 
taxa de 30 pés J /min, constitunido urna pilha na forma de cone 
com o diâmetro da base e altura sempre igual. Quão rápido 
está crescendo a altura da pilha quando está a 10 pés de altura? 



24 . Um papagaio (pipa) a 100 pés acima do solo move-se 
horizontal mente a uma velocidade de 8 pés/s. A que taxa está 
decrescendo o ângulo entre a linha e a horizontal depois de 
200 pés de linha serem soltos? 

25 . Dois lados de um triângulo são 4 m eSm.eo ângulo entre 
eles está crescendo a uma taxa de 0.06 rad/s. Hncontre a taxa 
segundo a qual a área está crescendo quando o ângulo 

entre os lados tio comprimento fixo é tt/3. 

26 . Dois lados de um triângulo são 12 m e 15 m, e o ângulo entre 
eles está crescendo a uma taxa de 2‘Vmin. Quão rápido 

está crescendo o comprimento do terceiro lado quando 
o ângulo entre os lados do comprimento fixo é 60"? 

27 . A Lei de Boyle estabelece que quando uma amostra de gás 
está comprimida a uma temperatura constante, a pressão P 
e o volume V satisfazem a equação PV — C, onde C é uma 
constante. Suponha que cm um certo instante o volume é de 
600 cm 3 , a pressão é 150 kPa e a pressão cresce a uma taxa de 
20 kPa/min. A que taxa está decrescendo o volume nesse instante? 

28 . Quando o ar se expande adiabaiieamente (sem ganhar ou 
perder calor), sua pressão P e volume V estão relacionados 


pela equação PV'" ----- C. onde C é uma constante. Suponha 
que a um certo instante o volume é de 400 cm' e a pressão, 80 
kPa. e está decrescendo a uma taxa de 10 kPa//min. A que taxa 
está crescendo o volume nesse instante? 

29 . Se dois resistores com resistência R-. e /A estão conectados em 
paralelo, como na figura, então a resistência total R, medida 
em ohms (12). é dada por 

I ... _L _L 1 
R ~ Ri R 2 

Se R\ e R 2 estão crescendo a taxas de 0.3 O/s e 0.2 O/s, 
respectivamente, quão rápido está variando R quando 
Ri = 80 0 c R 2 » 100 O? 


< R, < R 


30 . Nos peixes, o peso do cérebro B como uma função do peso 
corporal W tem sido modelado pela função potência 

fí = 0,007 W 2/ 3 , onde B e W são medidos em gramas. Um 
modelo para o peso corporal como uma função do compri- 
mento corporal L (medido em centímetros) é W — 0,12L ~ v . Se, 
em 10 milhões de anos, o comprimento médio de uma certa 
espécie de peixes evoluiu de 15 cm para 20 cm a uma taxa 
constante, quão rápido estava crescendo o cérebro 
dessa espécie quando o comprimento médio era de 18 cm? 

31 . Uma escada com 10 pés de comprimento está apoiada contra 
uma parede vertical. Se a base da escada desliza afastando-se 
da parede a uma velocidade de 2 pés/s, quão rápido está 
variando o ângulo entre o topo da escada e a parede quando o 
ângulo é 7r/4 rad? 

32 . Duas carretas, A e B, estão conectadas por uma corda de 39 pés 
que passa por uma polia P (veja a figura). O ponto Q está sobre 
o chão 12 pés diretamente abaixo de P e entre as carretas. 

A carreta A está sendo puxada afastando-se de Q a uma 
velocidade de 2 pés/s. Quão rápido está se movendo a carreta B 
em direção a Q no instante em que A está a 5 pés de Q? 



I 

P 



1 2 pés 


4 A b 


i B L 

o o 

j 

-g-g 


O 


33 . Uma câmera de televisão está posicionada a 4.000 pés de uma 
base de lançamento de foguete. O ângulo de elevação da 
câmera deve variar a uma taxa cpie possa focalizar o foguete. O 
mecanismo de foco da câmera também deve levar em conta o 
aumento da distância entre a câmera e o foguete em subida. 
Vamos supor que o foguete suba verticalmente e com uma 
velocidade de 600 pés/s quando já tiver subido 3.000 pés. 



28 



(a) Quão rápido está variando a distância da câmera ao 
foguete nesse momento? 

(b) Se a câmera de televisão apontar sempre em direção ao foguete, 
quão rápido estará variando o ângulo de elevação dela 
nesse mesmo momento? 

Um farol está localizado em uma ilha, e a distância entre ele e o 
ponto mais próximo P em uma praia reta do continente é de 3 km. 
Sua luz faz quatro revoluções por minuto. Quão rápido estará se 
movendo o feixe de luz ao longo da praia quando ele estiver a 
1 km de PI 

Um avião voando a uma velocidade constante de 300 km/h 
passa sobre uma estação de radar no solo a uma altitude de 


-James Stewar? CAPOtlLO 3 f 

1 km e subindo um ângulo de 30°. A que taxa está crescendr 
a distância do avião à estação de radar 1 minuto rnais tarde? 

36. Duas pessoas cti n1 eçam a andar a partir do mesmo ponto. Um* 
vai para o leste q 3 mi/h e a outra, para o nordeste a 2 mi/h. 
Quão rápido ests variando a distância entre as pessoas após lí 
minutos? 

37. Um velocista cO} re e rn uma pista circular de raio 100 m a urn; 
velocidade constate de 7 m/s. Seu amigo está em pé a uma 
distância de 200 m jo centro da pista. Quão rápido estará 
variando a distât\ c j a entre os amigos quando estiverem a uma 
distância de 200 ^7 

38. O ponteiro dos minutos de ura relógio mede 8 mrn. enquanto « 
das horas tem 4 tq m <je comprimento. Quão rápido está 
variando a distânçj a entre a ponta dos ponteiros à i hora? 



Lineares e Diferenciais 



Vimos que urna curva fica muito perto de sua reta tangente nas proximidades do ponto c 
tangência. De fato, dando um zoom em direção a Ura ponto sobre o gráfico de uma funçã 
difereneiável, notamos que o gráfico assemelha-se cada vez mais a sua reta tangente (ve 
a Figura 2 na Seção 2.7 e a Figura 3 na Seção 2.8). Essa observação é a base para o métod 
de encontrar os valores aproximados de funções. 

A idéia é que pode ser fácil calcular um valor f(á) de uma função, mas é difícil (c 
mesmo impossível) computar os valores próximos de /. Assim decidimos pelos valort 
facilmente computados da função L, cujo gráfico é a reta tangente de /em ( a,f(a )). (Ve 
a Figura 1 .) 

Em outras palavras, usamos a reta tangente em ( a,f(a )) como uma aproximação para 
curva >’ — f(x ) quando x está próximo de a. Uma equação dessa reta tangente é 

y = fia) + f'(a)(x ~ a) 


f{x) * f{a) + f(a)(x - a) 


e a aproximação 

[Tj 


é denominada aproximação linear ou aproximação peia reta tangente de /em a. 

função linear cujo gráfico é essa reta tangente, isto é, 

jTj Ux) - fia) + f'(a)(x - a) 

é chamada de linearização de /em a. 

O seguinte exemplo é típico em situações nas quais usamos uma aproximação line 
para predizer o comportamento futuro de uma função dada empiricamente. 


EXEMPLO 1 □ Suponha que após ter recheado um peru a sua temperatura é de 50 °F e 
você então o coloca no forno a 325 °F. Depois de uma hora o termômetro do peru indic 
que sua temperatura está a 93 °F e, após 2 horas, a 129 °F. Prediga a temperatura do pej 
após 3 horas. 

SOLUÇÃO Se 71?) representa a temperatura do peru após t horas, nos foi dado que 
7(0) — 50,7X1) = 93 e 7(2) = 129. Para fazer uma aproximação linear com a — 2, 
precisamos de uma estimativa para a derivada T'(2). Uma vez que 


T'{ 2) — Hm 

!■■-> 2 


r(t) - r(2) 

T 7 - 2 








CÁLCULO Editora Ihcrnson 


podemos estimar T’{ 2) pelo quociente de diferenças com t = 1: 

r'(2) -- T{ ] } - T {2} 93 — 1 29 ^ 

Isso equivale a aproximar a taxa instantânea de variação da temperatura pela taxa média 
de variação entre t = J e f = 2, que é de 36 °F/h. Com essa estimativa, a aproximação 
linear { 1 ) para a temperatura após 3 horas é 

7(3) - 7(2) + r(2)(3 2) 

~ 129 + 36 * 1 .165 

Logo, a temperatura esperada após 3 horas é de 165 °F. 

Obtemos uma estimativa mais precisa para 7'(2) desenhando os dados, como na 
Figura 2. e estimando a inclinação da reta tangente em t = 2 como 

T'{ 2) « 33 

Então nossa aproximação linear torna-se 

7X3) « 7X2) + 7 '(2) • 1 « 129 + 33 - 162 

e nossa estimativa melhorada para a temperatura é de 162 C F. 

L ma vez que a curva da temperatura fica abaixo da reta tangente, parece que a temperatura 
real após 3 horas será um pouco menor do que a 162 °F, talvez mais próxima a 160 °F. 


■ " * Encontre u lin eari zaç ão da função f(x) — y.v 7 3 em q — 1 e use-a para 
aproximar os números 73,98 e 7-1.05. Essas aproximações estão superestimadas ou 
subestimadas? 

SOLUÇÃO A derivada de f(x) — (.r 7 3) 1/2 é 


/'(*) - Ux 7 


2Jx 7 3 


e assim temos ./(!) = 2 e /'{ 1) = {.Colocando esses valores na Equação 2. vemos que 
a linearização é 



L(;x) = f(\) 7 /'( 1 )(x ■■■■ 1 ) = 2 7 í ( x - 1 ) = — 7 — 

4 4 


A aproximação linear correspondente ( 1 ) é 


r x 7 x , . , , . 

v 7 3 f — (quando x esta proxmio de I) 

4 4 


Em particular, temos 


73,98 - l 7 


-995 e 74,05 ~ { 7 ‘f 


A aproximação linear está ilustrada na Figura 3. Vemos que, realmente, a aproximação 
pela reta tangente é uma boa aproximação para a função dada quando x está próximo de 

1. Vemos também que nossas aproximações são superestimadas, pois a reta tangente está 
acima da curva. 



James Stewart CAPÍTULO 3 REGRAS PE DIFÊREUCAÇAO Í63 

Naturalmente, uma calculadora nos daria aproximações para v/3 ,98 e N /4,05- mas a aproxi- 
mação linear funciona em todo o intervalo. 

Na tabela a seguir comparamos as estimativas de uma aproximação linear no Exemplo 2 
com os valores verdadeiros. Observe na tabela, e também na Figura 3. que a aproximação 
pela reta tangente dá boas estimativas quando x está próximo de 1, mas a precisão da 
aproximação deteriora à medida que x se afasta de 1 . 




Quão boa é a aproximação obtida no Exemplo 2? O exemplo a seguir mostra que 
usando uma calculadora gráfica ou computador podemos determinar o intervalo dentro do 
qual uma aproximação linear fornece uma precisão especificada. 


Para que valores de x a aproximação linear 


\/X 



4,3 


Q::^" 


y = Vi + 3 + 03, 


' 

iax) -f/y\ 

' y — V.v+3— 03 

â ■' 




FIGURA 4 

1 


10 



é precisa dentro de 0,5? O que se pode dizer sobre uma precisão dentro de 0,1? 

SOLUÇÃO Uma precisão dentro de 05 significa que as funções devem diferir, uma da outra, por 
menos que 0,5: 


I v x + v 




< 05 


Assim, podemos escrever 


05 


< Jx + 3+05 


o que estabelece que a aproximação linear deve ficar entre as curvas obtidas deslocando- 
se a curva y = yúr + 3 para cirna e para baixo por uma distância de 0 ,5- A F igura 4 mostra 
que a reta tangente v = (7 + x )/ 4 intercepta a curva superior y = Qv + 3 + 05 em P e 
O. Dando um zoom e usando o cursor, estimamos que a coordenada x de Pé cerca de —2,66 
e que a coordenada x de O é cerca de 8.66. Assim, vemos do gráfico que a aproximaçao 


é precisa dentro de 0,5 quando -2,6 < x < 8,6. (Por segurança, arredondamos.) 

Analogamente, da Figura 5 vemos que a aproximação é precisa dentro de 0,1 quando 
-1,1 < x < 3,9. 


FIGURA 5 





’ ' ■ 2©4' □ CÁLCULO 


Editora Thomson 


' 


F,. ,í Aplicações à Física 

As aproximações lineares são muitas vezes usadas em física. Analisando as consequências 
de uma equação, um físico às vezes precisa simplificar uma função substituindo-a por sua 
aproximação linear. Por exemplo, ao deduzir uma fórmula para o período de um pêndulo, 
os textos de física obtêm a expressão a T — -g sen 0 para a aceleração tangencial e então 
substituem sen 6 por 6 com a observação de que sen 0 está muito próximo de 0 se 9 não 
lor grande. (Veja, por exemplo, Physics: Calculas, de Eugene Hecbt, 2. ed., Pacific Grove, 
CA: Brooks/Cole, 2000, p. 431 .) Você pode verificar que a linearização da função f(x) ~ 
sen v em a = 0 é L(.x) — ,v, e assim a aproximação linear em 0 é 

sen a ~ v 

(veja o Exercício 48). Assim, a dedução da fórmula para o período de um pêndulo usa a 
aproximação pela reta tangente para a função seno. 

Outro exemplo ocorre na teoria da óptica, quando os raios de luz que chegam em ângu- 
los rasos em relação ao eixo ótico são chamados raios paraxiais. Na ótica paraxíal (ou 
gaussiana), tanto sen 0 como cos 9 são substituídos por suas linearizações. Em outras 
palavras, as aproximações lineares 

sen 9 — 0 e cos 0 ~ 1 

sao usadas, pois 0 está próximo de 0. Os resultados de cálculos feitos com essas aproxi- 
mações tomam-se a ferramenta teórica básica para projetar as lentes. (Veja Optics , de 
Eugene Heeht,4. ed.. Reading, MA: Addison-Wesley, 2002. p. 154.) 

Na Seção 11.12 do Volume 11 vamos apresentar várias outras aplicações da idéia de 
aproximação linear para a física. 


Lj Diferenciais 


Se <ix ¥'■ 0, podemos dividir ambos 
os lados da Equação 3 por dx para 
obter 


Temos visto equações similares antes, 
mas agora o lado esquerdo pode 
genuinamente ser interpretado como 
uma taxa de diferenciais. 


v 


Q R / 



0 1 /' j X X + As 


As idéias por trás das aproximações lineares são algumas vezes formuladas na terminolo- 
gia e notação de diferenciais. Se y = j{x). ond e/é uma função d i fere nciável, então a dife- 
rencial dx é uma variável independente; isto é, a dx pode ser dado uni valor real qualquer. 
A diferencial dy é então definida em termos de dx pela equação 

v r/v = f\x) dx 

Assim dy é uma variável dependente; ela depende dos valores de x e dx. Se a dx for dado 
um valor específico e v for algum número específico no domínio de /, então o valor 
numérico de dy está determinado. 

O significado geométrico de diferenciais está na Figura 6. Seja /*{ v./f v)> e 
0(x + àx,f(x + Aril pontos sobre o gráfico de / e façamos dx — A.\. A variação cor- 
respondente em v é 

Ay = f(x + A v! - f(x) 

A inclinação da reta tangente PR é a derivada f(x). Assim, a distância direta de S a R é 
/ (a) dx — dy. Consequentemente, dy representa a distância que a reta tangente sobe ou 
desce (a variação na linearização), enquanto Ay representa a distância que a curva y — f(x) 
sobe ou desce quando x varia por uma quantidade dx. 

EXEMPLO 4 Compare os valores de Ay e dy se y — f(x) — x 3 + x 2 - 2x ■+■■ 1 e x 
variar (a) de 2 para 2,05 e (b) de 2 para 2.01 . 




FIGURA 6 


James Stewsrt CAPÍTULO 3 REGRAS DE DIFERENCIAÇÃO i: 265 


SOLUÇÃO 

(a) Temos que 

/( 2 ) = 2 5 + 2 2 - 2 ( 2 ) + 1—9 
/(2,05) - (2.05) 3 + (2,05) 2 - 2(2.05) + 1 = 9,717625 
Ay = /( 2,05) -,/(2) - 0,717625 

Em geral, t/y = /'(x) t/.r = (3x 2 + 2 jc — 2) t/r 

Quando x — 2 e dx = Ax = 0,05, temos 

dy = [3(2) 2 + 2(2) - 2]0,05 = 0,7 

(b) /(2,01) = (2,0 1) 3 + (2,0 1) 2 “ 2(2,01) + 1 = 9,140701 

Ay = /(2,01) - /(2) = 0,140701 

Quando t/x = Ax = 0,01 , 

dy = [3(2) 2 + 2(2) - 2]0,O1 =0,14 


Note que no Exemplo 4 a aproximação Ay — dy toma-se melhor à medida que Ax fica 
menor. Note também que é muito mais fácil computar dy do que Ay. Para as funções mais 
complicadas pode ser impossível computar exatamente Ay. Nesses casos, a aproximação 
por diferenciais é especialmente proveitosa. 

Na notação de diferenciais, a aproximação linear (1) pode ser escrita como 

f(a + dx) fia) + dy - 

Por exemplo, para a função f{x) — yfx + 3 do Exemplo 2, temos 


dy = f'{x) dx — 


2yx + 3 


Se a — 1 e dx — Ax = 0,05, então 



043125 


e v r 4,05 = /(1.05) =»/(!) + t/y = 2,0125 

exatamente como encontramos no Exemplo 2. 

Nosso exemplo final ilustra o uso de diferenciais na estimativa de erros que ocorrem em 
virtude de medidas aproximadas. 

EXEMPLO 5 :: : O raio de urna esfera tem 21 cm, com um erro de medida possível de no 
máximo 0,05 cm. Qual é o erro máximo cometido ao usar esse valor de raio para com- 
putar o volume da esfera? 

SOLUÇÃO Se o raio da esfera for r, então seu volume é V = \ rrr\ Se o erro na medida 
do valor de r for denotado por dr = Ar, então o erro correspondente no cálculo do valor 
de V é AV, que pode ser aproximado pela diferencial 


dV = Airr 2 dr 




Quando r *=* 2 ] e dr 


O erro máximo no v 


” 0 .05 ‘ temos- - 

dV = 4/7(2 ! ) 2 0,05 -~= 277 
oiti me calculado é de cerca de 277 cnr . 


NOTA o Embora o erro possível no Exemplo 5 possa parecer muito grande, uma idéia 
melhor dele é dada pelo erro relativo, que é computado dividindo-se o erro pelo volume 
total: 


AV ^ dV 477% dr dr 

~v ~ ~v = 3 7 " 

Assirft, o erro relativo no volume é cerca de três vezes o erro relativo no raio. No Exemplo 5 
o erro relativo no raio é de aproximadamente dr/r — 0,05/21 ~ 0,0024 e produz um erro 
relativo de cerca de 0,007 no volume. Os eixos também podem ser expressos como erros 
percentuais de 0,24% no raio e 0,7% no volume. 



Exercícios 


1. No Exemplo 1, o peru é removido do forno quando sua 
temperatura atinge 185 T e colocado sobre uma mesa em uma 
sala onde a temperatura é de 75 °F. Após dez minutos a 
temperatura é de 172 T . e após 20 minutos, 160 C F. Use unia 
aproximação linear para predizer a temperatura do peru após 
meia hora. Você acha sua predição superestimada ou 
subestimada? Por quê? 

2 . A pressão atmosférica P decresce à medida que a altura h 
aumenta. A uma temperatura de 15 °C, a pressão é 1013 
quilopascals (kPa) no nível do mar, 87,1 kPa a h — 1 km e 
74,9 kPa a h = 2 km. Use uma aproximação linear para 
estimar a pressão atmosférica a uma altitude de 3 km. 

3. O gráfico indica como a população da Austrália está envelhecendo, 
apontando o passado e a porcentagem projetada da população 
com idade superior ou igual a 65 anos. Use uma aproximação 
linear para prever a porcentagem da população que terá 

65 anos ou mais nos anos 2040 e 2050. Você acredita que suas 
previsões estão muito para mais ou para menos? Por quê? 





4 . A tabela mostra a população do Nepal (em milhões) em 30 de 
junho de cada ano dado. Use uma aproximação linear para 
estimar a população em meados de 1984. Utilize outra para 
prever a população em 2006. 


f 1 í 080 

1985 

1990 

1 995 

2000 

N{i) | 15,0 

17.0 

19.3 

22,0 

24.9- 


S~8 Encontre a linearização Lix) da função em a. 

5. f(x) — x' . a = 1 6. f(x) — In.v, a .1 

7 . /Lr) cosx, rí = ir/2 8. f(x) = yx, a — —8 


ag 9. Encontre a aproximação linear da função /(.v) = v ; ] - x 
e m o ™ 0 e use-a para aproximar os números yT) 9 e 
v0 99. Ilustre fazendo os gráficos de / e a reta 
tangente. 

ii 10 . Encontre a aproximação linear da função g(x) — v 1 + x 

em a — 0 e use-a para aproximar os números v 0,95 e y 4,1 . 
Ilustre fazendo os gráficos de g e a reta tangente. 


1900 


■ooo 


t 



James Stewsrt CAPITULO 3 R 


:NC!AÇÃO 


í 1—14 :: Verifique a aproximação linear dada em a 0. Então 


determine os valores de 

x para os quais a aproximação linear é 

ciais por que 

precisa dentro de 0,1 . 


37. sec 0,08 *» i 

11. v 1 -x ~ I - \x 

12. tg x ~ x 

39. In 1,05-0,05 

13. 1/(1 + 2 xf ** 1 - 

8a 

40. Sejam f(x) : - 

14. e* « 1 + x 


e h(x) -- 


38. (3.01) 6 


11 d c ' ^p U 

1 .0Í> 


15-20 G Encontre a diferencial da função. 

15. v = a 4 + 5a 

16. v — cos irx 

17. y — ,x ln x 

18. v *» /Í“ÍT 2 

u + 1 

19. v = 

u 1 

20. v - (1 + 2r)~ A 

21-26 □ (a) Encontre a diferencial dy e (b) calcule dy para os 
valores dados de x e dx. 

21. y — x* + 2a, x ~ 3, dx — ~ 

22. v = e x/ \ x « 0. dx = 0.1 

23. v = v4 + 5 a, x ~ 0, dx = 0,04 

24. y - I/(a + l), a = 1, dx = -0,01 

25. y — tg a, x — rr/4. (2 a = -0.1 

26. y — cosa, x — tt/3, dx = 0,05 

27-30 O Cofnpute Ay e c/y para os valores dados de x e 
dx ~ A.i . Então esboce um diagrama como o da Figura 6, 
mostrando o segmento de reta com comprimentos dx , dy e Ay. 

27. y = a 2 . A — 1 , Ar = 0,5 

28. v — V-V- a = 1 , A a = 1 

29. v « 6 -• a-, x = —2, Ar = 0,4 

30. y - 16 /a. a = 4, A a - ~ 1 

31-36 G Use as diferenciais (ou, de maneira equivalente, uma 
aproximação linear) para estimar o número dado. 

31. (2,001)* 

32. V99J 

33. Í8.06F 

34. 1/1.002 

35. tg 44" = 

36. !n 3 .07 


40. -Sejam ./( a.) = (x - 1)% g ( x ) - e -u 

e h(X) = 1 + ln(l -2 a). 

(a) Determine as linearizações para f, g e h em a 6- <) qi 
você observa? Como explicar o que aconteceu? 

IÍ (t>) Btça os gráficos de /, gehe de suas aproximações linearts. 

Para qual função a aproximação é melhor? Para qual é pio 
Justifique. 

41. A aresta de um cubo tem 30 cm, com ffni possível erro de 
medida de 0,1 cm. Use diferenciais para estimar o erro 
máximo possível em computar (a) o volume do cubo e (b) a 
área da superfície do cubo. 

42. O raio de um disco circular é 24 cm, com um erro possível de 0A a 

(a) Use as diferenciais para estimar o erro máximo na área d< 
disco calculado. 

(b) Qual o erro relativo? Qual o erro percentual? 

43. A circunferência de uma esfera mede 84 cm, com erro possfvi 
de 0,5 cm. 

(a) Use as diferenciais para estimar o erro máximo na área 
superficial calculada. Qual o erro relativo? 

(b) Utilize as diferenciais para estimar o erro máximo no 
volume calculado. Qual o erro relativo? 

44. Use as diferenciais para estimar a quantidade de tinta 
necessária para aplicar uma camada de 0,05 cm de tinta a um 
domo com diâmetro de 50 m. 

45. (a) Utilize as diferenciais para achar uma fórmula para o 

volume aproximado de uma fina camada cilíndrica com 
altura h, raio interno r e espessura Ar. 

(b) Qual é o erro envolvido no uso da fórmula da parte (a)? 

46. Quando o sangue flui ao longo de um vaso sanguíneo, o fluxo 
(o volume de sangue por unidade de tempo passando por u 
dado ponto) é proporcional à quarta potência do raio R do vas 

F = kR* 

(Isso é conhecido como a Lei de Poiseuille; mostraremos p' 
que isso é verdadeiro na Seção 8.4.) Uma artéria parcialmen 
obstruída pode ser alargada por uma operação chamada angi 
plastia, na qual um cateter do tipo balão é inflado dentro < 
artéria a fim de aumentá-la e restaurar o fluxo normal do sangu 
Mostre que a variação relativa em F é cerca de quatro vezes £ 
variação relativa em R. Como um aumento de 5% no raio ate! 
o fluxo do sangue? 

47. Estabeleça as seguintes regras para trabalhar com as diferen- 
ciais (onde c denota uma constante e u e v são funções de x). 

(a) dc = 0 

(b) dicu) — c du 

(c) d(u + v) = du + dv 

(d) díuv) = ii dv 4- v du 


(f) d(x") — nx K " l dx 






■ 


Emr Physícs: Çalcidus. de Eugene Hecht, 2. ed.. Pacific Gruve. 
•^^•Brooks/Cole, 2002, p. 431. no curso da dedução da 
fórmula T = Irr-jLjg para o período de um pêndulo de 
comprimento L. o autor obtém a equação a T = - g sen 0 para a 
aceleração tangencial do peso do pêndulo. Ele então afirma: 
“para ângulos pequenos, o valor de d em radianos é muito 
próximo do valor de sen 0: eles diferem por menos do que 2% 
até cerca de 20 o ”. 

(a) Verifique a aproximação linear em 0 para a função seno: 


(a) Use a aproximação linear para estimar /( 0,9) e/( i ,i ). 

(b) Suas estimativas na parte (a) são muito grandes ou pequenas? 
Explique. 


v =/'W 


(b) Use um recurso gráfico para determinar os valores de x 
para os quais sen x e x diferem por menos do que 2%. 
Então verifique a afirmativa de Hecht. convertendo de 
radianos para graus. 

49. Suponha que a única informação que temos sobre uma função fé 
que /( 1 ) — 5 e que o gráfico de suas derivadas é como mostrado. 


0j 1 


50. Suponha que não temos u ma fórm ula para g(x), mas sabemos 
que g( 2) = — 4 e g’(x) — v /:r 2 + 5 para todo x. 

(a) Use uma aproximação linear para estimar g{ 1 ,95) e <7(2,05). 

(b) Suas estimativas na parte (a) são muito grandes ou pequenas? 
Explique. 


Fmfefci de 1 afcoraf ®i 


A aproximação pela reta tangente L(x) é a melhor daquela de primeiro grau (linear) para f{x) 




. • • • . V--ÍCU;:: 

' *• 'v *‘ *•• . * * . * ^ v; ; 

' . 1 / ' V ' / /< 

V 5 - ; - v !< * 


o 18 Polinómios de Tayíor 

A aproximação pela reta tangente L(x) é a melhor daquela de primeiro grau (linear) para f(x) 
próximo de x — a, pois f (x) e L(x) têm a mesma taxa de variação (derivada) em a. Para uma 
aproximação melhor do que a linear, vamos tentar aquela de segundo grau (quadrática) P(x). Em 
outras palavras, aproximaremos uma curva por uma parábola em vez de uma reta. Para nos 
assegurarmos de que é uma boa aproximação, estipularemos o seguinte: V ; 

(i ) P(a) ~ f{a) {P e /devem ter o mesmo valor em a.) ; :v ''Vf' ?V 

(ii) P\a) — /'(«) (P e/ devem ter a mesma taxa de variação em a.) 

(iii) P"(a) — f"(a ) (A inclinação de P e/ deve variar segundo a mesma taxa.) 

1. Encontre a aproximação quadrática Pix) = A + tíx -f Cx 2 para a função / (x) == cos x 
que satisfaça as condições (i), (ii) è (iii) com d — 0. Faça o gráfícò de P, /e da 
aproximação linear L(x) — 1 em uma mesma tela. Comente a qualidádé das 
aproximações PeL de /. 

2. Determine os valores de x para os quais a aproximação quadrática /(x) “ P(x) do Problema 1 é 
precisa dentro de 0,L [Sugestão. Faça o gráfico de y — Píx), y — cos x — 0,1 èy — cosx + 0,1 
na mesma tela.) 

3. Para aproximar uma fimção /por uma função quadrática P nas proximidades de um número 
a, é melhor escrever P na fonna 

P(x) ~ A + B(x - a) + C(x - a) 2 

Mostre que a função quadrática que satisfaz as condições (i), (ii) e (iii) é 
P(x) —f(a) + f(a)(x - a) + \f"(a)(x ~~ af 

4. Encontre a aproximação quadrática f(x) — *J 'x + 3 nas proximidades de a = 1. Faça os 
gráficos de f, da aproximação quadrática e da aproximação linear do Exemplo 3 da Seção 
3.1 ! na mesma tela. O que você conclui? 

5. Em vez de ficar satisfeito com as aproximações lineares ou quadráticas a f{x) nas 
proximidades de x = a, vamos tentar encontrar as aproximações melhores com polinómios 
de graus mais altos. Procuramos por um polinómio de grau n 

T n {x) — co + Cj(x — a) + c 2 (x - a) 2 + cj(x - a) 2 + • • - 4- c„(x ~~ af 


James Stewart CAPÍTULO 3 REGRAS DE DitERENCUÇÃO 


tal que T„ e suas n primeiras derivadas tenham os mesmos Valores em a = a Ct^no/e suas n 
primeiras derivadas. Diferenciando repetidamente e fazendo x = a, mostre que essas 
condições estão satisfeitas se Co ~ fia). c \ —/'(a), c 2 = |/"(a), e em geral 


/ (n) (Ã>, 

• • d ; (-*•' a) 

n\ 


onde kl — 1 * 2 * 3 * 4 A. O polinómio resultante 

f "(a) f [n) (a) . 

7; Cr) = f{a) + f'(a)(x - a) + — ;~~~~-(x _ a y + . - . + — ■■■ (x - af 

2! n! 

é chamado polinómio de Taylor de grau n de /centrado em a. 

6 . Encontre o polinómio de Taylor de oitavo grau centrado em a ~ 0 para a fuoçs.o 

f(x) = cos x. Faça os gráficos de /junto com os polinómios de Taylor T z , TE. F s na janela 
de inspeção [—5, 5J por [ — 1,4, 1 ,4J e comente a qualidade da aproximação de/. 



Revisão 


1. Estabeleça as seguintes regras da diferenciação 
palavras. 

(a) A Regra da Potência 

(b) A Regra do Múltiplo Constante 

(c) A Regra da Soma 

(d) A Regra da Diferença 

(e) A Regra do Produto 

(f) A Regra do Quociente 

(g) A Regra da Cadeia 


Z Estabeleça a derivada de cada função. 


(a) y = x* 

(d) y = ln x 
(g) y — cos x 
( j) }■ — sec x 
(m) y = cos~ ! x 
(p) y — cosh x 
(s) y = cosh -1 ; 


(b) y = e* 

(e) y ~ log a x 
(h) y - tg x 
(k) y - cotg x 
(n) y »» tg ! x 

(q) y = tgh v 

(t) y - tgh *x 


(c) y = 

(Oy- 

(i) y = 
(I) y - 
(o) y = 
<r) y * 


VERIFICAÇÃO DE CONCEITOS 

em símbolos e (b) Expresse e como limite. 

(c) Por que a função exponencial natural y — e* é usada mais 
frequentemente em cálculo do que as outras funções 
exponenciais y — a ' l 

(d) Por que a função logarítmica natural y = In x é usada mais 
freqüentemente em cálculo do que as demais funções 
logarítmicas y — Iog„x? 

4. (a) Explique como funciona a diferenciação implícita. 

(b) Explique como funciona a diferenciação logarítmica. 

5. O que são a segunda e a terceira derivadas da função/? 

a Se fé uma função posição de um objeto, como você 

sen * interpreta /" e /'"? 


senh x 
senh ! x 


6 . (a) Escreva uma expressão para a linearização de /em a. 

(b) Se y = f(x), escreva uma expressão para diferenciar dy. 

(c) Se dx — Ax, faça uma figura que mostre os significados de 
dy e de Av. 


(a) Como é definido o número e . 


TESTES FALSO-VERDADEIRO 


Determine se a afirmativa é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique 
por quê. Se for falsa, explique por que ou dê um contra-exemplo da afirmativa. 

1, Se / e g forem diferenciáveis, então 

- 7 - Í/W + $(*)] “*/'(*) + g'(x) 
dx 

2. Se / e g forem diferenciáveis, então 

-~r \f(x)g(x)] - f\x)g’(x) 


3. Se / e g forem diferenciáveis, então 


[/($(*)) 3 ** figixWix) 


d f (X) 

4. Se j for diferenciáveK então — V/(x) = =~ 

dx 2 yf(x) 

d r >-\ f’(x) 

5. Se t for diferenciáveE então — fwx) ~ ~~y^. 

dx ' 2 v V 

6 . Se v = e 2 . então y' — 2e. 


1 . — (1(F) = xlO* J 
dx 

d „ 1 

8 . * 0 nlO)- — 

a A. (t g 2 x) = fL ( sec 2 T ) 

dx dx 





EXERCÍCIOS 


13. v= tgVfljf 

15. x‘y = x + 3y 
sec 20 

17. v — 


1 + tg 20 

19. y = íf'(c sen x - cos x) 


21. v - C ' 

23. y = 

25. sen(xy) = x 3 - v 


('-■') 

O’) = X 3 - 

27- v = log 5 ( 1 + 2x] 


39. y — $g 2 (sen 0) 

4i. .. 

(t + 3)' 

43. y — x senh ( x : ) 

45- y “ ln(cosh3x) 

47. y — eosh Usenh.v) 


1-4 

>8 ■ 

Calcule y'. 




- 49 . 

Sc fit) = ,f\t + í , f ache/'(2). 

1. 

y 

~ (x 4 - 3x' +5) 

2. 

y = 

cos(tg x) 

50. 

Se g{ 0) — 0 sen 0 , determine g (tr/6.). 

3. 

V 

^ r : . 1 

4. 

y — 

3.v - 2 

51 . 

Encontre y" se x f ’ + y (i = 1 . 


■n/.v" 

y'2x + 1 

52. 

Encontre f‘%x) se /{x> — 1/(2 x). 

5 . 

v 

— 2 xyjx z + i 

6 . 

v — 

e* 

53 . 

Use a indução matemática para mostrar que se f{x) — xe\ 






1 + .t‘ 


então / l,,! (x) = (x + ri)e ' . 

7. 

y 

— , > -» 

8. 

V — 

fó'(r -2/ + 2) 


Calcule Hm . 

l -° tg '(2/ ) 

9 . 

y 

t 

1 -r 
— xe~' x 

10. 

y — 

sen 1 (V J 

54. 

11 . 

V 

12. 

v M 

xV 1 

SB™ 

59 :..i Encontre uma equação da tangente à curva no ponto dado 


14. v = 


sen (x - sen x) 
16. y = ln(cossec 5x) 

18. x" cos v + sen 2y = xy 
20. y — !n(xV’ r ) 

22. y — sec ( 1 + x~ j 
24 . y = ] / <]~x + i]x 


26. y ~~ VsenVx 
28. y — (cosx)‘ 

/r 2 4 

30. v 


40. re' - y - J 
(x + \y 
x' + X 4 
sen mx 


42. v 
44. y 


46. y= 

1 2x + 5 
48. y ,\- {gh" ! y r v 


55. y — 4 senSr, (77/6, 1) 


56. y — (0,-1) 

57- v - yT+Tsen x, (0, O 

58. a" + 4xy + y 5 — 13. (2, 1) 

59. y • (2 + x)e"' 1 , (0,2) 

llS 60. S e/Çr) = xe Kn \ encontre fix). Faça o gráfico de / e f na 
mesma tela e comente. 

61. (a) Se f(x) — a y 5 — x, encontre f'(x). 

(b) Encontre as equações (las retas tangentes à curva 
y = ;ty 5 x nos pontos (.1 , 2) e (4. 4). 

(c) Ilustre a parte (b) fazendo o gráfico da curva e das retas 
tangentes. 

(d) Verifique se a resposta da parte (a) é razoável comparando 
os gráficos de f e f. 

62. (a) Se f(x) — 4x - tg x, — tt/ 2 < x < rr/2, encontre f e /". 
(b) Verifique se as respostas da parte (a) são razoáveis 

comparando os gráficos de /. /' e /". 

63. Em quais pontos da curva y = sen a I- cos x. 0 =5 x =£ 2rr. a 
reta tangente é horizontal? 

64. Encontre os pontos sobre a elipse x : + 2 y ’ = i onde a reta 
tangente tem inclinação 1 . 

65. Se /( a) — (x -■ a)(x — b)(x - c), mostre que 

fW = 1 + 1 + _ ! 

/(a) x --- a x — b x - c 

66. (a) Diferenciando a formula do ângulo duplo 
cos 2x — cos “x -■ seirx 

obtenha a fórmula do angulo duplo para a função seno. 






(2x + l)' (3x - l f 

li 

31. 

V 

= X tg“*(4x) 

32. 

y — C°' ! + cos(e* } 

mm 

33. 

y 

ln |sec 5x + tg 5x| 

34. 

y = 10'f'í 

mm 

35. 

y 

“••• cotg(3x ;í + 5) 

36. 

- v -ÍM r ) 

ms 

ms 

37. 

y 

- - senjtgyl + x j 

38. 

y = arctg(arcsen Va j 



James Stewart 



(b) Diferenciando a fórmula de adição. • 

senfx + a) = sen x cos a + cos x sen a 
obtenha a fórmula de adição para a função cosseno. 

67. Suponha que h(x) — fix)g(x) e Fíx) ~ f(g(x)). onde j (2) = 3, 
g( 2) = 5. g'( 2) = 4, /'{ 2) = -2 e /'{5) =13. Encontre (a) 
)i'(2) e (b) F'( 2). 

68. Se/e g forem as funções cujo gráfico está a seguir, seja 
P(x) = f(x)q(x"), Q(x) = f(x)/q(x) e C(x) = f(g(xj). Encontre 

(a) >'(2), (b) Q'( 2) e (c) C'(2)! 



89-76 G 

Encontre /' em termos de 

$'■ 



69 . 

/(x) 

= x : y(x) 

70 . 

f(x)~~ 

• g(x 2 ) 

71 . 

/(x) 

- ígU)? 

72 . 

/(*) = 

= g(g(x)) 

73 . 

/(*) 

= g(e x ) 

74 . 

f(x) • 

- e 9i*) 

75 . 

/(*) 

~ ln j g(x) | 

76 . 

f(x) = 

- #0n x) 


77-79 □ Encontre K em termos de /' e 5'. 
/(,y)^(jc) 


77 . /r(x) „ . 

/ (x) + g(x) 

79 . h(x) = /(#(sen4x)) 


78 . h(x) 


[ 2 w 

\ </(.0 


|| 80 . (a) Faça o gráfico da função /(x) = x - 2 sen x na janela de 
inspeção [0, 8] por [—2,8], 

(b) Em qual intervalo a taxa média de variação é maior: [1.2] 
ou [2, 3]? 

(c) Em qual valor de x a taxa instantânea de variação é maior: 
X = 2 ou A-.= 5? 

(d) Verifique sua estimativa visual na parte (c) computando 
f’(x) e comparando os valores numéricos de /'( 2) e /'(5). 

81 . Em qual ponto sobre a curva y = [iníx + 4)] 2 a reta tangente é 
horizontal? 

82 . (a) Encontre uma equação da reta tangente à curva v = e x que 

seja paralela à reta x — 4 y = 1 . 

(b) Encontre uma equação da tangente à curva y — e* que 
passe pela origem . 


CAPÍTULO 3 stGRAS DE DIFERENCIAÇÃO •" 27' 

83 . Encontre uma parábola y = ax 2 + hx + c que passe pelo 
ponto (1 , 4) e cujas ret% tangentes emr= — 1 e x = 5 
tenham inclinações 6 e -2. respectivamente. 

84 . A função CU) = K(? e" ht ), onde a, b e K são constantes 
positivas e b > a , é usaqa para modelar a concentração de um; 
droga injetada na corrente sanguínea no instante t. 

(a) Mostre que lim Ç(r) = 0. 

(b) Encontre C(t), a tax a segundo a qual a droga é eliminada 
da circulação. 

(c) Quando essa taxa é igual a zero? 

85 . Uma equação de movimento da forma 5 = .4<?""cos(íuí + 8) 
representa uma oscilação amortecida de um objeto. Encontre a 
velocidade e a aceleração do objeto. 

86. Uma partícula move-se ao longo de uma reta horizontal de 
forma que sua coordenada no instante / seja x = Cb 2 + c 2 f 2 , 
t > 0, onde b e c são constantes positivas. 

(a) Encontre as funções velocidade e aceleração. 

(b) Mostre que a partícula se move sempre no sentido positivo. 

87 . Uma partícula se move Sobre uma reta vertical de forma que 
sua coordenada no instante t seja y — t 3 — 12/ + 3, t 3* 0. 

(a) Encontre as funções velocidade e aceleração. 

(b) Quando a partícula se move para cima? E para baixo? 

(c) Encontre a distância percorrida pela partícula no intervalo 
de tempo 0 «5 t 3, 

88 . O volume de um cone circular reto é V =* rrr 2 h/3, onde réo 
raio da base e h é a altura. 

(a) Encontre a taxa de variação do volume em relação à altun 
se o raio for mantido constante. 

(b) Encontre a taxa de variação do volume em relação ao raio 
se a altura for mantida constante. 

89 . A massa da parte de um fio é x(l 4- yx) kg, onde x é medido 
em metros a partir de uma extremidade do fio. Encontre a 
densidade linear do fio quando x — 4 m, 

90 . O custo, em dólares, da produção de x unidades de um certo 
utensílio é 

C(x) = 920 + 2x - 0.0 2x 2 4- 0,00007x 5 

(a) Encontre a função custo marginal. 

(b) Encontre C'(100) e explique seu significado. 

(c) Compare C'(100) com o custo da produção do 101 c item. 

91 . O volume de um cubo cresce a uma taxa de 10 cm 3 /mm. Com 
que rapidez está crescendo a área superficial quando o 
comprimento de uma aresta é 30 cm? 

92 . Um copo de papel tem a forma de um cone com 10 cm de 
altura e 3 cm de raio (no topo). Se for colocada água dentro 
do copo a uma taxa de 2 cm 3 /s, com que rapidez o nível 

da água se elevará quando ela tiver 5 cm de profundidade? 




272 


CÁLCULO 


Editers Thomson 


93 . Um balão sobe a uma velocidade constantè de -5 pés/s. E ura 98. Calcule dy se y — x i ~ 2x 2 4 l , T ~ 2 e dx = 0? 

rapaz anda de bicicleta ao longo de uma estrada reta a- uma 

velocidade de 15 pés/s. Ao passar sobre o ciclista o balão está 99- lima janela tem um formato de um quadrado com urn 

45 pés acima dele. Com que velocidade cresce a distância entre semicírculo em cima. A base da janela mede 60 cm com um 

o balão e o rapaz 3 segundos mais tarde? erro possível na medida de 0,1 cm. Use as diferenciais para 

94 . Uma esquiadora aquática sobe a rampa mostrada na figura a estimar o máximo erro possível no cálculo da área da janela, 

uma velocidade de 30 pés/s. Com que velocidade eia está 

subindo quando deixa a rampa? 100-102 Expresse o limite como uma derivada e calcule-o. 



95. O ângulo de elevação do Sol está decrescendo a uma taxa de 
0,25 rad/h. Com que velocidade está crescendo a sombra de 
um prédio de 400 pés de altura quando o ângulo de elevação 
do Sol é Tcj 6? 

WZW s , - / — 

96. (a) Encontre a aproximaçao linear para f(x) — V25 — x 2 nas 

proximidades de 3. 

(b) Ilustre a parte (a) fazendo o gráfico de / e da aproximação 
linear. 

(c) Para quais valores de x a aproximação linear é precisa den- 
tro de 0,1? 

97. (a) Encontre a linearização de f(x) — y/j 4 3x em a = 0. 

Estabeleça a aproximação linear co rresp ondente e use-a 
para dar um valor aproximado de -y/ 1 , 03 . 

11 (b) Determine os valores de x para os quais a aproximaçao 

linear dada na parte (a) é precisa dentro de 0.1 . 


103. Calcule lím 


y 1 -4 senx 


104. Suponha que / seja uma função díferenciável tal que 
f(gU)) = te/lv) = 1 4 [/{x)]\ Mostre que 
g'(x) ~ 1/(1 + x 2 ). 

105. Encontre f'(x) sabendo-se que 


jL 

dx 


[/( 2x)} 


x‘ 


106. Mostre que o comprimento da parte de qualquer reta tangente à 
astróide x 2 ' 4 y 2/? = a 2n cortada fora pelos eixos 
coordenados é constante. 







IWsIBS üM HÉSÍSB 


o entes 


V Í / 

vv 1 ,// 


Antes de você olhar todo o exercício, cubra a solução e tente resolvê-lo sozinho. 

Exemplo 1 Quantas retas são tangentes às parábolas y ~ —l - x 2 e y = 1 + x 2 ? 
Encontre as coordenadas dos pontos nos quais essas tangentes tocam as parábolas. 

Solução É essencial fazer o diagrama para este problema. Assim, esboçamos as parábo- 
las y — 1 + x 2 (que é a parábola-padrão v == x 2 deslocada uma unidade para cima) e 
y — — 1 — x 2 (obtida refletindo-se a primeira parábola em tomo do eixo x). Se tentarmos 
traçar uma reta tangente às parábolas, logo descobriremos que existem somente duas 
possibilidades, conforme ilustrado na Figura 1 . 

Seja P um ponto no qual uma dessas tangentes toca a parábola de cima e seja a sua 
coordenada x. (A escolha de notação para a incógnita é importante. Naturalmente, 
poderíamos ter usado b , c, x 0 ou x } em vez de a. Contudo, não é recomendável usar x no 
lugar de a, pois ele poderia ser confundido com a variável x na equação da parábola.) 
Então, uma vez que P está sobre a parábola y — 1 + x 2 , sua coordenada v deve ser 
1 4- a 2 . Em virtude da simetria mostrada na Figura 1 , as coordenadas do ponto Q onde a 
tangente toca a parábola de baixo devem ser (— a, — (1 + a 2 )). 

Para usar a informação dada de que a reta é uma tangente, equacionamos a inclinação 
da reta PQ como a inclinação da reta tangente em P. Temos que 

1 + a 2 ~ (~l ~~ a 2 ) 1 -I- a 2 

tripg “ ; : == 

a — \—a) a 

Se f{x)~ 1 + x 2 , então a inclinação da reta tangente em P é f'(á) = 2a. Dessa forma, a 
condição de que precisamos usar é 


Resolvendo essa equação, obtemos 1 + a 2 ~ 2a 2 , logo a 2 = 1 e a = ±1. Portanto, os 
pontos são (1 , 2) e (— 1, —2). Por simetria, os pontos remanescentes são (— 1 , 2) e ( 1 , —2). 


Exemplo 2 Para quais valores de c a equação ln x — cx 2 tem exatamente uma solução? 

Solução Um dos princípios mais importantes do problema é fazer um diagrama mesmo 
que o problema dado não mencione explicitamente uma situação geométrica. O presente 
problema pode ser reformulado geometricamente da seguinte forma: para quais valores 
de c a curva y ™ ln x intercepta a curva v — cx 2 em exatamente um ponto? 

Vamos começar fazendo os gráficos de y ln x e y — cx 2 para os diversos valores de 
e. Sabemos que, para c 0, > : = cx 1 é uma parábola que se abre para cima se c > 0 e 
para baixo se c < 0. A Figura 2 mostra as parábolas y — cx 2 para vários valores posi- 
tivos de c. A maior parte deles não intercepta y — ln x, e um intercepta duas vezes. 
Temos a intuição de que deve existir um valor de c (em algum lugar entre 0,1 e 0,3) para 
o qual a curva intercepta exatamente uma vez, como na Figura 3. 


X 



FIGURA PARA O PROBLEMA 13 


13. Sejam T e N as retas tangente e normal para a elipse x 1 /9 + v 2 /4 — 1 no ponto qualquer P 
sobre a elipse no primeiro quadrante. Sejam x r e y T os interceptos x e y de T e .r ;V e v,. v os 
interceptes de N . A medida que P se move ao longo da elipse no primeiro quadrante (mas não 
sobre os eixos), que valores podem assumir xr, >y. x# e y*? Tente primeiro conjecturar a 
resposta somente olhando na figura. Então use o cálculo para resolver o problema e veja quão 
boa está sua intuição. 


14. 


Calcule Ijm 

x ~>0 


sen(3 + x) 2 — sen 9 


15. (a) Use a identidade para tgÇr - y) (veja a Equaçao 14b do Apêndice D) para mostrar que se 
duas retas e L 2 intersectam em um ângulo o, então 


tg« 


m 2 — /«i 
1 + m i m 2 


onde m, e m 2 são as inclinações de L } e L 2 , respectivamente. 

(b) O ângulo entre as curvas Cj e C 2 em um ponto de interseção P é definido como o ângulo 
entre as retas tangentes a C| e Cj em P (se existirem). Use a parte (a) para encontrar, 
corretos até o grau mais próximo, o ângulo entre cada par de curvas em cada ponto de 
interseção. 

(i) y = x 2 e v = (v - 2 ) 2 

(ii) x- 2 - y 2 — 3 e .v 2 -- 4x + y 2 + 3 — 0 

16. Seja P(x u y;) um ponto sobre a parábola y 2 — 4 px com foco Fíp. 0). Seja a o ângulo entre a 
parábola e o segmento de reta FP e seja fi o ângulo entre a reta horizontal y = y 3 e a parábola, 
como na figura. Prove que a = /3. (Assim, por um princípio da ótica geométrica, a luz de uma 
fonte localizada em F será refletida ao longo de uma reta paralela ao eixo .x. Isso explica por 
que os parabolóides , superfícies obtidas por rotações de parábolas sobre seus eixos, são usa- 
dos como forma de alguns faróis de automóveis e espelhos para os telescópios.) 



17. Suponhamos que o espelho parabólico do Problema 16 tenha sido substituído por um esférico. 
Embora o espelho não tenha foco, podemos mostrar a existência de um foco aproximado. Na 
figura, C é um semicírculo com centro O. O raio de luz vindo na direção do espelho paralelo 
ao eixo ao longo da reta PQ será refletido para o ponto R sobre o eixo, tal que 

APQO = zL OQR (o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão). O que acontecerá ao 
ponto R se P for tomado cada vez mais próximo do eixo? 

18. S tf cg forem funções diferenciáveis com /(()) = g{ 0) = 0e </(0) A 0. mostre que 

/(*) /'(O) 


lim 


9(x) g'(0) 


276 





/ 

Q/ _ 

nfi.o " 

/ \e\ 


FIGURA PARA O PROBLEMA 17 


senííi -F 2x) — 2 sem' a 4- x) -f sen a ' 

13. Calcule lim ; 1 — . 

.S--M) X' 

20. (a) A função cúbica /(x) — x(x - 2)(x - 6) tem três raízes distintas: 0.2 e 6. Faça o gráfico da j 
e as suas retas tangentes nos pontos médios de cada par de zeros. O que você nota? 


correspondente ao ponto médio dos dois zeros a e h intercepta o gráfico da /no terceiro zero 

21. Para quais valores de k a equação é* — h/x tem exatamente uma solução? 

22. Para quais números positivos a é verdadeiro que a x s? 1 + x para todo x ? 


Ja 2 - 1 


2 sen .tf 

— ;*==.- arcta — — — 

V « 2 - 1 "a + s/a 2 — 1 -F cos x 


mostre que y = — ; 

a T- cos x 

24. Dada uma elipse x 2 /a 2 + y 2 /b 2 — 1 , onde a ¥=■ b. encontre a equação do conjunto de todos t 
pontos para os quais existem duas tangentes à curva cujas inclinações são (a) recíprocas e (b 
recíprocas negativas. 

25. Encontre os dois pontos sobre a curva y = x" — 2x* — x que tem uma reta tangente em cotnun 

26. Suponha que três pontos sobre a parábola y — x 2 têm a seguinte propriedade: suas retas normaí: 
intersectam em um ponto em comum. Mostre que a soma de suas coordenadas x é 0. 

27. Um ponto de lattice no plano é um ponto com coordenadas inteiras. Suponha que os círculos 
com raio r são feitos usando -se todos os pontos de lattice como centros. Encontre o menor 
valor de r para o qual toda reta com inclinação % intercepta alguns desses círculos. 

28. Um cone de raio r centímetros e altura h centímetros é submergido a uma taxa de 1 cm/s pa 
dentro de um cilindro maior, com raio R cm, parcialmente cheio de água. Com que velocida* 
está se elevando o nível de água no instante em que o cone fica completamente submerso ? 

29. Um recipiente com a forma de um cone invertido tem 16 cm de altura e 5 cm de raio no top< 
Ele está parcialmente cheio com um líquido que vaza pelos lados a uma taxa proporcional à 
área do recipiente que está em contato com o líquido. (A área superficial de um cone xrrl. or 
ré o raio e / é o comprimento lateral.) Se estivermos derramando o líquido para dentro do 
recipiente a uma taxa de 2 cnr/mín. então a altura do líquido decrescerá a uma taxa de 
0,3 cm/min quando a altura for 10 cm. Se nossa finalidade for manter constante a altura do 
líquido em 10 cm, a que taxa deveremos derramar o líquido para dentro do recipiente ? 




Aplicações da 
Diferenciação 


Os cientistas têm tentado explicar 
como os arco-íris são formados desde 
os tempos de Aristóteles. No projeto 
da página 288, você será capaz, 
usando os princípios do cálculo 
diferencial, de explicar a formação, 
localização e as cores do arco-íris. 



Já pesquisamos algumas das aplicações da. derivada; ag 01 " 3 , porém, com o auxílio 
das regras de diferenciação, estamos em posição de estuda r as aplicações de 
diferenciação com maior profundidade. Aprendemos coroo #s derivadas afetam o 
formato do gráfico de uma função e, em particular, com o nqs ajudam a localizar os 
valores máximos e mínimos de funções. Muitos problemas práticos requerem 
minimizar um custo ou maximizar uma área, ou, de alguma forma, encontrar 
a melhor saída de uma situação. Em particular, seremos capazes de pesquisar a 
forma ótima de uma lata e explicar a localização de um arco-íris no céu. 


Valores Máximo e Mínimo 


Algumas das aplicações mais importantes do cálculo diferencial são os problemas de 
otimização , em que devemos encontrar a maneira ótima (melhor maneira) de fazer alguma 
coisa. A seguir listamos alguns dos problemas de otimização que resolveremos neste capítulo: 

* Qual é a forma de uma lata que minimiza o custo de manufatura? 

« Qual é a aceleração máxima de um ônibus espacial? (Esta é uma questão 
importante para os astronautas que têm que suportar os efeitos da aceleração.) 

■ Qual o raio de uma traquéia contraída que expele mais rapidamente o ar durante 
uma tosse? 

■ Sob que ângulo os vasos sangüíneos devem ramificar de forma a minimizar 
a energia despendida pelo coração no bombeamento do sangue? 

Esses problemas podem ser reduzidos ao encontrar os valores máximo ou mínimo de uma 
função. Vamos primeiro explicar exatamente o que queremos dizer por valores máximo e 
mínimo. 


ri j Definição Uma função / tem máximo absoluto (ou máximo global) em c se 
f( c ) 2= /( x) para todo x em D , onde D é o domínio de /. O número f(c) é chamado 
valor máximo de / em D. Analogamente, / tem um mínimo absoluto em c se 
f(c) f(x) para todo x em D, e o número f(c) é denominado valor mínimo de f 
em D. Os valores máximo e mínimo de f são chamados valores extremos de /. 




A Figura 1 mostra o gráfico de uma função / com um máximo absoluto em d e um 
mínimo absoluto em a. Observe que (d, f(d)) é o ponto mais alto do gráfico, enquanto 
(a, fia)) é o ponto mais baixo. 


y * 



/ 

/ T\ i 
\ \ 

/ M 
j 1 1 

' II 

1 

A 

\ 

\ I 



1 


FIGURA 1 

í 

rf 

1 ■ 

| S 

i 

1 

(mV 

Valor mínimo f(a). 

fia)\\ 

1 i 

I 

I 

valor máximo /(d) 

J . - 5 5 

1 

t 

! 1 
í _J .> 


V 0 

b c 

d 

£> X 


Na Figura 1 , se considerarmos somente os valores de próximos de b [por exemplo, s 
restringirmos nossa atenção ao intervalo ia, c)], então f(b) é o maior desses valores de /(v 


27 





Thomson 


e é chamado valor máximo local de /. Da mesma forma. f(c) é denominado valor mínimo 
local de /. pois f(c) ^ f( x ) para x nas proximidades de c [no intervalo (b, d), por exemplo], 
A função / tem também um mínimo local em e. Em geral, temos a seguinte definição. 




FIGURA 2 

Valor mínimo 0, nenhum máximo 



FIGURA 3 

Nenhum mínimo, nenhum máximo 


i- definição Uma função/ tem um máximo local (ou máximo relativo) em c se 
/(<•) quando x estiver nas proximidades de c. [Isso significa que 

/(c) s* }(x) para todo x em algum intervalo aberto contendo c.] Analogamente,/ 
tem um mínimo local em c se f(c) « f(x) quando x estiver próximo de c. 


tlítiàr LO c A função f(x) — cos x assume seu valor máximo (local e absoluto) de i 
um número infinito de vezes, uma vez que cos 2mr — 1 para todo inteiro n e 
— 1 cos x ^ 1 para todo x. Da mesma forma, cos(2n + 1)77 = - 1 é seu valor mí- 
nimo, onde n é qualquer inteiro. 

EXEMPLO 2 Se j (x) = .r\ então f(x) /(()), pois x 2 S 0 para todo ,v. Portanto, 
/(O) = 0 é 0 valor mínimo absoluto (e local) de/. Isso corresponde ao fato de que a 
origem é o ponto mais baixo sobre a parábola y — x í (veja a Figura 2). Porém, não há um 
ponto mais alto sobre a parábola e, dessa forma, a função não tem um valor máximo. 

EXEMPLO 3 □ Do gráfico da função f(x) = x ? . mostrado na Figura 3, vemos que essa 
função nao tem um valor máximo absoluto nem um valor mínimo absoluto. De fato, ela 
não tem nenhum valor extremo local. 

EXEMPLO 4 : : O gráfico da função 

f{x) — 3,t 4 - I6x i + 18:t 2 — i ^ x «s 4 

está mostrado na Figura 4. Você pode ver que /( 1 ) — 5 é um máximo local, enquanto o 
máximo absoluto é /(— 1) = 37. [Esse máximo absoluto não é um máximo local, pois 
ocorre em um extremo do intervalo.] Também,/(0) = 0 é um mínimo local, e/(3) - -27 
é tanto um mínimo local como um mínimo absoluto. Note que em x = 4, /não tem um 
máximo local nem um máximo absoluto. 



FIGURA 4 


V 

(-1,37) 

v ■“ 3x ' - 1 6a + 18-t’ 
I 

\ 

j 

(1.5) j 

. \ 

, , 1 , . , 

-1 

1 \2 3 4 5 

\ / 


V 

(3, -27) 


Vimos que algumas funções têm valores extremos, ao contrário de outras. O teorema a 
seguir dá condições para garantir que uma função tenha valores extremos. 





James Síewart 



iapituiq 4 


JCAl 


:.Ij 0 íSCisma jo vs;j: Se f tor contínua em um intervalo fechado [a, b\ 

então / assume um valor máximo absoluto f(c) e um valor mínimo absoluto /(á) 
em algum número c e d em [«, b\. 


O Teorema do Valor Extremo está ilustrado na Figura 5. Observe que um valor extremo 
pode ser assumido mais de urna vez. Embora o Teorema do Valor Extremo seja intuitiva- 
mente muito plausível, ele é difícil de ser provado e, assim, omitimos sua demonstração. 






1 

1 


/T\ /T\ 

/ \ / \ 
i v i 

i T i 

d ~ b x 


a c, d c, b x 


As Figuras 6 e 7 mostram que uma função pode não possuir valores extremos se for 
omitida alguma das hipóteses (continuidade ou intervalo fechado) do Teorema do Valor 


Extremo. 


V j 


3 " 



/ <: _ 



\\ 

0/ \ 


\ 


\, * 

oj 

2 


FiGURA 6 



/i 

1 

\ 




I ! 


/ 

1 j 

1 

1 

1 

0 

2 * 


FIGURA 7 


Esta função tem um valor mínimo Esta função contínua g não tem nem 

/{ 2) 0, mas não tem valor máximo máximo nem mínimo 


A função /, cujo gráfico está mostrado na Figura 6 , está definida no intervalo fechado 
[0, 2], mas não tem valor máximo. [Observe que a imagem de f é [0, 3.) A função assume 
valores arbitrariamente próximos de 3. porém nunca realmente o valor 3.J Isso não con- 
tradiz o Teorema do Valor Extremo, pois / não é contínua. [Não obstante, uma função 
descontínua pode ter valores máximo e mínimo. Veja o Exercício 1 3(b).J 

A função g da Figura 7 é contínua no intervalo aberto (0,2), mas não tem nem valor 
máximo, nem mínimo. | A imagem de g é (1 , «>). A função assume valores arbitrariamente 
grandes.] Isso não contradiz o Teorema do Valor Extremo, pois o intervalo (0, 2) não está 
fechado. 

O Teorema do Valor Extremo afirma que uma função contínua em um intervalo fechado 
tem um valor máximo e um mínimo; contudo, não diz como encontrar esses valores 
extremos. Vamos começar por examinar os valores extremos locais. 

A Figura 8 mostra o gráfico de uma função / com o máximo local em ceo mínimo 
local em d. Parece que nos pontos de máximo e de mínimo as retas tangentes sao hori- 
zontais e, portanto, cada uma tem inclinação 0. Sabemos que a derivada é a inclinação da 
reta tangente; assim, parece que f\c) = 0 e f'(d) — 0. 0 teorema a seguir afirma que isso 
é sempre verdadeiro para as funções diferenciáveis. 



282 


CALCULO 


■áitora Thonisor 


:: O Teorema de Fermat é assim 
designado em homenagem a Pierre 
Fermat (1601-1665), um advogado 
francês que tinha por passatempo 
favorito a matemática. Apesar de seu 
amadorismo, Fermat foi, junto com 
Descartes, um dos inventores da 
geometria analítica. Seus métodos para 
encontrar as tangentes, as curvas e os 
valores máximo e mínimo (antes da 
invenção de limites de derivadas) 
fazem deie um precursor de Newton 
na criação do cálculo diferencial. 


st Se f ti 1 


um máximo ou niimrno locai em c.e fic) exu 


tir. então fic) ~ 0. 


Prova Suponha que f tenha um máximo locai em c. Então, de acordo com a Definição 
2, fic) T- fix) se x estiver suíicientemente próximo de c. o que implica que se h estiver 
suíicientemente próximo de 0, h sendo positivo ou negativo, então 


e, portanto. 

JLi 


fic) ss fic + ti) 


fic -r h) — fic ) 0 


Podemos dividir ambos os lados de uma desigualdade por um número positivo. Assim, 
se h > 0 e h for suficientemente pequeno, temos 


sai 

mR 


fic + h) - fic) 


h 


£ 0 


Tomando o limite à direita de ambos os lados dessa desigualdade (usando o Teorema 
2.3.2), obtemos 

fic + ti) -f(c) 

hm s* hm 0 — 0 

h-»0 + h /í --'O'"' 

Mas, uma vez que fic) existe, temos 

fic + ti) - fic) „ fic + ti) - fic) 
f (c) ■= hm — ~ hm — 

A-0 h h 0 ‘ h 

e assim mostramos que fic) < 0. 

Se/z < 0, então inverte-se o sentido da desigualdade 5 quando dividimos por h\ 


fic + h) ~ fic) 
h 

Logo, tomando o limite esquerdo, temos 


£* 0 h < 0 


fic + ti) - fie) fic + ti) - fic) _ 

f (c) = hm = hm ^ 0 

/< *U k h -H h 



FIGURA 9 

Se fix) — x\ então /'(()) — 0, mas 
/ não tem mínimo nem máximo 


Mostramos que fic) > 0 e também que fic) • 0. Uma vez que ambas as 
desigualdades devem ser verdadeiras, a única possibilidade é que fic) — 0. 

Provamos o Teorema de Fermat para o caso de urn máximo local. O caso de mínimo 
local pode ser provado de forma análoga, ou pode ser deduzido do caso já provado 
usando o Exercício 76 (veja o Exercício 77). 

Os exemplos a seguir aconselham prudência contra interpretar muito profundamente o 
Teorema de Fermat. Não podemos esperar localizar os valores extremos equacionando 
f{x) — 0 e resolvendo para x. 

EXEMPLO 5 □ Se fix) — ;r, então f(x) = 3x 2 , logo /'(0) = 0. Porém. / não tem 
máximo nem mínimo em 0, como podemos ver em seu gráfico na Figura 9. (Ou observe 



•James Stewart CAPITULO 4 APl 




FIGURA 10 

Se f(x) — l.tl, então /(O) — 0 c um valor 
mínimo, mas /'{(')) não existe 


que x > 0 para x > 0, mas x ' < 0 para x < 0.) O fato de que /'(O) — 0 signri^a 
simplesmente que a curva y — x ? tem uma reta tangente horizontal em (0. 0). Em Vez de 
ter máximo ou mínimo era (0, 0), a reta cruza sua tangente horizontal aí. 

A t unção f(x) = j.v j tem seu valor mínimo (local e absoluto) em 0; 
contudo, esse valor não pode ser encontrado equacionando-se f\x) — 0, pois, 
conforme mostramos no Exemplo 6 da Seção 2.9, /'(0) não existe (veja a 
Figura 10). 


ADVERTÊNCIA □ Os Exemplos 5 e 6 mostram que devemos ser muito cu iasd OS os nc 
uso ao leorema de í-ermsi. O Exemplo 5 demonstra que, mesmo quando f (c ) — 0. não t 

necessário existir o máximo ou o mínimo em o. (Em outras palavras, o inverso doTeorenu 
de Fermat em geral é falso.) Aiém disso, pode existir um valor extremo mesmo quandc 

f'(c) = 0 não existir (como no Exemplo 6). 

O Teorema de Fermat sugere que devemos pelo menos começar procurando por valorei 
extremos de / nos números c onde f'{c) — 0 ou onde f'(c) não existe. Esses números tên 
um nome especial. 


i lzj Um número crítico de uma função / é um número c no domínio de 

! / onde ou f'(c) — 0 ou f'(c) não existe. 


A Figura 1 1 mostra um gráfico da 
função / do Exemplo 7. Ele sustenta 
nossa resposta, pois há urna tangente 
horizontal quando x 1 ,5 e uma 
tangente vertical quando x 0. 

3.5 




- 0„5 


...2 


FIGURA 11 


Encontre os números críticos de f(x) ~ x ' 5 (4 — x). 
SOLUÇÃO A Regra do Produto nos dá que 

3 ( 4 -*) _>» 


/'(*) = |.v- 3 'I I) 


3(4 — x) — 5x 

5x 2/í 


12 - 8.r 

5a 2/5 


[O mesmo resultado poderia ter sido obtido escrevendo-se primeiro 

f(x) — 4 x 3/5 — jc 8/5 .j Portanto, f'(x) = 0 se 12 — Sx — 0, isto é, x = f , e f'{x) não 

existe quando x — 0. Assim, os números críticos são f e 0. 

Em termos de números críticos, o Teorema de Fermat pode ser reescrito como a segui 
(compare a Definição 6 com o Teorema 4): 


!Tj Se/tiver um máximo ou mínimo local em c, então c é um número crítico de/. 


Para encontrar um máximo ou um mínimo absolutos de uma função contínua em um 
intervalo fechado, notamos que ou ele é local [nesse caso ocorre em um número crítico 
por (7)] ou acontece em um extremo do intervalo. Assim, o seguinte procedimento de 
três etapas sempre funciona. 






2S4 ■ CÁLCULO 


Editora T&eirtsoji 


V = x" - 3x“ + i 


„(4,)7) 


i 1 2 / 


.] 0 


FIGURA 12 


FIGURA 13 


f hp intmyBhjf f&chBGQ Para encontrar os valores máximo e mínimo 

absolutos de urna função contínua f em um intervalo fechado [«• bj. 

1. Encontre os valores de / nos números críticos de / em {a, b). 

2. Encontre os valores de / nos extremos do intervalo. 

3 . o maior valor das etapas 1 e 2 é o valor máximo absoluto, ao passo que o 
menor desses valores é o valor mínimo absoluto. 


ESCEIVIPIO'1 :: Encontre os valores absolutos máximo e mínimo da i unção 


= x 3 — XX' 




SOLUÇÃO Uma vez que f é contínua em [- 5 . 4], podemos usar o Método do Intervalo 
Fechado: 


x" - 3x 2 + 1 


f'(x) — 3x 2 — 6x = 3x(x — 2) 


Uma vez que f'{x) existe para todo x, os únicos números críticos de / ocorrem quando 
f’( x ) = 0 isto é, x — 0 ou x = 2. Observe que cada um desses numeros críticos esta no 
intervalo (-|.4). Os valores de /nesses números críticos são 


m = 1 


Os valores de / nos extremos do intervalo são 


/H) - \ 


Comparando-se esses quatro números, vemos que o valor máximo absoluto e /( 4) 1 7 

e o valor mínimo absoluto, /( 2) — “3. 

Note que neste exemplo o máximo absoluto ocorre em um extremo enquanto o mt- 
ntmo Toluto acontece em um número critico. O gráfico de / está esboçado na Hgura 12. 


Se você tiver uma calculadora gráfica ou um computador com software gráfico, poderá 
estimar facilmente os valores máximo e mínimo. Mas, como mostra o proxtmo exemplo, 
o cálculo é necessário para encontrar os valores exatos. 


(aHJse um recurso gráfico para estimar os valores máximo e mínimo absolutos da 
função f(x) = x - 2senx,0 =£ x ^ 2tt. 

(b) Utilize o cálculo para encontrar os valores máximo e mínimo exatos. 


SOLUÇÃO . _ r A -j r i oi 

(a) A Fieura 13 mostra um gráíico de / na janela de inspeção [0, - <>\ P° L 
Movendo o cursor próxtmo ao ponto de máxtmo, vemos que a coordenada y naovarut 
muito nas vizinhanças do máximo. O valor máximo absoluto e cerca de 6.97 e oco 
quando * - 5.2, Analogamente, movendo seu cursor para próximo do ponto de mtntmo. 
vemos que o valor mínimo absoluto é cerca de -0,68 e ocorre quando x_ - P ‘ 
sível obter mais precisão nas estimativas por meto de um zoom em direção aos pon . 
máximo e mínimo, mas, em vez disso, vamos usar o calculo. 







James Siewart CAPÍTULO 4 


(b) A função f(x) = x - 2 sen x é contínua em [0. 2 tt]. Uma vez que 

f’{x) — .1 — 2 cos -X. temos f(x) — 0 quando cos x -í e isso ocorre quando x = tt/3 

ou 5 it;/ 3. Os valores de f nesses pontos críticos são 

f{ tt/ 3) - - 2 sen ~ - v 3 ~ -0.684853 

e Z(5V3) = - 2 sen -íf = ~ + V'3 » 6 968039 

3 ^ ^ 


Os valores de / nos extremos são 

/(()) - 0 e / ( 2 tt) —2 ir * 6.28 

Comparando-se esses quatros números e usando o Método do Intervalo Fechado, vemos 
que o valor mínimo absoluto é /(tt/3) = tt/3 - y3 enquanto o valor máximo absoluto 
é f (5 tt/3) = 5 tt/3 + x /3. Os valores da parte (a) servem como uma verificação de nosso 
trabalho. 

EXEMPLO 10 u O telescópio espacial Hubble foi colocado era órbita em 24 abril de 
1990 pelo ônibus espacial Discovery. Um modelo para a velocidade do ônibus durante 
essa missão, do lançamento emí = 0 até a entrada em funcionamento do foguete auxili- 
ar em t — 126 s, é dado por 

v(}) - 0,00 1302/ 3 - 0,09029/ 2 + 23.61/ - 3,083 

(em pés/s). Usando esse modelo, estime oj§. valores máximo e mínimo absolutos da 
aceleração do ônibus entre o lançamento e a entrada do foguete auxiliar. 

SOLUÇÃO São pedidos os valores extremos não da função velocidade dada, mas, em ve 2 
disso, da função aceleração. Assim, precisamos primeiro diferenciar para encontrar a 
aceleração: 


ait) - v'(t) = — (OJOOI 302/ 3 - 0,09029r + 23,61/ - 3,083) 
dt 

- 0.003906/ 2 - 0,18058/ + 23,61 

Vamos aplicar agora o Método do Intervalo Fechado à função contínua a no intervalo 
0 *£ / ss 126. Sua derivada é 

a'(t) = 0,007812/ ~ 0.18058 

O único número crítico ocorre quando a’(t) = 0: 

0.18058 _ _ 

t ~ 23.12 

0.007812 

Calculando-se o valor de «(/) no número crítico e nos extremos, temos 
a( 0) — 23,61 a(h) « 21,52 «(126) “ 62,87 


Assim, a aceleração máxima é cerca de 62,87 pés/s 2 , e a aceleração mínima, cerca de 
2 1 ,52 pés/s 3 . 



2-8S 


CÂICULO 



iânors Tfjoi 


Exercícios 

1. Explique a diferença entre mínimo local e mínimo absoluto. 

2. Suponha que / seja uma função contínua definida no intervalo 
fechado [a. b). 

(a) Que teorema garante a existência de valores máximo e 
mínimo absolutos para /? 

(b) -Quais as etapas que você deve seguir para encontrar esses 

valores máximo e mínimo? 

3-4 d Para cada um dos números a. b. c, cL e, r, s e t. estabeleça 
se a função cujo gráfico é dado tem um máximo ou mínimo 
absoluto, um máximo ou mínimo local, ou nem máximo nem 
mínimo. 

3. 





» 6 ..... Use o gráfico para estabelecer os valores máximo e mínimo 
locais e absolutos da função. 

5. 




/--'!« o Esboce o gráfico de uma função / que seja contínua em 

[ 1 . 5] e tenha as propriedades dadas. 

7. Máximo absoluto em 3. mínimo absoluto em 2, mínimo local em 4. 

8. Máximo absoluto em 5, mínimo absoluto em 1. máximo local 
em 2 e mínimo local em 4. 

9. Máximo absoluto em 5, mínimo absoluto em 2. máximo locai 
em 3 e mínimo local em 2 e 4. 

10. / não tem máximos ou mínimos locais, mas 2 e 4 são números 
críticos. 


11. (a) Esboce o grafico de uma função que tenha um máximo 

local em 2 e é diferenciarei em 2. 

(b) Esboce o gráfico de uma função que tenha um máximo 
local em 2 e é contínua, mas não diferenciarei em 2. 

(c) Esboce o gráfico de uma função que tenha um máximo 
local em 2 e não seja contínua em 2. 

12. (a) Esboce o gráfico de uma função em {-.1 , 2] que tenha 

máximo absoluto, mas não tenha máximo local. 

(b) Esboce o gráfico de uma função em [-1, 2] que tenha um 
máximo local, mas não tenha máximo absoluto. 

13. (a) Esboce o gráfico de uma função em f— 1 , 2] que tenha um 

máximo absoluto, mas não tenha mínimo absoluto. 

(b) Esboce o gráfico de uma função em [-] , 2| que seja 
descontínua, mas tenha tanto máximo absoluto como 
mínimo absoluto. 

14. (a) Esboce o gráfico de uma função que tenha dois máximos 

locais e um mínimo local, mas nenhum mínimo absoluto, 
(b) Esboce o gráfico de uma função cjue tenha três mínimos 
locais, dois máximos locais e sete números críticos. 

15-30 Encontre os valores máximo e mínimo locais e absolutos 
de j . Comece poi esboçar a mão seu gráfico. (Use os gráficos e as 
transformações das Seções 1 .2 e 1 .3.) 

15. /(» » 8 - 3a, x 5» I 

16. f(x) — 3 — 2_v. x ss 5 

17. f(x) = .r 2 , 0 < * < 2 

18. f(x) = x\ 0 < x 2 



James Stswart 


CAPÍTULO 4 APLSCACCES 


19, f(x) — *'• 0 -S x < 2 

29. fix) = 0 <: x *£ 2 

21. fW ** x : \ -3 *£ A’ « 2 

22. /{a) = 1 + ( x + l) 2 , ~"2 *£ a 

23. /(/) ' 1/í, 0 < / < i 

24. /(O = 1/í, O < / ^ 1 

25 . /(#) = sen 0, -2 ir -s 0 <• 2ir 

26. /( 0) = tg 0, -ir/ 4 s-s 6J < tt/2 

27. /(x) = 1 - V x 
28- /(.v) - e v 


29. f(x 


jl-x se0^.r<2 
|2x~ 4 se2 s =.Y í *3 


30. fix) - 


se O *2 a: *£ 


31—46 O Encontre os números críticos da função. 

31. f(x) — 5a 2 + 4a r 32. f{x) — a 3 + x 1 - x 

33. f(x) - x~ + 3a 2 - 24a 

34. fix) — .r + A 2 + A 

35. 5Íí) “• 3/ 4 + 4 r ~ 6r 36. f(z) -- - 

z M +z + 1 

37. gíx) = 1 2x + 3 1 38. gix) = x ! ' ? - x' n 


39. g(t) = 5f V5 + r i/J 
41. F(a) - a^(a - 4)- 
43. f(0) = 2 cos 4+ sem 0 
45. fix) ~ x ln a 


38. g(x)=x v --x' n 

40. g(x) - VSf(l-í) 
42. G(x) — s/x 2 — x 
44. 0(0) = 40-tg0 
46. /(a) = xe* 


47-62 ::i: Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de / no 
intervalo dado. 

47. f(x) = 3.V 2 - 12a + 5, [0,3] 

48. f{x) - a 3 - 3a + 1 , [0, 3] 

49. fix) — 2a 3 - 3a ' - 12a + 1, [-2. 3] 

50. fix) = x ‘ - 6a- + 9a + 2, ["1 . 4] 

51. /(a) = x A - 2.r - + 3. i — 2 , 3J 

52. fix) — (a‘ — 1 )- , [-1,2] 

53. f(x) — — 7- — . [0,3] 

x + 1 

54. fix) — — [~4, 4] 

A“ + 1 

55. /(í) = í V4-?\ [-1,2] 

56. /(?) = Ví (8 - í), [0, 8] 

57. /(a) = sen a 3- cos x, [0, tt/ 3] 


58. /(a) = A - 2 COS A . [ TT. 77 ] • • 

59. f(x) ** xe~\ [0.2] 

60. fix) — (ln .y}/a. [1,3] 

61. /(a) — a — 3 Inx, [1.4] 

62 . /(a) = c '' — e~ x \ [0,1] 

63. Seaeb são números positivos, ache o v,y or máximo cie 
/(a) - a“( 1 - a)% 0 «a *s 1, 

|| 64. Use um gráfico para estimar os números Críticos de 
f(x) — Ia’ *■ 3a 2 + 2 I com uma casa decimal. 


(a) Use um gráfico para estimar os valores máximo e mínimo 
absolutos da função com duas casas decimais. 

(b) Use o cálculo para encontrar os valores máximo e mínimo exatos. 

65. fix) ~ a 3 - Ba 4* .1 , —3 *£ x =£ 3 

66. fix) = e* K \ ~ 1 « x « 0 

67. fix) « A \/x - A 2 

68. f(x) — (cos a)/ (2 + sen a), 0 a 2 tt 

69. Entre 0 °C e 30 °C, o volume V (em centímetros cúbicos) de 
i kg de água a uma temperatura T é aproximadamente dado 
pela fórmula 

V „ 999,87 - 0.06426T + 0 ,0085043 F 2 - 0,0000679F 3 
Encontre a temperatura na qual a água tem sua densidade máxima 

70. Um objeto com peso W é arrastado ao longo de um plano 
horizontal por uma força agindo ao longo de uma corda presa 
ao objeto. Se a corda fizer um ângulo 0 com o plano, então a 
grandeza da força é 

/x sen 0 + cos () 

onde (i é uma constante positiva chamada coeficiente de atrito 
e 0 '= 6 tt/ 2. Mostre que F é minimizada quando tg 0 = j.i. 

71. Uni modelo para o índice de preço de alimentos (o preço de 
uma cesta básica) entre 1 984 e 1 994 é dado pela função 

Hf) = 0 ,00009045 í s + 0,00 1438/ 4 - 0,06561/* 

-+ 0,4598r - 0.6270/ + 99,33 

onde t é medido em anos desde a metade do ano de 1984; 
assim ()«£/*£ 10, e /(/) é medido em dólares em 1987 e 
reduzido em uma escala tal que 7(3) — 100. Estime os período 
nos quais a comida foi mais barata e mais cara durante o 
período de 1 984- 1 994 . 

í 72. Em 7 de maio de 1992 o ônibus espacial Endeavour foi 
lançado na missão STS-49. 




MÍCíítO : ' Editora T&omso» 

m A tabela a seguir fornece os dados da velocidade do ônibus 
entre o lançamento e a entraria dos Joguetes auxiliares. 


Eve 

nto 

Lançamento 


Começo da ma 

nobra de inclinação 

Fim da manobt 

a de meu naçao 

Acelerando par 

a 89% 

Ace 1 erando pa i 

a 67% 


a 104% | 

Separação do f 

iguete auxiliar | 


(a) Use uma calculadora gráfica ou computador para encontrar o 
polinómio cúbico que melhor modele a velocidade do ônibus 
para o intervalo de tempo t G [0. 125]. Faça então o gráfico 
desse polinómio. 

(b) Encontre um modelo para a aceleração do ônibus e use-o para 
estimar os valores máximo e mínimo da aceleração durante os 
primeiros 125 segundos. 

73. Quando um objeto estranho se aloja na traqueia, forçando uma 
pessoa a tossir, o diafragma empurra-o para cima. causando um 
aumento na pressão dos pulmões. Isso é acompanhado por uma 
contração da traquéia, fazendo um canal para o ar expelido fluir 
por ele. Para uma dada quantidade de ar escapar em um tempo 
fixo, é preciso que ele se mova através do tubo mais estreito 
com mais velocidade que no mais largo. Quanto maior for a 
velocidade da corrente de ar, maior a força sobre o objeto 
estranho. O uso de raios X mostra que o raio do tubo circular da 
traquéia se contrai para cerca de 2/3 de seu raio normal durante 


uma tosse. De acordo com o modelo matemático para a tosse, a 
velocidade v está relacionada ao raio r da traquéia pela equação 
vir') — kin, — i')t" t /Vi si /• -S r,:-, 

onde k é uma constante e rn. o raio normal da traquéia. A 
restrição sobre r deve-se ao lato de que as paredes da traquéia 
endurecem sob pressão, e uma contração maior que ;lr r , é 
evitada (de outra forma, a pessoa ficaria sufocada). 

(a) Determine o valor de r no intervalo | !r () , r >> ] no qual 

v tenha um máximo absoluto. Como isso se compara com 
a evidência experimental? 

(b) Qual é o valor máximo absoluto de v no intervalo? 

(c) Esboce o gráfico de v no intervalo [0, 

74. Mostre que 5 é um número crítico da função 

g(x) = 2 + f r - 5/ 

mas g não tem um valor extremo local em 5. 

75. Prove que a função 

/Cr) = .r K ” + a 51 4- x -r I 
não tem nem rnáxímo nem mínimo locais. 

76. Se f tiver um valor mínimo em e, mostre que a função 
g(x) ~/{.v) tem um valor máximo em c. 

77. Prove o Teorema de Fermat para o caso no qual / tenha um 
mínimo local em c. 

78. Uma função cúbica é um polinómio de grau três; isto é. tem a 
forma f(x) = a.x~ + bx" + cx + d onde a -A 0. 

(a) Mostre que uma função cúbica pode ter 2. 1 ou nenhum 
número(s) crítico(s). Dê exemplos e esboços para ilustrar 
essas três possibilidades. 

(b) Quantos valores extremos locais uma função cúbica pode ter? 


Projeto Aplicado 



/Ty 

D(n) 



observador 

Formação do arco-íris principal 


O Cálculo do Arco-íris 

O arco-íris é o fenômeno que resulta da dispersão da luz do Sol em gotas de chuva suspensas na 
atmosfera. Ele vem fascinando a humanidade desde os tempos antigos e inspirou tentativas de 
explicação científica desde a época de Aristóteles. Neste projeto usaremos as idéias de Descartes 
e de Newton para explicar a forma, a localização ê às cores dos arco-íris. 

1. A figura mostra um raio de luz solar entrando em uma gota de chuva esférica em A. Parte da 
luz é refletida, mas a reta AB mostra a trajetória da parte que entra na gota. Observe que a luz 
é refratada em direção à reta normal a AO e de fato a Lei de Snell afirma que sen a = k sen 
onde a é o ângulo de incidência, fié o ângulo de refração e k «= f , o índice de retração 
para a água. Em B uma parte da luz passa através da gota e é refratada para o ar. mas a reta 
BC mostra que parte é refletida. (O ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão.) 
Quando o raio atinge C, parte dele é refletido, mas por hora estamos mais interessados na 
parte que deixa a gota de chuva cm C . (Note que ela é refratada a uma distância da reta 
normal.) O ângulo de desvio Dia) é o tamanho da rotação no sentido horário sofrida pelo 
raio que passa por esse processo de três etapas. Assim 

D{a) - (a ~ 0) + (tt - 20) + (a - 0) = n + 2 a - 40 
Mostre que o valor mínimo do desvio é D( a) ~ 138° e ocorre quando a ~ 59,4°. 



■James Stswart 


1ÂPÍTUL-9 4 Ar 


A sígnificância do desvio mínimo eslá cm que quando a ~ 59-4° temos ||q a ) a 0. logo 
A D/Aa ~ 0. Isso significa que muitos raios com a. ~ 59,4° são desviados ^jximad amente 
peia mesma quantidade. Essa é a concentração de raios vindos das proximi^^ ,j a t ] ir eção 
de desvio mínimo que cria a luminosidade do arco-íris primário. A figura rr^y-a q uc 0 
ângulo de elevação a partir do observador até o ponto mais alto sobre o are^^g <s 
180° - 138° = 42°. (Esse ângulo é chamado ângulo cio arco-íris .) 

%jsê: 

raios cio Sol 


raios do Sol 


x , 


observador ""A jgL. 

IRR 

O problema explica a localização do arco-íris principal, mas como explicar a^^ res ? a luz do 
Sol é formada por um espectro de comprimentos de onda. desde o vermelho ^vés do 
laranja, amarelo, verde, azul. índigo e violeta. Como Newton havia descohen|jj|g seus 
experimentos com prismas em 1666, o índice de refração é diferente para catj a cor ( q e feito 
é denominado dispersão) Para a luz. vermelha, o índice de refração é k « 1 3||||| en q Uanto 
para a luz violeta é k « 1 .3435. Repetindo os cálculos do Problema 1 para ess^^ai ores de k, 
mostre que o ângulo do arco-íris é cerca de 42.3° para o arco vermelho e 40,( ^pll 0 arco 
violeta. Assim, o arco-íris consiste realmente em sete arcos individuais coireS {|p w<>c às 


para o/ 
observador 


Formação do arco-íris secundário 


3. Talvez você tenha visto um arco-íris secundário mais fraco acima do primeiro. Tp j fr segundo 
arco-íris resulta da parte de um raio que entra em uma gota de chuva e é refra trtjfe ro A. 
relletido duas vezes (em B e C) e refratado quando deixa a gota em D (veja a figura). Dessa 
vez o ângulo de desvio D(a) é o tamanho total da rotação no sentido anti horúrio que o raio 
sofre nesse processo de quatro etapas 

D{a) — 2o; — 6/3 + 2 tt 


e D(a) tem um valor mínimo quando 


/*’ - 1 


Tomando k — 5, mostre que o desvio mínimo é cerca de 129° e assim o ângulo 
para o secundário é cerca de 51°, conforme se vê na figura. 



xr 42° i51° 


4. Mostre que as cores no arco-íris secundário aparecem na ordem inversa daquela do pnmário. 





Editora Thomson 






Teorema do Valor Médio 


Veremos que muitos dos resultados deste capítulo dependem de um fato central, que é 
chamado Teorema do Valor Médio. Mas para chegar ao Teorema do Valor Médio pre- 
cisamos primeiro do seguinte resultado. 


g O Teorema cie Rolle foi publicado 
pela primeira vez em 1691 pelo 
matemático francês Michel Rolle 
(1652-1719) no livro intitulado Méthode 
pour résoudre les égalitéz. Mais tarde, 
porém, ele tornou-se porta-voz dos 
críticos dos métodos de sua época e 
atacou o cálculo como uma "coleção 
de falácias engenhosas". 


j iieorema tie tíorle Seja / uma função que satisfaça as seguintes hipóteses: 
T / é contínua no intervalo fechado [o, [?]. 

2. / é díferenciávej no intervalo aberto ia, h). 

\ 3 . f (a) ------ fíh) 

I Então existe um número c em ia, b) ta] que fie) — (). 


Antes de dar uma prova, vamos olhar nos gráficos de algumas funções típicas que sa- 
tisfaçam as três hipóteses. A Figura 1 mostra os gráficos de quatro dessas funções. Em cada 
caso parece que há pelo menos um ponto (c, f(c )) onde a tangente é horizontal e, portanto, 
/'(<■) ~ 0. Assim, o Teorema de Rolle é plausível. 


FIGURA 1 


-I — t ' I 

0 a c, Ci b x 

\ 

(a) 


V 


y 


V 




\ 

1 

i 

i 


X'[\ 

\ / 

) 

1 j 

i i > 


\ 



I 


0 

a c b -V 

0 

a C, C; b x 

0 

a c 

b x 


(b) 


(c) 


(CÍ) 



ü Veja os casos 


Prova Existem três casos: 


CASO I f(x) = k , uma constante 

Então ,/'( x) ~ 0, assim, o número c pode ser tomado como qualquer número em (a. b). 

CASO II □ ,/jx) > fia) para algum x em {a, b ) [como na Figura 1 (b) ou (c) i 
Pelo Teorema do Valor Extremo (que podemos aplicar pela hipótese 1), / tem um valor 
máximo em algum ponto de [a, b). Uma vez que fia) = f(b) ela deve assumir esse 
valor máximo em um número c no intervalo aberto {a, b). Então / tem um máximo locai 
em c e. pela hipótese 2, / é diferenciável em c. Portanto, f'(c) = 0 pelo Teorema de Fermat. 

CASO W of( x ) </(«) para algum x em ia, b) [como na Figura I (c) ou (d)] 

Pelo Teorema do Valor Extremo, f tem um valor mínimo em [a, /;] e como fia) - fib), 
ela assume esse valor mínimo em um número c em {a,b). Novamente fie) - 0 pelo 
Teorema de Fermat. 


EXEMPLO 1 □ Vamos aplicar o Teorema de Rolle à função de posição s =/(*) de um 
objeto em movimento. Se o objeto estiver no mesmo lugar em dois instantes diferentes 
/ ~ a e t — b, então j ia) =j(b). O Teorema de Rolle afirma que existe algum instante 
do tempo t - c entre a e b onde f'(c) - 0; isto é, a velocidade é 0. (Em particular, você 
pode ver que isto é verdadeiro quando uma bola é atirada diretamente para cima.) 







•ásiTJSS Stewsil CAHlULO 4 APliCACOES DA Dif EhENCImÇãO 


r A F ; gura 2 mostra um gráfico os 
função f(x) ■■■" .r + x 1 discutida no 
Exemplo 2. O Teorema de Rolie 
mostra que. independentemente do 
tamanho da janela de inspeção, não 
podemos nunca encontrar um segundo 
intercepto x. 


Prove que a equação .v' 


1 — 0 tem exatamente uma raiz real. 


FIGURA 2 


□ O Teorema do Valor Médio é um 
exemplo do que é chamado teorema 
da existência. Da mesma forma 
que o Teorema do Valor Intermediário, 
o Teorema do Valor Extremo e o 
Teorema de Rolie, ele garante que 
existe um número com uma certa 
propriedade, mas não nos diz como 
achá-lo. 


SOLUÇÃO Primeiro usamos o Teorema do Valor Intermediário (2.5.10) para mostrar que 
existe uma raiz. Seja fix) = x' + .v - 1 . Então /(()) — - i < o e /(l) = \ > 0. Uma 
vez que / é um polinómio, ela é contínua; assim, o Teorema cio Valor Intermediário 
afirma que existe um número c entre 0 e 1 tal que /(<:•) == (). A equação dada, portanto, 
tem uma raiz. 

Para mostrar que a equação não tem outra raiz real, usamos o Teorema de Rolie e 
argumentamos por contradição. Suponhamos que ela tenha duas raízes a e b. Então 
fia) — 0 ~ f(b) e, uma vez qu e/é um polinómio, é diferenciável em (a, b) e contínua 
em [a. b]. Assim, pelo Teorema de Rolie, existe um número c entre a e b tal que 
fíc) = 0. Mas 


f'{x) — 3x~ + 1 


para todo x 


(uma vez que r 2 3* 0), portanto, f{x) nunca pode ser zero. Isso leva a uma contradição. 
Contudo a equação não pode ter duas raízes reais. Z 

Nosso maior uso do Teorema de Rolie é na prova do seguinte importante teorema, ( 
qual foi primeiro estabelecido por outro matemático francês, Joseph-Louis Lagrange. 

| 0 Teerema do Valor Médio Seja f uma função que satisfaça as seguintes hipóteses: 

; 1. / é contínua no intervalo fechado [a. b}. 

2 .fé diferenciável no intervalo aberto (m /?). 

| J 

Então existe um número c em (a, b ) tal que 

j _ m-f(a) 

hl f (c) = ; 

i — j b — a 


ou, de maneira equivalente. 


'(a) — f’{c)(b - a) 


Ames de provar esse teorema, podemos ver que ele é razoável interpretando-o geomt 
tricamente. As Figuras 3 e 4 mostram os pontos A(a,f(a)) e B(b,f(b)) sobre os gráficos d 
duas funções diferenciáveis. A inclinação da reta secante AB é 

m - m 

i 3 1 m AB — : 

“ b — a 


A (a, fia )) 


P(c,M) 



B (bjm 



FIGURA 3 


FIGURA 4 



Jf 292 y CÁLCULO 


Editora Thomson 


que é a mesma expressão mostrada no lado direito da Equação 1. Uma vez que f ! ic) é a 
inclinação da reta tangente no ponto (c, f(c)), o Teorema do Valor Médio na forma dada 
pela Equação 1 diz que há no mínimo um ponto P(c, fie)) sobre o gráfico onde a incli- 
nação da reta tangente é igual à inclinação íla reta secante AB. Em outras palavras, há um 
ponto P onde a reta tangente é paralela à reta secante AB. 

rrova Aplicamos o Teorema de Rolle a uma nova função h definida como a diferença 
. y~ j\x) entre / e a função cujo gráfico é a reta secante AB. Usando a Equação 3 vemos que a 
h (x) X. equação da reta AB pode ser escrita como - 


f{b) -f{a) 
b — a 


(x - a) 


x ou como 


b - a 


FlGURA 5 


□ O Teorema do Valor Médio foi 
formulado pela primeira vez por 
Joseph-Louis Lagrange {1736-1 81 3), 
nascido na Itália, de pai francês e mãe 
italiana. Criança prodígio, tornou-se 
professor em Turim aos 19 anos. 
Lagrange deu grandes contribuições à 
Teoria dos Números, Teoria das 
Funções, Teoria das Equações e 
mecânica analítica e celeste. Em 
particular, eie aplicou o cálculo na 
análise da estabilidade do sistema 
solar. A convite de Frederico, o 
Grande, ele sucedeu Euier na 
Academia de Berlim; depois da morte 
de Frederico, porém, Lagrange aceitou 
o convite do rei Luís XVI para viver ern 
Paris, onde lhe foi dado um 
apartamento no louvre. Flomern bom 
e quieto, Lagrange vivia somente para 


s f(b) - f(a) , 

y — f («) i : - {x — a) 

b — a 


Assim, conforme mostrado na Figura 5, 

E W=/W-/W-M(,-»l 

b ~~ a 

Precisamos verificar primeiro que h satisfaz as três hipóteses do Teorema de Rolle. 

1, A função h é contínua em [a, b], pois é soma de /e um polinómio do primeiro 
grau, ambos contínuos. 

2. A função h é diferenciável em (a, b), pois tanto / quanto o polinómio do primeiro 
grau são diferenciáveis. De fato. podemos calcular diretamente h' da Equação 4; 

nv) 

b ~~ a 


(Note que fia) e [f(b) — f (a)]/ (b - a) são constantes.) 

3. hia) = fia) - fia) — (a - a) = 0 

b - a 

Mb) = f(b) - fia) - -PPsJPí (b _ a) 
b — a 

= f(b) ~f(a) - If(b) - fia)] = 0 
Portanto, hia) — h(b). 

Uma vez que h satisfaz as hipóteses do Teorema de Rolle, esse teorema afirma que 
existe ura número c em (a, b) tal que h ! (c) — 0. Portanto 

o /„) - /u ;> fMI 

b — a 

, r „ , fib) - f{a) 

logo f ’{c) ~ ~ ' 1 — 

b — a 


EXEMPLO 3 □ Para ilustrar o Teorema do Valor Médio com uma função específica, vamos 
considerar f(x) — x' - x, a = 0. h — 2. Uma vez que / é um polinómio, então ela é 
contínua e diferenciável para todo x; logo, é certamente contínua em [0, 2] e diferenciável 
em (0, 2). Portanto, pelo Teorema do Valor Médio, existe um número c em (0, 2) tal que 


James Stewart 


293 





CAPÍTULO 4 


/(2) - /(O) =■ /'{c)(2 - 0} 

Mas /( 2) — 6, /(()) = 0. e ,/'(.r) = 3 jt — 1 , e essa equação fica 

6 = (3c" — .1)2 = 6 c 1 — 2 

o que dá c 2 — f , isto é, c = ±2/V3. Porém c deve estar em (0, 2); logo, c — 2/Y3. A 
Figura 6 ilustra esse cálculo: a reta tangente nesse valor de c é paralela à reta secante OB. 

EXEMPLO 4 ::: Se um objeto move-se em uma linha reta com uma função de posição 
s = /(f), então a velocidade média entre t — a e / = b é 

f(b) ~~ fia) 
b — a 

e a velocidade em t — c é / f (c). Assim, o Teorema do Valor Médio (na forma da Equaçãí 
1) mostra que em algum instante em que t — c entre a e b a velocidade instantânea /'(c 
é igual à velocidade média. Por exemplo, se um carro trafegar a 180 km por duas horas 
então o velocímetro deve ter passado pela marca dos 90 km/h pelo menos uma vez 

Em geral, o Teorema do Valor Médio pode ser interpretado como se existisse um numere 
no qual a taxa de troca instantânea seja igual à taxa de troca média ao longo de um intervalo 

A grande importância do Teorema do Valor Médio reside no fato de ele nos possibilita 
obter informações sobre uma função a partir de dados sobre sua derivada. O próxime 
exemplo mostra esse princípio. 

EXEMPLO 5 □ Suponha que /(0) = -3 e f'(x) í 5 para todos os valores de x. Quão 
grande /( 2) pode ser? 

SOLUÇÃO Nos foi dado que / é diferenciável (e, portanto, contínua) em toda a parte. Em 
particular, podemos aplicar o Teorema do Valor Médio ao intervalo 10, 2]. Existe então 
um número c tal que 

/( 2) -/(0) — /'(c)(2 - 0) 

logo /( 2) ~/(0) + 2 f(c) = -3 + 2 f(c) 

Nos foi dado que f(x) ^ 5 para todo jc; assim, sabemos que f'(c) ^ 5. Multiplicando 
por 2 ambos os lados dessa desigualdade, temos 2/'{e) 10. logo 

/( 2) - -3 + 2 f\c) ^ -3 + 10 = 7 

0 maior valor possível para /( 2) é 7. 

O Teorema do Valor Médio pode ser usado para estabelecer alguns dos fatos básicos d 
cálculo diferencial. Um deles é o teorema a seguir. Os outros serão encontrados nas seçõe 
seguinte. 

1 1 11 Teorema Se f{x) — 0 para todo x em um intervalo (a, b), então / é constante 
! em (a, b). 


Prova Sejam x í e x 2 dois números quaisquer em (a, b), sendo xi < x 2 . Como fé 
diferenciável (a, b), ela deve ser diferenciável em (x u x 2 ) e contínua em [xj,x 2 ]. 




Hg! f(x 2.) —/(.V, ) — _/'■'( c)(.V 2 .Vi) 

Uma vez que f'{x) = 0 para todo .v, temos f'(c) ~ 0, e a Equação 6 fica 
f(x 2 ) — /(-Vj) = 0 ou f(x 2 ) f(:x i ) 


Portanto, f tem o mesmo valor em quaisquer dois números Xj e x 2 em (a, b). Isso sig- 
nifica que f é constante em (a. b). 


{ [TI C&rsiário Se f'(x) = g'{x) para todo x em um intervalo (a, b), então / g é 
; constante em (a, b): isto é. f(x) — g(x) + c. onde c é uma constante. 

Prova Seja F(x) — f(x) — g(x). Então 

F'(x) = /'(*) - g’(x) - 0 

para todo x em (a, b). Assim, pelo Teorema 5, F é constante; isto é. f — g é constante. 
NOTA n E necessário cuidado ao aplicar o Teorema 5. Seja 


f(x) - 




se -í > 0 
se x < 0 


O domínio de f é D — {x j a ^ 0} e f’(x) — 0 para todo x em D. Mas obviamente / não 
é uma função constante, isso não contradiz o Teorema 5. pois D não é um intervalo. 
Observe que f é constante no intervalo (0. <») e também no intervalo ( — «q 0). 


EXEMPLO 6 :::: Prove a identidade tgTv + cotg ! x — tt/2. 

SOLUÇÃO Embora não seja necessário o cálculo para provar essa identidade, a 
demonstração usando cálculo é bem simples. Se /(a) = tg"’x 4- cotg" ‘ a 5 então 


/'( x) = 


1 


+ A 


+ X 2 


- 0 


para todos os valores de a. Portanto f(x) = C, uma constante. Para determinar o valor de 
C fazemos x~ 1 (porque podemos calcular /’( 1 ) precisamente). Então 


C ■ /( 1 ) — tg 1 + cotg 1 




TT 

? 


Assim, tg ! x 4- cotg La = irjl. 



James Stewart CAPITUIO 4 APL 


Exercícios 


1-4 ::::: Verifique que a função satisfaz as três hipóteses do 
Teorema de Rolle sobre o intervalo dado. Então encontre todos os 
números c que satisfazem a conclusão do Teorema de Rolle. 

1. fix) — jt — 4,v + 1 - [0,4] 

2. fix) = .x- 3 - 3x 2 4 2.x- -f 5, [0,2] 

3. fix) ~ sen 2 ir\\ [-1,1] 

4. f(x) x v'.'. + 6, [ — 6,0] 

5. Seja f(x) ~ 1 - W Mostre que /(— 1) = /(!), mas não 
existe número c em ( — 1,1) tal que f’(c) = 0. Por que isso não 
contradiz o Teorema de Rolle? 

6. Seja fix) — (x — 1 ) \ Mostre que /(O) = /( 2), mas não 
existe número c em (0, 2) tal que f\c) — 0. Por que isso não 
contradiz o Teorema de Rolle? 

7. Use o gráfico de f para estimar os valores de c que satisfaçam 
a conclusão do Teorema do Valor Médio para o intervalo [0, 8], 


MA \ ! 

M fv r j r 

: i ; v 1 r 


Use o gráfico de f dado no Exercício 7 para estimar os valores 

de c que satisfaçam a conclusão do Teorema do Valor Médio 

para o intervalo [1,7], 

(a) Faça o gráfico da função f(.x) — x + 4/x na janela de 
inspeção [0, 10] por [0, 10]. 

(b) Faça o gráfico da reta secante que passa pelos pontos (1 . 5) 
e (8, 85) na mesma teia com /. 

(c) Encontre o número c que satisfaça a conclusão do Teorema 
do Valor Médio para essa função feo intervalo [1 . 8], 
Então faça o gráfico da reta tangente no ponto (c, fie)) e 
note que elã é paralela à reta secante. 

(a) Na janela de inspeção [-3, 3] por [-5, 5], faça o gráfico da 
função fix) — x~ ~ 2x e suas retas secantes que passam 
pelos pontos (-2, -4) e {2, 4). Use o gráfico para estimar 
as coordenadas x dos pontos onde a reta tangente é 
paralela à reta secante. 

(h) Encontre os valores exatos dos números c que satisfaçam a 
conclusão do Teorema do Valor Médio para o intervalo 
[-2, 2] e compare com sua resposta da parte (a). 


11-44 ::: Verifique que a função satisfaça as hipóteses qo Teorema 
do Valor Médio sobre o intervalo dado. Então encontre todos os 
números c que satisfaçam a conclusão do Teorema do Valor Médio 

11. f{x) = 3* 2 + 2x + 5, [-1,1] 

12. f{x) — -X 3 + -V -~E [0,2] 

13. fix) = e" 2 \ [0,3] 

14. fix) — _ [1,4] 

x + 2 “ 


15. Seja fix) — j x - 1 j. Mostre que não existe valor e tal que 
/( 3) — /(0) = f '(<■)( 3 - 0). Por que isso não contradiz o Teo- 
rema do Valor Médio? 

16. Seja fix) ~~ {x + 0/ (.v — 1). Mostre que não existg valor c tr 
que f(2) — /(O) —f'(c)( 2 - 0). Por que isso não contradiz o 
Teorema do Valor Médio? 

17. Mostre que a equação 1 + 2.x + x } + 4.x J tem exatamente uma 
raiz real. 

18. Mostre que a equação 2v - 1 - sen x — 0 tem exatamente um; 
raiz real . 

19. Mostre que a equação x : ’ - 15.v 4- c ~ 0 tem no máximo uma 
raiz no intervalo (-2, 2J. 

20. Mostre que a equação x 4 4- 4.x: f c — 0 tem no máximo dua; 
raízes reais. 

21. (a) Mostre que um polinómio de grau 3 tem no máximo três 

raízes reais, 

(b) Mostre que um polinómio de grau n tem no máximo n 
raízes reais. 

22. (a) Suponha que / seja diferenctável em !R e tenha duas raíze 

Mostre que f tem no mínimo uma raiz. 

(b) Suponha que / seja duas vezes diferenciável em 1FS e tenh 
três raízes. Mostre que f " tem no mínimo uma raiz real. 

(c) Você pode generalizar os itens (a) e (h)? 

23. Se /{!) = 10 e fix) 2 para 1 a x ^ 4, quão pequeno pod 
ser/(4)? 

24. Suponha que 3 -A f'{x) -A 5 para todo x. Mostre que 
18 *5/(8) -/( 2) *5 30. 

25. Existe uma função f tal que /(O) = - 1 . / (2) — 4 e fix) ~5 : 
para todo .v? 

26. Suponha que / e g sejam contínuas era [«, b] e diferenciáveis 
em ia, b). Suponha também que f(a) — gia) e fix) < í/'(jx 
para a < x < b. Prove que f(b) < g(b). [Sugestão: Aplique o 
Teorema do Valor Médio para a função h = f ~ g.) 

27. Mostre que V U + x < 1 + \x se .x > 0. 




236 3 CÁLCULO Editora Thomson 

28. 'Suponha que / seja urna função ímpar e diferencia vei em toda 

a parte. Prove que para todo o número positivo b existe uni 
número c em (- b , h) tal que fie) = f{b)/b. 

29. Use o Teorema do Valor Médio para provar a desigualdade 

I sen a - sen b j =£ \ a - b\ para todo a e b 

30. Se f’(x) = c (c uma constante) para todo x. use o Corolário 7 
para mostrar que f(x) = cx + d para alguma constante d. 

31. Seja f(x) = l/x e 


g(x) 



se x > 0 
se x < 0 


Mostre que f'(x) — g’(x) para todo x em seus domínios. 
Podemos concluir a partir do Corolário 7 que f -gé constante? 


32 . Use o método do Exemplo 6 para provar a identidade 

2 sen" A — cos MJ - 2.r ) x s» 0 

33. Prove a identidade 


34. As 2 horas da tarde o velocímetro de um carro mostrava 

30 mi/h, e às 2h10 mostrava 50 mi/h. Mostre que em algum 
instante entre 2h e 2hl0 a aceleração é exatamente 120 mi/h 2 . 

35. Dois corredores iniciaram uma corrida no mesmo instante e 
terminaram empatados. Prove que em algum instante durante a 
corrida eles têm a mesma velocidade. [Sugestão: Considere 
f(t) -- g(t) — hit), onde g e h são funções posições dos dois 
corredores.) 

36. Um número a é chamado numero fixo de uma função / se 
fia) = a. Prove que se f(x) # 1 para todo número real x, 
então / tem no máximo um ponto lixo. 




Como as Deriv adas Afe tam a Forma d o Gr áfico 


Xi 


oi 



FIGURA 1 


D 

9 

B / 


\ / 

c 


Muitas das aplicações do cálculo dependem de nossa habilidade para deduzir fatos sobre 
uma função f a partir de informações concernentes de suas derivadas. Como f’(x) repre- 
senta a inclinação da curva v ~ f(x) no ponto (x. f(x )) . ela nos informa a direção segundo 
a qual a curva segue em cada ponto. Assim, é razoável esperar que a informação sobre 
f’{x) nos dê informações sobre f(.x). 

; . O Que /' Nos Diz sobre /? 

Para ver como a derivada de / pode nos dizer onde uma função é crescente ou decrescente, 
observe a Figura 1 . (As funções crescentes e decrescentes foram definidas na Seção 1.1.) 
Entre A e B e entre C e D as retas tangentes têm inclinação positiva, logo f'{x) > 0. Entre 
B e C, as retas tangentes têm inclinação negativa, portanto f’(x) < 0. Assim, parece que/ 
cresce quando f{x) é positiva e decresce quando f’{x) é negativa. Para provar que isso é 
sempre válido, vamos usar o Teorema do Valor Médio. 




| Teste Crescente/De crescente qu Teste C/D 

[ (a) Se f’(x) > 0 sobre um intervalo, então / é crescente nele. 

(b) Se f'(x) < 0 sobre um intervalo, então / é decrescente nele. 


Prova 

(a) Sejam x\ e xz dois números quaisquer no intervalo com x\ < vg . De acordo com a 
definição de uma função crescente temos para mostrar que f(x i) < /(x 2 ). 

Como estamos dando que f(x) > 0, sabemos que / é diferenciável em [xq, x?]. Logo, 
pelo Teorema do Valor Médio, existe um número c entre x f e x 2 tal que 


ff 2 ) ~f{x j) ^f‘{c){x 2 - Xi) 


Agora f'(c) > 0 por hipótese e x 2 - xq > 0, pois x ( < x?. Assim, o lado direito da 



James Stewari 



Equação J é positivo, e - • - 

fix 2 ) — fix 1 ) > 0 ou fix O < f{x 2 ) 

Isso mostra que f é crescente. 

A parte (b) é provada de maneira semelhante 


EXEMPLO 1 Encontre o intervalo onde a função f(x) — 3.x 4 — 4.x 3 — 12.x' + 5 é 
crescente e o intervalo onde ela é decrescente. 

SOLUÇÃO fix) = 1 2.x 3 - 12.x 7 - - 24 \ - 12 x(x ~ 2)ú + 1) 

Para usar o Teste C/D devemos saber onde fix) > 0 e onde fix) < 0. Isso depende dos 
sinais dos três fatores de f'{x), isto é, 12.x, x — 2 e x 4- 1 . Dividimos a reta r e ai em 
intervalos cujos extremos são os números críticos -1 , 0 e 2 e dispomos o que fizemos em 
uma tabela. Urn sinal de adição indica que a expressão dada é positiva, e um sinal de 
subtração indica que é negativa. A última coluna da tabela fornece a conclusão baseada 
no Teste C/D. Por exemplo, f'(x) < 0 para 0 < x < 2, logo / é decrescente en i (0. 2). 

(É também verdade dizer que/é decrescente no intervalo fechado [0, 2].) 



O gráfico de / mostrado na Figura 2 confirma a informação dada na tabela. 

Da Seção 4.1, lembre-se de que se / tem um máximo ou mínimo local em c, então c 
deve ser um número crítico de f (pelo Teorema de Fermat), mas nem todo número crítico 
dá origem a um máximo ou mínimo. Conseqüentemente, necessitamos de um teste que nos 
diga se / tem ou não um máximo ou mínimo local em um número critico. 

Você pode ver a partir da Figura 2 que /(O) — 5 é um valor máximo local de f, pois / 
cresce em (—1,0) e decresce em (0, 2). Ou, em termos de derivadas, f(x) > 0 para 
— 1 < x < 0 e fix) < 0 para 0 < .x < 2. Em outras palavras, o sinal de f(x) muda de 
positivo para negativo em 0. Essa observação é a base do teste a seguir. 


Teste da Derivada Primeira Suponha que c seja um número crítico de uma função 

contínua f. 

(a) Se o sinal de f mudar de positivo para negativo em c, então / tem um máximo 

local em c. j 

(b) Se o sinal de f mudar de negativo para positi vo em c, então / tem um mínimo 
local em c. 

(c) Se f não mudar de sinal em c (isto é, se em ambos os lados de c o sinal de f 
for positivo ou negativo), então / não tem máximo ou mínimo locais em c. 

O Teste da Derivada Primeira é uma consequência do Teste C/D. Na parte (a), por 
exemplo, uma vez que o sinal de f{x) muda de positivo para negativo em c, / é crescente 
à esquerda de c e decrescente à direita. Segue-se que f tem um máximo local em c. 




E fácil lembrar-se o Teste da Primeira Derivada v 
os da Figura 3. 




>mo 


/ '{.X) > 0 /' ! "\ /'(.v)<() 


0 . 

(a) Máximo local 
FIGURA 3 


'(*) < 0 


! f'(x) > 0 


j"ix) > 0 


■(.'.) < 0 


/ ‘(jr) > 0 


Oi 


1 O sinal + na tabela vem do fato que 
í/(.v) > 0 quando cos x > - j . No 
gráfico de v - cos .x, isto é verdade nos 
intervalos indicados. 


0 

FIGURA 4 
v - .v + 2 sen x 


/ Xú < 0 


(b) Mínimo locai 


(c) Nem máximo, nem mínimo 


(d) Nem máximo, nem mínimo 


EXKívsflÊ! á Encontre os valores de máximo e mínimo locais da função / do Exemplo 1 

SOLUÇÃO Da tabela, na solução do Exemplo i , vemos que o sinal de f%r) muda de 
negativo para positivo em - 1 , logo ./( — 1 ) ~ () é um valor mínimo local pelo Teste 
da Derivada Primeira, Analogamente, o sinal de / ' muda de negativo para positivo 
em 2, portanto ./( 2) — —27 é também um valor mínimo local. Corno notado 
anteriormente, /(O) = 5 é um valor máximo local, pois o sinal de f{x) muda de 
positivo para negativo em 0 . 

ioaEPJ+LíI 3 i Encontre os valores de máximo e mínimo locais da função 

g(x) = x + 2 sen x 0 x 2 - 7 r 

SOLUÇÃO Para achar os números críticos de 9, diferenciamos: 

g’{x) — 1+2 cos jc 

Logo g (x) — 0 quando cos x ~ As soluções dessa equação são 2 tt/ 3 e 4 tt/ 3. Como 
9 é diferenciável em toda a parte, os únicos números críticos são 2 tt/ 3 e 477/3 e. 
portanto, analisaremos g na tabela a seguir. 


: 

g J ix) - 1 + 2 cos .v 



f .* 





"" - l • v v - 


c rssccniv cni f 0 , J. tt/ 3 ) 

■-! 

.+ T ' r -. . V ' -*77f C 


aecresceme crn •' i rr/3 . 4 tt- ; :■ \ 


a ri ..... ^ _ 




■ 


ic em í-' /;/ a , - 7; ; 



Como o sinal de g’{x) muda de positivo para negativo em 2 - 77 / 3 , o Teste da Deri vada 
Primeira nos diz que há um máximo local em 2rr/3 e o valor máximo local é de 


2 77 2~ 2 77 

9(277/3) — — - — F 2 sen — — — - + ? 


J3 ■ 3.83 


3 3 ~\ 2 } 3 

Da mesma forma, o sinal de g'(x) muda de negativo para positivo em 4 tt/ 3, logo 

v a 


4 77 4 77 4 ít 

9(4 tt/ 3) — — — - + 2 sen — + 21 

3 3 3 \ 0 


477 

— - v"3 - 2,46 


é um valor mínimo local. O gráfico de 9 na Figura 4 confirma nossa conclusão. 






Jsmes Stewart 


CAPITULO 


IGURA 5 


FIGURA 6 


O Que f" Nos Diz sobre /? 

A Figura 5 mostra os gráficos de duas funções crescentes em í«, fr). Ambos os gráficos 
unem o ponto /I ao /?. mas eles sao diferentes, pois iocl inani' s" gm direções diferentes. 
Como distinguir entre esses dois tipos de comportamento? Na Figu r a 6 as tangentes a essas 
curvas foram traçadas em vários pontos. Na parte (a) a curva fica ; lC ima das tangentes e / 
é chamada côncava para cima em (a. b). Em (b) a curva fica abaj x0 das tangentes e g é 
denominada côncava para baixo em (a, b). 


a r 
L_ 


Ca) 


A . - 


t B - v ' 

/I 
/ 1 

// ! 
y 1 

i 

i 

i 

1 w 

,,-i B 

/ 9 j 

/ i 

.4 í 1 

| I 

b Jf 

0 

a }> 

) 

, B 

VJ 

' 

(b) 

k ^ B 

J 

/ / 

/' 


/ 9 
/ 

A / 

X 

\ para cima 

0 

(b) Côncava para baixo 


Definição Se o gráfico de / estiver acima de todas as suas tangentes no intervalo 
L então ele é chamado côncavo para cima em 1. Se o gráfico de / estiver abaixo 
de todas as suas tangentes em I, é dito côncavo para baixo em /. 


A Figura 7 mostra o gráfico de uma função que é côncava para cima (abrevia-se CC) 
nos intervalos { b , c). (d, e) e (e, p), e côncava para baixo (CB) nos intervalos (a, b), (c, d) 
e (p, q ). 


FIGURA 7 


/ 


CB 


CC 




D 


CB 


CC 



Vamos observar como a derivada segunda nos ajuda a determinar os intervalos de con- 
cavidade. Olhando para a Figura 6(a), você pode ver que. indo da esquerda para a direita, 
a inclinação da tangente cresce. 



30 © 


:Alculo 


Editora Tfessnson 


FIGURA 8 


Ií>so significa que a derivada de / e urna função crescente e consequentemente sua 
derivada j e positiva. Da mesma forma, na Figura 6(b) a inclinação da tangente decresce 
da esquerda para a direita: logo /' decresce e. portanto,/" é negativa. Esse raciocínio pode 
ser invertido e sugere que o teorema a seguir é verdadeiro. Uma prova dele está dada no 
Apêndice F com o auxílio do Teorema do Valor Médio. 


i Tesíe da Ccncavidads 

(a) Se f ’ (x) > 0 para todo x em L então o gráfico de f-é côncavo para cima em /. 

! (b) Se f ^ < 0 P ara todo x em /. então o gráfico de / é côncavo para baixo em 1. 



\ A ^" ura 8 mostra um gráfico da população para as abelhas cipriotas 

criadas no apiário. Como cresce a taxa populacional? Quando essa taxa é mais alta? 
Sobre quais intervalos P é côncavo para cima ou côncavo para baixo? 


Número de abelhas 
(cm milhares) 


SOLUÇÃO Examinando a inclinação da curva quando t cresce, vemos que a taxa de 
crescimento populacional é inicialmente muito pequena, então toma-se maior até atingir 
o máximo em cerca de t — 12 semanas, e decresce até a população se estabilizar. À 
medida que a população tende a seu valor máximo de cerca de 75.000 (chamada capaci- 
dade de. manutenção) a taxa de crescimento, tende a 0. A curva mostra ser côncava 
para cima em (0, 12) e côncava para baixo em (12, 18). 



Tempo (em semanas) 


No Exemplo 4, a curva populacional varia de côncava para cima para côncava para baixo 
aproximadamente no ponto (12, 38. (XX)), denominado ponto de inflexão da curva. A sig- 
nificância desse ponto é que a taxa de crescimento populacional tem seu valor máximo lá. Em 
geral, um ponto de inflexão é aquele em que uma curva muda a direção de sua concavidade. 


| Definição Um ponto P na curva v = f(x) é conhecido como ponto de inflexão se 

| f é contínua no ponto e a curva mudar de côncava para cima para côncava para 

j baixo ou vice-versa em P. 1 

j 

j 

Por exemplo, na Figura 7, B, C, D e P são os pontos de inflexão. Note que se uma curva 
tiver uma tangente em um ponto de inflexão, então a curva cruza sua tangente aí. j 

Em vista do Teste da Concavidade, há um ponto de inflexão sempre que a derivada 
segunda mudar de sinal. j 

; 

1 

— 




FÍGURA 9 


*1 

\ 


l f 


\ 

\ 


/ 


V p 

/ 

/ 

/ 


f’(c) — 0 [ 

í 

l/(JC) 


j 



0 

c 


C X 

FfGURA 10 



fU- 

•) > 0, côncava para cima 



James Stewart CAPÍTULO 4 APLICAÇÕES DA DIFERENCIAÇÃO A 331 

EXEMPLO 5 :: Esboce um gráfico possível de uma função / que satisfaça as seguintes 
condições: 

(i) f (x) > 0 em (-« , 1/ /' ( x) < 0 em ( 1 , ) 

(ii) f(x) > 0 em (-ac- , -2) e (2. *), f”( x) < 0 em (-2. 2) 

(iií) lim f(x) — —2. lim f(x) = 0 

SOLUÇÃO A condição (i) nos diz que / cresce em (*-», 1) e decresce em (l, 00 ). A 
condição (ii) diz que / é côncava para cima em (-=», ~2) e (2. &) e côncava para baixo 
ern (-2, 2). Da condição (iii) sabemos que o gráfico de/ tem duas assintotas 
horizontais: y = -2e y = 0. 

Primeiro traçamos a assintota horizontal y — —2 como uma linha tracejada (veja a 
Figura 9). Então fazemos o gráfico de / tendendo a essa assintota no extremo esquerdo, 
crescente até seu máximo no ponto x— 1 e decrescente em direção ao eixo x no extremo 

direito. Também asseguramos que o gráfico tem pontos de inflexão quando x = —2 e 2. 

Observe que fizemos a curva encurvada para cima para x < -2 e x > 2, e para baixo 
quando x está entre -2 e 2. □ 



Outra aplicação da derivada segunda é o teste a seguir para os valores máximo e mí- 
nimo. É uma conseqüêneia do Teste da Concavidade. 

I Teste da Derivada Segunda Suponha que f" seja contínua na proximidade de c. 

(a) Se f(c) ~ 0 e /"(e) > 0, então f tem um mínimo local em c. } 

| (b) Se f'(c) — 0 e f"{c) < 0, então / tem um máximo local em c. 


Por exemplo, a parte (a) é verdadeira, pois f"{x) > 0 nas proximidades de c, e / é côn- 
cava para cima próximo de c. Isso significa que o gráfico de / se situa acima de sua tan- 
gente horizontal em c e assim f tem um mínimo locai em c (veja a Figura 10). 

EXEMPLO 8 □ Examine a curva y = x 4 - 4.r’ em relação à concavidade, pontos de 
inflexão e mínimo e máximo locais. Use essa informação para esboçar a curva. 

SOLUÇÃO Se f(x) = x 4 - 4x\ então 

f'{x) = 4x 3 - \2x 2 = 4x 2 (x ~~ 3) 

f''(x) — ílx 2 — 24 x — 1 2x(x - 2) 


Para achar os números críticos fazemos f'(x) - 0e obtemos x — 0 e x 3. Para usar o 




302 


CALCULO 


Editora Thoms&n 


y 

\ 

v — X 1 — 4,r l j 

s 

| 

\ 

V 

(0, 0) j 

pontos de 

\ 2 3 ] 

inflexão 

\ I 

X \ 1 






(2. -16) \ / 


\ / 
(3, -27) 


FIGURA 1 1 


Teste da Derivada Segunda, calculámos /" nesses pontos críticos: 

/"(O) = 0 /"( 3) = 36 > 0 

Uma vez que / (3) — 0 e t "(3) > 0,/(3) = -27 é um mínimo local. Uma vez que 
/"(O) = 0. o Teste da Derivada Segunda não fornece informações sobre o número crítico 
0. Mas, uma vez que f'{x) < 0 para x < 0 e também para 0 < x < 3. o Teste da 
Derivada Primeira nos diz que J não tem um máximo ou mínimo local em 0. [De fato, a 
expressão para f(x) mostra que / decresce à esquerda de 3 e cresce à direita de 3.J 
Uma vez que f'(x) ~ 0, então x — 0 ou 2, dividimos a reta real em intervalos com 
esses números como extremos e completamos a seguinte tabela. 


O ponto (0, 0) é um ponto de inflexão, uma vez que a curva muda de côncava para 
cirna para côncava para baixo aí. Também (2, —16) é um ponto de inflexão, unia vez que 
a curva muda de côncava para baixo para côncava para cima aí. 

Usando o mínimo local, os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão, 
esboçamos a curva na Figura 1 1 . 

NOTA o O Teste da Derivada Segunda é inconclusivo quando /"(<:*) = 0. Em outras 
palavras, nesse ponto pode ser urn máximo, um mínimo ou nenhum deles (como no 
Exemplo 6). Esse teste também falha quando f”{c) não existe. Em tais casos, o Teste da 
Derivada Primeira deve ser usado. De fato, mesmo quando ambos os testes são aplicáveis, 
o Teste da Derivada Primeira é freqüentemente mais fácil de ser usado. 

EXEMPLO ? □ Esboce o gráfico da função f(x) = ,v 2/5 (6 - x) l/i . 

SOLUÇÃO Você pode usar as regras de diferenciação para checar que as duas primeiras 
derivadas são 


f'{x) 


4 — x 

x ’ 76 - x) 2/ - 


f"(x) 


-8 

v ' (6 - 


f Tente reproduzir o gráfico da Figura 
1 2 com uma calculadora gráfica ou 
computador. Algumas máquinas 
fornecem o gráfico completo, e outras, 
apenas a parte à direita do eixo y, 
enquanto outras produzem somente a 
parte entre i = 0e.r~6. Para mais 
explicações, veia o Exemplo 7 da 
Seção 1 .4. Uma expressão equivalente 
que fornece o gráfico correto é 


Uma vez que / (x) — 0 quando x — 4 t f Vr) não existe quando x — 0 ou x ~ 6. os 
números críticos são 0, 4 e 6. 


Intervalo 

4 :v 


{ o •— xi 



.V < 0 

{) < x < 4 
4 < x < 6 
x > 6 


■t- 

' 

-T” 


crescente em (D, 4) 

decrescente em (4. 6) 
<j e c f e s c n t c c n i ( ó . } 


Tara achar os valores de extremos locais usamos o Teste da Derivada Primeira. Uma 
vez que o sinal de f muda de negativo para positivo em 0, /(0) = 0 é um mínimo local. 
Uma vez que o sinal de f muda de positivo para negativo em 4,/(4) — 2 5/3 é um 





James Stewarí 


CAPÍTULO 4 APUCACÕES DA 


V i 

4 •• 

(4, 2 Vi ) 

\ 3 “ 

■ \ 

''i 


i 

! 2 3 4 5 | 7 * 


y = x m (6 - A ') 1 ' 5 \ 


FíGURA 12 


máximo local. O sinal de /’ não muda em 6; logo, não há nem mínimo nem máximo aí. 
(O Teste de Derivada Segunda poderia ser usado em 4. mas não ern 0 ou 6, unta vez que 
/" não existe aí.) 

Examinando a expressão para f"(x) e notando que x 4/? y 0 para todo x, temos 
f(x) < 0 para x < 0 e para 0 < x < 6 e /"( x) > 0 para jc > 6. Logo/é côncava para 
baixo em MA 0) e (0, 6) e côncava para cima em (6, »), e o único ponto de inflexão é 
(6, 0). O gráfico está esboçado na Figura 12. Note que a curva tem tangentes verticais 
em (0. 0) e (6, ()) t pois | f'(x) | <» quando x ---> 0 e quando x — > 6. 


EXEMPLO t :::: Use as derivadas primeira e segunda de f(x) = e 1 ' 1 , junto com as assinto- 
tas. para esboçar seu gráfico. 

SOLUÇÃO Note que o domínio de / é {jc jjr 5^ 0}; portanto, examinemos para as assintotas 
verticais computando os limites esquerdo e direito quando x —+ 0. Quando x —x 0\ 
sabemos que t ~ l/x logo 

lim e h * — lim e ! — 00 

.(■—'O* /-*■» 

e isso mostra que jc — 0 é uma assintota vertical. Quando x — > 0 , temos t — \jx — *• — °A 
logo 

lim e 1/x — lim e 1 — 0 

Quando x — » ±°°. temos \/x — > 0 e, portanto, 

lim e xi * — e° ~ 1 

Isso mostra que y — 1 é uma assintota horizontal . 

Agora, vamos computar a derivada. A Regra da Cadeia dá 


Uma vez que e l/x > 0 e x 2 > 0 para todo x A 0, temos f'(x) < 0 para todo x # 0. 
Assim, f é decrescente em ( — =a 0) e em (0. oc). Não há número crítico; logo, a função 
não tem nem máximo nem mínimo. A derivada segunda é 

x V í/x ( ~ l/x 2 ) - e 1/X {2x) e 1 T2v + 1 ) 

/"U) = tí " 


Uma vez que e l/ x > 0 e x 4 > 0, temos f"(x) > 0 quando x > -5 (r / 0) e /"(-*) < 0 
quando x < — Portanto a curva é côncava para baixo em (~«b — |) e côncava para 
cima em O) e ern {(), =Q. O ponto de inflexão é ( — e" 2 ). 




. Editora Thomson 


ér y. 


' ■ Para esboçar o gráfico de /. primeiro desenhamos a assintota horizontal v = .1 (como 
uma linha tracejada), junto com as partes da curva próxima da assintota em um esboço 
preliminar [Figura 13(a)j. Essas partes refletem a informação relativa a limites e o fato 
de que / é decrescente tanto em (- *. 0) como em (0. Note que indicamos que 

,/U') 0 quando x ^ 0 mesmo que /(()) não exista. Na Figura 1 3( b) terminamos o 

esboço incorporando a informação relativa à concavidade e ao ponto de inflexão. Na 
Figura 13(c) verificamos nosso trabalho com um recurso computacional. 




y- 1 


o] 


(a) Esboço preliminar 
FIGURA 13 


ponto de 
inflexão 


\ y = e i: * 

\ 


y- I 


(b) Esboço acabado 


V 


(c) Confirmação computacional 


1.3 


Exercícios 


1-2 L: Use o gráfico dado de/ para encontrar o seguinte: 


(a) O maior intervalo aberto no qual/é crescente. 

(b) O maior intervalo aberto no qual fé decrescente. 

(c) O maior intervalo aberto no qual/é côncava para cima. 

(d) O maior intervalo aberto no qual / é côncava para baixo. 

(e) As coordenadas dos pontos de inflexão. 


r"T 

r 

| 

! 

- f j j 

■ 4 



/ \ 
y ; V 

i 2 

/ ; 

\ 

; \ / 



0 

2 4 6 8 : x 



Suponha que lhe foi dada uma fórmula para uma função f. 

(a) Como você determina onde / é crescente ou decrescente? 

(b) Como você determina onde o gráfico de f é côncavo para 
cima ou para baixo? 

(c) Como você localiza os pontos de inflexão? 

4. (a) Enuncie o Teste da Derivada Primeira. 

(b) Enuncie o Teste da Derivada Segunda. Sobre que circunstân- 
cia ele é inconclusivo? O que você fará se ele falhar? 

5-6 :j O gráfico da derivada f de uma função / está mostrado. 

(a) Em que intervalos/ está crescendo ou decrescendo? 

(b) Em que valores de ,x a função / tem um máximo ou mínimo locai? 


5. y i 

y - f (.v) 

0 

2 4 6 x 

6. y , 



>’= fix) 


James Stewart 



7. O gráfico da derivada segunda f” de uma função f está 

mostrado. Estabeleça as coordenadas x tios pontos de inflexão 
de f. Justifique sua resposta. 


V À 
■ 






V. 


/ 1 


/ 


8. O gráfico da derivada primeira de f de uma função / está 
mostrado. 

(a) Em que intervalos está / crescendo? Explique. 

(b) Em que valores de x a função / tem um máximo ou 
mínimo local? Explique. 

(c) Em que intervalos / é côncava para cima ou para baixo? 
Explique. 

(d) Quais são as coordenadas x dos pontos de inflexão de /? 
For quê? 



9. 

10 . 


Esboce o gráfico de uma função com derivadas primeira e 
segunda sempre negativas. 

É mostrado o gráfico de uma população de células de levedo em 
uma nova cultura de laboratório como uma função do tempo. 

(a) Descreva como varia a taxa de crescimento populacional. 

(b) Quando essa taxa é a maior? 

(c) Em que intervalos a função populacional é côncava para 
cima ou para baixo? 

(d) Estime as coordenadas do ponto de inflexão. 

700 
600- 

Número 

de 400 j 
células de 300 - 
levedo 200 . 

100 

ÕT 



t 1 1 t 1 ! ! ¥- 

4 6 8 10 12 14 16 38 

Tempo (em horas) 


11-20 □ 

(a) Encontre os intervalos nos quais / é crescente ou decrescente. 

(b) Encontre os valores de máximo e mínimo local de /. 

(c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão. 

11. f{x) - x 3 - 12* + 1 12. f(x) « 5 - 3x 2 + x 3 

x~ 

x 2 + 3 


CAPÍTULO 4. APLiCAÇCES DA DIFERENCIAÇÃO D 301 


15. fix) - x - 2 sen x . (> < x <.3 rr ’ 

15. f(x) ~ cos 2 * - 2 sen x, () x «s 2 rr 

17. fix) ~ xe' IS. f(x) ~ x~e* 

19. f(x) = (!n x)/yx 20. fix) = x ln x 

£Í-xi Encontre os valores de máximo e mínimo locais de ./ 
usando ambos os Testes das Derivadas Primeira e Segunda. Qual 
método você prefere? 

21. f(x) = x 5 - 5x + 3 22. f(x) = — 

x‘ 4" 4 

23. f(x) - x + v i “ * 

24. (a) Fincontre os números críticos de f(x) = .x/x - 1)0 

(b) O que o Teste da Derivada Segunda mostra para você 
sobre o comportamento de / nesses números críticos? 

(c) O que mostra o Teste da Derivada Primeira? 

25. Suponha que/" seja contínua em (- 00 , co). 

(a) Se/ '(2) = 0 e /"( 2) ~ -5, o que se pode afirmar sobre /? 

(b) Se /'( 6) = 0 e /"( 6) = 0, o que se pode afirmar sobre/? 

25-30 □ Esboce o gráfico de uma função que satisfaça todas as 
condições dadas. 

26. fix) > 0 para todo x ^ 1 , assintota vertical x — 1 , 

/ "(x) > 0 se x < 1 ou jc > 3, f"(x) < 0 se 1 < x < 3 

27. /'(())= /'(2)=/ '(4) =0. 

/ '(x) > 0 se x < 0 ou 2 < x < 4, 

/ '(x) < 0 se 0 < x < 2 ou x > 4. 

/"(x) > 0 se 1 < x < 3 ,/"(*) < 0 se x < 1 ou x > 3 

28. /'(I) =/'(-• 1) = 0,/'(x) < 0 se Ixi < l, 

/'(*) > 0 se 1 < 1x1 < 2, f{x) = -1 se Ixl > 2, 

/"(x) < 0 se -2 < x < 0 e ponto de inflexão em (0,1) 

29. / '(x) > 0 se lx ! < 2, / '(x) < 0 se lx ! > 2, 

f '(-2) = 0. lim 1/ '(x) I = 00 j% x ) > 0 se Ixl T 2 

30. fix) > 0 se txi < 2, /'{*) < 0 se ixi > 2. 

/'( 2) = 0, fim fix) = 1 ./(-*) = -/{*), 

/ "(x) < 0 se 0 < x 3 J "(x) > 0 se x > 3 

31-32 :: O gráfico da derivada f de uma função contínua / está ilustrad 

(a) Em que intervalos / está crescendo ou decrescendo? 

(b) Em que valores de x a função / tem um mínimo ou máximo local 

(c) Em que intervalos f é côncava para cima ou para baixo? 

(d) Estabeleça as coordenadas x dos pontos de inflexão. 

(e) Assumindo que /(0) = 0, esboce o gráfico de /. 

31. - Tf I í — i r ■ 



13. f(x) = x 4 - 2X 2 + 3 


14. f(x) = 



306 


;ülo 


»ra Thomson 


32. 


v =/:'(jt>- 


“!/' 
i / 

/ 


4 . Á /8 -* 


Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente. 
Encontre os valores de máximo ou mínimo locais. 

Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão. 
Use as informações das partes (a)-(c) para esboçar o gráfico. Veri- 
fique seu trabalho com um recurso computacional se você tiver um. 


33. 

f(x) — 2.x — 3x~ "" 12; 

c 34. 

f(x) - 2 + 3x - 

35. 

f(x) — a' 4 -- 6 A' 2 

36. 

gíx) = 200 + 8t ' 

37. 

h(x) — 3x y — 5x ' + 3 

38. 

h( x) - (x 2 ■■■■■• l) 3 

39. 

,1(A') Xyfx + 3 

40. 

B(x) = 3x zri ~x 

41. 

C{x) = .r 3 ''(.r + 4) 

42. 

fix) = ln(A' r + 27) 

43. 

/( 0) = 2 cos 8 - cos 20. 

0 =S e « 

2-77 

44. 

f(t) ~ t + cos t. -2 ir -■£' 

/ 2 77 



(a) Encontre as assintotas vertical e horizontal. 

(b) Encontre os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente. 

(c) Encontre os valores de máximo e mínimo locais. 

(d) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão. 

(e) Use a informação das partes (a)-(d) para esboçar o gráfico de /. 


45. fÇx) ~ ■ 


46. /'(*) = - 


{-v - 2)“ 


47. f(x) — v x 2 -f 1 .r 

48. f(x')~xtgx, -ít/2 

49. f(x) = ln(l — in.r) 
51. f(x) = e~ ,/ü " +,) 




>2 

50. f(x) 
52. fix) ■■ 


1 -f e 
Inítsvt) 


(a) Use um gráfico de / para estimar os valores máximo e mínimo. 
Então encontre os valores exatos. 

(b) Estime o valor de x em que / cresce mais rapidamente. Então 
encontre o valor exato. 


53. fix) 


x + 1 


54. f(x) = x 2 e 


(a) Use um gráfico de / para estimar os intervalos da concavidade 
e as coordenadas dos pontos de inflexão. 

(b) Use um gráfico de f" para dar uma estimativa melhor. 


55. f(x) ■= cos x i cos 2x„ 0 

56. f(x) = x ' {.v - 2) ’ 


Estime os intervalos da concavidade para uma casa 
decima] usando um sistema algébrico computacional para computar 
e fazer o gráfico de f” . 


57. fix) = 


v.t 


1Q,y + 5 

5“4 


58. fix) *■ 


í.r + i 


Ó ) 


{ x ' + 1 }(.v : + 4} 


60. 


59. Seja Kit) uma medida do conhecimento adquirido por você 
estudando t horas para um teste. O que você acredita ser maior, 
K( 8) — Á'(7) ou K{3) — K{ 2)? O gráfico de K é côncavo para 
cima ou para baixo? Por quê? 

O café está sendo despejado na caneca, mostrada na figura, a 
uma taxa constante (medida em volume por unidade de 
tempo). Esboce um gráfico da profundidade do café na caneca 
como uma função do tempo. Forneça urna explicação para o 
formato do gráfico em termos de concavidade. Qual a 
significância do ponto de inflexão? 



61. Para um período de 1980 a 2000, a porcentagem de famílias 
nos Estados Unidos com no mínimo urn videocassete 
foi modelada pela função 

85 

— 


1 + 53c" 


62. 


onde o tempo l é medido em anos desde a metade do ano de 1980; 
então. 0 -£ / *£ 20. Use um gráfico para estimar o tempo no qual o 
número de videocassetes estava crescendo mais rapidamente. 
Use então derivadas para dar uma estimativa mais precisa. 

A família das curvas em forma de sino 

_ I 12 „il 

cr \/2'7T 

ocorre em probabilidade e estatística, nas quais ela é chamada 
Junção densidade normal. A constante u é denominada média , 
e a constante positiva aé conhecida como desvio padrão. Por 
simplicidade, mu damos a escala da função de forma a remover 
o fator l/(o\/2-) e vamos analisar o caso especial onde u ~ 0. 
Logo, estudamos a função 


/(a 


(a) Encontre a assintota, o valor máximo e os pontos de 
inflexão de f. 

(b) Que papel desempenha <r no formato da curva? 

(e) Ilustre fazendo o gráfico dos quatros membros dessa 
família sobre a mesma tela. 





307 



James Stevvg r? CAPÍTULO 4 AP 1. 1 C AÇ ô E S 0 A Dl F E R E N C i AÇÃ 0 



63. Encontre uma função cúbica fix).— ax 3 + /?.?'■+ cx ■+■ d que tenha 
um valor máximo focal 3 em - 2 e um valor mínimo loca] 0 em 1 . 

64. Para quais valores cio número a e b a função 

/(. v) ~ a.xe‘ sl 

tem o valor máximo /( 2} — j? 

65. Suponha que/seja diíerenciável em um intervalo I > 0 para 
todos os números x em I. exceto para um único número c. Prove 
que/é uma função crescente em todo o intervalo. 

66-08 e Presuma que todas as funções sejam duas vez.es diferen- 
ciáveis e as derivadas segundas nunca se anulam. 

66. (a) Se / e g forem côncavas para cinta em /, mostre que f + g 

°e côncava para cima em /. 

(b) Se / for positiva e côncava para cima em /, mostre que a 
função g(x) [/(;r)l : é côncava para cima em /. 

67. (a) Se f e g forem funções positivas, crescentes e côncavas para cima 

em /, mostre que a função produto fg é côncava para cima em I. 

(b) Mostre que a parte (a) permanece verdadeira mesmo que 
/e g sejam ambas decrescentes. 

(c) Suponha que / seja crescente e g , decrescente. Mostre, 
dando três exemplos, que fg pode ser côncava para cirna, 
côncava para baixo ou linear. Por que os argumentos 
usados nas partes (a) e (b) não podem ser usados neste caso? 

68. Suponha que / e g são ambas côncavas para cinta em (-» , <*). 
Sob que condições de / será a função composta 

h(x) — f{g(.x)) côncava para cima? 

69. Mostre que tg x < x para 0 < x < rr/2. {Sugestão: Mostre 
que f(x) ~ tg x - x é crescente em (0, 7r/2).] 


70. (a) Mostre que e ' > I -f x para x 3 a 0. 

(b) Deduza que e-* 3» ] + _ v + - jX z para x > 0. 

(c) Use a indução matemática para provar que para x 3= 0 e 
qualquer inteiro positivo n. 


71. Mostre que a 1 unção cúbica (um polinómio de terceiro grau) 
tem sempre exatamente um ponto de inflexão. Se seu gráfico 
possui três interceptes x. x t , av e xt, mostre que a coordenada x 
do ponto de inflexão é ú ■, + ;c ; + )/3. 

Jl 72. Para quais valores de c o polinómio Pix) = x* + cx" + x 2 tem 
dois pontos de inflexão? Um ponto de inflexão? Nenhum? Ilus- 
tre fazendo o gráfico de P para vários valores de c. Como o 
gráfico varia quando c decresce? 

73. Prove que se (f,/(c)) for um ponto de inflexão do gráfico de / 
e f" existe em um intervalo aberto contendo c, então 

f"(c) ~ 0. [Sugestão: Aplique o Teste da Derivada Primeira e 
o Teorema de Fennat para a função g = f'.\ 

74. Mostre que se f(x) — x‘\ então /"(0) = 0, mas (0, 0) não é 
um ponto de inflexão do gráfico de /. 

75. Mostre que a função g(x) — x \ x \ tem um ponto de inflexão 
em (0, 0), mas í/"( 0) não existe. 

76. Suponha que f" seja contínua e /'(<;•) — f"(c) ~ 0, mas 

f(c) > 0. A função f tem um mínimo ou máximo local em c‘} 
A função/ apresenta um ponto de inflexão em c? 


14 




Formas Ind eterminadas e a R egra de 


Suponha que estejamos tentando analisar o comportamento da função 


F( x) 


ln x 

x — 1 


Embora F não esteja definida quando x = L precisamos saber como F se comporta pró- 
ximo de 1 . Em particular, gostaríamos de saber o valor do limite 


ln x 


No cálculo desse limite não podemos aplicar a Lei n ff 5 dos Limites (o limite de um quo- 
ciente é o quociente dos limites; veja a Seção 2.3), pois o limite do denominador é 0. De 
fato, embora o limite em (1) exista, seu valor não é óbvio, porque tanto numerador comc 
denominador tendem a 0, e | não está definido. 

Em geral, se tivermos um limite da forma 



onde fix) 0 e g(x) — > 0 quando x — > a, então esse limite pode ou não existir e é 






f pe CÃLSULO 


Edítcra TíjohjSou 


: " 






Õ ! y/fa 


y ~ m,{x - a) 


y = m ,Lx - a) 


FIGURA 1 


□ A Figura 1 sugere visualmente por 
que a Regra de L’ Hospital pode ser 
verdadeira. O primeiro gráfico mostra 
duas funções diferenciáveis fe g. que 

tendem a zero quando .t * a. Se 

dermos um zoom em direção ao ponto 
(a,0), os gráficos começarão a parecer 
quase lineares. Mas se as funções 
forem realmente lineares como no 
segundo gráfico, então sua razão será 
nb,(.x - a) w s 


que é a razão de suas derivadas. Isso 


denominado fornia indeterminada do tipo f . Podemos encontrar alguns limites dess 
tipo no Capítulo 2. Para as funções racionais, podemos cancelar os fatores comuns: 


X ( A* - I } 

=- hm 

* i (-r + lH.t- -- 1} 


Usamos um argumento geométrico para mostrar que 


Mas esses métodos não funcionam para os limites tais como ( 1 ); logo. nesta seção introdu- 
zimos um método sistemático, conhecido como a Regra de U Hospital, para o cálculo de 
formas indeterminadas. „ 

Outra situação na qual um limite não é óbvio ocorre quando procuramos uma assintota 
horizontal de F e precisamos calcular o limite 


In x 

lim 

■V X — 1 


Não é óbvio como calcular esse limite, pois tanto numerador como denominador tornam- 
se muito grandes quando x ---> Há uma disputa entre o numerador e o denominador. Se 
o numerador ganhar, o limite será se o denominador ganhar, a resposta será 0. Ou pode 
haver algum equilíbrio e, nesse caso, a resposta pode ser algum número positivo, finito. 

Em geral, se tivermos um limite da forma 


onde f(x) ~>-oo (ou — <*) e g{x) — * cc (ou — oc), então o limite pode ou não existir, e é 
chamado forma indeterminada do tipo «s/oo. Vimos na Seção 2.6 que esse tipo de li- 
mite pode ser calculado para certas funções, incluindo aquelas racionais, dividindo o 
numerador e o denominador pela potência mais alta de x que ocorre no denominador. Por 
exemplo, 

1 


2.v 2 + I 


2 + — 
,f 


2 + 0 


Esse método não funciona para o limite corno (2), mas a Regra de L’ Hospital aplica-se 
também para esse tipo de forma indeterminada. 


Regra da l/Hôspitst Suponha que / e g sejam diferenciáveis e g'(x) ^ 0 próximo a 
a (exceto possivelmente em a). Suponha que 


lim/(.x) = 0 e lim g{x) — 0 


ou que 


lim/í.x) 


lim g(x) 


(Em outras palavras, temos uma forma indeterminada do tipo [j ou oo/oo.) Então 


.. .M .. f (x) 
hm —— - hm ~— 
> g(x) *-■*<> g(x) 


se o limite do lado direito existir (ou é « ou —ao). 



A Regra de L'Hôspital é assim 
chamada em homenagem ao nobre 
francês, o marquês de 1‘ Hospital 
(1661-1 704), mas foi descoberta peio 
matemático suíço John Bernoutli 
(1667-1 748). Veja o Exercício 71 que 
mostra o exemplo o qual o marquês 
usou para ilustrar sua regra. Veja 
a página 315 para mais detalhes 
históricos. 


James Stawarí CAPITULO 4 APLICAÇÕES DA DieERENC-AÇAO I 30! 

NOTA 1 o A Regra de i/Hôspital diz que o limite de uma função quociente é igual a< 
limite dos quocientes de suas derivadas, desde que as condições dadas estejam satisfeitas 
É especialmente importante verificar as condições com respeito aos limites / e g antes d< 
usar a Regra de Lr Hospital. 

NOTA 2 o A Regra de L’ Hospital é válida também para os limites laterais e para o 
limites no infinito ou no infinito negativo; isto é, “x — > «” pode ser substituído por quais 
quer dos símbolos a seguir: x — > rr , x — > a , x — * ou x ■—> —oo. 

NOTA 3 o Para o caso especial no qual /(a) = g(a) = 0, /' e g' são contínuas e g(a) =£ C 
é fácil ver por que a Regra de L' Hospital é verdadeira. De fato, usando-se a forma alter 
nativa da definição de uma derivada, temos 

f(x)-f(a) 

fim - 

J\x) _ / \a) __ x - a 

™ g'(x) g’(a) g(x) - g{a) 

fim 


x x ~~ a 


f(x) ~f(a) 

x-a f(x)-f(a) 

n — — - = j mi — — — ■ 

g(x) - g(a) *->« g{x) - g{a) 


.. M 

— hm 
•v->« g{x) 


É mais difícil provar a versão geral da Regra de L; Hospital. Veja o Apêndice F. 


EXEMPLO 1 □ Encontre lim 


u x — 1 


SOLUÇÃO Uma vez que 


lim In x = ln 1 =0 

.V"»] 


podemos aplicar a Regra de V Hospital: 


lim (x- 1) - 0 


FIGURA 2 


(x - 1) 



füt Lembre-se de que quando usamos 
a regra de LHôspital, derivamos o 
numerador e o denominador 
separadamente. Nós não usamos a 
Regra do Quociente. 

□ O gráfico da função do Exemplo 2 
está na Figura 2. Notamos 
anteriormente que a função exponencial 
cresce muito mais rapidamente do que 
a função potência; assim, o resultado 
do Exemplo 2 é esperado. Veja também 
o Exercício 67. 


— lim — — 1 
i x 

e* 

EXEMPLO 2 □ Calcule lim — . 

x~ 

SOLUÇÃO Temos lim*-.* e x — 00 e lim*— »x 2 — <»; logo, a Regra de LfHôspital fornece 

~(e x ) 

lim = lim — = lim ™ 

x~ « 2 x~ 

"T" (x ) 
dx 

Uma vez que e x — » 2x «j quando x <»,o limite sobre o lado direito é indeterminad 






O CALCULO Editora Thomon 


também, mas uma segunda aplicação da Regra de 12 Hospital fornece 


EXEMPLO 3 Calcule lim— — 

</a 


O g ráf i co da função do E x e m p I o 3 *' :s: V 1 

está na Figura 3. Já havíamos discutido onmrÃn u , ^ %r _ , r> , , , 

. . „ . SOLUÇÃO uma vez que In .v oc e </x — > «= quando x -■-■■■> <». a Reera de L Hospital 

antenormente o lento crescimento dos . ^ nu >- 1 

logaritmos, então não é surpresa que pode sei aplicada 


essa razão tenda a zero quando x 
Veja também o Exercício 68. 


FIGURA 3 


G O gráfico na Figura 4 dá uma 
confirmação visual do resultado do 
Exemplo 4. Se déssemos um zoom, 
porém, obteríamos urrt gráfico 
impreciso, pois tg x está próximo de x 
para x pequeno. Veja o Exercício 36id) 
na Seção 2.2. 


FIGURA 4 


ln x l/v 

lim — — — hm i — — 

•>~ :x v* - v = ;-V 


Note que o limite do lado direito é agora indeterminado do tipo jj. Mas em vez de aplicar 
a Regra de U Hospital uma segunda vez, como fizemos no Exemplo 2, simplificamos a 
expressão e vemos que é desnecessária uma segunda aplicação da regra: 


ln x 
lim — r^=- 


x J 

lim i — — — lim ™ 0 

■ _v ‘ i/x 


te x — X 

EXEMPLO 4 □ Encontre lim — - — . (Veja o Exercício 36íd) da Seção 2.2.) 

•V » 0 a*'’ 


SOLUÇÃO Notando que tg x - x — > 0 e x ’ • > 0 quando x 0, usamos então a Regra de 
L T Hospital: 


te x — x sec "a — 1 

lim — - — — lim — 

x — 0 „V' x >0 3x'- 


Uma vez que o limite do lado direito é ainda indeterminado do tipo aplicamos nova- 
mente a Regra de L ! Hospital: 


secVv — 1 .2 secvv tg x 

lim z ™ lim 

j-,0 3v “ v — o 6 a 


Pelo fato de lim r ^ 0 sec x — 1 , simplificamos os cálculos anteriores da seguinte forma 


2 sec x tg a 1 i tg a 1 tg A 

lim ~ — — lim sec "a lim — — — — lim — — 


>0 6 a 


3 A —o .v— o 


te x - x 


secw — 1 


2 seca. tg a 


i tg a 1 sec' 
“ lim — — = -~ lim — — 
V*-o v 3 x-~o 1 


EXEMPLO 5 □ Encontre lim 


1 — cos A 


SOLUÇÃO Se tentarmos usar cegamente a Regra de L’Hôspital, obteremos 


1 - cos x 


311 



□ A Figura 5 mostra o gráfico da 
função do Exempio 6. Note que a 
função não está definida em x = 0; o 
gráfico tende à origem, mas nunca 
realmente a atinge. 


y-xlnx / 


/ ' 


/ 


o'K 


FIGURA 5 


-Jsmes Stewart CAPÍTULO 4 APLICAÇÕES DA DIFERENCIAÇÃO 

Isso está erradol Embora o numerador sen .v 0 quando x ~ \ note que o denomi- 
nador (.1 - cos x) não tende a zero: logo, não podemos aplicar aqui a Regra de UHôspilal. 

O limite pedido é, de faio, fácil de ser encontrado, pois a função é contínua e o 
denominador é diferente de zero em rr: 

sen x seiiTT () 

* 1 — COS X 1 ~ COS 77 .1 - (- 1 ) 

O Exemplo 5 mostra o que poderá acontecer de errado se você usar impensadamente t 
Regra de EHôspital. Outros limites podem ser encontrados pela Regra de EHôspital. ma; 
são calculados mais facilmente por outros métodos. (Veja os Exemplos 3 e 5 na Seção 2.3 
o Exempio 3 na Seção 2.6 e a discussão no começo desta seção.) Assim, quando do eál 
calo de qualquer limite, você deve considerar outros métodos antes de usar a Regra dt 
V Hospital. 


UI Produtos Indeterminados 

Se lim :v . a) — 0 e Iim. v ...,> íí g(x) — « (ou — oe) 5 então não está claro qual será o valor dt 
Hm x~*af(x)g(x)> se houver algum. Há uma disputa entre / e g. Se / ganhar, a resposta é 0 
se g ganhar, a resposta será (ou — *). Ou pode haver um equilíbrio, e então í 
resposta é um número finito diferente de zero. Esse tipo de limite é chamado formí 
indeterminada do tipo O * 00 . Podemos trabalhar com ela, escrevendo o produto fg comí 
um quociente: 


fg = 


Vg 



Isso converte o limite dado na forma indeterminada do tipo g ou °o/oc de forma qut 
podemos usar a Regra de L’ Hospital. 


EXfcMPLÜ 6 :: Calcule lim x ln x. 

x~*0* 

SOLUÇÃO O limite dado é indeterminado, pois, como x —> 0 , o primeiro fator (x) tende 
a 0, enquanto o segundo fator (ln x) tende a —ao. Escrevendo x = \/{ í/x), temos 
l/x —» quando x 0 + ; logo, a Regra de EHôspital fornece 


lim x In .v- lim — - 

x-»0' J/x 


lim ™ : ~ Hm (— x) = 0 

1/X* 


NOTA □ Ao resolver o Exemplo 6, outra opção poderia ser escrita 

x 

lim x ln x = lim — 

o + -í -><e i /ln x 


Isso dá uma forma indeterminada do tipo 0/0, mas, se aplicarmos a Regra de L’ Hospital 
obteremos uma expressão mais complicada do que a que começamos. Em geral, quandí 
reescrevemos o produto indeterminado, tentamos escolher a opção que leva a um limíU 
mais simples. 







*° E '" , ” ra • - 

ÊlÈí/ÈÉÊê I 1ÍI Diferençai 




O Diferenças Indeterminadas 

Se lim _*_*<, /(x) = =c e lim X ~» a g(x) — <*, então o limite 

lim [/(x) - <?(x)] 


é chamado forma indeterminada do tipo oo - ». Novamente há uma disputa entre f e g. 
Será a resposta 02 (se j ganhar) ou será (se g ganhar), ou haverá entre eles um equi- 
líbrio resultando um número finito? Para descobrir, tentamos converter a diferença, por 
exemplo, em um quociente, usando um denominador comum ou racionalização, ou pondo 
em evidência um fator em comum de maneira a termos uma forma indeterminada do tipo | 

ou oo/co . 


EXEMPLO? □ Calcule lim (sec x - tg x). 

x~*(ir/ 2)~ 


SOLUÇÃO Note primeiro que sec x — > <» e tg x — * oo quando x — » (7r/2)" ; logo, o limite é 
indeterminado. Aqui usamos um denominador comum: 


.. , . / 1 senx 

firn (sec a - tg x) — hm — 

x •> (tt/ 2 ) \ COS X COS X 


1 — sen x 
— lim 

.X— M~/ 2 »" COS X 


—cos X 

hm — 0 

■— Í7S-/2) —sen a 


Note que o uso da Regra de UHôspital é justificado, pois 1 - sen x — > 0 e cos x — > 0 
quando a ---> (7r/2)“. 


Potências Indeterminadas 

Várias formas indeterminadas surgem do limite 

lim [f(x)Y x) 


1. 

lim/(x) — 0 

X ••■■■» (1 

e lim g(x) ~ 

X "'■><! ' 

- 0 

tipo 0° 

2. 

8 

11 

sr 

e lim g(x) ~ 

x ■■■■»' a 

= 0 

tipo sc° 

3. 

lim f(x) ~ 1 

e lim g(x) - 

= HhoC- 

tipo r 


Cada um dos três casos pode ser tratado tanto por tomar o logaritmo natural 

seja v = [f(x)Y'-\ então ln y — g(x) ln f{x) 
quanto por escrever a função como uma exponencial: 

[/ ( x)p Í5r * — e 3 *" 1 ,n -' ÍA;f 

(Lembre-se de que esses métodos foram usados na diferenciação dessas funções.) Em ambos 


os métodos somos levados a um produto indeterminado g(x) ln /(a), que é do tipo 0 • oc. 


EXEMPLOS Calcule lim (1 + sen 4x) col?jr 

x •>0 ' 


SOLUÇÃO Note primeiro que, quando x -----> 0 \ temos 1 + sen 4x —> 1 e cotg x — > so 
logo o limite dado é indeterminado. Seja 


y — ( 1 + sen dx)* 



James Stswart CÂPiTUtO 4 APL 


In v ~ Ln[(l + sen 4x)“' 4 'J =-- cotg x in( l 4- sen 4a;) 


logo, a Regra de UHôspital fornece 


ln( 1 -r sen 4.x:) 
lim In v — hm 

.X -cr " s -cr tg X 

4 cos 4x 
1 + sen 4 x 

— Hm = 4 

* -o* sec"x 


n O gráfico da função y = r, x > 0 é 
mostrado na Figura 6. Observe que 
embora 0 o não esteja definido, os 
vaiores da função tendem a 1 quando 
x — > o + . Isso confirma o resultado do 
Exemplo 9. 


Até agora calculamos o limite de In v, mas o que realmente queremos é o limite de ]?. 
Para achá-lo usamos o fato de que y ~ e l! R : 

lim (1 + sen 4x) OTl8 ' = lim y — lim e ln - v = e 4 

-v ' •'•-()- X- -*0 + 

EXEMPLO 9 □ Calcule lim x x . 

x~- 0* 

SOLUÇÃO Note que esse limite é indeterminado, pois 0* — 0 para todo x > 0, mas 
x° = 1 para todo x ¥= 0. Podemos seguir como no Exemplo 8 ou escrevendo a função 
como uma exponencial: 

x 1 = (e' ax ) x = e xlax 

No Exemplo 6 usamos a Regra de L' Hospital para mostrar que 

lim x ln x — 0 

o* 


FIGURA 6 


Portanto 


lim x* = lim e ilní — e° — 1 

0 + X— »0 + 


Exercícios 


1-4 C Dado que 

lim/(x) = 0 


lim p(x) 


lim gíx) = 0 lim h(x) = 1 

= oo lim ç(x) = oo 


quais dos limites a seguir são formas indeterminadas? Para aqueles 
que não são formas indeterminadas, calcule o limite quando 
possível. 


1. (a) lim 


(d) lim 


(b) lim 


(e) lim 


J\xi .... > 

— — (e) lim - 

P(x) l 

p(.x) 

q(x) 

(b) lim (7?(x)p(x)] 


3. (a) lim [f(x) — /?(x)] (b) lim [p(x) — g(x)] 

x— >tí Jt ■■■■>» 

(c) lim [p(x) + <?(x)] 

x—^o 

4. (a) lim [/(x)F‘> (b) lim \_f{x)Y' x) ( c ) íirn [Mx)] p * J 

x—*<t x --■> a x—*a 

(d) lim | p(x) i /W (e) lim [p(x)]‘ ?(,) (f) li m^pix) 


5-62 D Encontre o limite. Use a Regra de L' Hospital onde for 
apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a 
Regra de L’ Hospital não for aplicável, explique por quê. 

v - — i i + 2 


5. lim — 

x->~\ X + 1 

x 9 - 1 

7. hm — - 

.«-i x — 1 


-2 x 2 + 3x 4- 2 


u x & - 1 



314 


CALCULO 


Editora Thomson 


•„ COSA 

3. hm 

10. 

x + tg X 
irm — 

/ 3 

5 y l 

56. Sim.r í[í:: M ' i!M ' 

- x -*-í~/2)+ 1 - sen x 

.c o sen a 

55. hm | s -f — 

■V • - «• \ A 

x~ j 

11. lim — -Ã--- 

' ' '--o p 

12. 

<?“ - .1 
lim 

t 

57. lim a 1 - ' 


58. Hm (C + a) 1 ' 1 

tg px 
13. lim — 

--0 :« íjX 

14. 

1 ~ sen 0 

Hm — — 

(> cossec 0 

59. lim | 4“j- ) 


60. fim (cos 3xP x 

ln a 

15. Hm 

.! * X 

16. 

e x 

lim — 

* V 

61. fim (cos a) 1 ' 1 


62. lim j — ~ ) 
\ 2.x -f 5 / 


}n x 

17. lim 

■ 1 -’()■' A‘ 

5' -- 3' 

19. lim 

... , t 

21 h„, •' ' ' 

jt — o x~ 

23. lim ---- 

.«-»* A" 


25. lim 1 

■ *-‘0 x 


27. lim 


1 -- cos x 


29. Hm 


31. lim — 

■■■■ ln( I + 2r' » 

1 - x + ln x 

33. lim 

x ^ 1 j + cos ~x 

X a - ax + a - 1 

35. lim— — - 

*-*> (x — 1 )” 

37. lim Va Jn x 

x -*Q* 

39. lim cotg 2.x sen 6 a 

■■■ ,v ••«■o 

41. lim x'e' x 



A'^í + 

45. 

lim ( — 

x~+Q \ x 

47. 

lim | VÃ 

49. 

lim (a - 

51. 

lim a ' 


18. 

ln ln a 
lim ~ 

20. 

ln x 

Hm 


r_> 1 sen tt a 

22. 

Min— 

24. 

sen a 

Hm 

- 1 " 0 senh x 

26. 

sen x - j 

lim — 

*■*<> a 5 

28. 

(ln x)‘ 
lim 


•'- >x A 

30. 

cos mx - 
hm — 

-«--•O x 

32. 

lim — — 7— — 
■'■■■■■•« 'g 'i-u: 

34. 

lim 477i 


V2V+ 1 

36. 

lim - 1 — e - 


sec x 

38. lim x 2 e* 


40. lim sen x ln x 

jr-»0 + 

42. lim (1 - tg a)scc a 

x-*w'4 

44. limxtg(l/x) 


46. lim (cossec x - cotg a) 

jí-»0 


48, lim j — — 

- K ^ 1 \ l n a x — 1 

5 q lim ixe" 1 - a) 
52. lim (te 2x) J 


53, limíl - 2 a) 
,í -> o 


54. lim 1 4 


m 63 -- 34 Use um gráfico para estimar o valor do limite. Então use a 

Regra de UHôspita] para encontrar o valor exato. 

63. lim x [ln (x + 5) ln a] 64. lim Úg x) v * 

m u Ilustre a Regra de I? Hospital fazendo o gráfico de f{.x)/g(x) e 
í ’{x)lg'(x) próximo de x — 0, para ver que essas razões têm o mesmo 
limite quando x ■—> 0. Calcule também o valor exato do limite. 

65. /(a) = e* — 1. g( x) = x 3 \ 4x 

66. f(x) = 2x sen x, g(x) ■■■-- sec x - 1 


67. Prove que 


lim — - 
•'-« x" 


para todo n inteiro positivo. Isso mostra que a função exponencial 
tende mais rapidamente ao infinito que qualquer potência de x. 

68 Prove que 

ln a 

lim ~~ — — 0 
jr— x p 

para todo número p > 0. Isso mostra que a função logaritmo tende 
a infinito mais vagarosamente que qualquer potência de x. 

69. Se um montante inicial de dinheiro .4 0 for investido a uma taxa 
de juros i composta n vezes ao ano, o valor do investimento 
após ( anos será 


A « A, 1 + 


Se fizermos n — •» x 7 chamamos isso juros compostos continua- 
mente. Use a Regra de 12 Hospital paia mostrar que se os juros forem 
compostos continuamente, então o montante após n anos será 

.4 - Ac" 

70. Se um objeto de massa rn é deixado cair a partir do repouso, 
ii m modelo para sua velocidade v após t segundos, levando-se 
em conta a resistência do ar, é 

mq 

V = — í } - ) 


em que g é a aceleração devida à gravidade cré uma constante 
positiva. (No Capítulo 9 deduziremos essa equação a partir da 
hipótese de que a resistência do ar é proporcional à velocidade 
do objeto.) 


(a) Calcule lim, >x .v . Qual o significado desse limite? 




31 



James Síewart- CAPITO L 0 4 


(h) Para um valor fixo de t, use a Regra de L’ Hospital para . 
calcular lim v . O que você pode concluir sobre a 
velocidade de um objeto muito pesado caindo? 

71. A primeira publicação da Regra de L' Hospital foi o livro 
Analyse des fnfiniment Petits , publicado pelo marquês de 
L‘ Hospital em 1696. Esse foi o primeiro texto de cálculo 
publicado, e o exemplo que o marquês usou nesse livro para 
ilustrar sua regra foi encontrar o limite da função 

v' 2 íí A — r * — adfaax 
a — yaí 5 

quando x a. em que a > 0. (Naquele tempo costumava-se 
escrever aa em vez de a 2 .) Resolva esse problema. 

72. A figura mostra um setor de círculo com ângulo central 0. Seja 
Aí 0) a área do segmento entre a corda PR e o arco PR. Seja 
B(0) a área do triângulo PQR. Encontre iim ...... o- 1 Ai0)/B(0). 



73. Se f for contínua, /(2) - 0 e f’(2) - 7, avalie 
/ (2 + 3.x) + /(2 + 5-v) 


/4. Para quais valores de a e b a equação a seguir e válidtt? 

( sen 2x h \ 
hm + a 4 — - =0 


75. Se f" for contínua, use a Regra de I? Hospital para rn.oj.trar qut 
f(x + h) j- fíx - hl _ . 

2/í U 

Explique o significado dessa equação utilizando um diagrama. 
78. Se f” for contínua, mostre que 

f(x + h) - 2{'{x) + f{ x - h) , 

» o ir 


11. Seja 


/iv.) » 


se x # Q 

se x = 0 


(a) Use a definição de derivada para calcular /'(O). 

(b) Mostre que / tem derivadas de todas as ordens que estão 
definidas em R. [Sugestão: Mostre primeiro por indução 
que existe um polinómio p„{x) e um inteiro não negativo 
k„ tal que f (n, (x) ~ Pn(x)f(x)/x kn para x ¥*■ 0 ] 


ái 78. Seja 


f(x) = 


. v !•’ se x ¥= 0 


[1 se x — 0 

(a) Mostre que / é contínua em 0. 

(b) Pesquise graficamente se / é diferenciável em 0 dando váric: 
zoorns em direção ao ponto (0, 1) sobre o gráfico de /, 

(c) Mostre que f não é diferenciável em 0. Como reconciliar 
esse fato com a aparência do gráfico na parte (b)? 


FrofetCü 


As Origens da Regra de L , HõspitaÍ 


A Regra de L‘ Hospital foi publicada jpela primeira vez em 1696, no livro Analyse des fnfiniment 
Petits , do marquês de 17 Hospital, mas na verdade ela foi descoberta em 1694 pelo matemático 
suíço John (Johann) Bemoullí. A explicação para esse fato é que esses dois matemáticos fizeram 
um curioso acordo, que dava ao marquês de UHôspital os direitos das descobertas de Bemoulli. 
Os detalhes desse acordo, inclusive a tradução da carta de UHôspital para Bernoulli propondo o 
arranjo, podem ser encontrados no livro de Eves [lj. 

Escreva um relatório sobre as origens histórica e matemática da Regra de L7 Hospital. Comece 
fornecendo uma breve biografia de ambos (o dicionário editado por Gillispie [2] é uma boa 
fonte), e resuma o arranjo feito por eles Então dê o enunciado da Regra de UHôspital. que é 
encontrada no livro de Struik [4] e mais resumidamente no livro de Katz [3], Observe que 
UHôspital e Bemoullí formularam geometricamente a regra e deram a resposta em termos de 
diferenciais. Compare seus enunciados com a versão da regra de Bemoulli dada na Seção 4.4 e 
mostre que os dois enunciados são essencialmente iguais. 

1. EVES, Howard. In Maihematicál C irdes (Volume 2: Quadrants UI and IV). Boston: Prindle, 
Weber and Schmidt, 1969, p. 20-22. 

2. GILLISPIE, C. C. (ed.) Dictionary of Sdentijk Biography . Nova York: ScribneUs, 1974. Veja 
o artigo sobre Johann Bemoulli por E. A. Fellmann e J. O. Fleckenstein no Volume II e o 
artigo sobre o marquês UHôspital por Abraham Robinson no Volume VIII. 

3. KATZ, Victor. A History of Mathematics: An íntroduction. Nova York: HarperCollins. 1993, p. 484. 

4. STRUIK, D. J. (ed.) A Sourcebook in Mathematics, 1200-1800. Princeton, NJ: Princeton 
University Press. 1969, p. 315-316. 




316 


CÁLCULO 


Editora Thomson 



figura 1 


Resumo dos Esboços de Curvas 

Até agora estivemos preocupados com alguns aspectos particulares de esboços de curvas: 
domínio, imagem e simetria no Capítulo 1; limites, continuidade e assintotas no Capítulo 2; 
derivadas e tangentes nos Capítulos 2 e 3; e valores extremos, intervalos de crescimento e 
decrescimento, concavidade, pontos de inflexão e Regra de L' Hospital neste capítulo. 
Chegou a hora de agruparmos todas essas informações para esboçar os gráficos que re- 
velem os aspectos importantes das funções. 

Você pode estar se perguntando: O que há de errado em simplesmente usar uma calcu- 
ladora para plotar os pontos e então juntá-los com uma curva suave? Para ver as falhas 
dessa abordagem, suponha que você tenha usado uma calculadora para obter a tabela de 
valores e pontos correspondentes na Figura 1 . 



Você pode então uni-los para obter a curva na Figura 2, porém o gráfico correto 
i pode ser o da Figura 3. Você pode ver as falhas do método de plotagem de pontos. Certos 
aspectos essenciais do gráfico podem ser perdidos, tais como os valores máximo e mínimo 
entre — 2 e —1 ou entre 2 e 5. Se você simplesmente desenhar os pontos, não saberá 
quando parar. (Quão longe você deve desenhar à esquerda ou à direita?) Mas o uso do cál- 
culo garante que todos os aspectos importantes da curva serão ilustrados. 



jM y ‘ 

|!\ 2{) - 

1 1 \ ] 5 -i 

i í \ 

I 1 \ 10- 

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. ' .XxU .a 

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/ 

/ 

/ 

i , / 0 

l "X/ 

j 

i 

[ 

2 

c 

Hl 

p X 


FIGURA 3 


Você poderia argumentar: Está bem, mas o que dizer de calculadoras gráficas e com- 
putadores? Eles não desenham um número tão grande de pontos que torne improvável esse 
tipo de incerteza demonstrado pelas Figuras 2 e 3? 

É verdade que essa tecnologia moderna é capaz de produzir gráficos bem precisos. 
Contudo, mesmo o melhor recurso computacional deve ser usado inteligentemente. Vimos 
na Seção 3 .4 que é extrernamente importante escolher uma janela de inspeção para evitar 




■Mmss Stewart CAPÍTULO 


30 >« = 8r’-2J.r+ l&x- 


= 8v’ -3 Lr + S8.V + : 


(a) Função par; simetria reflexionai 



(b) Função ímpar: simetria rotacionaj 


FIGURA 6 


obter um gráfico que nos leve a conclusões errôneas. (Veja. espec ia] mente, os Exemplos 
1, 3,4 e 5 naquela seção.) O uso do cálculo possibilita- nos descobrir os aspectos mais 
interessantes dos gráficos e, em muitos casos, calcular com exatidão os pontos de máximo, 
de mínimo e de inflexão. 

For exemplo, a Figura 4 mostra o gráfico de f(x) — 8jt - 2 Lr + 18x +2. A 
primeira vista ele parece razoável; ele tem a mesma forma de curvas cubicas como y — x 3 , e 
não aparenta ter ponto de máximo ou de mínimo. Mas se você calcular a derivada, verá 
que existe um máximo quando x — 0.15 e um mínimo quando x = 1 . Realmente, se der- 
mos um zoom nessa parte do gráfico, veremos o comportamento exibido na Figura 5. Sem 

0 cálculo, poderíamos facilmente não ter reparado nisso. 

Na próxima seção faremos os gráficos de funções usando a interação entre o cálculo e 
os recursos gráficos. Nesta seção faremos gráficos considerando primeiro a informação 
que se segue. Não pressupomos que você tenha um recurso computacional, mas, se você 
tiver algum, use-o somente para verificar o resultado de seu trabalho. 

1 j Roteiro para Esboçar uma Curva 

A lista a seguir pretende servir como um guia para esboçar uma curva y — f(x) à mão. Nem 
todos os itens são relevantes para cada função. (Por exemplo, uma dada curva pode não ter 
assintotas ou não possuir simetria.) No entanto, o roteiro fornece todas as informações 
necessárias para fazer um esboço que mostre os aspectos mais importantes da função. 

A. Domínio É frequentemente proveitoso começar determinando o domínio D de f, isto é, 
o conjunto dos valores de x para os quais f(x) está definida. 

B. Interceptos O intercepto y é /(()) e nos diz onde a curva intercepta o eixo y. Para achar 
0 intercepto x, fazemos v = 0e resolvemos para x. (Você pode omitir esta etapa se a 
equação for difícil de resolver.) 

C. Simetria 

(i) Se f{-x) — f{x) para todo x em D, isto é, a equação da curva não muda se x for 
substituído por ~x, então f é uma função par, e a curva é simétrica em relação ao eixo y. 
Isso significa que nosso trabalho fica cortado pela metade. Se soubermos como é a curva 
para x S 2 0. então somente precisaremos refletir em torno do eixo y para obter a curva com- 
pleta [veja a Figura 6(a)]. Alguns exemplos disso são; y = x 2 , y — x 4 , y = | x | e y = cos x . 

(ii) Se f(-x) — ~~f(x) para todo x em D, então / é uma função ímpar, e a curva 
é simétrica em relação à origem. Novamente podemos obter a curva completa se sou- 
bermos como ela é para x ^ 0. [Girando 180” em tomo da origem; veja a Figura 6(b).j 
Alguns exemplos simples de funções ímpares são y — x.y = x\y = x 5 e y = sen x. 

(iii) Se f(x + p) — f(x) para todo x em D, em que p é unia constante positiva, então 
fé chamada função periódica, e o menor desses números p é denominado período. Por 
exemplo, y = sen x possui um período de 2tt e y = tg x tem período tt. Se soubermos 
como é o gráfico no intervalo de comprimento /?, então poderemos usar a translação 
para esboçar o gráfico inteiro (veja a Figura 7). 


FIGURA 7 

Função periódica; 
simetria de translação 




D. Assintotas 

(i) Assintotas horizontais . Lembre-se da Seção 2.6 que se lim^-,^/ (xj — L ou 
lim t - ,--fix) = L, então a reta y — L é uma assintota horizontal da curva y — j(x). 





;Aicuio 


Editora Thomson 




Se resultar que lim , t ...»*/ (.v) — =c- (ou -oc), então não ternos uma assintota à direita. 'mas 
esta é uma informação proveitosa no esboço da curva. 

(ii) Assintotas ve? ticais. Lembre-se da Seção 2.2 que a reta x — a é unia assintota 
vertical se pelo menos uma das seguintes afirmativas for verdadeira: 

LU lim f(x) — * lim fix) = x 

lim /(-*) = -oo lim f(x) = -oo 

(Para as funções racionais você pode localizar as assintotas verticais igualando a zero 
o denominador após ter cancelado qualquer fator comum. Mas para as outras funções 
esse método nao é aplicável.) Além disso, ao esboçar a curva é muito proveitoso saber 
exatamente qual das afirmativas em ( !) é verdadeira. Se f(a) não estiver definida, mas 
a for um extremo do domínio de /, então você deve computar lim,..,,, fix) ou 
lim ,. ,.« /( \.L se esse limite for infinito ou não. 

(iii) Assintotas inclinadas. Elas serão discutidas no final desta seção. 

E. Intervalos de Crescimento e Decrescimento Use o Teste C/D. Calcule f'(x) e encontre os 
intervalos nos quais ela é positiva ( f é crescente) e os intervalos nos quais é negativa 
(/ é decrescente). 

F. Valores Máximo e Mínimo Locais Encontre os numeros críticos de f [os números c nos 
quais f(c) = 0 ou f(c) não existe]. Use então o Teste da Derivada Primeira. Se f 
mudar de positiva para negativa em um número crítico c, então f(c) é o máximo local. 
Se / mudar de negativa para positiva em c, então f(c) é um mínimo local. Embora seja 
geralmente preferível o Teste da Derivada Primeira, você pode usar o Teste da Derivada 
Segunda se c for um número crítico no qual f"(c) =f= 0. Então f(c) > 0 implica que f(c) 
seja um mínimo local, enquanto f"(c) < 0 implica que f(c) é um máximo local. 

G. Concavidade e Ponto de Inflexão Calcule f(x) e use o Teste da Concavidade. A curva é 
côncava para cima se f\x) > 0, e côncava para baixo se f"(x) < (). Os pontos de 
inflexão ocorrem quando muda a direção da concavidade. 

H. Esboço da Curva Usando as informações nos itens A-G, faça o gráfico. Coloque as 
assintotas como linhas tracejadas. Marque os interceptos, os pontos de máximo e de mí- 
nimo e os pontos de inflexão. Então laça a curva passar por esses pontos, subindo ou 
descendo de acordo com E, com a concavidade de acordo com G e tendendo às assin- 
totas. Se uma precisão adicional for desejada próximo de algum ponto, você poderá 
computar o valor da derivada aí. A tangente indica a direção na qual a curva segue. 

EXEMPLO 1 ::: Use os itens dados para esboçar a curva v = — — 

x 1 — \ ' 

A. O domínio é 

{x j .r - 1 # 0} = {x\xr k ±1} = (—00, - I ) U (-1,1) U ( 1 , oo) 

B. Os interceptos x e y são ambos zero. 

C. Uma vez que f(~x) — j(x), f é par. A curva é simétrica em relação ao eixo y. 

n v 2x2 v 2 

A v - . i i _ i/V 

Portanto, a reta y — 2 é uma assintota horizontal. 

Uma vez que o denominador é zero quando x — ± 1 , computamos os seguintes limites: 



James Stswart 


CAPITOtÕ 4 APUCACÕES DA DÍFERENCIACÁC 


Vi 

1 

[ 1 
i 

! 

1 

... L 
! 
í 

! 0 
I 

X 

\ 

i 

\ 

1 

x--l|í 

i j X — i 

FIGURA 8 


Esboço preliminar 


Mostramos que a 

curva aproxima-se 


de sua assintota horizontal por cima ns 
Figura 8; isso está confirmado pelos 
intervalos de crescimento e 
decrescimento. 


L J i. 


I o I I 

: t I 


hm ----- 

'•I'- ,V'- 


fim — — V — - 

1 X~ - ] 


Conseqüentemente, as retas x = 1 e x — -1 são assintotas verticais. Essa informação 
sobre os limites e as assintotas permite-nos traçar um esboço preliminar na Figura 8 
mostrando as partes da curva próxima das assintotas. 

4x br — 1) — 2.x 2 ’ 2.x —4.x 

J ' (a“‘ I )“ (nr - ir 

Dado que f'(x) > 0 quando x < 0 ( x # -1 ) e f(x) < 0 quando x > 0 (x 4* 1), / é 
crescente em (-^ , - I ) e (-1 , 0) e decrescente em (0, 1 ) e ( 1 , * ). 

F. O único número crítico é .x — 0. Como f muda de positivo para negativo em 0, 

/(O) — 0 é um máximo loca! pelo Teste da Derivada Primeira. 

— 4{.x 2 - l) 2 + 4x * 2(.x 2 - 1)2 a 12.x 2 + 4 

G. f (x) - 

Visto que 12x 2 + 4 > 0 para todo x, temos 

f"(x) > 0 x 2 - 1 > 0 <rr> jx| > 1 

e f"'(x) < 0 <=> | x | < 1 . Assim, a curva é côncava para cima nos intervalos 
(— gc ? — 1 ) e { 1 . vo) e côncava para baixo em (~1 , 1 ). Não há ponto de inflexão, jã que 
1 e — 1 não estão no domínio de/. 

H. Usando a informação em E~G , finalizamos o esboço dajPigura 9. 


FIGURA 9 
Esboço final de y 


f WiPI 0 


2 c Esboce o gráfico f(x) 


x 

y/x + 1 


A. Domínio — {x | x + 1 > 0} = {x j x > — 1 } = { — 1 , «0 

B. Os interceptos x e y são ambos 0. 

C. Simetria: Nenhuma. 

D. Uma vez que 

x 2 


não há assintota horizontal. Como y/x + 1 — > 0 quando x — 1 e j (x) é sempre 
positivo, temos 

x 2 

lim ~ 7= — 30 

y/x + 1 


e logo a reta x — — 1 é uma assintota vertical . 

M . _ 2.v v m - x 2 - I/(2vTTÍI 


x(3x + 4) 
2(x + lf n 


Vemos que f(x) = 0 quando x — 0 (note que ~í não está no domínio de / ); logo, o 
único número crítico é 0. Dado que f'(x) < 0 quando -1 < x < 0 e f'(x) > 0 quandc 
x > 0 , / é decrescente em (-1 . 0) e crescente em (0, vo). 

F. Uma vez que /'(()) — 0 e f muda de negativo para positivo em 0,/(0) — 0 é um 
mínimo local (e absoluto) pelo Teste da Primeira Derivada. 


320 



I l 


FIGURA 10 


V.\'+ 1 


y - 

( y = xe* 


/ 


/ 


1 / 

t 

1 / 

-2 -I 

/ 


X 

(-1, -1/í) j 



FIGURA 11 



Note que o denominador é sempre positivo. O numerador é o quadrático 
3.r 2 + 8 jc + 8. que é sempre positivo, pois seu discriminante é b' 2 ■■■■■ 4 ac - -32, que 
é negativo, e o coeficiente de x 2 é positivo. Assim. f"(x) > 0 para todo x no domínio 
de /, o que significa que / é côncava para cima em (-1 , *) e não há ponto de inflexão. 

H. A curva está esboçada na Figura 10. 

DCEMPiO 3 □ Esboce o gráfico de f(x) ~ xe*. 

A. O domínio é IR. 

B. O intercepto x e y são ambos 0. 

C. Simetria: Nenhuma. 

D. Como ambos x e e‘ tomam-se grandes quando x x-, temos lim , .. . K xe x — x. 
Quando x — > — contudo. e x 0 e temos urn produto indeterminado que requer o 
uso da Regra de L’Hôspital: 

x ] 

lim xe — lini — !im ~ l.im ( c ) 0 

X-*—x X -■>-*: ff ■■ —e~ X -X — 

Assim, o eixo x é uma assintota horizontal. 

E. f'(x) = xe x + e x — (x + IV 

Uma vez que e x é sempre positiva, vemos que f'(x) > 0 quando x + 1 > 0, e f'(x) < 0 
quando x + 1 < 0. Logo, f é crescente em (—1 , x) e decrescente em ( — cc, — 1). 

F Como /'(- 1 ) = 0 e/ muda de negativo para positivo em x — - 1 , /{- 1 ) = - V é 
um mínimo local (e absoluto). 

G - f"(x) = (x + IV + e x = (x + 2)e* 

Visto que f'(x) > 0 se x > -2 e f'(x) < 0 se x < -2, fé côncava para cima em (- 2 , o°) e 
côncava para baixo em (-», -2). O ponto de inflexão é (-2, -2c " 2 ). 

H. Usamos essa informação para plotar a curva da Figura 1 1 . 

EXEMPLO 4 :: Esboce o gráfico de f(x) — 2 cos x + sen 2x. 

A. O domínio é KL 

B. O intercepto v é /(()) -2.0 intercepto x ocorre quando 


2 cos x + sen 2x 2 cos x + 2 sen x cos x — 2 cos x { 1 + sen x) — 0 

isto é, quando cos x — 0 ou sen x = -1 . Assim, no intervalo [0, 2 7 r], os interceptos x 
são tt/ 2 e 3 tt/2. 

C. / não é nem par nem ímpar, mas f (x -f 27 t) — / (x) para todo x: logo, f é periódica e 
tem um período 2ir. Dessa forma, precisamos considerar somente 0 -s x sg 2tt e 
então estender a curva por translação em H. 


0. Assintota: Nenhuma. 

/ M ~ ~2 sen x + 2 cos 2x — —2 sen x + 2(1 — 2 sen 2 x) 

= _ 2(2 sen Lr + sen x - 1) = -2(2 sen x - ))(sen x -f 1) 



: v+UA v Ç, : : v ■?■- . 



James Stawsrf CAPITULO % APLICAÇÕES O A DFÊRENCiAÇAO 321 


Do .mesmo modo. f'(.x) — 0 quando sen x — j ou sen .v ~ — !: logo. em [0. 2 tt| temos 
x = tt/6. >77/ 6 e 3tt12. Determinando o sinal de f'(.x) na tabela a seguir, usamos o lato de 
que sen :v + 1 2» 0 para todo x. 


In ler vaio 



() < x <’. tt/6 

+ 

crescente em (0. tt/6) 

tt/6 < x < 5 tt/6 

...... 

decrescente em (tt/ 6. 5ir/6) 

5 tt/6 < x < 3 tt/2 

4- 


377/2 K X <: 277 

'T 

crescente em (3*/2. 2rr) 


F. Da tabela em B o Teste da Primeira Derivada diz que f(i r/6) = 3 v' 3/2 é Om máximo 
local e f (5 tt/6) — — 3 V 3/2 é um mínimo local, mas / não tem nem máximo nem 
mínimo em 3 tt/2, somente uma tangente horizontal. 

G. f"(/) — -2 cos x - 4 sen 2x — ~2 cos x (1+4 sen x) 

Assim, f"(x) — 0 quando cos x — 0 (logo x = tt/2 ou 3 tt/2) e quando sen x ~ — 

Da Figura 12 vemos que há dois valores de x entre 0 e 2 tt para os quais sen x = — | . 
Vamos chamá-los a f e a%. Então f(x) > 0 em (tt/ 2, aq) e (3<r/2, a 2 ); portanto, aí / é 
côncava para cima. Também /"(x) < () em (0, tt/2), («i, 3 tt/2) e íco, 2tt); logo, aí / 
é côncava para baixo. Os pontos de inflexão ocorrem quando x = tt/2., «j, 3tt/2 e a?. 


ofi v + arcseni 

cr; - 2 tt arcseiVi 


FIGURA 12 



H. O gráfico da função restrita a0^ rí 2rr é mostrado na Figura 13. Então é 
estendido, usando a periodicidade, para completar o gráfico na Figura 14. 




EXEMPLO 5 □ Esboce o gráfico de y - ln(4 - x 2 ). 
A. O domínio é 


{x j 4 — x 2 > 0} — {x |x 2 < 4} = {x j \ x | < 2} í *2, 2) 





O intercepto v é /(O) — ]ji 4. Para achar o intercepto x fazemos 


v in(4 - x 1 ) —■ 0 



Sabemos que ln .1 log f 1 = 0 (uma vez que e" = 1); Jogo, temos 4 - .r 2 — J => x 2 — 3 
e, portanto, os interceptos x são ± v’3. 

C, Visto que f(—x) — J(x), f é par, e a curva é simétrica em tomo do eixo y. 

D. Procuramos as assintotas verticais nos extremos do domínio. Dado que 4 - x 2 -~> 0 + 
quando a — > 2 ' e também quando x — > — 2"\ temos 

Jim ln(4 — ,r ) ~ lim ln(4 — a 2 ) = — <x 


Assim, as retas x = 2 e x — ~2 sao assintotas verticais. 


y 


(0, ln 4) 

J 

í 

1 

o 1 < _.. l j, 1 

1 / 

\ i 

/ 

\ i 

1 / 

.. .. 1 


i / V 0 

j - 1 

ij (-4 3,0) 

I 

1 

f 

6/3. 0) lí 

1 

fl 


FiGURA 15 
y - lii(4 - .r) 



Como / (a) > 0 quando -2 < x < 0 cf ' (a) < 0 quando 0 < x < 2, / é crescente em 
(-2, 0) e decrescente em (0, 2). 

F. O único número crítico é x = 0. Urna vez que f muda de positiva para negativa em 0, 
/(()) = ln 4 é um máximo local pelo Teste da Derivada Primeira. 

G f'( x ) ^ (4 ~ -r Z )(~2) 4- 2 a( — 2a) _ - 8 ~ 2a 2 

(4 - a- 2 ) 2 ” (4 -- a 2 ) 2 

Uma vez que f (x) < 0 para todo a, a curva é côncava para baixo em (-2, 2) e não tem 
ponto de inflexão. 

H. Usando essa informação, esboçamos a curva na Figura 15. 



FfGURA 16 


L-J Assintotas Inclinadas 

Algumas curvas têm assintotas que são oblíquas , isto é, não são horizontais nem verticais. Se 

lim [/(a) — (mx + b)\ ~ 0 

então a reta y =-- mx + b é chamada assintota inclinada, pois a distância vertical entre a 
cm va y — / (a) e a reta y — mx + b tende a 0, como na Figura 16. (Unia situação análoga 
existe quando fazemos x > —0 °.) Para as funções racionais, as assintotas inclinadas ocorrem 
quando a diferença entre os graus do numerador e do denominador é 1 . Nesse caso a equação 
da assintota inclinada pode ser encontrada por divisão de polinómios, como no exemplo a seguir. 


EXEMPLO 6 g Esboce o gráfico de f(x) = . 

x“ + 1 

A. O domínio é !R — (~oc-, a>). 

8. Os interceptos x e y são ambos 0. 

C. Visto que /(- a) - -/( a), / é ímpar, e seu gráfico, simétrico em tomo da origem. 

D. Como x~ 4* I nunca é 0, não há assintota vertical. Uma vez que f(x) —> « quando 

x 20 e /(■*) _oc quando a - •> -<», n ão há assintotas horizontais. Mas a divisão de 
polinómios fornece 




— A 


323 


James Stewart .CAPÍTULO 4 APLICAÇÕES DA DIFERE ND AÇÃO 


A' A 

/(a) x — 0 quando a — * i 00 

A“ +1 J 

A 2 

Logo a reta y = x é uma assintota inclinada. 

3x 2 (x 2 4- ]) — x - . 2x x 2 (x 2 + 3) 


(a 2 + l) 2 


(x 2 + l) 2 


Uma vez que f'(x) > 0 para todo a (exceto 0), f é crescente em (— 00 , 00 ). 

F. Embora /'(()) — 0. f não muda o sinal em 0, logo não há máximo ou mínimo local. 


G. /"(a) 


(4a 3 + 6x)(x 2 + I) 2 - (a 4 + 3a 2 ) • 2(x 2 + 1)2 a 2x(3 - a 2 ) 


/ (a 2 + 1 ) 4 (x 2 4 ! ) 3 

Visto que f"(x) ~ 0 quando x — 0 ou x = ± V 3, estabelecemos a seguinte tabela: 


^ W I 

// 


pontos de 
inflexão 


Intervalo 

X 

3 - A* 

(,r- + i) : ’ 

f"íx) 

/ 

■*< “Ã 

- 

- 

+ 

4 

CC em (—o*, y 3 ) 



-r 


..... 

CB em (••■■■ v 3 - 0) 


■f- 


4- 

+ 

CC em (0. v'3) 


~j_ 

- 

-!•- 

.... 

CB ern (v'3. ■*) 


Os pontos de inflexão são (— >/3, ---3y3/4). (0,0) e (v'3. 3 v ; 3/ 4). 
H. O gráfico de f está esboçado na Figura 17. 


Exercícios 


1-5? 

Use 

0 roteiro desta seção 

para esboçar a curva. 

19. 

V 

- x v 5 - 

X 


20. 

y = 

1 


3 


2. 

V — a 3 4- 6a 2 4- 9a 




_ 


22. 



- 




21. 

V 

— x 2 4- 

1 “ X 


V = 

3. 

v 77 

- ? «■ 

-- L5.r + 9a 2 - -r‘ 

4. 

y — 8a 2 - x 4 



A 





5. 

v = 

;v 4 

4 4.C 

6. 

v - a(a + 2)' 

23. 

V 

= f-y — 



24. 

y — 









VA 4 

\ 




7. 

v - 

77 2 x 

— 4- 1 

8. 

v = 20a 5 -3x* 



\ 4 

X 2 


26. 








25. 

V 


— 


y ~ 

9. 

v - 

X 


10. 

_ A 



rí 







X “ 

-1 


(A-l) 2 

27. 

V 

/-) Í 1 ■ 

— x - 3x 



28. 

y = 

1!. 

V 7 


1 

12. 

A 

29. 

y 

~ x + V 1 x j 


30. 

y = 



X ~ 

-9 


x" -9 

31. 

y 

— 3 sen -v 

■ - sen : 'A 


32. 

y = 

13. 

V ; 

- ; 

X 

14. 

X 

33. 

y 

7=7 A tg A, 

— 7t/2 < 

X < 77/ 2 





x~ 

+ 9 


X~ 4 9 

34. 

X 

= 2a - te 

A. -tt/2 

< X < 77/2 


15. 

V ■ 

X - 

- 1 

16. 

A 2 -2 
- ,,= v < 

35. 

y 

= ( x --- sen a, 0 < a < 3 7T 





X 

2 



36. 

V 

— COS 'A - 

- 2 sen x 




17. 

V :: 

x“ 

+ 3 

18. 

^ 3 

X 4- 1 

37. 

y 

- sen 2a 

- 2 sen x 


38. 

y = 








39. 

sen x 

COS X 

40. v - 

na í 


1 + COS X 

c >C\) 

loiy 

41. 

v - l/í! -f- £'■■’) 

1: 

çj 


43. 

y = x In x 

i! 

*3* 


45. 

v — .ve ’ ' 

46. v = Inf.v' 3.v 4- 2) 


47. 

v - In ( sen a ) 

48. y — xíin x) 2 


49. 

v — xe 1 

50. y = e ' -- 3e ' — 4x 
, / v — 1 \ 

55. v = 

51. 

V ::::::: (■ + (, - 

52. v = te"' — I 

57. v = 


- , 

1 -V 4- 1 } 


53. 

A figura mostra uma v iga 

dc comprimento L embutida em 

59-64 : 


:OR’u iújukía. (../ que o grafico mostra sobre a força? 


Ache a equação da assintota inclinada. 
Não desenhe a curva. 


-v+ ! 

4.v ' - 2 .v + 5 


- ' + jv + v + 3 
56. v = — — — 

)■ “ -i. ? v 


.V + lx 
õ.r + x + x 

x" ■■■ v- + 2 


t * wiisuiim, it it.JI uiMUÜUlUa 

uniformeniente ao longo de seu comprimento, a viga assumirá 
a forma da curva de deflexão 


■ li se passos definidos nesta seção para esboçai' o gráfico da 
a. No passo D ache uma equação para a assintota inclinada. 


H _ 4 ^ WL x WL : , 

21/./ 1 7 1 2 /2/ A 21/:/ ' 
em que E e / são constantes positivas. (E é o módulo de 
elasticidade de Young. e/éo momento dc inércia da secção 
transversal da viga.) Esboce o gráfico da curva de deflexão. 


-2.x' + 5.v - I 

2.v - I 
.r + 4 


60. v - — — - 


v t \ + 
X 2 + I 


62. v ~ e' .v 

(x+lY 
(.v 1 f 


* y t r * 


54. A Lei de Coulomb estabelece que a força de atração entre duas 
partículas com carga é diretamente proporcional ao produto das 
cargas e inversameiHe proporcional ao quadrado da distância 
entre das. A figura mostra as partículas com a carga 1 localizadas 
nas posições 0 e 2 sobre o eixo de coordenadas, e uma partícula 
com a carga - 1 em uma posição x entre elas. Segue da Lei de 
Coulomb que a força líquida agindo sobre a partícula do meio é 


+ . 0 < r 

(X -■■■ 2p ■ A 


Mostre que a curva y ..v - tg : x tem duas assintotas inclinadas: 
y = ,v + ?r/2 e y = .v - iril Use esse fato para esboçar a curva. 
Mostre que a curva y — v'.r + 4.v tem duas assintotas inclinadas: 
y = x + 2 e v - -x 2. Use esse fato para esboçar a curva. 

Mostre que as retas y — (b/a)x ey — (b/a)x são assintotas 

inclinadas da hipérbole (x 2 /<r) ■■■■■■ íy/b 2 ) - 1. 

Seja { ( vi — f.v ' +■ 1 )/ x . Mosire que 

lim [/(x) -- 1 j = 0- 

Isso mostra que o gráfico de / tende ao gráfico de v — x 2 , e 
dizemos que a curva y — j (x) é tuna assintota da parábola 
y — • x". Use esse fato para ajudá-lo no esboço do gráfico de/' 
Discuta o comportamento assint ótico de f(x) = (x'’ -f ])/xda 
mesma forma que no Exercício 68. Use então seus resultados 
como ajuda no esboço do gráfico de f . 

Use o comportamento assintótico de f(x) — cos x -f J/x 2 para 
esboçar seu gráfico sem passar pelo roteiro desta seção. 


Fazendo Gráf icos com o Cálculo e Calculadoras 


... Ss você ainda não leu a Seção 1 .4. 
deve fazê-lo agora. Ela explica corno 
evitar algumas falhas dos recursos grá- 
ficos na escolha de janelas de. inspeção 
i na própria das. 


O método usado para esboçar as curvas na seção precedente foi um auge dentro de nosso 
estudo de cálculo diferencial. O gráfico foi o objetivo final obtido por nós. Nesta seção 
nosso ponto de vista é completamente diferente. Começamos aqui com um gráfico pro- 
duzido por uma calculadora gráfica ou computador e então o refinamos. Usamos o cálculo 
para assegurar que estão aparentes todos os aspectos importantes da curva. E com o uso de 
recursos gráficos podemos nos dedicar a curvas complicadas de sc tratar sem essa tecnologia. 
O objetivo aqui é a interação entre o cálculo e calculadoras. 

EXEMPLO 1 □ Faça o gráfico do polinómio fix) = 2x 6 4- 3x 5 + 3.x* 2.vN Use os gráficos 

de f e /" para estimar todos os pontos de máximo e de mínimo e os intervalos de concavidade. 

SOLUÇÃO Se especificarmos um domínio, mas não uma imagem, muitos recursos gráfi- 
cos deduzirão uma nova imagem razoável para os valores computados. A Figura í 
mostra o grafico obtido a pariu de algum desses recursos se especificarmos que 




•James Stewart 


32í 



41.000 


! v -fix) 

- 5 t—Õ S ■ 5 

- i .000 

FIGURA 1 


100 



-50 

FIGURA 2 


10 



/ t 

y =/» \ ; í 


-30 

FIGURA 5 


CAPÍTULO 4 APLICAÇÕES DA DIFERENCIAÇÃO 

-5 -c i õ 5. Embora essa janela de inspeção seja útil para mostrar que o comportamento 
assint ótico (o comportamento nos extremos) é o mesmo que o de y ~ 2a 6 , é óbvio que 
estão omitidos os detalhes mais refinados. Assim, mudamos a janela de inspeção de 
[ — 3.2] para J —50, 100], conforme mostrado na Figura 2. 

A partir desse gráfico parece que existe um valor mínimo absoluto de cerca de -15,33 
quando x ~ -1 ,62 (através do cursor) e / é decrescente em {— ^, -1 ,62) e crescente em 
(-1 ,62, oo). Aparentemente também existe uma tangente horizontal na origem e pontos dt 
inflexão quando x — 0 e quando x está em algum lugar entre -2 e -1 . 

Vamos tentar confirmar essas impressões usando o cálculo. Diferenciando, obtemos 

f'{ x) — 1 2.x " + 15.V"’ + 9a“ — 4,v 
f(x) = 60. v 4 + 60a- 3 + 18a - 4 

Quando fazemos o gráfico de f na Figura 3, vemos que f'(x) muda de negativo para 
positivo quando x ~ 1 ,62; isso confirma (pelo Teste da Derivada Primeira) o valor 

mínimo encontrado anteriormente. Mas, talvez para nossa surpresa, notamos também 
que /'(a) muda de positivo para negativo quando x — 0, e de negativo para positivo 
quando x ~ 0,35. Isso significa que / tem um máximo local em 0 e um mínimo 
local quando x ~ 0,35, mas esses valores estavam escondidos na Figura 2. Realmente, 
se dermos um zoom em direção à origem, como na Figura 4, veremos o que havíamos 
perdido antes: o valor máximo local de 0 quando x — 0 e um valor mínimo local de 
cerca de -0,1 quando x = 0,35. 




FIGURA 3 


FIGURA 4 


E o que dizer sobre a concavidade e os pontos de inflexão? Das Figuras 2 e 4 
parece haver pontos de inflexão quando x está um pouco à esquerda de -1 e quando x 
está um pouco à direita de 0. Mas é difícil determinar os pontos de inflexão a partir dc 
gráfico de/; assim, fazemos o gráfico da derivada segunda /" na Figura 5. Vemos que 
f" muda de positivo para negativo quando x ~ -1 ,23, e de negativo para positivo 
quando x ~ 0,19. Logo. correta até a segunda casa decimal, fé côncava para cima em 
(-oo , - 1 ,23) e (0.19, «? ) e côncava para baixo em (-1 ,23, 0,19). Os pontos de inflexão 
são (-1,23; -10.18) e (0.19,-0.05). 

Descobrimos que um único gráfico não revela todos os aspectos importantes desse 
polinómio. Porém, as Figuras 2 e 4, quando feitas juntas, fornecem um traçado preciso. 


EXEMPLO 2 n Faça o gráfico da função 

a 2 + lx + 3 


em uma janela de inspeção que contenha todos os aspectos importantes da função. 
Estime os valores máximo e mínimo e os intervalos de concavidade. Então use o cálculc 
para verificar o valor exato dessas quantidades. 




I 326 CÁLCULO Editora Hishisor 


SOLUÇÃO A Figura 6 ? feita por um computador com escalonamento automático, é um 
desastre. Algumas calculadoras gráficas usam corno janela de inspeção f- i(). 10] por 
[-10, 10]; assim, vamos tentar fazer isso. Obtemos o gráfico mostrado na Figura 7. e ele 
é uma grande melhoria. 


3 x iíf 


v -./( v ) 



FIGURA 6 




-10 

FIGURA 7 


10 


O eixo v aparenta ser uma assintota vertical e realmente o é, pois 

jF -f lx + 3 
lnn - = cc 

■>() A" 

A Figura 7 também nos permite estimar os interceptos .v: cerca de -0,5 e -6,5. Os 
valores exatos sao obtidos usando-se a fórmula quadrática para resolver a equação 
-v 2 + 7a + 3 = 0. Obtemos jc = (—7 ± y 37 )/2. 

Para obter uma visão melhor das assintotas horizontais mudamos para a janela de 
inspeção [-20. 20] por [-5, 10] na Figura 8. Aparentemente y = 1 é a assintota 
horizontal, e isso é facilmente confirmado: 


-20 



FIGURA 3 


10 

: ,y~jlx) 


20 


2 


y -fix) 


-4 


x 2 + lx + 3 
iim v = Hm 

A " X *±a 



Para estimar o valor mínimo damos um zoom na janela de inspeção [ — 3. 0] por 
[ — 4. 2] da Figura 9. O cursor indica que o valor mínimo absoluto é de cerca de -3.1 
quando x ~ -0.9, e vemos que a função decresce em (-«, -0,9) e (0, oc) e cresce em 
(- 0,9, 0). Os valores exatos são obtidos por diferenciação: 


f'(x) = 



lx + 6 
x' 


Isso mostra que f‘(x ) > 0 quando 1 < x < 0 e f'(x) < 0 quando x < -f e quando 
v A 0. O valor mínimo exato é /(—[;) — - - -- —3,08. 

A Figura 9 também mostra que ocorre um ponto de inflexão em algum lugar 
entre x — - ler- -2. Podemos estimá-lo mais precisamente usando o gráfico da 
derivada segunda, o que nesse caso é tão fácil quanto achar os valores exatos. Uma 
vez que 


r (x) 



I S _ ^ 7a + 9 

■V 4 " A ' 4 


FIGURAS 



James Stewsrt CAPÍTULO 4 AF 


vemos que f’{. x) > 0 quando x > — f (x ^ 0). Logo / é côncava para cima em í - , 0) e 
(0. oc) e côncava para baixo em (--■x, O ponto de inflexão é (-4. -■-[). 

A análise usando as duas primeiras derivadas mostradas nas Figuras 7 e 8 mostram 
todos os aspectos mais importantes da curva. 


I \ 
H — 


FIGURA 11 


Faça o gráfico da função f{x) = 


(jc - 2) 2 {x - 4) 4 ' 


SOLUÇÃO Com base em nossa experiência com a função racional no Exemplo 2. vamos 
começar fazendo o gráfico de f na janela de inspeção [—10, 10] por [ — 10. 10]. Da 
Figura 10 temos a sensação de que vamos precisar dar um zoom para ver mais 
detalhadamente, e também nos afastar para ver ou para ter uma visão melhor do traçado 
Mas, como regra para dar um zoom inteligente, vamos primeiro analisar bem de perto a 
expressão de f(x). Em razão dos fatores (v — 2)* e (x -- 4) 4 no denominador, esperamos 
que x — 2 e x — 4 sejam assintotas verticais. Realmente 


lim — 

*--2 (. X 


x~{x + 1)' 

mi — cg 

ix - 2) 2 {x - 4) 4 


Para encontrar as assintotas horizontais dividimos numerador e denominador por x 6 : 


xHx + l) 3 
(x - 2f(x - 4) 4 


7 Lí) 


0 quando x ±' 


logo o eixo x é a assintota horizontal. 

É também muito proveitoso considerar o comportamento do gráfico nas proximidade 
do intercepto x usando uma análise igual à do Exemplo 1 1 na Seção 2.6. Uma vez que a 
é positivo, f(x) não muda de sinal em 0 e, portanto, seu gráfico não cruza o eixo x em ( 
No entanto, devido ao fator (x 4- l)-\ o gráfico cruza o eixo x em -1 e tem uma tangent 
horizontal aí. Juntando todas essas informações, mas sem usar as derivadas, vemos que 
curva deve se parecer com algo semelhante ao mostrado na Figura 1 1 . 

Agora que sabemos o que procurar, damos vários zooms para obter os gráficos nas 
Figuras 12 e 13 e afastamos várias vezes para obter a Figura 14. 


FIGURA 12 


: IGURA 13 


4GURA 14 


Podemos ver desses gráficos que o mínimo absoluto está em tomo de A},02 e ocorre quai 
do x ~ -20. Há também um máximo local ~ 0,00002 quando jc ~ -0.3, e um mínimo local 
21 1 quando jc ~ 25. Esses gráficos também mostram três pontos de inflexão próximos a -3: 
-5 e -1 , e dois entre — 1 e 0. Para estimar os pontos de inflexão mais precisamente necessitan 
mos do gráfico de /", mas calcular à mão /" é uma tarefa não razoável. Se você tiver um si: 
tema algébrico computacional, então não encontrará maiores problemas (veja o Exercício 1 7) 




ütora Thomson 


□ A família de funções 

f(x) - sen(jf + sen cx) 
onde c é uma constante, ocorre em 
aplicações para a síntese de frequência 
modulada (FM). Uma onda senoidal é 
modulada por uma onda com uma 
frequência diferente (sen cx). O caso 
em que c — 2 é analisado no Exemplo 
4. O Exercício 25 explora outro caso 
especial. 


■-IJ 

FIGURA 15 


\ y-./(ü 

\ 


0 ; v 


y = /'(*) 


- 1.2 

FIGURA 16 


Vimos que para. essa particular função são necessários trê s gráficos (Figuras 12. 13 e .14) 
para juntar todas as informações úteis. A única maneira de 'dispor todos esses aspectos dz 
função em um único gráfico é fazê-lo à mão. A despeito dos exageros e distorções, a 
Figura 1 i consegue resumir a natureza essencial da função. 

EXEMPLO 4 : Faça o gráfico da função f(x) = seníx + sen 2x). Para 0 «S x *£ tt. 
localize todos os valores máximo e mínimo, intervalos de crescimento e de 
decrescimento, e pontos de inflexão corretos até a primeira casa decimal. 

SOLUÇÃO Notamos primeiro que $ é periódica com período de 2rr. A função /é também 
ímpar e j j (x) [ =£! 1 para todo x. Logo a escolha de uma janela de inspeção não é um 
problema para essa função: começamos com [0, tt] por [-1 ,1,1,1) (veja a Figura 15). 
Parece que existem três valores máximos locais e dois mínimos locais nessa janela. Para 
confirmar isso e localizá-los mais precisa mente, calculamos que 

fix) = cosí a + sen 2x) * ( 1 + 2 cos 2x) 

e f azemos os gráficos de j e / ' na Figura .16. Dando um zoom e usando o Teste da 
Derivada Primeira encontramos os seguintes valores para uma casa decimal. 


Intervalos de crescimento: (0, 0.6), ( } ,0, 1 ,6), (2.1 , 2,5) 

intervalos de decrescimento: (0.6, 1 ,0), (1,6, 2,1), (2,5, tt) 

Valores máximos locais: /( 0,6) « 1 , /(1 ,6) s 1 , /( 2,5) ~ 1 

Valores mínimos locais: /(],()) ~ 0,94, /(2,1) * 0.94 

A derivada segunda é 

j'\x) = — (1 + 2 cos 2xY sen(x + sen 2x) - 4 sen 2x cos(x + sen 2 a) 
Fazendo o gráfico de / e /" na Figura 17, obtemos os seguintes valores aproximados: 


Côncava para cima: 
Côncava para baixo: 
Pontos de inflexão: 


( 0 , 8 , 13 ), ( 1 , 8 , 2 , 3 ) 

( 0 , 0 , 8 ), ( 1 , 3 , 1 , 8 ), ( 23 , tt) 

( 0 , 0 ), ( 0 , 8 . 0 . 97 ), ( 1 3 , 0 , 97 ), ( 1 . 8 , 0 . 97 ). ( 23 . 0 . 97 ) 


FIGURA 17 


FIGURA 18 





-1 

2 



A Figura lo realmente representa precisamente / para 0 x «S 77, e assim podemos 
estabelecer que o gráfico na Figura 18 representa / precisamente para -2 tt *£ x «£ 2rr. 




James Stewart CAPÍTULO 4 APLICAÇÕES OA DIFERENDAÇAO 32$ 

Nosso ultimo exemplo trata de famílias de funções, conforme discutido na Seção 1,4 
Isso significa que as funções na família estão relacionadas umas às outras por uma fórniuk 
que contém uma ou mais constantes arbitrárias. Cada um dos valores da constante dí 
origem a um membro da família, e a idéia é ver como varia o sráfico da função à rnedidí 
que mudamos a constante. 



EXEMPLO 5 □ Quando c varia, como varia o gráfico de f(x) — \/(x z + 2x + c)? 

SOLUÇÃO Os gráficos nas Figuras 19 e 20 (os casos especiais c = 2ec = -2) mostram 
duas curvas com aspectos diferentes. Antes de fazer qualquer outro gráfico, vamos ver o 
que os membros dessa família têm em comum. Uma vez que 


FIGURA 19 
c = 2 




FIGURA 20 


1 

x 1 + lx - 2 



i ! 
... . 1 .. 

-2 


para todo valor de c. todos têm como assintota horizontal o eixo x. Uma assintota 
vertical ocorrerá quando jc 2 + 2x + c — 0. Resolvendo essa equação quadrática, 
obtemos x ~ — 1 ± y • — c. Quando c > 1, não há assintotas verticais (como na 
Figura 19). Quando c = 1 o gráfico tem uma única assintota vertical x — ~1 , pois 


lim — — fim - — 

•V ,v~ + 2x + 1 i (.V + i) 


Quando c < 1. há duas assintotas verticais: x — — 1 ± N 1 — c (como na Figura 20). 
Computamos agora a derivada: 


(jc 2 + 2x + c) 2 

Isso mostra que f'(x) = 0 quando x ~ -1 (se c & I), f(x) > 0 quando x < -1 e 
f'(x) < 0 quando .v > -1 . Para c > 1 isso significa que fé crescente em (—<», — 1) e 
decrescente em (-- 1 , w). Para c > 1 , existe um valor máximo absoluto 
/(— 1) — l/(c — 1). Para c < 1 , /( — 1) = l/(c ~~ 1) é um valor máximo local, e os 
intervalos de crescimento e decrescimento são interrompidos nas assintotas verticais. 

A Figura 21 mostra cinco membros da família, feitos na janela de inspeção [—5,4] 
por [ — 2,2], Conforme previsto, c — 1 é o valor no qual uma transição ocorre de duas 
assintotas verticais para uma e depois para nenhuma. A medida que aumentamos c a 
partir de 1 . vemos que o ponto de máximo fica cada vez mais baixo; isso é explicado 
pelo fato de que l/(c — 1) — * 0 quando c — »■ ^c. A medida que c decresce a partir de 1 
as assintotas verticais ficam cada vez mais separadas, pois a distância entre elas é 



FIGURA 21 A família de funções f(x) ~ 3/(.r 2 4- 2x + c) 



wmm ¥:&§ CALCULO Edttora Thomson 


2 v 1 " C; que ( j C : 1 niak>r à medKja que f » ---■ Novamente, o ponto de máximo tende 

í. 1 aramente nao ha pontos de inflexão quando c ■ I . Para c > I calculamos que 

f'(y) ,,, 2 ( 3^ 2 + 6.x + 4_ -~ c) 

(x 2 + 2x TcF 

e deduzimos que os pontos de inflexão ocorrem quando x = - j ± . 

Portanto os pontos de inflexão tornam-se mais espalhados à medida que c cresce, e isso 
parece plausível das duas últimas partes da Figura 21. 


II Exercícios 


‘O-s Obtenha os gráficos de / que revelem todos os aspectos 
importantes da curva. Em particular, você deve usar os gráficos de 
J e f para estimar os intervalos de crescimento e decrescimento, 
valores extremos, intervalos de concavidade e pontos de inflexão. 

1. f(x) ~ 4x* - 32;v ? + 89-t 2 - 95x +29 

2. f{x) - x (> - .1 5.x r1 + 75.i"* - .1 25 jc ~ x 

3. f(x) — l/x 2 - 3x ~—~5 


4. f(x) = 

5. f(x) = 


x 4 + -V 3 - 2.1 


6. f(x) = tg x + 5 cos x 

7. f(x) — -V' — 4.v + 7 cos x. 


8- f(x) 


(*‘ - 9) 


9-12 O Obtenha os gráficos de / que revelem todos os aspectos 
importantes da curva. Estime os intervalos de crescimento e 
decrescimento, valores extremos, intervalos de concavidade e 
pontos de inflexão, e use o cálculo para achar essas quantidades 
exatamente. 


9. fix) « 8.0 - 3.r 


10 . f(x) 


1 lx - 20 


11. ,/(A» x % 9 x 

12. J(x) — x — 2 sen x. 


(a) Faça o gráfico da função. 

(b) Use a Regra de L Hospital para explicar o comportamento 
quando x (). 

(c) Estime o valor mínimo e intervalos de concavidade. Então use 
o cálculo para achar os valores exatos. 


13. / (x) --- x 2 In x 


14. fix) = xe 1/j 


s5 ~ 16 _ í:sboce 0 gráfico à mão usando as assintotas e interceptes, 
mas não as derivadas. Então use seu esboço corno um roteiro na 
obtenção de gráficos (com um recurso computacional) que 
mostrem os aspectos mais importantes da curva. Use esses gráficos 
para estimai os valores máximo e mínimo. 


15. fix) 


(x + 4 .M V 


16. fíx) = — 1,hl - -L 

(a- ~ 2/{x + 1 »’ 


17. Se f for a função considerada no Exemplo 3, use um sistema 
algébrico computacional para calcular f e então faça seu grá- 
fico para confirmar que todos os valores máximo e mínimo são 
como dados no exemplo. Calcule f" e use-o para estimar os 
intervalos de concavidade e pontos de inflexão. 

18. Se j for a função do Exercício 16, encontre f e f" e use seus 
gráficos para estimar os intervalos de crescimento e decresci- 
mento e concavidade de/. 

- ^ se um sistema algébrico computacional para fazer o 
gráfico de/ e encontre j ’ e f". Utilize os gráficos dessas derivadas 
para estimar os intervalos de crescimento e decrescimento, valores 
extremos, intervalos de concavidade e pontos de inflexão de / 


19- /( x) 


21. fíx) 


0 < X 4 3 77 20. fix) - — ~ : 

v-V‘ ! + x + 1 


22- f(x) = - 


(a) Faça o gráfico da função. 

! b) Explique a forma do gráfico computando o limite quando 
x — »■ () ou quando x oc. 

(c) Estime os valores máximo e mínimo e então use o cálculo para 
achar os valores exatos. 

(d) Use um grafico de f para estimar a coordenada x dos pontos 
de inflexão. 


23. fix) 


24- / (jr) = (sen xf 



-James Stewarí CÃPÍTU.LG 4 AP 


25. No Exemplo 4 consideramos um membro da família de 
funções f(x) — sen (;x + sen cx) que ocorre na síntese FM. 

Aqui investigamos a função com c ™ 3. Comece fazendo o 
gráfico de f na janela de inspeção [0, tt\ por ,2. 1 .2]. 
Quantos pontos de máximo locais você pode ver? O gráfico 
tem mais coisas do que podemos ver a olho nu. Para descobrir 
os pontos de máximo e mínimo escondidos será necessário 
examinar muito cuidadosamente o gráfico de /'. De fato, ajuda 
a examinar ao mesmo tempo o gráfico de f”. Encontre todos os 
valores máximos e mínimos e os pontos de inflexão. Então 
faça o gráfico de / na janela de inspeção [— 2rr, 2~j por 

[~ .1 .2, 1 ,2] e faça comentários sobre a simetria. 

26-33 u Descreva a mudança no gráfico de / à medida que c varia. 
Faça o gráfico de vários membros da família para ilustrar as 
tendências que você descobriu. Em particular, você deve investigar 
como os pontos de máximo e mínimo e os pontos de inflexão 
movem-se quando c varia. Você deve também identificar qualquer 
valor intermediário de c em que o aspecto básico da curva muda. 

26. fíx) — x* + cx 27. fíx) — x 4 4- ex 2 

28. fíx) ~ x 2 y/c 2 •- x 2 29. fíx) = e~ cl%1 


30. fíx) ~ ln(x 3 + c) 


32. f(x j 


x Y 4- cr 1 


31. f(x) 


33. fíx) — cx + sen x 


34. A família de funções f(t) = C(e" al ~ onde a, b e C são 
números positivos e b > a. tem sido usada para modelar a con- 
centração de uma droga injetada no sangue no instante f = 0. 
Faça o gráfico de vários membros dessa família. O que eles 


têm em comum? .Para os valores fixos de C p a. descubra 
graficamente o que acontece à medida que b cresce. Use então 
o cálculo para provar o que você descobriu. 

35. Investigue a família de curvas dadas por f(x) = xe onde c 
é um número real. Comece computando os limites quando 

x — -> ±°°. Identifique qualquer valor intermediário de c onde 
muda a forma básica. C) que acontece aos pontos de máximo, 
de mínimo e de inflexão quando c varia? Ilustre fazendo o 
gráfico de vários membros da família. 

36. Investigue a família de curvas dadas pela equação 
j(x) = x 4 + cx~ + x . Comece determinando o valor de 
transição de c em que o número de pontos de inflexão muda. 
Faça então o gráfico de vários membros da família para ver 
quais formas são possíveis. Existe outro valor de transição de c 
no qual a quantidade de números críticos muda. Tente 
descobrir isso graficamente. Prove então o que você descobriu. 

37. (a) Investigue a família de polinómios ciada pela equação 

f(x) — cx 4 — 2x 2 4- 1 . Para quais valores de c a curva 
tem pontos de mínimo? 

(b) Mostre que os pontos de máximo e de mínimo para cada 
curva da família estão sobre a parábola y ~ 1 — x 2 . 

Ilustre fazendo o gráfico dessa parábola e de vários 
membros da família. 

38. (a) Investigue a família de polinómios dada pela equação 

fíx) = 2x- + cx ~ -t- 2x. Para que valores de c a curva tem 
pontos de máximo e de mínimo? 

(b) Mostre que os pontos de máximo e de mínimo de cada 
curva da família estão sobre a curva y = x — x : \ Ilustre 
fazendo o gráfico dessa curva e de vários membros da 
família. 


Problemas de Otimização 


Os métodos estudados neste capítulo para encontrar os valores extremos têm aplicações 
práticas em muitas áreas do dia-a-dia. Um homem de negócios quer minimizar os custos 
e maximizar os lucros. Um viajante quer minimizar o tempo de transporte. O Princípio de 
Fermat na óptica estabelece que a luz segue o caminho que leva o menor tempo. Nesta 
seção e na próxima vamos resolver os problemas tais como maximizar as áreas, os volu- 
mes e os lucros e minimizar as distâncias, o tempo e os custos. 

Na solução desses problemas práticos, o maior desafio está íreqüen temente em con- 
verter o problema em um problema de otimização matemática, estabelecendo a função que 
deve ser maximizada ou minimizada. Vamos nos lembrar dos princípios do problema- 
solução discutidos na página 80 e adaptá-los para esta situação: 




1. Compreendendo o Problema A primeira etapa consiste em ler cuidadosamente o 
problema até que ele seja claramente entendido. Pergunte a si mesmo: o que é 
desconhecido? Quais são as quantidades dadas? Quais são as condições dadas? 

2. Faça um Diagrama Na maioria dos problemas é proveitoso fazer um diagrama e 

identificai' as quantidades dadas e pedidas no diagrama. 



3. Introduzindo «tna Notação Atribua uni símbolo para a quantidade que deve ser 
maximizada ou minimizada (por ora vamos chamá-lo 0. Selecione também 
símbolos (a, b, c, .... x , v) para outras quantidades desconhecidas e coloque esses 
símbolos no diagrama. O uso de iniciais como símbolos poderá ajudá-lo — por 
exemplo. A para área h e / para tempo. 

4. Expresse Q em termos de alguns dos outros símbolos da Etapa 3. 

5. Se Q for expresso como uma função de mais de urna variável na Etapa 4, use a 
informação dada para encontrar as relações (na forma de equações) entre essas 
variáveis. Use então essas equações para eliminar todas menos uma das variáveis 
para a expressão Q. Assim, Q será expresso como uma função de uma variável x, 
digamos, Q = f(x) . Escreva o domínio dessa função, 

6. Use os métodos das Seções 4.1 e 4.3 para encontrar os valores máximo ou mínimo 
absolutos de /. Em particular, se o domínio de / for um intervalo fechado, então 
poderá ser empregado o Método do Intervalo Fechado da Seção 4.1 . 


Entendendo o problema 
Analogia: Tente casos especiais 
Fazendo diagramas 


EXEMPLO 1 □ Um fazendeiro tem 2.400 pés de cerca e quer cercar um campo retangular 
que está na margem de um rio reto. Ele não precisa de cerca ao longo do rio. Quais são 
as dimensões do campo que tem maior área? 

SOLUÇÃO A fim de examinar o que está acontecendo neste problema, vamos fazer uma 
experiência com alguns casos especiais. A Figura 1 , fora de escala, mostra três caminhos 
possíveis de estender os 2.400 pés de cerca. Vemos que ao tentar os campos rasos e 
extensos ou profundos e estreitos, obtemos as áreas relativamente pequenas. Parece 
plausível que exista alguma configuração intermediária que produza a maior área. 







Area = 100 * 2.200 = 220.000 pés 2 
FIGURA 1 

s introduzindo a notação 



-a, » m 1 1 iniiww ,,,,, 

Ü i 


FiGURA 2 


Área - 700 • 1 .000 = 700.000 pés 2 


Area = 1 .000 • 400 = 4000.000 pés 2 


A Figura 2 ilustra o caso geral. Desejamos maximizar a área A do retângulo. Sejax e y a 
profundidade e a largura do retângulo (em pés). Então expressamos A em termos de ,r e y: 

A — xy 

Queremos expressar A como uma função de uma única variável; assim, eliminamos y 
expressando em termos de x. Para fazer isso usamos a informação dada de que o 
comprimento total de cerca é de 2.400 pés. Dessa forma, 

2x + y - 2.400 

Dessa equação, temos y — 2.400 - 2x, resultando assim 

A = 42.400 - 2jc) = 2.400x - 2r 

Note que r^Oe.r^ 1 .200 (de outra forma resultaria A < 0). Logo a função que 
desejamos maximizar é 

A(x) - 2.400.x - 24 0 ^ x *= 1 .200 



333 


James Stewart CAPÍTULO 4 APLICAÇÕES DA DIFERENCIAÇÃO 


A derivada é A f (x). — - 2.400 - 4.r. logo. para achar os números críticos resolvemos a 
equação 

2.400 - 4.x = () 

que nos fornece x = 600. O valor máximo de A deve ocorrer ou nesse número críticq ou 
em um extremo do intervalo. Urna vez que ,4(0) = (), A(600) = 720.000 e A( 1 .200) -v 0, 
o Método do Intervalo Fechado nos fornece o valor máximo como /i(600) — 720.00C). 

[Alternativamente poderíamos ter observado que A"(x) ~ -4 < 0 para todo x; logo, a é 
sempre côncava para baixo, e o máximo local em x — 600 deve ser um máximo absoluto ) 
Assim, o campo retangular deve ser de 6(X) pés de profundidade e 1 .200 pés de extensão. 

c Uma lata cilíndrica é feita para receber um 1 litro de óleo. Encontre 

dimensões que minimizarão o custo do metal para produzir a lata. 

SOLUÇÃO Fazemos o diagrama como na Figura 3, onde r é o raio e h , a altura (ambos em 
centímetros). A fim de minimizar o custo do metal, minimizamos a área da superfície 
total do cilindro (tampa, base e lados). Da Figura 4 vemos que os lados são feitos de 
uma folha retangular com dimensões 2rrr e h. Logo a área da superfície é 

A ~ 2irr 2 + I-rrrh 

Para eliminar h usamos o fato de que o volume é dado como 1 1, que é igual a 1 .000 cm 3 . 
Assim 


mÊÊv ' ' a f 


Área 2(nr 2 } 


Area Kirry 


que nos fornece h = 1 .OOO/fTrr). Substituindo para A temos 


A = 2rrr 2 + 2 rrr 


Portanto, a função que queremos minimizar é 


= 2ttk 1 


A(r) = 2rrr 2 + 


Para achar os números críticos, diferenciamos: 


4(-77t' — 500) 


v = Air) 


FIGURA 5 

Ainda neste capítulo, no Projeto 
Aplicado da página 341 , examinaremos 
a forma mais econômica para uma lata 
levando em conta os outros custos de 
fabricação. 


Então A'(r) — 0 quando rrr 3 — 500; logo, o número crítico é r — Ço00/ ir. 

Uma vez que o domínio de A é (0, °°), não podemos usar o argument o do E xemplo 1 
relativo aos extremos. Mas podemos observar que ,4'{r) < 0 para r < ç/500 / rr e 
A(r) > 0 para r > fóQO/ir. portanto, A está decrescendo para todo r à esquerda do 
número crítico e crescendo para todo r à direita. Assim, r — \Í5 00/ 7 r deve originar um 
mínimo absoluto. 

[Alternativamente poderíamos argumentar que Air) — > :X: quando r — * 0 r e A{r) * 
quando r — » x ; portanto, deve existir um valor mínimo de Air), que deve ocorrer no 
número crítico. Veja a Figura 5.] 

O valor h correspondente a r — \/500 / rr é 

1.000 1.000 . / 500 

^ = — __ — ~ — 2 -Ai — 2 r 

rrr 2 7r(500/ ttY : ' \ rr 

Dessa forma, para minimizar o custo da lata, o raio deve ser v 500/ rr cm e a altura, 
igual a duas vezes o raio, isto é, o diâmetro. 




FIGUri. 6 


.uri ação 'cio Teste ela Derivada Primeira (que se aplica ui o somente para os valores jwj 
ná.xmio e mínimo locais) e será enunciado aqui para a.s futuras referências. èifi.j 


Suponha que o seja 

um número crítico de uma função contínua / definida em um certo intervalo. 

(a) Se /■'(.*) > 0 para todo \ < c e < 0 para todo .v > <\ então fic) é um 
valor máximo absoluto de f . 

(b) Se /'(.v) < 0 para todo .v < c e / '(a) > 0 para todo x > c. então fic) é um 
valor mínimo absoluto de f. 


MOTA 2 a Um método alternativo para resolver os problemas de otimização é usar a jf| 
diferenciação implícita. Para ilustrar esse método vamos examinar novamente o Exemplo 1 
2. Vamos nos utilizar das mesmas equações 


.4 - 2 77/" " T 2 77/7/ 


r; h - 100 


mas. em vez de eliminarmos h. diferenciaremos implicitamente ambos os membros em 
relação a r: 


A' = 4 777 + 2 77/? + 2 77/7/' 


2 tt/7í !• Trrh’ - 0 


O mínimo ocorre em um número crítico; assim, fazemos A' = 0. simplificamos e che- 
gamos até as equações 

2 r f // + rlf = 0 2 h : r/f - 0 

e urna subtração nos fornece 2 r — h = 0 ou h — 2 r. 


V.vb/ 3 Encontre o ponto sobre a parábola v : — 2.x mais próximo de (L 4). 
SOLUÇÃO A distância entre os pontos ( 1 . 4) e ( v, v) c 

d — v'(.v — 1 ) ' "f ( v - 4 ) : 

(veja a Figura 6 ). Mas como o ponto Çv. v) está sobre a parábola, então x — v : /2; logo. a 
expressão para d fica 

(/ ' V (; V : 1 ) : - (V - 4)- 

(l ma íorma alternativa seria substituir y — N 2 v para obter d em termos só cie v.) Em 
vez de d minimizamos seu quadrado: 


d = fiy) — ( 1 


1 F 


v 4)- 


( Você deve se convencer de que os mínimos de d e d ocorrem no mesmo ponto mínimo 
de d", porém este último é mais fácil de ser trabalhado.) Diferenciando obtemos 


Ay) 


D 


lí V -- 4 ) - V 


8 


portanto. f(y) ~ 0 quando v — 2. Observe que f(y) < 0 quando y < 2 e f'(y) > 0 quando 
v > 2: logo. pelo Teste da Derivada Primeira para os Valores Extremos Absolutos, o 
mínimo absoluto ocorre quando y ^ 2. (Ou ainda poderíamos simplesmente dizer que., 
dada a natureza geométrica do problema, c óbvio que existe urn ponto mais próximo, 


335 


p~" 3 km — : H 



FIGURA 7 


James Stewart CAPÍTULO 4 APLiCAÇÔES DA DIFERENCIAÇÃO 


mas não existe um ponto mais distante.) O valor correspondente de x é x = y~/2 — 2. 
Assim, o ponto sobre r = 2.x mais próximo de (1,4) é (2, 2). 


Urn homem lança seu bote em um ponto A na margem de um rio reto. 
com uma largura de 3 km, e deseja atingir tão rápido quanto possível um ponto B na 
outra margem, 8 km rio abaixo (veja a Figura 7). Ele pode dirigir seu barco diretamente 
para o ponto C e então seguir andando para B, ou rumar diretamente para B. ou remar 
por algum ponto D entre C e B e então andar até B. Se ele pode remar a 6 km/h e andar 
a 8 km/h, onde ele deveria aportar para atingir B o mais rápido possível? (Estamos 
supondo que a velocidade da água seja desprezível comparada com a velocidade na qual 
o homem rema.) 

SOLUÇÃO Se chamarmos de x a distância de C a D, então a distância a ser percor rida será 
j DB | = 8 ~ x, e o Teorema de Pitágoras dará a distância remada como j AD | - yx 2 + 9. 
Usamos a equação 

distância 


Então o tempo gasto remando é Vx 2 + 9/6 enquanto o tempo gasto andando é 
(8 - x)/ 8 . Assim, o tempo total T corno uma função de x é 

a/x 2 + 9 8 x 

rix) , x-^ + _ 


O domínio dessa função T é [0, 8]. Note que, se x — 0, ele rema para C, e se x — 8, ele 
rema diretamente para B. A derivada de 7 é 


r(x) 




6 a/ x 2 + 9 8 

Assim, usando o fato de que x S 5 0, temos 

1 


T(x) = 0 <=> 


6 a/x 2 + 9 


<==> 4x = 3 yx 2 + 9 


<=> 16x 2 — 9(x 2 + 9) 7x 2 = 81 


<^> x = 



T 


O único número crítico é x 9/v 7. Para ver se o mínimo ocorre nesse número crítico ou 
nos extremos do domínio [0, 8], calculamos T em todos os três pontos: 


v - Tlx) 



7X0) = U r(-A) = ]+//* C 33 A«) = AA » 1 ,42 

Uma vez que o menor desses valores T ocorre quando x — 9 / v 7 , o valor mínimo 
absoluto de T deve ocorrer lá. A Figura 8 ilustra esse cálculo mostrando o gráfico de 1 . 

Dessa forma, um homem deve aportar o bote no ponto 9/ y7 km (~ 3,4 km) rio 
abaixo a partir do início. 


FIGURA 8 




Editora ThoiBSon 




FfGURA 9 


EXBóPlü 5 : Encontre a área do maior retângulo que pode ser inscrito era um semicír- 
culo de raio r. 

SOLUÇÃO 1 Vamos considerar o semicírculo como a metade superior do círculo x 2 + y 2 ~ r 2 
com o centro na origem. Então a palavra inscrito significa que o retângulo tem dois vértices 
sobre o semicírculo e dois vértices sobre o eixo x, conforme mostra a Figura 9. 

Seja ( x , y) o vértice que está no primeiro quadrante. E então o retângulo tem lados de 
comprimento 2x e y, e sua área é 

A — 2xy 

Para eliminar y usamos o fato de que (x, y) está sobre o círculo ,v 2 + y 2 = r 2 e. portanto, 
v = y/r 2 ~~xÜ Assim 

A<^ 2.x sjr 2 — x 2 

O domínio dessa função é 0 x =ss r. Sua derivada é 


A r = 2 v/r 


dr 2 


2 (r 2 - 2x 2 ) 
y/r 2 — x 2 


que é zero quando 2x 2 — r , isto é, x — r/y/2 (urna vez que x 5= 0). Esse valor de x dá 
um valor máximo de A, visto que A(0) - 0e A(r) — 0. Portanto, a área do maior 
retângulo inscrito é 


A 





FIGURA 10 


SOLUÇÃO 2 Uma solução mais simples é possível quando usamos um ângulo como uma 
variável. Seja 0o ângulo mostrado na Figura 10. Então a área do retângulo é 

A(6) — (2 r cos 6)(r sen 0) ~ r 2 (2 $en#cos 0) — r 2 sen20 

Sabemos que sen 20 tem um valor máximo de I e ele ocorre quando 20 — n/2. Logo 
A(0) tem um valor máximo de r 2 e ele ocorre quando 0 = n/4. 

Note que essa solução trigonométrica não envolve diferenciação. De fato, não 
necessitamos usar nada do cálculo aqui. 



Exercícios 


1. Encontre dois números cuja soma seja 23 e cujo produto seja 
um máximo. 

(a) Faça uma tabela de valores, como a mostrada a seguir, tal 
que a soma dos números nas duas primeiras colunas seja 
sempre 23. Com base na evidência mostrada em sua 
tabela, estime a resposta para o problema. 


i 


(b) Use o cálculo para resolver o problema e compare com sua 
resposta da parte (a). 

2. Encontre dois números cuja diferença seja 100 e cujo produto 
seja o menor possível. 

3. Encontre dois números positivos cujo produto seja 100 e cuja 
soma seja a menor possível. 

4. Encontre um número positivo tal que a soma do número e seu 
recíproco sejam tão pequenos quanto possível. 

5. Encontre as dimensões de um retângulo com um perímetro de 
100 rn cuja área seja a maior possível. 

6. Encontre as dimensões de um retângulo com área de 1 .000 m 2 
cujo perímetro seja o menor possível. 




James Stewart 


1AP1TUL0 4 


7. Um fazendeiro com 750 pés de cerca quer cercar uma área 
retangular e então dividi-la em quatro partes com cercas 
paralelas a um lado do retângulo. Qual é a maior área total 
possível das quatro partes? 

(a) Faça vários diagramas ilustrando a situação, alguns com 
divisões rasas e largas e alguns com divisões profundas e 
estreitas. Encontre as áreas totais dessas configurações. Parece 
que existe uma área máxima? Se a resposta for sim, estime-a. 

(b) Faça um diagrama ilustrando a situação geral. Introduza 
uma notação e marque no diagrama seus símbolos. 

(c) Escreva uma expressão para a área total. 

(d) Use a informação dada para escrever uma equação que 
relacione as variáveis. 

(e) Use a parte (d) para escrever a área total como uma função 
de uma variável. 

(f) Acabe de resolver o problema e compare sua resposta com 
sua estimativa da parte (a). 

8. Uma caixa sem tampa deve ser construída a partir de um pedaço 
quadrado de papelão, com 3 pés de largura, cortando fora um 
quadrado de cada um dos quatro cantos e dobrando para cima os 
lados. Encontre o maior volume que essa caixa poderá ter. 

(a) Faça vários diagramas para ilustrar a situação, algumas caixas 
pequenas com bases grandes e outras altas com base pequena. 
Encontre os volumes de várias dessas caixas. Parece existir 
um volume máximo? Se a resposta for sim, estime-o. 

(b) Faça um diagrama ilustrando a situação geral. Introduza a 
notação e marque no diagrama seus símbolos. 

(c) Escreva uma expressão para o volume. 

(d) Use a informação dada para escrever uma equação que 
relacione as variáveis. 

(e) Use a parte (d) para escrever o volume como uma função 
de uma só variável. 

(f) Acabe de resolver o problema e compare sua resposta com 
sua estimativa da parte (a). 

9 . Um fazendeiro quer cercar uma área de 1 ,5 milhão de pés 
quadrados em um campo retangular e então dividi-lo ao meio 
com uma cerca paralela a um dos lados do retângulo. Como 
fazer isso de forma a minimizar o custo da cerca? 

10 . Uma caixa com uma base quadrada e sem tampa tem um 
volume de 32.000 cm 3 . Encontre as dimensões da caixa que 
minimizam a quantidade de material usado. 

11. Se 1 .200 cm 2 de material estiverem disponíveis para fazer uma 
caixa com uma base quadrada e sem tampa, encontre o maior 
volume possível da caixa. 

12 . Um contêíner para estocagem retangular com uma tampa 
aberta deve ter um volume de 10 m 3 . O comprimento de sua 
base é o dobro da largura. O material para a base custa $ 10 
por metro quadrado. O material para os lados custa S 6 por 
metro quadrado. Encontre o custo dos materiais para o mais 
barato desses contêineres. 

13. Faça o Exercício 12 supondo que o contêiner tenha uma tampa 
feita do mesmo material usado nos lados. 

14. (a) Mostre que, de todos os retângulos com uma área dada, 

aquele com um menor perímetro é um quadrado. 


(b) Mostre que. de todos os retângulos com um dado 
perímetro, aquele com a maior área é um quadrado. 

15. Encontre o ponto sobre a reta y — 4:x + 7 que está mais 
próximo da origem. 

18 . Encontre o ponto sobre a reta 6.v + v = 9 que está mais 
próximo do ponto (-3, 1). 

17. Encontre os pontos sobre a elipse 4.r + ;y 2 = 4 que estão mais 
distante do ponto (1 , 0). 

18 . Encontre, correta até a segunda casa decimal, as coodernadas do 
ponto na curva y = tg x que está mais próximo do pomo (.1 , 1). 

19 . Encontre as dimensões do retângulo com a maior área que 
pode ser inscrito em um círculo de rato r. 

20 . Encontre a área do maior retângulo que pode ser inscrito na 
elipse x ‘/ a 2 + y 2 /7r = 1. 

21 . Encontre as dimensões do retângulo com a maior área que 
pode ser inscrito em um triângulo equilátero com lado L se um 
dos lados do retângulo estiver sobre a base do triângulo. 

22 . Encontre as dimensões do retângulo de maior área que tem sua 
base sobre o eixo x e seus dois outros vértices acima do eixo x 
e sobre a parábola y = 8 — _r 2 . 

23 . Encontre as dimensões do triângulo isósceles de maior área 
que pode ser inscrito em um círculo de raio r. 

24 . Encontre a área do maior retângulo que pode ser inscrito em 
um triângulo retângulo com catetos de comprimentos 3 e 4 cm, 
se dois lados doUetânguio estiverem sobre os catetos. 

25 . Um cilindro circular reto é inscrito em uma esfera de raio r . 
Encontre o maior valor possível desse cilindro. 

26 . Um cilindro circular reto é inscrito em urn cone com altura h e 
raio da base r. Encontre o maior volume possível desse cilindro. 

27 . Um cilindro circular reto é inscrito em uma esfera de raio r . 
Encontre a maior área superficial possível para esse cilindro. 

28 . Uma janela normanda tem a forma de um retângulo tendo em 
cima um semicírculo. (O diâmetro do semicírculo é igual à 
largura do retângulo. (Veja o Exercício 52 na página 24.) Se o 
perímetro da janela for 30 pés, encontre as dimensões da janela 
que deixam passar a maior quantidade possível de luz. 

29 . As bordas de cima e de baixo de um pôster têm 6 cm, e as 
bordas laterais medem 4 cm. Se a área do material impresso 
sobre o pôster estiver fixa em 384 cm 2 , encontre as dimensões 
do pôster com a menor área. 

30 . Um pôster deve ter uma área de 180 pol 2 com uma borda de 
1 polegada na base e nos lados, e uma borda de 2 polegadas 
em cima. Que dimensões darão a maior área impressa? 

31 . Um pedaço de fio com 10 m de comprimento é cortado em 
duas partes. Uma parte é dobrada no formato de um quadrado, 
ao passo que a outra é dobrada na lorma de um triângulo 
equilátero. Como deve ser cortado o fio de forma que a área 
total englobada: (a) um máximo? (b) um mínimo? 



338 


CÁLCUIO 


32. Responda o Exercício 3 1 se um pedaço estiver dobrado no for- 
mato de um quadrado e o outro no formato de um círculo. 

33. Uma lata cilíndrica sem o topo é feita para receber V 7 cm’ de 
líquido. Encontre as dimensões que minimizarão o custo do 
metal para fazer a lata. 

34. Urna cerca de 8 pés de altura corre paralela a um edifício alto. a uma 
distância de 4 pés do edifício. Qual o comprimento da menor escada 
que vai atingir do chão. por cima da cerca, à parede do prédio? 

35 . Um copo com formato cônico é feito de um pedaço circular de 
papel de rato R cortando fora um setor e juntando os lados CA 
e CB. Encontre a capacidade máxima de tal copo. 

A B 

/ \ R / \ 

1 C j 

36 . I Jm copo de papel em forma de cone é feito de maneira a 
conter 27 cm ! de água. Ache a altura e o raio do copo que usa 
a menor quantidade possível de papel. 

37. Um cone com altura h está inscrito em outro cone maior com 
altura H, de forma que seu vértice esteja no centro da base do 
cone maior. Mostre que o cone interno tem seu volume 
máximo quando h 

38 . Para um peixe nadando a uma velocidade v ern relação à água, 
a energia gasta por unidade de tempo é proporcional a v 3 . 
Acredita-se que os peixes migratórios tentam minimizar a 
energia total requerida para nadar uma distância fixa. Se o 
peixe estiver nadando contra uma corrente u (u < v) , então o 
tempo requerido para nadar a uma distância L é Lj (?; — «) e a 
energia total £ requerida para nadar a uma distância é dada por 

E(v) — av 3 * 

v — u 

onde a é uma constante de proporcionalidade. 

(a) Determine o valor de v que minimiza E. 

(b) Esboce o gráfico de E. 

Nota: Esse resultado foi verificado experimentalmente; peixes 
migratórios nadam contra a corrente a uma velocidade 50% 
maior que a velocidade da corrente. 

39 . Em uma colméia, cada célula é um prisma hexagona! regular, 
aberto no extremo com um ângulo triédrico no outro extremo. 
Acredita-se que as abelhas formam essas células de forma a 
minimizar a área superficial para um dado volume, usando 
assim uma quantidade mínima de cera na construção. O exame 
dessas células mostrou que a medida do ângulo do ápice $é 
surpreendentemente consistente. Baseado na geometria da 
célula, pode ser mostrado que a área superficial S é dada por 

S = 6sh - |s 2 cotg 0+ (3 xV 3/2) cossec 0 

onde s, o comprimento dos lados do hexágono, e h, a altura, 
são constantes. 


( a ) Ca 1 c u 1 e dSf d 6. 

(b) Que ângulo deveriam preferir as abelhas? 

(c) Determine a área superficial mínima da célula (em termos de .v e h). 
Nota: Medidas reais do ângulo 0 em colmeias foram feitas, e 
as medidas desses ângulos raramente diferem do valor 
calculado em mais do que 2°. 

parte de trás ângulo 

da célula /dQ triédrico $ 




40 . Um bote deixa uma doca às 2 horas da tarde e viaja na direção sul a 
uma velocidade de 20 km/h. Outro bote largou na frente em direção 
a leste a 1 5 km/h e atingiu a mesma doca às 3 horas da tarde. Em que 
momento os dois botes estavam mais próximos um do outro? 

41 . Resolva o problema no Exemplo 4 se o rio tiver 5 km de 
largura e o ponto B estiver somente a 5 km de A rio abaixo. 

42 . Uma mulher em um ponto A na praia de lago circular com raio 
2 mi quer chegar no ponto C diametralmente oposto a A do outro 
lado do lago no menor tempo possível. Ela pode andar a uma taxa 
de 4 mi/h e remar um bote a 2 mi/h. Como ela deve proceder? 



43 . A iluminação de um objeto por uma fonte de luz é diretamente 
proporciona! à potência da fonte e inversamente proporcional 
ao quadrado da distância da fonte. Se duas fontes de luz, uma 
três vezes mais forte que a outra, são colocadas a 10 pés de 
distância, onde deve ser colocado o objeto sobre a reta entre as 
fontes de forma a receber o mínimo de iluminação? 

44 . Encontre uma equação da reta que passa pelo ponto (3, 5) e 
que corta fora a menor área do primeiro quadrante. 

45 . Sejam a e b números positivos. Ache o comprimento do menor 
segmento da reta que pertence ao primeiro quadrante e passa 
pelo ponto (a, b), 

46 . Em quais pontos da curva v — 1 + 40x - 3 jc s a reta tangente 
tem a sua maior inclinação? 

47 . Mostre que, de todos os triângulos isósceles com um dado 
perímetro, aquele que tem a maior área é equilátero. 



-isüses Stewart 


CAPÍTULO 4 


339 



48, A moldura para uma pipa é feita de seis pedaços de madeira. 
Os quatro pedaços externos foram cortados com os 
comprimentos indicados na figura. Para maximizar a área da 
pipa, de que tamanho devem ser os pedaços diagonais? 



49. Um ponto P precisa ser localizado em algum ponto sobre a 
reta ÁD de fornia que o comprimento total L de fios ligando P 
aos pontos A, B e C seja minimizado (veja a figura). Expresse 
L como urna função de x = | AP J e use os gráficos de L e 
dJJdx para estimar o valor mínimo. 


í P 

Â\ 

/ \ X 

/ 1 \ 


/ 2 m a m _ 

B D C 


50. O gráfico mostra o consumo de combustível c de um carro 
(medido por galões/hora) como uma função da velocidade v do 
carro. A baixa velocidade o motor não rende bem; assim, 
inicialmente c decresce à medida que a velocidade cresce. Mas 
a uma alta velocidade o consumo cresce. Você pode ver que 
c(v) é minimizado para esse carro quando V ~ 30 mi/h. Porém, 
para a eficiência do combustível, o que deve ser minimizado 
não é o consumo em galões/hora, mas, em vez disso, o 
consumo de combustível em galões por milha. Vamos chamar 
esse consumo de G. Usando um gráfico, estime a velocidade 
na qual G tem seu valor mínimo. 


c 



51. Se; a v\ a velocidade da luz no ar e v 2 a velocidade da luz na 
água. De acordo com o Princípio de Fermat, um raio de luz 
viajará de um ponto A no ar para um ponto B na água por um 
caminho ACB que minimiza o tempo gasto. Mostre que 

s en 0, _ ^ 
sen th ~ v 7 


onde O-, (o ângulo de incidência) e (P (o ângulo de rei raçao) 
são conforme mostrados. Essa equação é connecida como a 
Lei de Snell. 


A 







B 


52. Dois postes verticais PQ e ST são amarrados por uma corda 
PRS que vai do topo do primeiro poste para um ponto R no 
chão entre os postes e então até o topo do segundo poste, comc 
na figura. Mostre que o menor comprimento de tal corda 
ocorre quando 0i ~ 0z- 



53. O canto superior direito de um pedaço de papel com 8 
polegadas de largura por 12 polegadas de comprimento é 
dobrado sobre o lado direito, como na figura. Como você 
dobraria de forma a minimizar o comprimento da dobra? Em 
outras palavras, como você escolheria v para minimizar y? 


, 


12 ' 


V\ 


‘17 


54. Um cano de metal está sendo carregado através de uma 
passagem com 9 pés de largura. No fim da parede há uma 
curva em ângulo reto, passando-se para uma passagem com 6 
pés de largura. Qual é o comprimento do cano mais longo qut 
pode ser carregado horizontalmente em torno do canto ? 







CÁLCULO 


•cfitera Tíiornson 


55.- Um observador permanece em um pomo P. distante uma 
unidade de uma pista. Dois corredores iniciam no ponto 5 da 
figura e correm ao longo da pista. Um corredor corre três vezes 
mais rápido que o outro. Encontre o valor máximo do ângulo 0 
de visão do observador entre os corredores. [Sugestão: Maxi- 
mize tg íL] 


V 

• \ 


56. Uma calha deve ser construída com uma folha de meta! de largura 
30 cm dobrando-se para cima 1/3 da folha de cada lado, fazendo- 
se urn ângulo 0 com a horizontal. Como deve ser escolhido f/de 
forma que a capacidade de carregar a água da calha seja máxima? 


§§. Encontre a área máxima do retângulo que pode ser circunscrito 
ero tomo de um dado retângulo com comprimento /, e largura ÍK 



60. O sistema vascular sanguíneo consiste em vasos sangíiíneos 
(artérias, arteriolas, capilares e veias) que transportam o sangue 
do coração para os órgãos e de volta para o coração. Esse sis- 
tema deve trabalhar de forma a minimizar a energia despendida 
pelo coração no bombeamento do sangue. Em particular, essa 
energia é reduzida quando a resistência do sangue diminui. 

Uma das Leis de Poiseuille dá a resistência R do sangue como 

K-Ck 


i"~ 10 cm 10 cm — l() C m — ~J 

57. Como deve ser escolhido o ponto P sobre o segmento AB de 
forma a maximizar o ângulo 0? 


onde Lê o comprimento do vaso sangüíneo; r, o raio; e C é 
uma constante positiva determinada pela viscosidade do 
sangue. (Poiseuille estabeleceu experimentalmente essa lei, 
mas ela também segue da Equação 8.4.2.) A figura mostra o 
vaso sangüíneo principal com raio r, ramificando a um ângulo 
0 em um vaso menor com raio r 


ramificação 

vascular 





Uma pintura em uma galeria de arte tem altura h e está 
pendurada de forma que o lado de baixo está a uma distância d 
acima do olho de um observador (como na figura). A que dis- 
tância da parede deve ficar o observador para obter a melhor 
visão? (Em outras palavras) onde deve ficar o observador de 
forma a maximizar o ângulo 0 subentendido em seu olho pela 
pintura?) 


(a) Use a Lei de Poiseuille para mostrar que a resistência total 
do sangue ao longo do caminho ABC é 


„ / a — b cotg 0 b cossec $ 

R = c[ + — «- 

\ n r% 


onde a e b são as distâncias mostradas na figura, 
(b) Prove que essa resistência é minimizada quando 



. James Stewart CAPÍTULO # APLICAÇÕES DA DIFfcRENClAÇAO 341 


(c) Encontre o ângulo ótimo de ramificação (correto até o grau 
mais próximo) quando o raio do vaso sanguíneo menor é 
2/3 do raio do vaso maior. 

81, Os ornitologistas determinaram que algumas espécies de pássaros 
tendem a evitar voos sobre largas extensões de água durante o 
dia. Acredita-se que é requerida mais energia para voar sobre a 
água que sobre a terra, pois o ar em geral sobe sobre a terra e cai 
sobre a água durante o dia. Um pássaro com essas tendências é 
solto de uma ilha que está 5 km do ponto mais próximo B sobre 
uma praia reta, voa para um ponto C na praia e então voa ao longo 
da praia para a área £>, seu ninho. Suponha que o pássaro 
instintivamente escolha um caminho que vai minimizar seu gasto 
de energia. Os pontos B e D distanciam 13 km um do outro. 

(a) Em geral, é necessário 1 ,4 vez mais energia para voar sobre a 
água que sobre a terra. Para que ponto C o pássaro deve 
voar a fim de minimizar a energia total despendida ao retomar 
para seu ninho? 


ühá 



(b) Seja W e L a energia (em jouies) por quilômetro voado 
sobre a água e sobre a terra, respectivamente. Qual o 
significado em termos do vôo do pássaro de grandes 
valores da razão W/L? O que significaria um valor 
pequeno? Determine a razão W/L correspondente ao 
mínimo dispêndio de energia. 

(c) Qual deveria ser o valor de W/L a fim de que o pássaro 
voasse diretamente para seu ninho D? Qual deveria ser o 


valor de W/L para o pássaro voar para B e então seguir ao 
longo da praia para D ? 

(d) Se os ornitologistas observ arem que pássaros de uma certa 
espécie atingem a praia em um ponto a 4 km de B, quantas 
vezes mais energia será despendida pelo pássaro para voar 
sobre a água que sobre a terra? 

62. Duas fontes de luz de igual potência estão colocadas 10 m uma 
da outra. Um objeto deve ser coiocado em um ponto P sobre 
uma reta € paralela à reta que une as fontes de luz a uma 
distância d metros dela (veja a figura). Queremos localizar P 
em € de forma que a intensidade de iluminação seja minimizada. 
Precisamos usar o fato de que a intensidade de iluminação para 
uma única fonte é diretamente proporcional à potência da fonte 
e inversamente proporcional ao quadrado da distância da fonte. 

(a) Encontre uma expressão para a intensidade I(x) em um 
ponto P. 

(b) Se d — 5 m. use os gráficos de I(x) e I'(x) para mostrar 
que a intensidade é minimizada quando x — 5 tn, isto é, 
quando P está no ponto médio de t. 

(c) Se d — 10 mostre que a intensidade (talvez surpreendente- 
mente) não é minimizada no ponto médio. 

(d) Em algum ponto entre íí ~ 5 raeíl= 10m existe um 
valor de d no qual o ponto de iluminação mínima muda 
abruptamente. Estime esse valor de d por métodos 
gráficos. Encontre então o valor exato de d. 





A Forma da Lata 

Neste projeto examinaremos a forma mais econômica para uma lata, Primeiro interpretamos isso 
como significando de que o volume V de uma lata cilíndrica é dado e precisamos achar a altura h 
e o raio r que minimize o custo tio metal para fazer a lata (veja a figura). Se desprezarmos 
qualquer perda de metal no processo de manufatura, então o problema será minimizar a área 
superficial do cilindro. Resolvemos esse problema no Exemplo 2 da Seção 4.7 e descobrimos que 
h — 2 r, isto é, a altura deve ser igual ao diâmetro. Porém, se você for para seu armário ou um 
supermercado com uma régua, descobrirá que a altura é geralmente maior que o diâmetro, e a 
razão h/r varia de 2 até cerca 3,8. Vamos ver se você pode explicar esse fenômeno. 






Editora Thomson 







Discos coitados a partir de quadrados 



Discos cortados a partir de hexágonos 


ponto de 
cú) = inflexão 

inclinação 


y ~ C(x) 


/ IN 


FIGURA 1 Função custo 


1. O material para fazer as latas é cortado de folhas de metal. Os lados cilíndricos são formados 
dobrando-se os retângulos; esses retângulos são cortados da folha com uma pequena ou 
nenhuma perda. Mas se os discos do topo e da base forem cortados de quadrados de lado 2 r 
(como na figura), isso leva a urna considerável perda de metal, que pode ser reciclado, porém 
tem um pequeno ou nenhum valor para quem fabrica as latas. Se for esse o caso. mostre que 
a quantidade de metal usada é minimizada quando 


2 . Uma maneira mais eficiente de obter os discos é dividir a folha de metal em hexágonos e 
cortar as tampas e bases circulares dos hexágonos (veja a figura). Mostre que se for adotada 


essa estrale gi a, então 


h 4y3 
- - *= 2,21 
r 7 r 


3. Os valores de h/r que encontramos nos Problemas 1 e 2 estão muito perto daqueles que 
realmente ocorrem nas prateleiras do supermercado, mas eles ainda não levam em conta tudo. 
Se examinarmos mais de perto uma lata. veremos que a tampa e a base são formadas de 
discos com raio maior que r, que são dobrados sobre as laterais da lata. Se levarmos em conta 
isso, deveremos aumentar h/r. Mais significativamente, além do custo do metal, devemos 
incorporar o custo de manufatura da lata. Vamos supor que a maior parte da despesa esteja 
em juntar os lados para formar as latas. Se cortarmos os discos a partir de hexágonos, como 
no Problema 2, então o custo total será proporcional a 


+ 2 Trrh + Jt(4i 


onde k é o recíproco do comprimento que pode ser associado ao custo de urna unidade de 
área de metal. Mostre que essa expressão é minimizada quando 

\ V JttIi 2rr~-h/r 
k \ r Trhjr - 4 y 3 

4 . Desenhe y V/ k como uma função de x — htr e use seu grafico para argumentar que quando uma 
lata é grande ou a junção é barata, podemos fazer h/r aproximadamente 2 2\ (como no 
Problema 2). Mas quando a lata é pequena ou a junção é cara, h/r deve ser substancialmente maior. 

5 . Nossa análise mostra que as latas grandes devem ser quase quadradas, mas as latas pequenas 
devem ser altas e estreitas. Examine as formas relativas das latas em um supermercado. 

Nossa conclusão é geralmente verdadeira na prática? Há exceções? Você pode apontar as 
razões de latas pequenas não serem sempre altas e estreitas? 




Aplicações em Economia 


Na Seção 3.3 introduzimos a idéia de custo marginal. Lembre-se de que se Cí.t). a função 
custo, for o custo da produção de x unidades de urn certo produto, então o custo marginai 
é a taxa de variação de C em relação a v. Em outras palavras, a função custo margina! é a 
derivada, C'( x), da função custo. 

O gráfico da função custo típico está mostrado na Figura 1 . O custo marginal C(x) é a 
inclinação da tangente à curva de custo em (x, CU)). Note que a curva de custo é inicial- 
mente côncava para baixo (o custo marginal é decrescente) em razão da economia de 
escala (o uso mais eficiente de custos fixos de produção). Mas eventualmente existe um 
ponto de inflexão, e a curva de custo torna-se côncava para cima (o custo marginal é cres- 
cente), talvez em virtude dos custos de horas extras ou das ineficiências de uma operação 
de larga escala. 






James Síewart CAPITULO 4 APLICAÇÕES DA DIFERENCIAÇÃO “ 543 


A função custo médio 


c(x) 


Cíx) 


representa o custo por unidade quando x unidades são produzidas. Esboçamos uma função 
custo médio típica na Figura 2, notando que C(x)!x é a inclinação da reta que liga a origem 
ao ponto (_*, Cí.xj) na Figura 1. É aparente que deve existir um mínimo absoluto. Pars 
encontrá-lo localizamos o ponto crítico de c usando a Regra do Quociente para diferencia) 
a Equação 1 : 

.vC 'í.r) - C(x) 


Como c'f.\ ) = 0, então .iC'(x) — C(x) — 0, e temos 


C'(x) 


C(x) 


x 


e(x) 


Portanto: 


Se o custo médio for mínimo, então 
custo marginal = custo médio 



Esse princípio é plausível, pois se o nosso custo marginal for menor que o nosso custt 
médio, então deveremos produzir mais e abaixando assim o nosso custo médio. Da mesm; 
forma, se nosso custo marginal for maior que nosso custo médio, então deveremos pro 
duzir menos, a fim de abaixar o nosso custo médio. 


D Veja o Exemplo 8 na Seçao 3.3 para 
uma explicação de por que é razoável 
modelar a função custo por um 
polinómio. 


EXEMPLO í Urna companhia estima que o custo (em dólares) na produção de x itens é 
C(x) - 2.600 + 2.x + 0,00 FF. 

(a) Encontre o custo, o custo médio e o custo marginal da produção de 1 .000, 2.000 e 
3.000 itens. 

(b) A que nível de produção será mais baixo o custo médio? Qual o custo médio 
mínimo? 

SOLUÇÃO 

(a) A função custo médio é 


C(x) 2.600 

c(-x) = — = 

X X 

A função custo marginal é 


2 + 0,00 Fx 


Ctx) = 2 F 0,002x 

Usamos essas expressões para fazer a tabela a seguir, dando o custo, o custo médio e 
o custo marginal (em dólares ou dólares por item, arredondados até o centavo mais 
próximo). 






Editora Thomson 



(b) Para minimizar o custo médio devemos ter 

custo marginai = custo médio 


A Figura 3 mostra os gráficos cia 
função custo marginai C e da função 
custo médio c do Exemplo 1 . Observe 
que c tem seu valor mínimo quando os 
dois gráficos se interceptam. 


10 



0 

FIGURA 3 


3.000 


C'(x) ■= c (.x) 


2.600 

2 + 0 ,002. v + 2 + 0.00 3 . x 

x 

Essa equação simplifica-se para 


0,001a- 


2.600 


logo 


2 _ 2.600 

~ 0,001 


2.600.000 


e x = V2 .600 .000 « 1.612 

Para ver que esse nível de produção realmente dá o mínimo, notamos que 

c"(a) — 5 ,200/a' > 0, portanto c é côncava para cirna em todo seu domínio. O custo 

médio mínimo é 


0(1.612)= 


2.600 

y ^2 + 2 + 0,001(1 .612)= $ 5,22/item 


Vamos considerar agora o mercado. Seja p( x) o preço por unidade que uma companhia 
pode cobrar se ela vende x unidades. Então p 6 chamado função demanda (ou função 
preço), e esperamos que ela seja urna função decrescente de x. Se x unidades forem ven- 
didas e o preço por unidade for p(x), então o rendimento total será 

R(x) — xp(x) 

e j Ré denominada função rendimento (ou função venda). A derivada R' da função rendi- 
mento é conhecida como função rendimento marginal, e é a taxa de variação do 
rendimento em relação ao número de unidades vendidas. 

Se x unidades forem vendidas, então o lucro total será 

P(x) = R{ x) - Cíx) 

e P 6 dita função lucro. A função lucro marginal é P’ . a derivada da função lucro. Para 
maximizar o lucro procuramos por números críticos de P, isto é. os números onde o lucro 
marginal é zero. Mas se 

P'(x) = R'(x) — C'(x) — 0 
então R'(x) — C'(x) 

Portanto: 


Se o lucro for máximo, então 
rendimento marginal = custo marginal 



345 



A Figura 4 mostra os gráficos das 
funções rendimento e custo do 
Exemplo 2. A companhia lucra quando 
R > C e o lucro é o máximo quando 
x 103. Note que as curvas têm 
tangentes paralelas nesse nível de 
produção, pois o rendimento marginal 
é iguaí ao custo marginal. 


320 




FIGURA 4 


James Stewart CAPÍTULO 4 APLICAÇÕES DA DIFtRfcNClAÇÁO 

Para garantir que essa condição fornece o máximo, podemos usar o Teste da Derivada 
Segunda. Note que 

P”(x) = R”(x) ~ C'"(x) < 0 
quando R''{x) < C"(x) 

e essa condição aíirma que a taxa de crescimento do rendimento marginal é menor que t 
taxa de crescimento do custo marginal. Assim, o lucro será o máximo quando 

R’(x) - C{x) e R"(x) < C”{x) 


Determine o nível de produção que maximizará o lucro para uma 
companhia com funções custo e demanda: 

C(x) = 84 + \ r 26x - 0 r 0U- 2 + 0,00007x 3 e p(x) = 3 r 5 ~~ 0 r 01x 

SOLUÇÃO A função rendimento é 

R(x) — xp{x) — 3„5x — 0.0 1 x 2 

logo, a função rendimento marginal é 

R ! (x) = 3,5 - 0 r 02x 

e a função custo marginal é 

C{x) = 1.26 - 0.02 x + 0,0002 lx 2 
Dessa forma, o rendimento marginal é igual ao custo marginal quando 

3,5 - 0 r 02x - l r 26 - ü,02x + 0,0002 lx 2 

Resolvendo, obtemos 



Para verificar que isso fornece um máximo, computamos as derivadas segundas: 

R"(x) - -0.02 C"(x) - — 0 r 02 + 0.00042x 

Assim, R"(x) < C"(x) para todo x > 0. Portanto o nível de produção de 103 unidades 
maximizará o lucro. 

£X£MPIG 3 Uma loja vende 200 aparelhos de DVD por semana, a $ 350 cada. Uma 
pesquisa de mercado indica que, para cada abatimento de $ 10 oferecido aos 
compradores, o número de aparelhos vendidos aumenta em 20 por semana. Encontre as 
funções de demanda e de rendimento. Qual deve ser o abatimento oferecido pela loja 
para maximizar seu rendimento? 

SOLUÇÃO Seja x o número de aparelhos de DVD vendidos por semana. Então o 
crescimento semanal em vendas é x - 200. Para cada aumento de 20 aparelhos 
vendidos, o preço decresce em $ 10. Logo, para cada aparelho adicional vendido o 
decréscimo no preço será de ^ X 10 e a função demanda é 

p(x) - 350 - i(x - 200) - 450 - \x 




346 CALCUiO fcditora Thomso» 

A função rendimento é 


R(.x) — xp(.x) — 450a* - i a “ 

Uma vez que R'(x) = 450 — x, vemos que R’(x) = 0 quando x = 450. Esse vaJor de ,v 
dá o máximo absoluto pelo Teste da Derivada Primeira (ou simplesmente observando 
que o gráfico de R é uma parábola que se abre para baixo). O preço correspondente é 

/?(450) = 450 - i (450) - 225 

e o abatimento é 350 — 225 = 325. Portanto, para maximizar o rendimento, a loja deve 
oferecer um abatimento de $ 125. 



Exercícios 


1. Um fabricante mantém registros precisos do custo C(.r) da 
produção de x itens e obtém o gráfico da função custo 
mostrado na figura. 

(a) Explique por que C(0) > 0. 

(b) Qual a signíficância do ponto de inflexão? 

(c) Use o gráfico de C para esboçar o gráfico da função custo 
marginal. 

C+ 


}/ 

j" 



2. É dado o gráfico da função C custo. 

(a) Faça um esboço cuidadoso da função custo marginal. 

(b) Use a interpretação geométrica de custo médio c(x) como 
uma inclinação (veja a Figura 1 ) para fazer um esboço 
cuidadoso da função custo médio. 

(c) Estime o valor de x para o qual c(x) é um mínimo. Como 
estão relacionados os custos médio e marginal naquele 
valor de x? 

Cf 


3. O custo médio da produção de x unidades de uma mercadoria 
e(x) = 21 ,4 - 0.002 a. Encontre o custo marginal em um 

nível de produção de 1 .000 unidades. Em termos práticos, qual 
o significado de sua resposta? 

4. A figura mostra os gráficos das funções custo e rendimento 
registrados por um fabricante. 

(a) Identifique sobre o gráfico o valor de x para o qual o lucro 
é maximizado. 

(b) Esboce o gráfico da função lucro. 

(c) Esboce o gráfico da função lucro marginal. 

>'f 

| v - R{x) 

I v = C(x) 


0l x 


Para cada função custo (dada em dólares), encontre (a) o 
custo, o custo médio e o custo marginal a um nível de produção de 
1 .000 unidades; (b) o nível de produção que vai minimizar o custo 
médio; e (e) o custo médio mínimo. 


5. C{x) - 40.000 + 300a + :v 2 

6. C(.v) = 25.000 + 120a + 0,1a 2 
?. C(a) = 16.000 + 200a + 4.P- 

!1 8. C(.r) = 10.000 + 340a - 0.3a 4 ' + 0.000 IP 


4 6 


400 \ 

j 

200 | / 






James Stswa rt CAPITUtO 4 A P L ! C A CÔES DA D ! r E R t 




S§ 9-10 Uma função custo é dada. 
s® ' , .. . 

(a) Encontre as funções custo medio e custo marginai. 

(b) Use os gráficos das funções na parte (a) para estimar o nível de 
produção que minimize o custo médio. 

(c) Use o cálculo para encontrar o custo médio mínimo. 

(d) Encontre o valor mínimo do custo marginai. 

9. C(x) - 3.700 + 5* - 0,04* 2 + 0JD003* J 

10. CU) = 339 + 25* — 0,09* 2 + 0 .0004. r ' 

11 -M : Para as funções custo e demanda dadas, encontre o nível 

de produção que maximizará o lucro. 

11. C(x) 680 + 4* t 0,01*'. p(x) = 12 

12. C(*) — 680 + 4* + 0,0 1* 2 , p(x) = 12 - x/500 

13. C(x) = 1.450 + 36* x' 2 + 0.001* 3 , /?(*) — 60 — 0,01* 

14. C(x) - 16.000 + 500* - 1 ,6x‘- + OiXMx 1 , 

p(x) = 1.700 - 7* 

15-16 " Encontre o nível de produção no qual a função custo 

marginal começa a crescer. 

15. CU) = 0,00 1* 3 - 0-3* 2 + 6* + 900 

16. CU) ” 0,0002* 3 0,25* 2 + 4* + 1.500 

|| 17. O custo, em dólares, da produção de * jardas de um certo 
tecido é CU) “ 1 .200 + 12* ~ 0,1* 2 + 0,0005* 5 e a _ 
companhia descobre que se vender as * jardas ela poderá 
cobrar p{x) “ 29 — 0.00021* dólares por jarda do tecido. 

(a) Faça o gráfico das’funções custo e rendimento e use-os 
para estimar o nível de produção para o lucro máximo. 

(b) Use o cálculo para encontrar o nível de produção para o 
lucro máximo. 

18. Um fabricante de aviões quer determinar o melhor preço de 
venda para um novo produto. A companhia estima que o custo 
inicial de planejamento do avião e montagem das fábricas nas 
quais ele será produzido será de 500 milhões de dólares. O 
custo adicional de fabricação de cada avião pode ser modelado 
pela função rn{x) ~ 20* ~ 5*’" 4 + 0,0 Lr, onde * é o número de 
aparelhos produzidos e m, o custo de fabricação em milhões 
de dólares. A companhia estima que se cobrar um preço p era 
milhões de dólares para cada avião, ela será capaz 

de vender x{p) ~ 320 - 7,7p aviões. 

(a) Encontre as funções custo, demanda e rendimento. 

§1 (b) Encontre o nível de produção e o preço de venda associado 
do avião que maximiza o lucro. 

19. Um time de beisebol joga em um estádio com uma capacidade 
para 55 mil espectadores. Cobrando $ 10 a entrada, a 
freqüência média era de 27 mil espectadores. Quando o 
preço das entradas foi reduzido para $ 8, a frequência média 
subiu para 33 mil. 


(a) Encontre a função de demanda supondo que ela é linear. 

(b) Qual deve ser o preço da entrada para maximizar o rendimento? 

20. Durante os meses de verão Ana faz e vende colares na praia. 
No último verão ela vendeu colares a $ 10 cada, e sua venda 
média loi de 20 colares por dia. Quando subiu o preço em $ 1. 
Ana passou a perder duas vendas por dia. 

(a) Encontre a função demanda, supondo que ela é linear. 

(b) Se o material para cada colar custa $ 6, qual deve ser o 
preço de venda para maximizar õ lucro? 

21. Um fabricante vende 1 .000 aparelhos de televisão por semana, 
a $ 450 cada. Uma pesquisa de mercado indica que para cada 
abatimento de $ 10 oferecido ao comprador, o número de 
aparelhos vendidos aumenta em 100 por semana. 

(a) Encontre a função demanda. 

(b) Qual deve ser o abatimento oferecido a fim de maximizar 
o rendimento? 

(c) Se a função custo semanal for de C(x) ~ 68.000 + 150*. 
como deve ser estabelecido o montante do abatimento a 
fim de maximizar o lucro? 

22 . Um administrador de um complexo de 100 apartamentos sabe 
por experiência que todas as unidades serão ocupadas se ele 
cobrar $ 800 por mês. Uma pesquisa de mercado sugere que, 
em média, uma unidade adicional ficará desocupada para cada 
aumento de $ 10 no aluguel. Que aluguel deve cobrar o 
administrador para maximizar o rendimento? 

23 . Gerentes de lojas querem tinta política de estoque ótima. 
Excesso de estoque resulta em armazenagem excessiva e 
custos de estoque, enquanto que um estoque pequeno significa 
adicionar custo à reorganização e entrega. Um gerente de um 
supermercado estima que um total de 800 pacotes de sopa 
serão vendidos a uma taxa constante durante o próximo ano e 
o custo de estoque será de $ 4 para armazenar um pacote por 
ano. Se o gerente fizer vários pedidos por ano, cada um 
consistindo de * pacotes, então ele terá uma média de 1/2* 
pacotes em estoque no ano e assim os custos de armazenagem 
para o ano são (1/2*) . 4 — 2* dólares. Ele também estima que 
o custo de manuseio para cada entrega é de $100.00. Qual é a 
quantidade ótima a ser feita em cada pedido de tal forma a 
minimizar o custo total? 

24 . Suponha que uma pessoa tem urna quantidade A de dinheiro 
depositada todo mês em sua poupança, que rende juros a uma 
taxa mensal R. Assuma que ela gaste o dinheiro todo ao 
longo do mês a unta taxa constante. Quando ela retira dinheiro 
da poupança, ela tem um custo de transação T (uma 
combinação de taxas bancárias e custo de seu tempo). Ela 
nunca economiza dinheiro fazendo poucas retiradas, mas, 
quanto mais dinheiro ela deixa na conta mais juros ela ganha. 
Suponha que ela faça n retiradas de uma mesma quantia 
durante o mês. Então seu saldo médio é A/(2n). (Por quê?) 
Ache o valor de n que minimiza o custo total (custo da 
transação bancária e juros perdidos), e então mostre que o 
saldo médio ótimo será de AT/(2R). 




0.15 


0 


— * 0.012 


- 0,05 
FIGURA 1 


Tentamos resolver a Equação 1 
usando o Método Numérico de encon- 
trar raízes de sua calculadora ou com- 
putador. Algumas máquinas não são 
capazes de resolvê-la. Outras têm 
sucesso, mas requerem que você 
especifique um ponto inicial para a 
pesquisa. 




/ 


V ~f(x) / / j 
/ i L I 


O A', X 


FIGURA 2 


/ 




G' : .,/U0) // | 

A\i I 


|/A 3 !x 2 X t X 


Suponha que um vendedor de carro ponha um carro à venda por $ 18.000. ou em pagamen- 
tos de $ 375 por mês durante cinco anos. Você gostaria de saber qual a taxa de juros mensal 
que o vendedor de tato está obrando. Para encontrar a resposta você deve resolver a equação 

48.x ( 1 + xf - ( 1 + x) 60 +1=0 

(Os detalhes são fornecidos no Exercício 41 .) Como você resolveria essa equação? 

Para uma equação quadrática ax" + bx + c = 0 existe uma fórmula bem conhecida para as 
raízes. Para as equações de terceiro e quarto grau também existem fórmulas para as raízes, mas 
elas são extremamente complicadas. Se f for um polinómio de grau 5 ou maior, não existe 
nenhuma fórmula (veja nota na página 230). Da mesma forma, não existe uma fórmula que nos 
possibilite encontrar as raízes exatas de uma equação transcendental como cos x — x. 

Podemos encontrar uma solução aproximada para a Equação 1 desenhando o lado 
esquerdo da equação. Usando um recurso computacional, e após experimentar com janela 
de inspeção, obtemos o gráfico na Figura 1 . 

Vemos que, além da solução x = 0 (que não nos interessa), existe uma solução entre 
0,007 e 0,008. Dando um zoom obtemos que a raiz é aproximadamente 0,0076. Se preci- 
sarmos de maior precisão, poderemos dar repetidos zooms, mas isso se toma entediante. 
Uma alternativa mais rápida é usar uni método numérico de encontrar raízes em uma cal- 
culadora ou um CAS. Se fizermos isso, encontraremos que a raiz correta, até a nona casa 
decimal, é 0,007628603. 

Como f uncionam esses métodos numéricos de encontrar raízes? É usada uma variedade 
de métodos, mas a maior parte das calculadoras ou CAS usa o método de Newton, tam- 
bém denominado método de Newton— Raphson. Vamos explicar agora como funciona 
esse método, parcialmente para mostrar o que acontece dentro de uma calculadora ou com- 
putador, e parcialmente como uma aplicação da idéia de aproximação linear. 

A geometria por trás do método de Newton está mostrada na Figura 2, onde a raiz que 
tentamos encontrar é chamada r. Começamos com uma primeira aproximação x t , que é 
obtida por conjectura, ou de um esboço do gráfico de /, ou de um gráfico gerado no com- 
putador de/. Considere a reta tangente L à curva y ~ f(x) no ponto (xi,/(xj)). Olhando 
o intercepto x de L , vamos denominá-lo x 2 . A idéia por trás do método de Newton é que a 
reta tangente fica próxima da curva; assim, o intercepto x, x 2 , está próximo do intercepto 
x da curva (isto é, a raiz r que estamos procurando). Como a tangente é uma reta, podemos 
facilmente encontrar seu intercepto x. 

Para encontrar uma fórmula para x 2 em termos de Xj usamos o fato de que a inclinação 
de L é f'(x j); assim, sua equação é 

y ~ /(xt) =/'(xi)(x - xj) 

Uma vez que o intercepto x de L é x 2> fazemos y = 0 e obtemos 


0 “/(*)) = /'(* l)t*2 “ 
Se f’(x i) # 0, podemos resolver essa equação para x 2 : 

f{x i) 


Xl) 


X? 


X| - 


fUi) 


Usamos x 2 como a segunda aproximação de r. 

A seguir repetimos o procedimento com x 3 substituído por x 2 , usando a reta tangente 
em (x 2 ,/(x 2 )). Isso dá urna terceira aproximação: 

f(x 2 ) 


x 3 


Xi — 


f'(*2 




"M. 


■ •. 


 


FIGURA 3 


343 



James Stewart CAPÍTULO 4 APWCAÇÕES DA DIFERENCIAÇÃO 


:: Veremos mais sobre seqüências na 
Seção 11.1 dc Volume li. 


Se ficarmos repetindo esse processo.. obteremos uma sequência de aproximações 
x\,xj, . . . conforme mostra a Figura 3. Em geral, se x„ for a u-ésima aproximação 

e x n e f’(Xn) ^ 0, então a aproximação seguinte é dada por 

f(x„) 


0 _ 

JC, 

FIGURA 4 



A Figura 5 mostra a geometria atrás 
do primeiro passo do Método de 
Newton para o Exemplo 1 . Como 
/'( 2) = 10, a reta tangente a 
y = x 5 - 2x - 5 em (2, -1) tem 
equação igual a > ! = 10 a - 21 cujo zero 
está em x 2 = 2,1 . 


Se os números x„ ficam cada vez mais próximos de r à medida que n cresce, dizemos 
que a seqüêneia converge para r e escrevemos 

lim x n — r 

Embora a sequência de aproximações sucessivas convirja para a raiz desejada no caso das 
funções do tipo ilustrado na Figura 3. em certas circunstâncias a seqüêneia pode não con- 
vergir. Por exemplo, considere a situação mostrada na Figura 4. Você pode ver que x 2 é 
uma aproximação pior que X\. Esse é provavelmente o caso quando f{x t ) está próximo de 
0. Pode até acontecer de uma aproximação (tai como x 3 na Figura 4) cair fora do domínio 

Veja os Exercícios 31-34 para os exemplos específicos nos quais o método de 
Newton funciona muito lentamente ou não funciona. 


EXEMPLO 1 □ Começando com jci — 2, encontre a terceira aproximação * 3 para a raiz 
da equação x 3 - 2x ~ 5 = 0. 

SOLUÇÃO Vamos aplicar o método de Newton com 

f(x) = A 3 - 2x - 5 e f'(x) = 3x 2 - 2 

O próprio Newton usou essa equação para ilustrar seu método, e escolheu x\ = 2 após 
alguns experimentos, pois /( 1) — — 6, /( 2) = ~ 1 e /(3) — 16. A Equação 2 fica 

x 3 — 2x n — 5 

X/t-r 1 Xn 2 ~~ o 

3x„ ~ 2 


Com n — 1 , temos 


x 2 — Xi 


= 2 - 


x 3 ] — 2x\ — 5 
3x] - 2 
2 3 - 2(2) - 5 
3(2) 2 - 2 


2.1 


Então com n — 2, obtemos 



X'2 


2Xn - 5 


x 3 = Xt - 

- 2,1 


3*2 - 2 

( 2 , 1) 3 - 2 ( 2 , 1 ) 


2.0946 


3(2 ,1) 2 - 2 

Resulta que essa terceira aproximação *3 ~ 2,0946 é precisa até quatro casas decimais. 


Suponha que iremos obter uma dada precisão, digamos de oito casas decimais, empre- 
gando o método de Newton. Como saber quando devemos parar? O procedimento expe- 
rimental geralmente usado é que devemos parar quando duas aproximações sucessivas x n 
e x n+i são iguais até a oitava casa decimal. (Um enunciado preciso a respeito da exatidão 
do método de Newton será dado no Exercício 11.12.) 

Observe que o procedimento para ir de n para n + 1 é o mesmo para todos os valores 
de n. (Isso é chamado um processo iterativo.) Isso significa que o método de Newton é par- 
ticularmente adequado ao uso de calculadoras programáveis ou de um computador. 



360 


Editora Thomson 


CÁLCULO 



FiGURA 6 


EXEMPLO 2 ::: Use o método de Newton para encontrar y 2 correta até a oitava casa 
decimal . 

SOLUÇÃO Observamos primeiro que encontrar y 2 equivale a determinar a raiz positiva 
da equação 

a* - 2 = 0 

dessa forma, tomamos f(x) = .O - 2. Então f'(x) = 6x\ e a Fórmula 2 (método de 
Newton) fica 

A „ - 2 
a„. h *=x a ----- 

6.V ,, 

Se escolhermos x\ = 1 como a aproximação inicial, então obtemos 

.Ví ~ 1,16666667 
xt, «= 1.1 2644368 
x» = 1.12249707 
a'í « 1,12246205 
X(, - 1.12246205 

Uma vez que a 5 e j f) são iguais até a oitava casa decimal, concluímos 

v' 2 « U 2246205 

até a oitava casa decimal, 

EXEMPLO 3 : Encontre a raiz da equação cos x = .v, correta até a sexta casa decimal. 
SOLUÇÃO Primeiro reescrevemos a equação na fórmula-padrão: 

cos x — x = 0 

Portanto, fazemos f(x) — cos x - x. Então f'( x) — — sen x — 1 , e assim a Fórmula 2 fica 

v — COS X n - X„ __ ^ COS A',, - A-, 

- sen x n - 1 " " sen x» + 1 

A fim de determinar um valor adequado para x { esboçamos o gráfico de v — cos x e v = x 
na Figura 6. E evidente que elas se interceptam em um ponto cuja coordenada a é um 
pouco menor que 1 ; dessa forma, vamos tomar ai = 1 como uma primeira aproximação 
conveniente. Então, lembrando de colocar nossa calculadora no modo radiano, obtemos 

a-2 « 0,75036387 
a 3 ** 0,7391 1289 
a-4 = 0,73908513 
x s ~ 0,73908513 

Como x A e a 5 são iguais até a sexta casa decimal (na realidade, oitava), concluímos que 
a raiz da equação, correta até a sexta casa decimal, é 0,739085. 


Em vez de usar o esboço da Figura 6 para obter a aproximação inicial para o método 
de Newton no Exemplo 3, poderíamos ter usado um gráfico mais apurado fornecido por cal- 
culadora ou computador. A Figura 7 sugere o uso de x } -0,75 como a aproximação inicial. 


James Stewart 


CAPITULO 4 



; 



FIGURA 7 


Então o método de Newton dá 


a-, *= 0.7393 11 14 
a % = 0.739085.13 
,v 4 - 0.73908513 


e assim obtemos a mesma resposta anterior, mas com um número menor de passagens. 

Você deve estar se perguntando por que estamos preocupados se o método de Newton 
está disponível como recurso computacional. Não é mais fácil dar repetidos zooms para 
encontrar as raízes como fizemos na Seção 1 .4? Se somente for pedida urna precisão de 
uma ou duas casas decimais, então realmente o método de Newton é inadequado, e basta 
um recurso computacional. Mas se forem exigidas seis ou oito casas decimais, então 
repetidos zooms tornam-se entediantes. Em geral é mais rápido usar o recurso computa- 
cional para começar e o método de Newton para acabar. 



Exercícios 




1. A figura mostra o gráfico da função f. Suponha que seja usado 
o método de Newton para aproximar a raiz r da equação /(a) = 
0 com x j = 1 como aproximação inicial. 

(a) Trace as retas tangentes que foram usadas para encontrar x 2 
e a 3 e estime os valores numéricos dc *2 e -U- 

(b) Uma melhor aproximação seria x, — 5? Explique. 


Ti" 



2. Siga as instruções do Exercício 1 (a), mas use Xi =■ 9 como a 
aproximação inicial para encontrar a raiz s. 

3. Suponha que a reta y = 5x - 4 é tangente à curva y ~ f(x) 
quando x — 3. .Se for usado o método de Newton para localizar 
uma raiz da equação f(x) = 0 com a aproximação inicial x { ■- 3. 
encontre a segunda aproximação x 2 . 

4. Para cada aproximação inicial, detennine graficamente o que 
acontecerá se for usado o método de Newton para a função 
cujo gráfico é dado. 

(a) .ti =* 0 (b) A] = 1 (c) Ai — 3 

(d) X[ 4 (e) A] = 5 


VA 



y-N / 

/ \ / 

f \ ! 

\ / 

\ J j 

0 

» V * 5 / 


S Use 0 método de Newton com o valor inicial especificado 
Ai para encontrar *3, a terceira aproximação da raiz da equação dada. 
(Dê sua resposta com quatro casas decimais.) 

5. a’ + 2x - 4 = 0, A| = 1 6. a 3 -- a 2 - 1 = 0, A, - 1 

7. A 4 -- 20 = 0. A. « 2 8. X' + 2 = 0. x, = -! 


9. Use o método de Newton com a aproximação inicial Xj = -1 para 
achar x 2 , a segunda aproximação da raiz da equação x' + x + 3 = 0. 
Faça o gráfico da função e da reta tangente ao ponto (-1,1). Usando 
este gráfico explique como o método funciona neste caso. 

!§ 10, Use o método de Newton com a aproximação inicial x, = lpara 
achar x 2 , a segunda aproximação da raiz da equação X 1 - x - 1 - 0. 
Faça o gráfico da função e da reta tangente ao ponto (1 . — 1). Usando 
este gráfico explique como o método funciona neste caso. 

11-1 2 Use o método de Newton para aproximar o número dado 

coneto até a oitava casa decimal. 

11. v 30 12. v U)00 


■;:M6 Use o método de Newton para aproximar a raiz indicada 
da equação correta até a sexta casa decimal. 

13. A raiz de 2x 3 - 6 a 2 -f 3x + 1 — 0 no intervalo {2. 3] 

14. A raiz de a 4 -f- x — 4 ™ 0 no intervalo f 1 , 2] 

15. A raiz positiva de sen x ~ x 2 

16. A raiz positiva de 2 cos x = x 1 


Use o método de Newton para encontrar todas as raízes d;< 


equação corretas até a sexta casa decimal. 


17. X* — 1 + X 
19. tg lv = 1 - x 
21. COS A = s/Ã 


18. e' = 3 - 2a 
20. y/x + 3 - a 2 
22. tgx~ xil- x 2 


Use o método de Newton para encontrar todas as raízes d< 
equação corretas até a oitava casa decimal. Comece fazendo urn 
gráfico para encontrar a aproximação inicial. 





25. x 1 ']2- x -~7 - 1 

26. 3 sen (x 2 ) = 2x 

27. é' % * — x* — x 28. ln(4 ~ a -2 ) — x 

29. (a) Aplique o método de Newton à equação x 2 - a — 0 para 
deduzir o seguinte algoritmo para a raiz quadrada (usado 
pelos antigos babilônios para computar y'«): 



(b) Use a parte (a) para computar v LÕÕÕ correta até a sexta 
casa decimal. 

30. (a) Aplique o método de Newton à equação 1/a — a = 0 para 

deduzir o seguinte algoritmo para os recíprocos: 

a,,-h — 2x„ — axi 

(Esse algoritmo possibilita a um computador achar os 
recíprocos sem realmente dividir.) 

(b) Use a parte (a) para computar 1/1 ,6984 correta até a sexta 
casa decimal. 

31. Explique por que o método de Newton não funciona para 
encontrar as raízes da equação x i — 3a + 6 ~ 0 se o valor 
inicial escolhido for ,Vj ™ 1 . 

32. (a) Use o método de Newton com a, — ] para encontrar a raiz 

da equação a 3 — x ~ 1 correta até a sexta casa decimai. 

(b) Resolva a equação da parte (a) usando como a aproximação 
inicial Ai ~ 0,6. 

(c) Resolva a equação da parte (a) utilizando a 3 = 057. (Você 
definitivamente precisa de uma calculadora programável 
para esta parte.) 

(d) Faça o gráfico de f(x) = a 3 - x — ! e suas retas tangentes 
em A] = 1 , 0,6; e 057 para explicar por que o método de 
Newton é tão sensível ao valor da aproximação inicial. 

33. Explique por que o método de Newton falha quando aplicado 
à equação s/x = 0 com qualquer valor inicial x 3 ¥* (). Ilustre 
sua explicação com um esboço. 

34. Se 

fíx) = 

então a raiz da equação f(x) — 0 é x = 0. Explique por que o 
método de Newton falha para encontrar a raiz não importando 
que aproximação inicial x, 4()é usada, ilustre sua explicação 
com um esboço. 

35. (a) Use o método de Newton para encontrar os números 

críticos da função f(x) = 3x 4 — 28 a 3 + 6x 2 + 24x 
corretos até a terceira casa decimal. 

(b) Encontre o valor mínimo absoluto da função 

/(a) = 3x’ - 28x' + 6 a 2 + 24a — I «S x =£ 7 

coixeto até duas casas decimais. 


36. Use o método de Newton para encontrar o valor mínimo absoluto 
da função /(a) = .r -f sen x correto até a quarta casa decimal. 

37. Use o método de Newton para encontrar as coordenadas do 
ponto de inflexão da curva y = e cosjr , 0 x «£ tt, corretas até a 
sexta casa decimal. 

38. Dentre as infinitas retas tangentes à turva y = - sen x que 
passam pela origem existe uma que tem a maior inclinação. 

Use o método de Newton para encontrar a inclinação daquela 
reta correta até a sexta casa decimal. 

39. Um silo de grãos consiste em um cilindro com 30 pés de altura e 
telhado hemisférico. A fim de obter um volume total de 1 5 .000 pés 5 
(inclusive a parte hemisférica), qual deveria ser o raio do silo? 

40. Na figura, o comprimento da corda AB é 4 cra, e o comprimento^ 
do arco AB é 5 cm. Encontre o ângulo central 0 , em radianos, 
correto até a quarta casa decimal. Dê então a resposta até o 
grau mais próximo. 

5 cm 

A 4 cm __ B 

''‘X y* 

\e 


4Tr Um vendedor vende um carro novo por $ 1 8.000. Ele também 
oferece para vender o mesmo carro em pagamentos de $ 375 
por mês durante 5 anos. Qual a taxa de juro mensal cobrada 
pelo vendedor? 

Para resolver esse problema você necessitará da fórmula 
para o valor presente A de uma anuidade que consiste em n 
pagamentos iguais de tamanho R com uma taxa de juros i por 
período de tempo: 

A=~[] ~ (1 +i)- B 1 

l 

Substituindo i por x, mostre que 

48x(í + x) 60 - (1 + x} 60 +1=0 
Use o método de Newton para resolver essa equação. 

42. A figura mostra o Sol na origem e a Terra no ponto ( 1 . 0). (A 
unidade aqui é a distância entre o centro da Terra e o Sol, 
chamada unidade astronômica: 1 AU ~ 1,496 X 10 s km.) As 
cinco localizações L j , L 2 , fo, Lu e L s nesse plano de rotação 
da ferra em tomo do Sol onde um satélite permanece imóvel 
em relação à Terra em razão das forças que agem no satélite 
(inclusive a atração gravitacional da Terra e do Sol) se contra* 
balançam. Essas localizações são denominadas pontos de 
libração. (Ura satélite de pesquisa solar foi colocado em um 
desses pontos.) Se for a massa do Sol, m 2 for a massa da 
Ferra e r ~ w 2 /(m f + m 2 ), resulta que a coordenada x de Li é 


y'x se x 2* 0 
--- y ~“X se x < 0 



James Stewart CAPITULO 4 APiJCACOES DA DíFEi Rc NCiAÇAO II 35 


a única raiz da equação de quinto grau 

p{x) — x 5 — (2 + r) x* + li + 2r)x > — (1 - r)x 2 
+ 2(1 — r)x -r r — 1 0 

e a coordenada de L? é a raiz da equação 
p(x) — 2 rx 2 — 0 

Usando o valor r ~ 3,04042 X 1CT 6 , encontre a localização 
dos pontos de líbração (a) L t e (b) L 2 . 


^ 

L, L, x 



An ti derivadas 

Um físico que conhece a velocidade de uma partícula pode desejar saber sua posição en 
um dado instante. Um engenheiro que pode medir a taxa de variação segundo a qual a águ; 
está escoando de um tanque quer saber a quantidade escoada durante um certo período 
Um biólogo que conhece a taxa segundo a qual uma população de bactérias está creseendt 
pode querer deduzir qual o tamanho da população em um certo momento do futuro. En 
cada caso, o problema é encontrar uma função F cuja derivada é uma função conhecida j 
Se a função F existir, ela é chamada antiderivada de f. 



- v = f + 3 


v= 2+2 


Definição Uma função F é denominada uma antiderivada de / sobre um 
intervalo / se F’(x) — f(x) para todo x em /. 


Por exemplo, seja f(x) — x 2 . Não é difícil descobrir uma antiderivada de f se man 
tivermos a Regra da Potência em mente. De fato, se F(x) ~ !* 3 , então F'(x) — x" ~ j (x 
Mas a função G(x ) ~ |jc 3 + 100 também satisfaz G’(x) — x 2 . Consequentemente, F e ( 
são antiderivadas de /. Na verdade, qualquer função da forma H(x) ~ + C, onde ( 

é uma constante, é uma antiderivada de /. A questão que se levanta é: há outras? 

Para responder a essa questão, lembre-se de que na Seção 4.2 usamos o Teorema d 
Valor Médio para provar que se duas funções têm derivadas idênticas em um intervale 
então elas devem ser diferentes por uma constante (Corolário 4.2.7). Assim, se F e G sã 
duas antiderivadas quaisquer de /, então 

F%x) - /Cr) - G’{x) 

logo G(x) — F(x) — C, onde C é uma constante. Podemos escrever isso com 
G(a) — F(x) + C. Temos então o seguinte resultado. 


pi] Teorema Se F for uma antiderivada de / em um intervalo /, então a 
antiderivada mais geral de / em / é 


F(x) + C 


onde C é uma constante arbitrária. 


FIGURA 1 

Membros da família 
de antiderivadas de f(x ) = .r 2 


Voltando à função f{x) — x % vemos que a antiderivada geral de / é x /3 + C 
Atribuindo os valores específicos para a constante C obtemos uma família de íunçõe 
cujos gráficos são verticais transladados de outro (veja a Figura 1). 






354 CÁLCULO Editora Thomson 


Para obter a antiderívada mais gerai 
(em um intervafo) daquefas da Tabela 2, 
devemos adicionar uma constante (ou 
constantes), como no Exemplo 1 . 


EXEMPLO í - Encontre uma antiderivada mais geral de cada uma das seguintes funções, 
(a) /í-v) sen a; (b) fix) ----- \/x ' -(c) f{x) = x' ! , n r -1 


SOLUÇÃO 

(a) Se Fix) — -cos x, então F"(x) — sen x. logo uma antiderivada de sen x é “cos.v. 
Pelo Teorema 1 , a antiderivada mais geral é G(x) = --cos x + C. 

(b) Lembre-se da Seção 3.8 que 


— (In x) — — 
dx .v 


Logo. em um intervalo (0. oc ), a antiderivada gerai de l/x é ln x + C. Também sabemos 
que 

d , . ,. 1 

« — (ln ..v | ) = — 

dx x 


para todo x ^ 0. O Teorema I então nos diz que a antiderivada gera! de f(x) = l/x é 
ln jx | + C em qualquer intervalo que não contém 0. Em particular, isso é verdadeiro em 
cada um dos intervalos (-<*, 0) e (0, »). Logo a antiderivada geral de / é 


ln x + Ci 


se x > 0 


Jn( — x) + Ci se x < 0 


(c) Usamos a Regra da Potência para descobrir uma antiderivada de De fato, se 
n — 1, então 


(n + l)x 


Assim, a antiderivada geral de f(x) — x" é 


Isso é válido para todo n S 0, uma vez que f(x) ~ x n está definida em um intervalo. Se 
n for negativo (mas n ^ — 1), é válido em qualquer intervalo que não contenha 0. 

Como no Exemplo 1, toda fórmula de diferenciação, quando lida da direita para a 
esquerda, dá origem a uma fórmula de antidiferenciação. Na Tabela 2 listamos algumas 
antiderivadas particulares. Cada fórmula na tabela é verdadeira, pois a derivada da função 
na coluna direita aparece na coluna esquerda. Em particular, a primeira fórmula diz que a 
antiderivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a antiderivada da 
função. A segunda fórmula estabelece que a antiderivada de uma soma é a soma das anti- 
derivadas. (Usamos a notação F' — f, G' - g.) 



James Stswa rí CAPÍTULO 4 APLICAÇÕES DA DiFEBENCÍACAO 


□ A Figura 2 mostra os gráficos da 
solução da função /' do Exemplo 3 e 
de sua antiderivada /. Note que 
f(x) > 0, logo f é sempre crescente. 
Note também que quando /' tem um 
máximo ou mínimo, / aparenta ter um 
ponto de Inflexão. Logo o gráfico serve 
como verificação de nossos cálculos. 


EXEMPLO 2 :: Encontre todas as funções de g tal que 

o «A _ , ÍZ 
i . . * — ^ \ x 

q í A') = 4 sen x + 

..v 

SOLUÇÃO Queremos achar uma antiderivada de 

, 2.U \Lx 4 1 

g (,v) = 4 sen x + = 4 sen x + 2x — 

X X xjx 

Assim, queremos descobrir a antiderivada de 

g'(x) - 4 sen x + 2x 4 - x ]: ~ 

Usando a fórmula da Tabela 2 junto com o Teorema 1 obtemos 

5 i/2 

X X 

q (x ) = 4(-cos -V } ~ 2 — + C 

5 * 

= ~ 4 cos x + 4 x f - 2\fx + C 

Nas aplicações do cálculo é muito comum situações como a do Exemplo 2, em que é 
requerido achar uma função sendo fornecidos os dados sobre suas derivadas. Uma equação 
que envolva as derivadas de uma função é chamada equação diferencial. As equações 
diferenciais serão estudadas com algum detalhe no Capítulo 9. mas no momento podemos 
resolver algumas equações diferenciais elementares. A solução geral de uma equação 
diferencial envolve uma constante arbitrária (ou constantes), como no Exemplo 2. 
Contudo, podem ser dadas as condições extras que vão determinar as constantes e assim 
especificar univocamente a solução. 

EXEMPLO 3 r: Encontre /se /'(*) = e x + 20(1 + x 2 )~ l e f( 0) = ~2. 


SOLUÇÃO A antiderivada geral de 


/'(*) = 


f( x) = e x + 20 tgõr + C 


Para determinar C usamos o fato de que /(O) — -2: 


Assim, temos C 


/(()) = ê + 20 tg” 1 0 + C = -2 
- — 3; logo. a solução particular é 
f(x) — e x + 20 tg õr - 3 


IGURA 2 


EXEMPLO 4 a Encontre / se /"(a) — I2x* + 6x -■ 4,/(0) — 4 e / ( 1 ) — 1. 
SOLUÇÃO A antiderivada geral de/"(.r) --- 1 2x + 6x — 4é 

f'(x) =12~+6~-4x+C = 4.x 3 + 3x 2 - 4a + C 


Usando as regras de antkliierenciação mais uma vez, encontramos que 


x x 

— 4 — + 3 — 
4 3 


4— 4- Ca + D — a 4 + a 3 - 2a 2 + Ca + D 
2 


Para determinar C e D usamos as condições dadas que /(0) — 4 e /(!) T 1 visto que 
/(O) = 0 + D = 4, temos D = 4. Uma vez que 


/( 1) =l+l-2+C+4=l 







CÁLCULO £ ditara ifcoinsoB 


v =/(a) 


y = F(x) 


temos C = —3. Consequentemente, a função requerida é 

f(x) — a" 4 + A' 3 - 2x Á — 3a *t 


A Geometria das Antiderivadas 


Se for dado o gráfico de uma função /, parece razoável que possamos ser capazes de 
esboçar o gráfico de uma antiderivada F. Suponha, por exemplo, que estamos dando 
F(0) — 1 . Então temos um ponto de partida (0, 1), e a direção segundo a qual movemos 
nosso lápis é dada em cada estágio pela derivada F'(x) — /(a). No próximo exemplo 
usamos o princípio deste capítulo para mostrar como fazer o gráfico de F mesmo quando 
não temos uma fórmula para /. Esse é o caso, por exemplo, quando f(x) é determinada por 
dados experimentais. 


EXEfyiPLO 5 O gráfico de uma função / é dado na Figura 3. Fazemos um esboço de 
uma antiderivada F, dado que F(0) — 2. 


SOLUÇÃO Estamos orientados pelo fato de que a inclinação de y — F(x) é /(a). Vamos 
começar no ponto (0, 2) e traçamos F como uma função inicialmente decrescente, uma 
vez que f(x) é negativa quando 0 < x < 1 . Note que /(]) = /( 3) — 0, logo F tem 
tangentes horizontais quando x — 1 e x — 3. Para 1 < x < 3, f(x) é positiva e F é 
crescente. Vemos que F tem mínimo local quando x — 1 e máximo local quando x = 3. 
Para x > 3, /(a) é negativa e F é decrescente em (3, «). Uma vez que f(x) — » 0 quando 
x o gráfico de F torna-se mais achatado quando a — > Note também que 
F”{ x) — f’{ a) muda de positivo para negativo em x ~ 2 e de negativo para positivo em 
a ~ 4, logo F tem pontos de inflexão quando x ~ 2 e x — 4. Usamos essa informação 
para esboçar o gráfico para a antiderivada na Figura 4. 


EXEMPLO 6 p Se /(a) - yí + a 3 
a condição inicial F(— 1) — 0. 


a, esboce o gráfico da antiderivada F que satisfaz 


SOLUÇÃO Podemos pensar durante um dia em uma fórmula para uma antiderivada de / sem 
contudo lograr êxito. Uma segunda possibilidade poderia ser traçar o gráfico de / primeiro e 
então usá-lo para fazer o gráfico de F, como no Exemplo 5. Poderia funcionar, mas em vez 
disso vamos criar um gráfico mais preciso, usando o que chamamos campo de direção. 

Uma vez que /(O) = 1, o gráfico de F tem inclinação 1 quando x — 0. Logo, 
traçaremos vários segmentos curtos da tangente com inclinação 1 , todos centrados em 
x — 0. Fazemos o mesmo para vários outros valores de a, e o resultado está mostrado na 
Figura 5. O nome campo de direção vem do fato de que cada segmento indica a direção 
na qual a curva y — F(x) segue naquele ponto. 



- // y 

;/•; 1 ", 

-i / . j 


FIGURA 5 


FIGURA 6 


O campo de direção para 


V 1 + x 3 


O gráfico de uma antiderivada segue 


A inclinação do segmento de reta acima de x = a éf{a) o campo de direção 



James Slewart 


35" 




CAPÍTULO 4 APLICAÇÕES DA Qii 


AÇÃC 


Agora usamos o campo de direção para esboçar o gráfico de P. Devido à condição 
inicial F{ — 1 ) — 0, começamos no ponto ( — 1 , 0) e traçamos o gráfico para que ele siga a 
direção dos segmentos tangentes. O resultado está desenhado na Figura 6. Qualquer 
outra antiderivada seria obtida deslocando-se o gráfico de F para cima ou para baixo. 


q, 5 „„ ; Movimento Retilíneo 

Antidiferenciação é particularmeníe útil na análise do movimento de um objeto que s< 
move em uma reta. Lembre-se de que se o objeto tem função posição v = /(/), então ; 
função velocidade é v(t) = s '((). Isso significa que a função posição é uma antiderivad 
da função velocidade. Da mesma maneira, a função aceleração é a{t) — v'(t); logo, 
função velocidade é uma antiderivada da aceleçjição. Se a aceleração e os valores iniciai 
s(0) e y(0) são conhecidos, então a função posição pode ser encontrada antidiferenciando 
se duas vezes. 


EXEMPLO "I Uma partícula move-se em uma reta e tem aceleração dada por 
«(/) — 6t + 4. Sua velocidade inicial é v(0) = ~~ 6 cm/s, e seu deslocamento inicial é 
5(0) = 9 cm. Encontre sua função posição riá). 

SOLUÇÃO Como v'(t) — a(t ) — 6t + 4, a antidiferenciação dá 

t 1 

v(t) ~ 6 — + 4í + C — 3t 2 + 4í + C 
2 

Note que a(0) — C. Mas temos a(0) = — 6, logo C — — 6 e 

v{j ) = 3 1 1 + 4 f ~ 6 


Uma vez que v(i) — J* é a antiderivada de v : 

6t + D = t 3 + 2r 2 — 6t + D 


s(t) “ 3 J + 4“ 


Isso dá 5(0) = D. Temos 5(0) = 9, logo D = 9 e a função posição requerida é 

s(t) - C + 2r - 6t + 9 

Um objeto próximo da superfície da Terra está sujeito a uma força gravitacional qt 
produz uma aceleração para baixo denotada por g. Para um movimento próximo à Ten 
devemos pressupor que g é constante, sendo seu valor em tomo de 9,8 m/s" (ou 32 pés/s‘ 

EXEMPLO i Uma bola é arremessada para cima com uma velocidade de 48 pés/s da 
margem de um penhasco 432 pés acima do solo. Encontre sua altura acima do solo t 
segundos mais tarde. Quando ela atinge sua altura máxima? Quando atinge o solo? 

SOLUÇÃO O movimento é vertical, e escolhemos o sentido positivo para ser para cima. 
No instante t a distância acima do solo é s(t) e a velocidade v(t) está decrescendo. Por- 
tanto, a aceleração deve ser negativa, e temos 

dv 

a(í ) ~ — - == —32 
dt 


Fazendo antiderivada, temos 


v(t) - -32 / + C 



358 


CALCÜIO 


Eãiíora íhomson 


Para deiermmar C usamos a informação dada que t ! (0) ~ 48. Isso dá 48 0 4- C; Ibeo 

vii) = -32 / 4- 48 

A altura máxima é atingida quando v(t) = 0, isto é. depois de 1 ,5 s. Uma vez que 
v '(;> = r (?i, antidiferenciamos outra vez e obtemos 

ví/) = -16/ 2 4- 48/ + D 


A Figura 7 mostra a função posição 
da bola no Exemplo 8. O gráfico con- 
firma nossas conclusões. A boia atinge 
sua altura máxima após de 1,5 s e 
atinge o solo após 6,9 s. 

500 


0 



FIGURA 7 


Usando o fato de que ,v(ü) = 432, temos 432 0 4- D e então 

s(t) - - I6/ 2 -f 48/ 4- 432 

A expressão para .ví/) é válida até que a bola atinja o solo. Isso acontece quando sít) = 0, 
isto é, quando 

— 16/" 4" 48/ 4- 432 — 0 

ou. de maneira equivalente, t 2 — 3/ - 27 — 0 

Usando a fórmula quadrática para resolver essa equação obtemos 

_ 3 ± 3/13 
1 ~ 2 


Rejeitamos a solução com o sinal de menos, uma vez que ela fornece um valor negativo 
para /. Portanto, a bola atinge o solo após 3(1 + v 13 )/2 »6,9s. 



Exercícios 




1-18 U: Encontre a anti derivada mais geral da função. (Verifique 
sua resposta diferenciando.) 


1 . 

f(x) 

6.x ' - 8.í 4 3 

2 . 

fíx) 

— 4 4 a 2 — 5a 3 

3 . 

f(x) 

= 1 - a 3 + 5a s - 3.v 7 

4 . 

/(a) 

- A 20 + 4 A 10 + S 

5 . 

/(a) 

- 5a ■ - 7a- 4 

6 . 

f(x) -- 

= 2a + 3.v u 

7. 

m 

V 

i 

L* 

> 

ii 

8 . 

f(x> 

,>rr 

— V x i v x 



10 

10 . 


5 - 4a 3 + 2a 6 

9 . 

fU) 

A 

9(x): 

6 

11 . 

m 

2 o / _ 

li +xyi4 

12 . 

fíx) 

X 

— 3<? ’ + 7 seclv 



iF 



sen 0 

13 . 

m 

— cos Q - 5 sen 0 

14 . 

A(0) 







cos" ( 0) 

15 . 

f(x) 

— 2a 4- 5(1 — a 2 ) 1/2 

16 . 

/(a) 

a 2 + x 4- 1 

A 

17- 

18 D 

Encontre a antiderivada t 

' de / 

que s. 

atisfaça a condição 


dada. Verifique sua resposta comparando os gráficos de / e F. 

17. f(x) - 5x* ~ 2xf F( 0) 4 

18. f(x) «= 4 - 3(1 + x 2 y\ /•().) = 0 


19- 

-42 □ 

Encontre /. 



19 . 

f"(x) 

“ 6a 4- 12a 2 

20 . 

/"(a) = 2 + a 3 + A 6 

21 . 

/"(a) 

“ 1 + A 4/5 

22 . 

/ "(a) — COSA 

23 . 

/"'(/) 

— e’ 

24 . 

/"'(/) “ t ~ X t 

25 . 

f(x) 

— 1 — 6a, /(()) 

= 8 


26 . 

fíx) 

- 8a 3 4- 12a + 

3, /(O 6 


27 . 

fíx) 

- \/7 (6 + 5 a), /( 1) = 10 


28 . 

fíx) 

- 2a - 3/a\ a > 

0, 71 D 

3 

29 . 

f(Jf 

- 2 cos t +■ sec i , 

-n/2 < t < 

tt/2. /(tt/3) = 4 

30 . 

f’{ a) 

-3a 2 , /<1)~ 

/(— 1) = 0 


31 . 

fíx) 

= 2/a, a < 0, 

/(— 1) = 7 


32 . 

fíx) 

4/n i a-, / 

Ü) - i 


33 . 

/"(*) 

-24 a 2 + 2a + 10, 

/(l) =-5, 

/'(D=3 

34 . 

fíx) 

- 4 - 6 a ~ 40a 3 , 

/(O)— 2, 

/'(O) — i 

35 . 

/"(()): 

= sen 0 -f cos 8, 

/(())— 3, / 

/())— 4 

36. 

f(t) = 

= 3/ VÊ 7(4) = 

20, /(4) 

= 7 




-James Slewarí CAPÍTULO 4 APLICAÇÕES DA DIFERENCIAÇÃO 


359 


37. 2 - 12.x, /(O)—: 9. /(2) ;=: 15 

38. /"(*)= 20. -v 5 + 1 2.x 2 + 4. /(Ü)~ 8 . /< 1 ) = 5 

39. / "(.y)~ 2 + cos .v. /(O) — - .1. /(tt/2) = 0 


49. O gráfico de / está mostrado na figura. Esboce o gráfico de f 
se / for contínua e /(O) — — ] . 


I 40. f"(r)~ 2e + 3 sen /. /(0)=0, /(ir) = 0 

| 41. /"(.r) = .v” 2 . .v > 0. /(O-O, /(2) -= 0 ir - v * f is) 

42. — sen x /(O) — 1 . /'(O) — 1 , /”(()) — ! 

43. Dado que o gráfico de / passa pelo ponto ( 1 , 6) e que a inclinação (> 1 

§{ de sua reta tangente em (a\ /(.y)) é 2v + 1. encontre /{ 2). j 

44. Encontre uma função / tal que f’(x) — x } e a reta x + v — 0 
é tangente ao gráfico cie /. 

|1 45-46 O gráfico de uma função / está mostrado. Qual gráfico é || 50. (a) Use um recurso computacional para fazer o gráfico de 
uma antiderivada de / e por quê? f(x) = 2.x — 3 y/x. 




47. O gráfico de uma função está mostrado na figura. Faça um 
esboço de uma antiderivada de F, dado que FÍO) = 0. 


v ; 

/ 

í \ 

f \ 


0 ; 


X 

J 

| 

: 


(b) Começando com o gráfico da parte (a), esboce um gráfico 

da antiderivada F que satisfaça F(0) 1 . 

(c) Use as regras desta seção para achar uma expressão para F(x). 

(d) Faça o gráfico de F usando a expressão da parte (c). Com- 
pare com seu esboço da parte (b). 

ff! 51-52 :::: Trace um gráfico de / e use-o para fazer um esboço da 
antiderivada que passe pela origem. 

51. f(x) — sen(,x 2 ), 0 *£ ,r =£ 4 

52. /(. v) - 1/í.x 4 + 1) 

53-54 : Um campo de direção é dado por uma função. Use-o para 
traçar a antiderivada F que satisfaça F(0) = -2. 

53. 54. 



48. O gráfico da função velocidade de um carro está mostrado na 
figura. Esboce o gráfico da função posição. 





55-56 Use um campo de direção para fazer o gráfico da 
antiderivada que satisfaça F’(0) -- 0. 

sen.v 

55. f(x) = . 0 < -r < 2 ir 

x 

56. f(x) ~ .x tg x, ~ tt/2 < .x < rr/2 



■ msmi 


3g0 — CÁiCUtO Editora Thomson 


57. Uma função é definida peio seguinte dado experimentai. Use ■ 
um campo de direção para esboçar o gráfico de sua 
antiderivada se a condição iniciai é F(0) = 0. 



58. (a) Trace um campo de direção para a função f(x) ~ l/x 1 e 

use-o para esboçar os vários membros da família de 
antiderivadas. - 

(b) Compute a antiderivada geral explicitamente e esboce as várias 
antiderivadas particulares. Compare com a resposta da parte (a). 
:; 5 3$ Uma partícula move-se de acordo com os dados que se 
seguem. Encontre a posição da partícula. 

59 . v(i) — sen / - cos r, ,v(0) = 0 

60 . v(t) — 1,5 y/i, í'(4) = 10 

61 . a(t) = t ~ 2, 5Í0) = 1 , v(0) = 3 

62 . a(t) = cos t + sen í, ,v(0) ~ 0, íí(0) = 5 

63 . a(t ) = 10 sen t + 3 cos t , s( 0) ~ 0. s(2rr) — 12 

64 . a(t) — 10 + 3í — 3t 2 , s( 0) = 0, s(2) = 10 

65 . Uma pedra é lançada de um posto de observação da Torre CN. 
450 m acima do solo. 

(a) Determine a distância da pedra acima do nível do solo no 
instante t . 

(b) Quanto leva para a pedra atingir o solo? 

(c) Com que velocidade ela atinge o solo? 

(d) Se a pedra for atirada para baixo com uma velocidade de 
5 m/s, quanto tempo levará para ela atingir o solo? 

66. Mostre que, para um movimento em uma reta com aceleração 
constante a, velocidade inicial v 0 e deslocamento inicial j 0 , o 
deslocamento depois do instante t é 

V = + t\)t + S{) 

67 . Um objeto é lançado para cima com velocidade inicial v 0 
metros por segundo a partir de um ponto s 0 metros acima do 
solo. Mostre que 

[*»(>)? - vi - 19,6[.ç(/) - .vo] 

68. Duas bolas são arremessadas para cima à margem de um penhasco 
no Exemplo 8. A primeira é arremessada com uma velocidade de 
48 pés/s, e a outra é arremessada 1 segundo depois, com uma 
velocidade de 24 pés/s. As bolas passam uma pela outra alguma vez? 

69 . Uma pedra é largada de um penhasco e atinge o solo com uma 
velocidade de 120 pés/s. Qual a altura tio penhasco? 

70 . Se um nadador de massa m permanece na ponta de um trampolim 
de comprimento L e densidade linear p, o trampolim fica com a 
forma da curva y —j{x), em que 

Ely" = mg(L - ,r) + 1 fxj(L - x) 2 
e E e / são constantes positivas que dependem do material do 
trampolim e g(< 0) é a aceleração da gravidade. 

(a) Ache uma expressão para a forma da curva. 

(b) Use/(L) para estimar a distância da horizontal à ponta do 
trampolim. 


VÂ 



71 . Uma companhia estima que o custo margina! (em dólares por 
item) de produzir x itens é ! ,92 — 0,002 x. Se o custo de produzir 
um item for $ 562, encontre o custo de produzir 100 itens. 

72. A densidadejinear de um cabo de comprimento I m é dado por 
p(x) ~ 1 /y/x, em gramas por centímetro, onde x é medido em 
centímetros a partir do extremo do cabo. Encontre a massa do cabo. 

73. Uma vez que pingos de chuva crescem à medida que caem, sua 
área superficial cresce e. portanto, a resistência à sua queda 
aumenta. Um pingo de chuva tem uma velocidade inicial para 
baixo de 10 m/s e sua aceleração para baixo é 

í 9 - 0.9/ se 0 <- 1 < 10 
a = < 

[0 se t > 10 

Se o pingo de chuva estiver inicialmente a 500 m acima do 
solo, quanto tempo ele levará para cair? 

74 . Um carro está viajando a 50 mi/h quando seu condutor freia 
completamente, produzindo uma desaceleração constante de 22 
pés/s 2 . Qual a distância percorrida antes de o carro parar? 

75 . Qual a aceleração necessária para aumentar a velocidade de 
um carro a 30 mi/h para 50 mi/h em 5 s? 

76. Um carro é freado com uma desaceleração constante de 

16 pés/s 2 , produzindo marcas de derrapagem medindo 200 pcs 
antes de parar completamente. Quão rápido estava o carro 
viajando quando o freio foi acionado pela primeira vez? 

77. Um carro está viajando a 100 km/h quando o motorista vê um 
acidente 80 m adiante e pisa no freio. Qual desaceleração 
constante é necessária para parar o carro em tempo de evitar 

a batida? 

78 . Um modelo de foguete é lançado para cima a partir do repouso. 
Sua aceleração para os três primeiros segundos é a(j) — 60r. e 
nesse ínterim o combustível acaba, e ele se transforma em um 
corpo em queda livre. Após 17 s o pára-quedas do foguete se 
abre, e a velocidade (para baixo) diminui linearmente para — 1 8 
pés/s em 5 segundos. O foguete então cai até o solo naquela taxa. 

(a) Determine a função posição s e a função velocidade v 
(para todo instante t). Esboce os gráficos de s e v. 

(b) Em que instante o foguete atingiu sua altura máxima e 
qual é essa altura? 

(c) Em que instante o foguete atinge a terra? 

79 . A alta velocidade do trem-bala acelera e desacelera a uma taxa 
de 4 pés/s 2 . Sua velocidade máxima de cruzeiro é 90 mi/h. 

(a) Qual será a distância máxima percorrida pelo trem se ele 
acelerar a partir do repouso até atingir a velocidade do 
cruzeiro e permanecer nessa velocidade por 15 minutos? 

(b) Suponha que o trem comece a partir do repouso e então 
pare completamente em 15 minutos. Que distância máxima 
ele poderá percorrer nessas condições? 

(c) Encontre o tempo mínimo para o trem percorrer duas 
estações consecutivas, distantes 45 mi uma da outra. 

(d) A viagem de uma estação para outra leva 375 minutos. 

Qua! a distância entre as estações? 





James Stewart CAPÍTULO 4 


361 


4 Revisão 

1. Explique a diferença entre um máximo absoluto e um máximo 
local. Ilustre com um esboço. 

2. (a) O que nos diz o Teorema do Valor Extremo? 

(b) Explique o funcionamento do Método do Intervalo 
Fechado. 

3. (a) Enuncie o Teorema de Fermat. 

(b) Defina um número crítico d tf. 

4. (a) Enuncie o Teorema de Rolle. 

(b) Enuncie o Teorema do Valor Médio e dê uma interpretação 
geométrica. 

5. (a) Enuncie o Teste Crescente/Decrescente. 

(b) Enuncie o Teste da Concavidade. 

6. (a) Enuncie o Teste da Derivada Primeira. 

(b) Enuncie o Teste da Derivada Segunda. 

(c) Quais as vantagens e desvantagens relativas desses testes? 

7 . (a) O que nos diz a Regra de L'Hôspital? 

(b) Como você pode usar a Regra de LTlôspital se tiver um pro- 
duto f(x)g(x) onde f(x) — > 0 e g( x) ---> =*= quando x — » al 


x — > a. 

(d) Como você pode usar a Regra de LTlôspital se tiver uma 
potência [/{x)] sW onde f(x) — > 0 e g(x) — » 0 quando 
x — > a? 

8. Se você tem uma calculadora gráfica ou computador, por que 
precisa do cálculo para fazer o gráfico da função? 

9. (a) Dada uma aproximação inicial x. para uma raiz da equação 

f(x) = 0, explique geometricamente, com um diagrama, como 
a segunda aproximação x 2 no método de Newton é obtida. 

(b) Escreva uma expressão para x 2 em termos de x> , f Q t ) e 

f'U 0 - 

(c) Escreva uma expressão para xq+j em termos de x„,f{x„) e 
/'(*«)■ 

(d) Sob quais circunstâncias o método de Newton 
provavelmente falhará ou funcionará muito vagarosamente? 

10. (a) O que é a antiderivada de uma função /? 

(b) Suponha que F i e F 2 seja ambas antidcrivadas de / em um 
intervalo /. Como estão relacionadas Fj e Ff 1 . 


VERIFICACAO DE CO NC EITOS 


(c) Como você pode usar a Regra de UHôspital se tiver uma 
diferença f(x) -- g(x) onde f(x) — > <* e g(x) —> x quando 


TESTES FALSO-VERDADE RO 


Determine se o enunciado é verdadeiro ou falso. Se for verdadeiro, explique por quê 
Se for falso, explique por que ou dê um exemplo que não confirme o enunciado. 

1. Se f’(c) = 0, então / tem um máximo ou um mínimo local ern c 

2. Se / tiver um valor mínimo absoluto em c, então f'(c) = 0. 

3. Se / for contínua em (a, £>), então / atinge um valor máximo 
absoluto f(c) e um valor mínimo absoluto /(rí) em algum 
número c e rí em (a, b). 

4. Se / for diferenciável e /{— 1) — /( 1 ), então há um número c 
tal que j c j < 1 e f{c) — 0. 

5. Se f’(x) < 0 para 1 < x < 6, então / é crescente em (1,6). 

6. Se /"( 2) = 0. então (2,/(2)) é um ponto de inflexão da curva 

y 

7. Se f{x) — g’(x) para 0 < x < 1 , então f(x) = g(x) para 
0 < x < 1 . 

8. Há uma função / tal que /( 1) — — 2,/(3) = 0 e f'(x) > 1 
para todo x. 

9. Há uma função f tal que f(x) > 0, f(x) < 0 e f"(x) > 0 para 
todo x. 


10 . Há uma função/ tal que f(x) < (),/’(*) < 0 e f"(x) > 0 para 
todo x. 

11. Se / e g forem crescentes em um intervalo /, então / + g ê 
crescente em /. 

12 . Se / e g forem crescentes em um intervalo /, então f — gé 
crescente em /. 

13 . Se / e g forem crescentes em um intervalo /. então fg é cres- 
cente em I. 

14. Se / e g forem funções crescentes positivas em um intervalo /. 
então fg é crescente em /. 

15 . Se / for crescente e f(x ) > 0 em /, então g(x) = l/f(x) é 
decrescente em I. 

16 . A antiderivada mais geral de /(x) — x " 2 é 

F{x) * - — + C 
x 

17 . Se f’{x ) existe e é não nula para todo x, então /( 1) # /(0). 

18. lim ~ - 1 

x->o e" 




Editora Thomson 


'• '3S2 D GÁLCULQ 



1-S . Encontre os valores extremos absolutos e locais da função 
em um intervalo dado. 


1. f(x) = 10 + 27 x - x 3 . [0.4] 

2. /(a) = A' - [0,4] 

3. /U) = -~- 7 , [-2.0] 

4. /(..v) - Cr + 2 xY, [-2. I] 

5. fíx) = r+ sen 2 a, [0, rrj 

6. /(a) = (lo x)L \- , [ 1 , 3] 

7-14 G Calcule o limite. 

7 *8 71 * O 1 ~ COS - v 

/. | tm 8. ] jm — 

Jf - >0 ln( 1 + x) >-.*o A > + v 

<? 4a -1-4.y é’ Jí -1~4a 

9. lim 19. hm 

x~ *-* x“ 

11- lim x c 12. lim t In t 

13. hm ( L) 14. hm (t g x f** 

*■■■->}■ [ x -1 ln x / x 

15-17 C Esboce o gráfico de uma função que satisfaça as 
condições dadas. 

15. /(()) = (), /'(— 2) —/'(!) =/'(9) — 0, 

lim = o. lim ,—6 /(.*) = /'(a) < 0 em 

(— 00 , —2), (1 , 6), e (9, «>), /'(x) > 0 em (—2, 1) e 
Í6. 9). /"(a) > 0 em {— a>, 0) e (12. »). f”(x) < 0 em 
{(), 6} e (6, 12) 

16. /(()) — 0. f é contínua e par, /'( a) — 2a se 

0 < x < 1 . /'(a) — - 1 se 1 < a < 3, /'(a) = 1 se x > 3 

17. fé ímpar, f'(x) < 0 para 0 < a < 2, /'(a) > 0 para x > 2, 
/"(a) > 0 para 0 < x < 3, /"(a) < 0 para a > 3, 
lim,.....* /(a) « —2 

18. A figura mostra o gráfico da derivada f de uma função f . 

(a) Em quais intervalos / é crescente ou decrescente? 

(b) Para que valores de x a função / tem um máximo ou 
mínimo local? 

(c) Esboce o gráfico de /". 

(d) Esboce um possível gráfico de /. 


y a 



íCiOS 



Use o roteiro da Seçã< 

o 4 .5 par 

a esboçar a curva. 

19. 

v = 2 - 2a - a 3 



20. 

v — x' -■ 6 r : - 1 5 a + 4 



21, 

li 

1 

22. 

1 

y ~ 1 - A 7 

22 

1 


:i , ) 

2. d , 

A (a -- 3) 2 


A A + 1 

25. 

V * A -/(a + 8} 

26. 

y a 4- y ! a 

27. 

y — Vy 2 + a 

28. 

1.. .K 
■■■"■> 

I 

1.. K 
"> 

II 

29. 

y — senfv - 2 cos x 



30. 

v 4a — tg ,Q --77/2 < 

x < 7 r/l 

2 

31. 

y = sen '" '( 1/a) 

32. 

y = e lj ~’ 

33. 

v = e* + e"" Xx 

34. 

y " 1h(a 2 - 1) 


4} -38 Faça o gráfico de / que revele todos os aspectos tia curva. 
Use os gráficos dc /' e f" para estimar os intervalos crescente, 
decrescente, valores extremos, intervalos de concavidade e pontos 
de inflexão. No Exercício 35, use o cálculo para achar exatamente 
essas quantidades. 

35. /'(O ' t ' 36. fíx) — — ~™ — 

X' " 1 - A 

37. /(a) - 3a 6 - 5a 5 + a 4 - 5a 3 - 2a 2 + 2 

38. /(a) = sen a cos 2 a, 0 í r í 2 tt 

39. Faça o gráfico de /(a) ~ e " ]/x em uma janela de inspeção que 
mostre todos os principais aspectos dessa função. Estime os pon- 
tos de inflexão. Então use o cálculo para achá-los exatamente. 

40. (a) Faça o gráfico da função /(a) — 1/(1 + e Ví ). 

(b) Explique a forma do gráfico computando os limites de 
f(x) quando a tende a =°, ~w, 0 + e 0 " . 

(c ) Use o gráfico de / para estimar as coordenadas dos pontos 
de inflexão. 

(d) Use seu CAS para computar e fazer o gráfico de /". 

(e) Use o gráfico da parte (d) para estimar mais precisamente 
o ponto de inflexão. 

41. Se fíx) = arctg (cos (3 arcsen a)), use os gráficos de /, /' e /" 
para estimar as coordenadas x dos pontos de máximo, mínimo 
e pontos de inflexão de /. 

42. Se fíx) ln (2a + x sen x), use os gráficos de /, f e f" para 

estimar os intervalos de crescimento e os pontos de inflexão de 
/ em um intervalo (0, 15). 

JH 43. Investigue a família de funções /(a) - ln(sen x + C). Que 
aspectos os membros dessa família têm em comum? Como 
eles diferem? Para quais valores de C a função f é contínua em 
(- 00 , oc)? Para quais valores de C a função f não tem gráfico? 

O que acontece quando C > °°? 


3S3 



James Stewa rt CAPiTUlO 4 APUCACÔFS O A DSFE R E N C i Au A O 


Sl 44. Investigue a família de funções fix) — cxe . O que 

acontece com os pontos de máximo e mínimo e os pontos de 
inflexão quando c varia? Ilustre suas conclusões fazendo o grá- 
fico de vários membros da família. 

45. Mostre que a equação x‘ v! + .r" + x I — 0 tem 
exatamente uma raiz real. 

46. Suponha que / seja contínua em [0, 4],/(0) = 1 e 2 f(x) =S 5 

para todo x em (0, 4). Mostre que 9 /(4) 21 . 

47. Aplicando o Teorema do Valor Médio para a função 
fix) — x 1/5 em um intervalo [32. 33). mostre que 

2 < ç/33 < 2.0125 

48. Para que valores das constantes a e b ( 1 , 6) é um ponto de 
inflexão da curva y ™ x*' + ax 1 4- bx + 1? 

49. Seja g(x) — f(x 2 ), onde / é duas vezes diferenciávej para todo 
x, fix ) > 0 para todo x # 0 e / é côncava para baixo em 

{— «, 0) e côncava para cima em (0, «}. 

(a) Em que números g leni um valor extremo? 

(b) Discuta a concavidade de g. 

50. Encontre dois inteiros positivos tal que a soma do primeiro 
número com quatro vezes o segundo número é 1 .000, e o 
produto dos números é o maior possível. 

51. Mostre que a menor distância do ponto ( .r j . y s ) a uma reta 

At + By *F C “ 0 é 


indica que. para cada dólar corn redução no preço do bilhete, a 
média da frequência aumenta em 1 .000. Como deve ser 
estabelecido o preço do bilhete para maximizar o rendimento 
da venda de entradas? 

Ü! 60. Um fabricante determinou que o custo de fazer .r unidades de 
uma mercadoria é C(x) = j .800 4- 25x ■- 0,2.x- + 0,00 Lr' e a 
função demanda é p(x) — 48,2 - (),()3.r 

(a) Faça o gráfico das funções custo e rendimento e use os 
gráficos para estimar o nível de produção para o lucro máximo. 

(b) Use o cálculo para achar o nível de produção para o lucro 
máximo. 

(c) Estime o nível de produção que minimize o custo médio. 

61. Use o método de Newton para achar a raiz da equação 
X 5 - a' 5 + 3x 2 - 3x -”2 = 0 no intervalo [ 1 , 2] correta até a sexta 
casa decimal. 

62. Use o método de Newton para achar todas as raízes da equação 
sen x - .d - 3a + 1 corretas até a sexta casa decimal 

63. Use o método de Newton para achar o máximo absoluto da 
função /(/) = cos t + t ~ F com precisão até a oitava casa 
decimal. 

64. Use os passos descritos na Seção 4.5 para esboçar o gráfico da 
curva y - x sen x, 0 =5 x -S 2-tt. Use o método de Newton 
quando for necessário. 

65-72 : : Encontre /(a). 



i 


| Ax t + By i + C I 

vVcTVc 

52, Encontre o ponto sobre a hipérbole xy = 8 que está mais 
próximo ao ponto (3, 0). 

53, Encontre a menor área possível de um triângulo isósceles que 
está circunscrito em um círculo de raio r. 

54, Encontre o volume do maior cone circular que pode ser 
inscrito em uma esfera de raio r. 


55. Em A ABC, D está em AB. CD X. AB . [ AD j = | BD \ = 4 cm 
e | CD | — 5 cm. Onde estaria o ponto P escolhido em CD para 
a soma [ PA \ -f | PB j + [ PC | ser mínima? 

56. Faça o Exercício 55 quando | CD j = 2 cm. 

57. A velocidade de uma onda de comprimento L em água 
profunda é 


58. 


v » K 



C 

L 


onde K e C são constantes positivas conhecidas. Qual é o 
comprimento da onda que dá a velocidade mínima? 


Um tanque de armazenamento de metal com volume V deve 
ser construído com a forma de um cilindro circular reto com 


um hemisfério em cima. Quais as dimensões que vão exigir a 
menor quantidade de metal? 


59. Uma quadra de esportes tem capacidade para 15 mil espectadores 
sentados. Com o preço do bilhete a $ 12, a frequência média em 
um jogo é de 11 mil espectadores. Uma pesquisa de mercado 


65. fix) = v'x 5 “ 4 

v-v 

66. /'(a) — 8a — 3 sec~x 

67. f(x ) - e 2 - (2/x/x) 

68 . fix) = 2/(1 + a 2 ), /(()) - -1 

69. fit) = 2r- 3 sen t, /(()) - 5 

li ~ + x/m 

70. fiü) — , /( 1) ~ 3 

u 

71. /"(a) = 1 - 6a + 4 8 aà /(0) = 1, / T0) = 2 

72. /"(a) = 2x' 4 • 3.r - 4a 4- 5, /(()) - 2, f (\) = 0 

jjj 73. (a) Se f(x) — 0.1 e* + sen a, -4 x « 4, use um gráfico de 

f para esboçar um gráfico da antklerivada F de / que 
satisfaça FiO) = 0. 

(b) Encontre uma expressão para Fix). 

(c) Faça o gráfico de F usando a expressão da parte (b). 
Compare com seu esboço da parte (a). 

§H 74. Investigue a família de curvas dada por fix) a 4 + x~ + cx~. 
Em particular você deve determinar o valor transicional 
de c segundo o qual a quantidade de números críticos 
varia e o valor transicional em que o número de pontos de 
inflexão varia. Ilustre as várias possíveis formas com os 
gráficos. 






... . 


iiigtip CALCULO 


Editora Thomson 


75. Uma caixa de metralhadora é lançada de um helicóptero a 


500 m acima do chão. Seu pára-quedas não abre. mas ela foi 
planejada para suportar uma velocidade de impacto de 100 
rn/s. Ela suportará o impacto ou não? 


76. Em uma corrida automobilística ao longo de uma estrada reta, 
o carro A passou o carro B duas vezes. Prove que em algum 
instante durante a corrida suas acelerações eram iguais. 
Estabeleça suas hipóteses. 


77. Uma-viga retangular será cortada de uma tora de madeira com 
raio de 10 polegadas. 

(a) Mostre que a viga de área seccional transversal máxima é 
um quadrado. 

(b) Quatro pranchas retangulares serão cortadas de cada uma 
das quatro seções da tora que restarão após o corte da viga 
quadrada. Determine as dimensões das pranchas que terão 
área transversal máxima. 


(c) Suponha que a resistência de uma viga retangular seja 
proporciona! ao produto de seu comprimento e o quadrado 
de sua profundidade. 

Encontre as dimensões da viga mais resistente que pode 
ser cortada de uma tora cilíndrica. 





j*~— largura — — 


78. Se um projétil for disparado com uma velocidade inicial v em 
um ângulo de inclinação 6 a partir da horizontal, então sua tra- 
jetória. desprezando a resistência do ar. é uma parábola 


v = (tg 0).x 


2ir eos 6 


(a) Suponha que o projétil seja disparado da base de um plano 
que está inclinado em um ângulo a, n > 0, a partir da 
horizontal, como mostrado na figura. Mostre que o alcance 
do projétil, medido a partir de sua inclinação, é dado por 


2ít cos Osen(0 — a) 


g cos“a 


(b) Determine d tal que R seja um máximo. 

(c) Suponha que o plano esteja em um ângulo a abaixo da 
horizontal. Determine o alcance Rc o ângulo segundo o 
qual o projétil deve ser disparado para maximizar R, 


79. Uma luz deve ser colocada no topo de um poste com h pés de 
altura para iluminar um círculo de tráfego intenso com raio de 
40 pés. A intensidade de iluminação I em qualquer ponto P 
sobre o círculo é diretamente proporcional ao cosseno do 
ângulo () (veja a figura) e inversamente proporcionai ao 
quadrado da distância d da fonte de luz. 

(a) Que altura deve ter o poste para maximizar /? 

(b) Suponha que o poste tenha h pés de altura e que uma mulher 
afasta-se da base do poste a uma taxa de 4 pés/s. Com que 
taxa a intensidade da luz em um ponto sobre suas costas 4 
pés acima do chão decresce quando ela atinge a borda do 
círculo do tráfego? 



80. A água Hui a uma taxa constante dentro de um tanque esférico. 

Denote por V(t) o volume de água no tanque no instante de 

tempo t. 

(a) Quais são os significados de V'(t) e //'(?)? Estas derivadas 
são positivas, negativas ou iguais a zero? 

(b) V"(t) é positiva, negativa ou zero? Explique. 

(c) Sejam t, , t 2 , e h os tempos nos quais o tanque está um 
quarto cheio, metade cheio e três quartos cheio, 
respectivamente. Os valores //'(?,), //"(/,) e //"(?,) são 
positivos, negativos ou iguais a zero? Por quê? 

81. Mostre que para x > 0, temos 


< tsrbr < x 


82. Esboce o gráfico da função / tal que f'(x) < 0 para todo x, 
f”{x) > 0 para Lrí > 1 ,f"(x) < 0 para 1x1 < 1 e 
lim + + jc] = 0, 



Um dos mais importantes princípios do problema-solução é a analogia. Se você está tendo 
dificuldades em começar a tratar um problema, é algumas vezes proveitoso ciar início 
resolvendo um similar, porém mais simples. O problema a seguir ilustra o princípio. Cubra 
completamente a solução e tente resolvê-lo primeiro, você mesmo. 


iKempfo Se x, y e z forem numeros positivos, prove que 

(x 2 + 1 )( y 2 + nu 2 + i) 


Solução Pode ser difícil tratar esse problema. (Muitos estudantes o atacaram multipli- 
cando o numerador, mas isso somente cria uma confusão.) Vamos tentar pensar em um 
problema mais simples e similar. Quando diversas variáveis estão envolvidas, é frequen- 
temente proveitoso pensar em um problema análogo com menos variáveis. No caso 
presente podemos reduzir o número de variáveis de três para um e provar a desigualdade 
análoea. 


£ 2 para x > 0 


De fato, se formos capazes de provar (1), então segue a desigualdade desejada, pois 


{ v ~ + i)(r + OU 2 + O ( x 1 + i \jy 2 + i 


3 * 2 • 2 * 2 = 8 


A chave para provar (1) está em reconhecer que é uma versão disfarçada de urn 
problema de mínimo. Se fizermos 


a- 2 + 1 1 

= x d X > 0 

X X 


então /'(a) = 1 - (1/a 2 ), logo /'(a) = 0 quando x = 1 . Também, f'(x) < 0 para 
() < x < 1 e /'(a) > 0 para x > i . Consequentemente, o valor mínimo absoluto de / é 
/(l) = 2. Isso significa que 


x" + 1 


3? 2 para todos os valores de x 


0 que você aprendeu da solução para 
esse exemplo? 

::: Para resolver um problema 

envolvendo diversas variáveis, pode 
ser proveitoso resolver um 
problema análogo com somente 
uma variável. 

:: Quando tentar provar uma 
desigualdade, pode ser de ajuda 
pensá-la como um problema de 
máximo ou de mínimo. 


e, como anteriormente mencionado, a desigualdade dada segue pela multiplicação. 
A desigualdade em (1) pode também ser provada sem cálculo. De fato, se x > 0, 


x~ + 1 


A 2 + 1 5= 2x 


<==> (x - 1 ) 2 ^ 0 


2x + 1 s* 0 


Como a última desigualdade é obviamente verdadeira, a primeira também o é. 



1. Se um retângulo tiver sua base em um eixo x e duas vértices sobre a curva v = ' \ mostre 

que o retângulo tem a maior área possível quando os dois vértices estão nos pontos de inflexão 
da curva. 

2. Mostre que jsen.r - cosx| sg v 2 para todo x. 

3. Mostre que. para todos os valores positivos de jr e v. 


4. Mostre que jtv 2 {4 -- .r' )(4 - y 2 ) 16 para todos os números x e y tal que \x j 2 e j v j *S 2. 

5 . Se a e b são números positivos, mostre que nenhum dos números a{ 1 -■ b) e b ( ! - o) pode ser 
maior do que 

6 . Encontre o ponto sobre a parábola y ~ l — ,t‘ no qual a reta tangente corta do primeiro 
quadrante o triângulo com a menor área. 



FIGURA PARA O PROBLEMA 9 


7 . Encontre o ponto mais alto e o mais baixo sobre a curva x 2 + ,vv + y 2 — 12. 

8. Esboce o conjunto de todos os pontos ü. v) tais que lx + yl *£ e\ 

9 . A reta y — mx + b intersecta a parábola y — x* nos pontos A e B (veja a figura). Encontre o 
[tonto P sobre o arco AOB da parábola que maximize a área do triângulo PAB. 

10. Encontre uma função / tal que /'(-•• 1) = | ,/'(()) « 0. e f"{x) > 0 para todo x. ou prove que 
essa função não pode existir. 

11 . Determine os valores do número a para os quais a função /não tenha ponto crítico: 

/ U) — (a 2 + a - 6) cos 2x + (a - 2)x + cos .1 

12. Esboce a região do plano que consiste em todos os pontos de (x, y) tal que 

2 xy =£ jjç — y| sg x 2 -f v " 


13. Seja ABC um triângulo com Z.BAC = 120° e j A# | - \AC j = 1 . 

(a) Expresse o comprimento do ângulo bissector AD em termos de x = \AB\. 

(b) Encontre o maior valor possível de j AD | . 

14. ABC D é um pedaço do quadrado de papel com lados cie comprimento 1 m. Um quarto do 
círculo é traçado de B a D com centro em A. O pedaço de papel é dobrado ao longo de EF. 
com E em AB e b em AD, de ta] forma que A caia sobre o quarto de círculo. Determine a área 
máxima e a mínima que o triângulo AEF pode ter. 


15. Para quais números positivos a a curva y ~ a x intersecta a reta v = x? 



16. Para que valores de a é verdade que 


Jim 


v + a 
x — a ' 

17. Seja j U) = a l sen x + a 2 sen 2x -t- - • - + a n sen nx, onde a > , a?. . . . , a„ são números reais e/ié 
um inteiro positivo. Se for dado que i f(x) | «£ j sen.v j para todo x, mostre que 

[ a>. + 2a 2 + • • • -f na„ j - I 


366 



FIGURA PARA O PROBLEMA 18 


18. Um arco de círculo PO subtende um ângulo centrai como na figura. Seja Ai 9) a área entre a 
corda PQ e o arco PO. Seja Bi 9) a área entre as retas tangentes PR. QR e o arco. Encontre 


lim 


AiO) 
Bi 9) 


19. As velocidades do som c, em unia camada superior e c:\ em uma camada inferior e a espessura h 
da camada superior pode ser determinada pela exploração sísmica se a velocidade do som na 
camada inferior for maior que a velocidade do som na camada superior. Uma carga de 
dinamite é detonada em um ponto P e os sinais transmitidos são registrados em um ponto (X o qui 
está distante de P por uma distancia D. O primeiro sinal leva 7j segundos para chegar ao ponto Q 
pela superfície. O próximo sina! viaja do ponto P ao ponto R. do ponto R para o ponto S na camad 
inferior e daí para o ponto Q e leva T 2 segundos para fazer este percurso todo. O terceiro sinal é 
refletido na camada inferior no ponto médio de RS e leva T\ segundos para chegar em Q. 

(a) Escreva 7j. T 2 e em termos de D. h. r\, c 2 e 0. 

(b) Mostre que T 2 assume o seu valor mínimo em sen 0 = tyÁa. 

(c) Suponha que D ~ 1 km. 7j — 0,26 s, T 2 ~ 0,32 s, 7\ — 0,34 s. Ache c: t , c 2 e h. 


i i 


D -*j Q 

„/1 

v Velocidade do som = Cj / I 

/ — i 

/ n ! 

x ni 

i 

R O S 

V elocidade do som ~ c? 




FIGURA PARA O PROBLEMA 21 


NOTA 1 • A geofísica usa essa técnica para estudar a estrutura da camada da Terra, quando 
está à procura de óleo ou examinando falhas estruturas do terreno. 

20. Para quais valores de c existe uma reta que intercepta a curva 

y — .V 4 +• CA ' 3 + 120 - 5 a +2 

em quatro pontos distintos? 

21. Um dos problemas propostos pelo marquês de 12 Hospital em seu livro Analyse des Infmirnen 
Petits diz respeito a uma polia que está presa ao teto de um cômodo em um ponto ( por uma 
corda de comprimento r. Em outro ponto B do teto, a uma distância d de C (onde d > r), um; 
corda de comprimento f é amarrada e essa corda passa pela polia em um ponto t e temos 
conectada a ela um peso HL O peso é liberado e chega ao seu ponto de equilíbrio na posição 
D. L? Hospital argumentou que esse equilíbrio ocorre quando \ED\ é maximizado. Mostre que 
quando o sistema alcança o equilíbrio, o valor de x é 

y / ' 7 ^ . 

— (r + -v/r" + 8<T ) 

4 d 


Observe que essa expressão independe de W e ( . 

22. Dada a uma esfera de raio r, ache a altura da pirâmide de menor volume cuja base é um 
quadrado e cujas bases e faces triangulares são todas tangentes à esfera. E, se a base da 
pirâmide fosse um polígono com n lados e ângulos iguais? (Use o fato de que o volume da 
pirâmide é ~Ah, onde A é a área da base.) 

23. Suponha que uma bola de neve de maneira que seu volume decresça a uma taxa proporciona 
a área de sua superfície. Se leva três horas para a bola de neve derreter para a metade de seu 
volume original, quando demorará para a boia de neve derreter completamente? 

24. Uma bolha hemisférica é colocada em uma bolha esférica de raio 1 . Um bolha hemisférica 
menor é então colocada dentro da primeira bolha. O processo continua até que sejam forma- 
dos n compartimentos, incluindo a esfera. (A figura mostra o caso para n — 4.) Use a induçâí 
matemática para provar que a altura máxima de qualquer torre de bolhas com n comparti mer 
tos é dada pela expressão 1 + 4n. 



FIGURA PARA O PROBLEMA 24 








mm 


Para Calcular uma área, aproximamos 
a região por retângulos e fazemos 
com que o número de retângulos se 
tome cada vez maior. A área exata 
será o limite das somas das áreas dos 
retângulos. 





Agora é um bom momento de ier 
(ou reler) a seção Uma Apresentação 
do Cálculo (página 2). Ela discute s 
unificação das idéias do Cálculo e 
ajuda a nos por em perspectiva de 
onde estamos e para onde vamos. 


No Capítuio 2 usamos os problemas da tangente e da velocidade para introduzir a 
derivada, que é a idéia central do cálculo diferencial. Neste capitulo começamos com 
os problemas da área e da distância e vamos usá-los para formular a idéia de uma 
integral definida, que é o conceito básico do cálculo integrai. Veremos nos Capítulos 
6 e 8 como usar a integral para resolver os problemas concernentes a volumes, 
comprimentos de curvas, predições populacionais, saída de sangue do coração, força 
sobre um dique, trabalho, excedente de consumo e beisebol, entre muitos outros. 

Há uma conexão entre o cálculo integral e o diferencial. O Teorema Fundamental 
do Cálculo relaciona a integrai com a derivada e veremos, neste capítulo, que isso 
simplifica bastante a solução de muitos problemas. 


'■WÊÊb' 

3.1 Áreas e Distâncias 


Nesta seção vamos descobrir que na tentativa de achar a área sob uma curva ou a distân- 
cia percorrida por um carro, vamos acabar tendo o mesmo tipo especial de limite. 

I O Problema da Área 

Começamos por tentar resolver o problema da área : achar a área de uma região S que está 
sob a curva y — f(x) de a até b. Isso significa que S, ilustrada na Figura 1 , está limitada 
pelo gráfico de uma função contínua /[onde f(x) 2 a Oj, as retas verticais x — a e x — b, 
e o eixo x. 



Ao tentar resolver o problema da área devemos nos perguntar: qual o significado da palavra 
área ? Essa questão é fácil de ser respondida para as regiões com lados retos. Para um retân- 
gulo a área é definida como o produto do comprimento e da largura. A área de um triângulo é 
a metade da base vezes a altura. A área de um polígono pode ser encontrada dividindo-o em 
triângulos (como na Figura 2) e a seguir somando-se as áreas dos triângulos. 


FIGURA 2 



Não é tão fácil, no entanto, encontrar a área de uma região com lados curvos. Todos nós 
temos uma idéia intuitiva do que é a área de uma região. Mas parte do problema da área é 
tomar precisa essa idéia intuitiva dando uma definição exata de área. 


369 





Lembre-se de que. ao definir unia tangente, primeiro aproximamos a inclinação cia rcui. 
tangente por inclinações de retas secantes e então tomamos o limite dessas aproximações. 
Lma ideia similar sera usada aqui para as áreas. Ern primeiro lugar aproximamos a região 
S por retângulos e depois tomamos o limite das áreas desses retângulos à medida que 
aumentamos o número de retângulos. Os exemplos a seguir ilustram esse procedimento. 


tAt^KLÜ 1 Use os retângulos para estimar a área sob a parábola v — ,v de 0 até 1 ía 
região parabólica S ilustrada na Figura 3). 



Y ' 





v = .v : 

;j (1. 



/ 

s 

FIGURA 3 

' o' 

1 


FIGURA 4 


SOLUÇÃO Notamos primeiro que a área de S deve estar em algum lugar entre 0 e 1 . pois 
S está contida em um quadrado com comprimento de lado 1, mas certamente podemos 
fazer melhor que isso. Suponha que S seja dividida em quatro faixas .Sj. ,S'.. 5? e S 4 _ 
traçando as retas verticais x — jj. x — x c x = í como na Figura 4(a). 


/ ( 1 . 1 ) 


/ 


Á 


5: / 


.Sã 


dl) 


c i . r> 


y 


/ 


y 


y ! 

i i 


(b) 



Podemos aproximar cada faixa por um retângulo com base igual à largura da faixa e 
altura igual ao lado direito da faixa [veja a Figura 4(b)j. Em outras palavras, as alturas 
desses retângulos são os valores da função f(x) = ,x~ nos extremos direitos dos subinter- 
valos [ü. f ] . [f . I] . [ Ç 4 ] e [ Ç I ] . 

Cada um dos retângulos tem largura e as alturas são (.! ) 2 . (\Y. (j) 2 e i 2 . Se chamar- 
mos R . , a soma das áreas desses retângulos aproximantes, obteremos 

/C ^ .! ‘ i\Y F ! ■ (0“ + J • Uf + ‘ ’ I 2 =■ £ ^ 0,46875 

Da Figura 4 ( b ) vemos que a área A de S é menor do que R.\ . logo 

A < 0.46875 

Em vez de usar os retângulos na Figura 4(b) podemos usar os retângulos menores na 
Figura 5, cujas alturas são os valores de/nos extremos esquerdos dos subiníervalos. 

(O retângulo mais à esquerda desapareceu, pois sua altura é 0.) A soma das áreas desses 
retângulos aproximantes é 


FIGURA o 





James Stewart CAPÍTULOS iNTEGBAIS 371 

U - 3 • O- + 1 * (Ir + i • {\f + ‘ ■ (I ) 2 = 55 = 0,21875 
Vimos que a área de S é maior que L A : assim, temos estimativas inferior e superior para A: 

021875 < A < 0.46875 

Podemos repetir esse procedimento com urn número maior de faixas. A Figura 6 
mostra o que acontece quando dividimos a região S em oito faixas com a mesma largura. 


FIGURA 6 

Aproximando S com oito retângulos 


v ~ .r : / 


/< 1 . 1} 



— A 




/ 



/ 




A 

/ 



1 






í(i. D 


1 -V 


(a) Usando os extremos esquerdos (b) Usando os extremos direitos 


Computando a soma das áreas dos retângulos menores (Li) e a soma das áreas dos 
retângulos maiores (/?»), obtemos estimativas inferior e superior melhores para A: 


0,2734375 < A < 0,3984375 



Assim, uma resposta possível para a questão é dizer que a verdadeira área de S está em 
algum lugar entre 0,2734375 e 0,3984375. 

Podemos obter melhores estimativas aumentando o número de faixas. A tabela na 
lateral mostra os resultados de cálculos similares (com um computador) usando n retân- 
gulos cujas alturas são encontradas com os extremos esquerdos (L„) ou com os extremos 
direitos (/?„). Em particular vemos que usando 50 faixas a área está entre 0,3234 e 
03434. Com 1 .000 faixas conseguimos estreitar a desigualdade ainda mais; A está entre 
0,3328335 e 0,3338335. Urna boa estimativa é obtida fazendo-se a média aritmética 
desses números; A ~ 0.3333335. 



Dos valores na tabela parece que R„ aproxima-se de \ à medida que aumentamos n. 
Vamos confirmar isso no próximo exemplo. 

EXEMPLO 2 □ Para a região S do Exemplo 1 . mostre que a soma das áreas dos retângu- 
los aproximantes superiores tende a I , isto é, 

lim R n — | 

a > ** 


FIGURA 7 


SOLUÇÃO R n é a soma das áreas dos n retângulos na Figura 7. Cada retângulo tem uma 
largura Mn , e as alturas são os valores da função f(x) = x nos pontos 
l/n.2/n.3/«, . . . .n/n: isto é. as alturas são (1/nY. (2/n) 2 A3/n) 2 (n/n)~ ■ 





/r 


Necessitamos aqui da formula para a soma dos quadrados dos n primeiros inteiros positivos; 


/M/f I l)(2/f ! 1) 


Talvez você já tenha visto essa fórmula antes. Ela está provada no Exemplo 5 do Apêndice E. 
Substituindo a f ormula 1 em nossa expressão para A... obtemos 


A'., 


nin - i Md/f ■+■ 1) (n + EH 2/f + 1) 
6 6 n • 


Assim temos 


Estamos computando aqui o i imite 
d a eqüência {H } . Aí; í; e q ü ê n c i a s 
foram discutidas anteriormente e 
estudadas em detalhes no Capitulo 1 1 
d o Vo I u m e II. Seus limites s á o 
calculados da mesma forma que os 
limites no infinito {Seção 2 .GE Em 
p c r i i c u I a r, s a be mo rs q u e 
1 

lini — 0 


lim A,.. lim 


(n -E 1 )(2/í -E J ) 


6/r 
1 / n ■* 1 


— lim — 

-i 6 


lim — 

'■ 6 \ n 

: • 1 ’ 2 — 


Pode ser mostrado que as somas aproximantes e inferiores também tendem a E isto é. 

lim — 1 

Das Figuras 8 e 9 ventos que. ã medida que aumentamos n. tanto como A,., tornam-se 
aproximações cada vez melhores da área de S. Portanto definimos a área A corno o limite 


n 10 K - 0.385 


-/ 


__r 

r:X .. !.. 


! I 


n - 30 li ■= 0.3503 


.N H 1 1 ! ! 1 1 


_ L^efffMÜÍ 

o r 


MÍ ! íll 


ff 50 R 0.3434 


Adlj! 

ifüni ' 


^ítrrm t dilLílilíi 


F4GURA 8 




das somas das áreas dos retângulos aproximardes, isto é, 

A = Hm R n — lim L n — h, 

n * » n * 

Vamos aplicar a idéia dos Exemplos 1 e 2 para regiões mais gerais de 5 da Figura 1 
Começamos por subdividir S em n faixas S } , 5V .... 5« de igual largura, como na Figura 10 
A largura do intervalo [ a , b\é b — a\ assim, a largura de cada uma das n faixas é 



n 

Essas faixas dividem o intervalo [a, b] em n subintervalos 

[-X-0 , x 1 ] , [x 1 , a'2 ] , ‘ [x 2 , .r 3 ] , .... [jr«- o-V,] 

onde ,Y(t — a e x„ = b. Os extremos direitos dos subintervalos são 

A'i — a + àx, X -2 — a + 2 A.v, X 3 — a + 3 Ax, 



0 « A-, A, A, ... Xj X,- 


Vamos aproximar a /-ésima faixa S , por um retângulo com largura Ax e altura /(x,), qtn 
é o valor de / nos extremos direitos dos subintervalos (veja a Figura 11). Então a área d< 



0j U -V, X, A, -Xj ... i A; 


FiGURA 11 



CÁLCULO 


tditora Thomson 



374 


0 i a 



(a) n 




L i J 

0 a x, 

(b) n — 4 


0 j a b x 

(c) n — 8 


rv, i^*’ ■ 


b x 


(d) n = 12 


FIGURA 12 


/-ésimo retângulo é/íx) Aa\ O que pensamos intuitivamente como a área de 5 é aproxi- 
mado pela soma das áreas desses retângulos, que é 

R n /{ v i ) A;v + f(x 2 ) Ax 4 í- /(.r„) A.v 

A Figura 12 mostra essa aproximação para n — 2, 4. 8 e 12. Observe que essa apro- 
ximação aparenta tornar-se cada vez melhor à medida que aumentamos o número de 
faixas, isto é, quando n - -» Portanto, vamos definir a área A da região S da seguinte 

forma. 


; çgo A área A da região S que está sob o gráfico de uma função contínua 
j é o limite das somas das áreas dos retângulos aprox imantes: 

A = lim R„ =•■ lim | / ( a i ) A.v + f(x 2 ) A.v 4- - • • + /(.v„) A.v] 


Pode ser provado que o limite na Definição 2 sempre existe, uma vez que estamos 
supondo que / seja contínua. Pode também ser provado que obteremos o mesmo valor se 
usarmos os extremos esquerdos dos subintervalos: 

Llj A = lim L„ — lim [/(.v 0 ) A.v + fí \ , ) A v + • • * + f(x „~ ,) A.v] 

n •■•••> ac yi 

De fato, em vez de usar os extremos esquerdo ou direito, podemos tomar a altura do 
/-ésimo retângulo como o valor de f em qualquer número x* no /-ésimo subintervalo 
[a-i , -V,]. Chamamos os números x*. .ví, . . . , x* de pontos amostrais. A Figura 13 
mostra os retângulos aprox imantes quando os pontos amostrais não foram escolhidos 
como os extremos. Logo uma expressão mais geral para a área de S é 

E A = lim [/(.vf) A.v + f(xf) A.v + P /(.ví) A.v] 

n 

VA 


A.v 


1 




C 

1 

i 

1 



N 

i 


1 

1 

j 

i 

1 

1 " 
1 
1 

1 

1 

1 

1 

i 

1 

1 

1 

1 

| 

i 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

f(x*) 

1 

i 

i 

i 

j 

i\ 

i 

! 

1 

I 

1 

L 

! 

1 

1 

1 

1 

„.J 

1 

1 

I 

' 1 

_U 

j 1 

I 1 
i 1 

i 

j 

1 

f 

1 i. 


új a I -V, I í; f.Y; .V;_1 \ Xj X„_ I f b 

-V* X* X* X? x* 

FIGURA 13 



Frequentemente usamos a notação somatória (notação sigma) para escrever somas de 
muitos termos de maneira mais compacta. Por exemplo, 


n 

2 /(.Ví) A.v = f(x j) Ax + f(x z ) Ax + • • • + f( x „) A.v 




r; Se você precisar praticar com 3 
notação somatória, veja os exemplos e 
tente alguns exercícios no Apêndice E. 


James sfewart • CAPÍTULO S iNTEGriAto 


37t 


Assim, as expressões para a área nas Equações 2. 3 e 4 podem ser inscritas da seguinte forma: 

A ----- lim Ztf{ x, ) Ax 

.4 — lim 2 /Oõ-i) Ax 

4 Lim Ax 

Também podemos reescrever a Fórmula ! da seguinte maneira: 

A , n(n T l)(2n + 1) 

Lr = 7 


EXEMPLO 3 u Seja 4 a área da região que está sob o gráfico de f{x) = e" x entre x — 0 e 
x- - 2. 

(a) Usando os extremos direitos, ache uma expressão para 4 como um limite. Não com- 
pute o limite. 

(b) Estime a área tomando como pontos amostrais os pontos médios e usando quatro e 
depois dez subintervalos. 

SOLUÇÃO 

(a) Uma vez que a = 0 e h = 2, a largura de um subintervalo é 

2 0 _ 2 
n n 


Ax = 


logo ,\'í — 2 /n,xi = 4/ n . x 3 — 6/n , x, - 2 i/n e x„ = 2 n/n. A soma das áreas dos retân- 
gulos aproximantes é 

R„ = fix/) Ax + /( v, ) A.v -+•*••+ f(x „ ) A\ 

= e Ax + e x - A,\" + •••+£ A a 

De acordo com a Definição 2, a área é 

4 — lim R n — lim — (e"" 1;n + e iín + e 6/ " 4- • • • 4- e~ 2 " : " 1 ) 

« *« n 

Usando a notação somatória podemos escrever 

4 - lim -- Í ff 2 ' 7 " 

— n 

É difícil computar esse limite diretamente à mão, mas com à ajuda de um CAS isso não 
é tão complicado (veja o Exercício 24). Na Seção 5.3 seremos capazes de encontrar mais 
facilmente 4 usando um método diferente. 

(b) Com n — 4 os subintervalos com mesma largura Ar = GA são [0, 0A], [0A, 1 ], [1 > 1 A] 
e [1 A, 2|. Os pontos médios desses intervalos são xj — 025, x% — 0.75, a 3 — 125,e 




Editora Thomson 



°i 

FIGURA 14 


v* 



FIGURA 15 


xt = 1.75. e a soma das áreas dos quatro retângulos a prox imantes (veja a Figura 14) é 

4 

M, = 2/(.:*Í)Ax 

1 

= /(0 .25) A.v 4- /(0 .75) A X 4- /(1 ,25) Av + /( 1 ,75) A.v 

- f j “'°' 2í (0 ç 5) + c !l75 (()5) + e j - 25 (0A) + e iJ5 (0A) 

1=1 í(e (l ~ 3 + e 4- e"' 1 ' 25 + e~ l I 0.8557 
Logo uma estimativa para a área é 

A 0.8557 

Com n — 10 os subintervalos sao (0, 0,2). [0,2, 0,4], . . . , [ 1 ,8, 2] e os pontos médios são 
a: t — 0,1 , x 2 — 0,3, xf = 05. , .rio — 1 ,9 . Assim 

A « Af J0 — /(0 .1 ) A.r +/(0,3) A.v + /(0,5) A.v 4 + f{\ 9) àx 

= 0,2(<? (u 4- éT 0J 4- F °- 5 4 f <? ’- 9 ) » 0,8632 

Da Figura 15 fica evidente que essa estimativa é melhor que aquela com n = 4. 

prw» 

O Problema da Distância 

Vamos considerar agora o problema da distância: achar a distância percorrida por um 
objeto durante um certo período de tempo sendo conhecida a velocidade do objeto em 
todos os instantes. (Em um certo sentido é o problema inverso do problema da velocidade 
discutido na Seçao 2.1.) Se a velocidade permanece constante, então-o problema da dis- 
tância é de fácil solução através da fórmula 

distância — velocidade X tempo 

Mas se a velocidade variar, não é tão fácil encontrar a distância percorrida. Vamos inves- 
tigar o problema no exemplo a seguir. 



EXEMPLO 4 Suponha que queiramos estimar a distância percorrida por um carro 
d ui ante um intervalo de tempo de 30 segundos. A cada 5 segundos registramos a leitura 
do velocímetro na seguinte tabela: 


Tempo (segundos) 

0 | 5 

10 

í 5 

20 

2 D | 30 

Vel oc i d ade í m i / b } 

1 7 

2 1 

24 

29 


31 

1 

28 1 


Para ter o tempo e a velocidade em unidades consistentes, vamos converter a velocidade 
para pés/s (1 mi/h = 5.280/3.600 pés/s): 


1 e m do í se ü; u nd os 1 

■ } 

5 ! 10 

1 5 

20 | as 

3() 



i 




Velocidade (pés/s) 

25 

31 35 

1 

43 

47 ! 46 

1 

41 


Durante os cinco primeiros segundos a velocidade não varia muito, logo podemos esti- 
mar a distância percorrida durante esse tempo supondo que a velocidade seja constante. 
Se tomarmos a velocidade durante aquele intervalo de tempo como a velocidade inicial 






amss $tewart 


CAPITULO 5 


(25 pé s./s), então obteremos aproximadamente a distância percorrida durante os cinco 
pri meiros segundos : 

25 pés/s X 5 s i 25 pés 

Analogamente, durante o segundo intervalo de tempo a velocidade é aproximadamente 
constante, e vamos considerá-la como sendo aquela de t ~ 5 s. Assim, nossa estimativa 
para a distância percorrida de / — 5 s até r = 10 s é 

31 pés/s X 5 s — 155 pés 

Se somarmos as estimativas similares para os outros intervalos de tempo, obteremos uma 
estimativa para a distância total percorrida: 

25 X 5 + 31 X 5 + 35 X 5 + 43 X 5 + 47 X 5 4- 46 X 5 = i .135 pés 

Podemos da mesma forma usar a velocidade no fim de cada intervalo de tempo em vez 
de no começo e supor a velocidade como sendo constante. Então nossa estimativa fica 

3.1 X 5 + 35 X 5 + 43 X 5 + 47 X 5 + 46 X 5 + 41 X 5 = 1.215 pés 

Se quisermos uma estimativa mais precisa, poderemos tomar as leituras de velocidade 
a cada 2 segundos ou até mesmo a cada segundo. 


Talvez os cálculos no Exemplo 4 o faca lembrar-se das somas usadas anteriormente 
para estimar as áreas. A similaridade tem explicação quando esboçamos um gráfico da 
função velocidade do carro na Figura 16 e traçamos os retângulos cujas alturas são as 
velocidades iniciais para cada intervalo de tempo. A área do primeiro retângulo é 25 x 5 
— 125, que é também a nossa estimativa para a distância percorrida nos primeiros cinco 
segundos. De fato, a área de cada retângulo pode ser interpretada como uma distância, pois 
a altura representa a velocidade e a largura, o tempo. A soma das áreas dos retângulos na 
Figura 16 é L 6 = 1 .135, que é nossa estimativa inicial para a distância total percorrida. 

Em gera], suponha que um objeto se mova com a velocidade v — f{t). onde 
a =£ t b e f(t) x 0 (logo, o objeto move-se sempre no sentido positivo). Vamos regis- 
trar as velocidades nos instantes r 0 (~ a), q, q, . . . , í„(— b) de forma que a velocidade 
seja aproximadamente constante em cada subintervalo. Se esses tempos forem igual- 
mente espaçados, então entre duas leituras consecutivas temos o período de tempo 
Ar = ( b — d)/n. Durante o primeiro intervalo de tempo a velocidade é aproximadamente 
f[to) e, portanto, a distância percorrida é de aproximadamente /(/o) At. Analogamente, 
a distância percorrida durante o segundo intervalo de tempo é de cerca de /(q) Ar e a 
distância total percorrida durante o intervalo de tempo [a, b ] é de aproximadamente 

fito) A / + /(q) Ar + - - - 4- /(*„_,) Ar ^ X fib -0 Ar 

i-1 

Se usarmos as velocidades nos extremos direitos em vez de nos extremos esquerdos, nossa 
estimativa para a distância total ficará 

n 

/(q) Ar + fih) At + ■ ■ • + f(tfi) At — X fib) Ar 

i=l 

Quanto maior a frequência com que medimos a velocidade, mais precisa nossa estimativa; 
logo. parece plausível que a distância exata d percorrida seja o limite de tal expressão: 


d = lim X/ífi-i)^ — bm X /rí. ) Ar 



~j CÁLCULO 


Editora TbemssR 


Veremos na Seção 5.4 que isso é realmente verdadeiro. 

(_ orno a Lqtiaeao 5 tem a mesma forma que .nossas expressões para a área nas Equações 
2 e o, segue que a distância percorrida é igual à área sob o gráfico da função velocidade. 
Nos Capítulos 6 e 8 veremos que outras quantidades de interesse nas ciências naturais e 
sociais — tais como o trabalho realizado por uma força variável ou a saída de sangue do 
coraçao podem também ser interpretadas como sendo a área sob uma curva. Logo. ao 
computar áreas neste capítulo, tenha em mente que elas podem ser interpretadas de várias 
formas práticas. 


m 


O.l Exercícios 

1. (a) Lendo os valores do gráfico dado de/, utilize cinco retân- 
gulos para encontrar as estimativas inferior e superior para 
a área sob o gráfico dado de/ de .v = 0 até x ~ 30. Em 
cada caso. esboce os retângulos que você usar. 

(b) Encontre as novas estimativas usando dez retângulos ern 
cada caso. 


V f 



i / 

( y 


1/ ; ; 

" 

" 5 .10 -v 

2. (a) Use seis retângulos para achar as estimativas de cada tipo 
para a área sob o gráfico dado de /de x ~ 0 até x — 12. 


v f : : : 



V ~ f(x) 


4 I 


~Õ\ 4 8 ” ~ ■ ) 2 í 

f 

(i) U (pontos amostrais estão no extremo esquerdo) 

(ii) R(, (pontos amostrais estão no extremo direito) 
(iií) M ( , (pontos amostrais estão no ponto médio) 

(b) Lf, é uma subestimativa ou superes tini ativa para a área 
verdadeira? 

(c) é uma subestimativa ou superestimativa para a área 
verdadeira? 

(d) Entre os números L 6 , R b e M h , qual fornece a melhor 
estimativa? Explique. 

3. (a) Estime a área sob o gráfico de f(x) — l/x de x = ! até 
v 5 usando quatro retângulos aproximantes e extremos 


direitos. Esboce o gráfico e os retângulos. Sua estimativa é 
uma subestimativa ou uma superestimativa? 

(b) Repita a parte (a) usando os extremos esquerdos. 

4. (a) Estime a área sob o gráfico de f(x) ™ 25 — x 2 de x — 0 

até x — 5 usando quatro retângulos aproximantes e 
extremos direitos. Esboce o gráfico e os retângulos. Sua 
estimativa é uma subestimativa ou uma superestimativa? 
(b) Repita a parte (a) usando extremos esquerdos. 

5. (a) Estime a área sob o gráfico de/(.v) ----- I + ..r de x — - 1 até x 2 

usando três retângulos aproximantes e extremos direitos. 
Então aperfeiçoe sua estimativa utilizando seis retângulos 
aproximantes. Esboce a curva e os retângulos aproximantes. 

(b) Repita a parte (a) usando extremos esquerdos. 

(c) Repita a parte (a) empregando os pontos médios. 

(d) De seus esboços das partes (a), (b) e (c), qual aparenta ser 
a melhor estimativa? 

li 6- (a) Faça o gráfico da função f(x) ~ e~ x \ -2 x «£ 2. 

(b) Estime a área sob o gráfico de/usando quatro retângulos 
aproximantes e tomando pontos amostrais para ser 

0.) extremos direitos (ií) pontos médios 

Em cada caso, esboce a curva e os retângulos. 

(c) Aperfeiçoe suas estimativas da parte (b) usando oito retângulos. 
7-8 Com uma calculadora programável (ou um computador), é 
possível calcular as expressões para a soma das áreas dos retângulos 
aproximantes, mesmo para os valores grandes de n, usando looping. 
(Em uma TI use o comando Is >; em uma Casio use Isz; em uma HF 
ou no BASIC use um loop FOR— NEXT.) Compute a soma das áreas 
dos retângulos aproximantes utilizando subintervaJos iguais e 
extremos direitos para n = 10, 30 e 50. Então conjecture sobre o 
valor da área exata. 

7. A região sob y = sen x de 0 até rr 

8. A região sob y = l/v 2 de 1 até 2 

9. Alguns sistemas algébricos computacionais têm comandos que 
traçam retângulos aproximantes e calculam as somas de suas 
áreas, no mínimo se x f é um extremo esquerdo ou direito. (Por 
exemplo, no Maple use leftbox, rightfaox, leftsum e 
rightsum.) 

(a) Se fix) y/x, 1 «£ x 4, ache as somas esquerda e 
direita para n — 10,30 e 50. 


(b) Ilustre fazendo o gráfico dos retângulos da parte (a). 

(c) Mostre que a área exata sob / está entre 4.6 e 4.7. 

(a) Se / U) = sen t sen a'). 0 x s S tt/2, use os comandos 
discutidos no Exercício 9 para encontrar as somas 
esquerda e direita para n = ](), 30 e 50. 

(b) Ilustre fazendo o gráfico dos retângulos da parte (a). 

(c) Mostre que a área exata sob / está entre 0.87 e 0,91 . 

A velocidade de um corredor aumenta regularmente durante os 
três primeiros segundos de uma corrida. Sua velocidade na 
metade do segundo intervalo é dada em uma tabela. Ache as 
estimativas superior e inferior para a distância que ele 
percorreu durante esses três segundos. 


12 . A leitura do odómetro de uma motocicleta em intervalos de 
1 2 segundos c mostrada na tabela a seguir. 


í (Si) 

0 ! 12 

24 


48 

60 ■ 

ví oés/S ) 

30 1 28 

25 

1 D 

24 

27 


(a) Estime a distância percorrida pela motocicleta durante esse 
período, usando a velocidade no começo dos intervalos de 
tempo. 

(h) Dê outra estimativa utilizando a velocidade no fim dos 
intervalos de tempo. 

(c) As estimativas feitas nas partes (a) e (b) são estimativas 
superior e inferior? Explique. 

13 . O óleo vaza de um tanque a uma taxa de r (/) litros por hora. A 
taxa decresce à medida que o tempo passa e os valores da taxa 
em intervalos de duas horas são mostrados na tabela a seguir. 
Ache a estimativa superior e inferior para a quantidade total 
que vazou. 


h \ 


14 , Quando estimamos as distâncias a partir dos dados das 
velocidades, algumas vez.es é necessário usar tempos 
?<>, x X x . . . que não estão igualmente espaçados. Podemos 
ainda estimar as distâncias usando o período de tempo 
át- -- ti "" ] . Por exemplo, em 7 de maio de 1992, o 

ônibus espacial Emieavour foi lançado na missão STS-49 
cujo propósito era instalar o satélite de comunicação Intelsat. 

A tabela, fornecida pela NASA, mostra os dados da velocidade 
do ônibus entre o lançamento e a entrada em funcionamento 
dos foguetes auxiliares. 





James Síewarí CAPÍTUfO 5 iNiEGnAlS 379 



Utilize esses dados para estimar a altura do ônibus espacial, 
acima da superfície da Terra, 62 segundos após seu 
lançamento. 

15 . O gráfico da velocidade de um carro freando é mostrado. 

Use-o para estimar a distância percorrida pelo carro enquanto 
os freios estão sendo aplicados. 

v a 

(pés/s) 

60 \ 

X. 

V 

\ 

40 

20 

Õ 2 4 6 *t 

(segundos) 

16 . O gráfico da velocidade de um cairo em aceleração a partir do 
repouso até urna velocidade de 120 km/h em um período de 30 
segundos é mostrado. Estime a distância percorrida durante 
esse período. 

i' * 

(km/h) j 



80 i 


40 j 


Õf ]{> 20 30 t 

! (segundos) 

17-19 . Use a Definição 2 para achar uma expressão para a área 
sob o gráfico de/ como um limite. Não calcule o limite. 

In x 

17 . /(x) ~ v .v , I* jr« 16 18 . f(x) = , 3 x ** 1 0 

x 

19 . f(x) — x cos x, 0‘S A - *7 jt/2 

20-21 Determine a região com área igual ao limite dado. Não 
calcule o limite 







380 


CÁLCUtO 


Editora Tbo«iso.n 


20 . 



v* -Í 7 ITT 

21. lim >í — ts — 
4 n w 4/-? 


22. (a) Utilize a Definição 2 para achar uma expressão para a área 
sob a curva v — .r 5 de 0 a 1 como um limite. 

(b) A fórmula a seguir para a soma dos cubos dos primeiros n 
inteiros está provada no Apêndice E. Use-a para calcular o 
limite da parte (a). 


nín +1) 2 
2 

23. (a) Expresse a área sob a curva y ~ x' de 0 até 2 como um 
limite. 

(b) Use um sistema algébrico computacional para encontrar a 
soma em sua expressão da parte (a). 

(c) Calcule o limite da parte (a). 


D + 2 :í + 3 3 •+ (- r - 


'24. -Ache ò valor exato da região sob o gráfico v — e" ' de 0 até 2 
usando um sistema algébrico computacional para calcular a 
soma e então o limite no Exemplo 3{a). Compare sua resposta 
coro a estimativa obtida no Exemplo 3(b). 

25. Encontre a área exata sob a curva cosseno v = cos x de x =» o 
até x = b. onde 0 « b *£ ir/2. (Use um sistema algébrico 
computacional para calcular a soma e computar o limite.) Eni 
particular, qual é a área se b = tt/21 

26. (a) Seja A n a área de uin polígono com n lados iguais inscrito 

em um círculo com raio r. Dividindo o polígono em n 
triângulos congruentes com ângulo central Itt/h. mostre que 

, , 2tt 

A„ = -.nr " sen 

n 

(b) Mostre que !im, ; * A„ = wr z . [ Sugestão : Use a Equação 

3.4.2. | 


r* o 



Vimos na Seção 5.1 que um limite da forma 


l_L! Hm X / i-X i ) A a' lim [ / (a* r) Ax 4- j (x*) Ax + • * • 4* f (x,T ) Ax] 

aparece quando computamos uma área. Vímos também que ele aparece quando tentamos 
achar a distância percorrida por um objeto. Resulta que esse mesmo tipo de limite ocorre 
em uma grande variedade de situações mesmo quando/não é necessariamente uma função 
positiva. Nos Capítulos 6 e 8 veremos que os limites da forma (1) também surgem no 
processo de encontrar o comprimento tle curvas, volumes de sólidos, centros de massas, 
forças devido à pressão da água e trabalho, como também outras quantidades. Daremos, 
portanto, a esse tipo de limite um nome e notação especiais. 


j definição de Integral Definida Se / é uma função contínua definida por 

a x b, dividimos o intervalo [a, b] em n sub intervalos de comprimentos 
iguais Ax = (b — a)j n. Seja Xo (= à), Xj, x>, .... x„ (— b) os extremos desses 
subintervalos e vamos escolher os pontos amostrais xf , x*, . . . ,xt nesses subin- 
tervalos de forma que x* está no õésimo subintervalo | \.\. Então a integral 

definida de/ de a para b é 


f(x) dx — lim 


2/u*) 


Uma vez que assumimos / como contínua, pode ser provado que o limite da Definição 2 
sempre existe e fornece o mesmo valor, não importando como escolhemos os pontos 
amostrais xf- Se tornarmos os pontos amostrais como os extremos direitos, então xf — x :> e 
a definição de integra] fica 


3j 


*h v , . v-i 

f\x) dx = lim 2 jf{x;) Ax 





lij 

lllr 5 


James Stswart CAPÍTUIO 5 in ? tiÇHAib 


Se escolhermos o.s pontos amostrais como os extremos esquerdos, então xf Xi-t. e a 
definição fica 

\ J f(x)dx = lim 2 f(x, i) A.v 

Jo * i~- 1 

Alternativamente, podemos escolher xf corno o ponto médio do subinterv a jo ou qualquer 
outro número entre aç-i e x, . 

Embora a maioria das funções que encontramos seja contínua, o limite na Definição 2 
também existe se / tiver um número finito de descontinuidades removíveis ou saltos (mas 
não descontinuidades infinitas). (Veja a Seção 2,5.) Assim, podemos também estabelecer 
a integral definida para essas funções. 




••• 


NOTA 1 □ Q símbolo f foi introduzido por Leibniz e é denominado sinal dç integral. Ele é 
um S alongado e foi assim escolhido porque uma integrai é um limite de sortias. Na notação 
C /(■*’) /W’ é chamado integrando, a e b são ditos limites de integração, u é o limite infe- 

rior. b, o limite superior, e o símbolo dx por si só não tem um significado oficial; dx é 
todo um símbolo. O processo de calcular uma integral é conhecido como integração. 

NOTA 2 a A integral definida j’^/(x) dx é um número; não depende de x. De fato, em 
vez de x podemos usar qualquer outra letra sem mudar o valor da integral: 




b f(x) dx — | f(t) dt = | f(r) dr 

«. O Jo Jo 


NOTA 3 o A soma 


2/W)A.v 


1 


□ Bernhard Ríemann tornou-se PhD 
soD a orientação do legendário Gauss 
na Universidade de Gòttingen e íá 
permaneceu para lecionar. Gauss, que 
não tinha o hábito de elogtar outros 
matemáticos, referiu-se 3 Riemann 
como "uma mente criativa, ativa e 
verdadeiramente matemática, e de 
uma originalidade glonosamente fértil". 
A Definição 2 de integrai que usamos 
se deve a Riemann. Ele 
também fez grandes contribuições 
para a teoria de funções de uma 
variável complexa, física, matemática, 
teoria dos números e fundamentos da 
geometria. O conceito de espaço 
amplo de Riemann e a geometria 
resultaram ser a colocação correta, 50 
anos mais tarde, para a teoria da 
relatividade geral de Einstein. Riemann, 
que nunca teve boa saúde, morreu de 
tuberculose aos 39 anos. 


que ocorre na Definição 2 é chamada soma de Riemann, em homenagem ao matemática: 
Bernhard Riemann (1826-1866). Sabemos que se / for positiva, então a soma de Riemanr 
pode ser interpretada como uma soma de áreas de retângulos aproximantes (veja <■ 
Figura 1). Comparando a Definição 2 com a definição de área da Seção 5.1 vemos que e 
integral definida f ; /íx) dx pode ser interpretada como a área sob a curva y — /(x) de a até 
b (veja a Figura 2). 


[\ At 


FIGURA 1 

$e /ür) 5» 0, a soma de Riemann 2 f(x 'f) Ax 
é a soma dc áreas de retângulos. 


FIGURA 2 

Se /(.v) 5- 0, a integral J, fi-<) dx é a área sob a 
curva v = f\x) de a até b. 







Editora Thomson. 


é uma aproximação para 


V: 


a área líquida 


Sc fa ,, umir valores positivos e negativos. como na Figura 3, então a soma Uc 

... a soma das áreas dos retângulos que estão acima do eixo x e o negatno das atc. s d os 
C a soma «as ama; - , , retânsulos cinza menos as arcas M 

TSZZ *“> a QÜ™lò"<»ua,nos 'o limite dessas somas de R.emann. obtemos a 
“durada na Hgura 4 Unta integra, definida pode ser tnterprelada como aret, j 

líquida, isio é. a diferença tias áreas. 

I' f{x)dx - A, - A 2 

onde .4 , é a área da região acima do eixo a e abaixo do gráfico de/, e .4: é a área da região 
abaixo do eixo .v e acima do gráfico de ./ . 

NOTA 4 No espírito da precisa definição dc limite de uma função na Seção 2.4, | 
poZsLcrLLLLrtJo exato de Itmite que define a mtegra, na Defintçao 2 como: : 

Para todo e > 0 existe um inteiro N ta! que 


J /( v > dx - 2 f{x'i >-Vvj 


n-tru todo n > N e toda escolha de x] em 1 v . 5 . •* J ■ . 

Lo significa que a integral definida pode ser aproximada por uma soma c mann 

com qualquer grau de precisão desejado. 

nota 5 n Fmbora tenhamos definida ?JU)dx dividindo [«, b) em subin.ervalos de 
iguaLoinprimento, há 

capazes de estimar a distância percorrida. E existem métodos para a tntegraçao numenta 
mu' ti rum vantagem dos subintervalos desiguais. 

4 Se”pri'men,o S dos subimervaios forem Ax„ At, , ^ ™ ‘ 

.«tos esses eotnpnmcntos tendem a 0 no processo de « fe , 

mento, máx áx„ tender a 0. Portanto, nesse caso a definição dc uma „ 


/(aã dx 


f(xf) Au, 


EXEMPLO 1 


Expresse 


lim Í (a? + .v. sen .v. )Ax 


como unia integral no intervalo [0. rr| . ^ 

SOLUÇÃO Comparando o limite dado com o limite da Definição 2 vemos que eles sao 
idênticos se escolhermos 

f(x) = ,r + a sen a e xl — Xf 

(Lo«o os pontos amostrais são os extremos direitos, e o limite dado é da forma da Equa- 
çLíl FoLado que o - 0 e b - Portanto, peia Definição 2 ou bquaçao a, temos 

lim t [x? + -v, sen x,] âx - £V + * «=» *> dx 

Mais tarde, quando' ficarmos a integra, definida a situações físicas .^erá impemame 

reconhecer os limites de somas como inR-gims, A/l r 'tn™edientei que lembrassem o 
Leibniz escolheu a notação para a Integra], ele optou por nycuicmt | 

processo de limite. Em geral, quando escrevemos 

lim Í/(x?)Ax- j b J(x)dx 


substituímos lim A por J , .vf por a e Aa por dx. 



383 




□ As Fórmulas 7-1 0 são provadas 
escrevendo-se cada lado na forma 
expandida. O lado esquerdo da 
Equação 8 é 

ca-, + ca~- 4 -+• ca„ 

0 lado direito é 

C‘iO ; 4- fl, 4 4' a, : ) 

Eles «são iguais pela propriedade 
distributiva. As outras fórmulas estão 
discutidas no Apêndice E. 



EXEMPLO 2 □ 

(a) Calcule a soma de Riemann para f(x) ~ .r 1 — 6.x tomando como pontos amostrais 
os extremos direitos e a — 0. b — 3 e n — 6. 

(b) Calcule I ix' — 6.x) dx. 

Jo 

SOLUÇÃO 

(a) Com n — 6 o comprimento dos intervalos é 

b — a 3 — 0 1 

A v ^ 6 = I 

e os extremos direitos são xi = 0,5; x 2 — 1 *0; xj — 1 -5; -<4 ~ 2,0; x$ — 2,5 e xt — a, 0. 
Logo a soma de Riemann é 
6 

R(, = 2 fM àx 
1-1 

- /(0.5) A v + /{1 ,0) Ax + /(! ,5) A.x + /(2,0) A.v + /( 2,5) A.v + /( 3,0) A.x 

- | (--'2,875 - 5 - 5,625 - 4 + 0,625 + 9) 

- “- 3.9375 






jitora Thomssn 


= x ' - 6x 


õívT 


Observe que/não é uma função positiva e. portanto, a soma de Riemann não representa 
uma soma de áreas de retângulos. Mas ela representa a soma das áreas dos retângulos 
cinza (acima do eixo x) menos a soma das áreas dos retângulos azuis (abaixo do eixo x) na 
Figura 5. 

(b) Com n subíntervalos, temos 

b - a 3 


Assim xo — 0. Xj — 3/n, x 2 — 6/n, x$ — 9/n e, em geral, x, = 3 i/n. Uma vez que esta- 
mos utilizando os extremos direitos, podemos usar a Equação 3: 


n n / 3 / \ 3 

I (x" ! - 6 x)dx — lim X / (-*;) àx = lim ^ f I — } — 


v ~ .v - 6,v 



= lim — Ê (— V - 6Í- 

»-~ x n l \ n ! \ 

3 " [ 27 , 18 

= lim — 2j — 7 i / 

n ;=s rr n 


81 ", 54 A 

= lim — t L r 7 Z í 

n i_ i «* <-i 


1 81 /t(n + 1) 2 54 n(n + 1) 

— lim < — r r — : 

«■■■— I n 4 2 n 2 2 


— lim 


27 1 + 


27 = = -6,75 

4 




(Equações 10 e 8) 


FIGURA 6 


í ' (x 5 -- 6x) dx — A\ - A-> -6.75 

J o ■ 


Essa integral não pode ser interpretada como uma área, pois / assume os valores posi- 
tivos e negativos. Porém, ela pode ser interpretada como a diferença de áreas A } — Az , e 
Á i e Az estão na Figura 6. 

A Figura 7 ilustra o cálculo mostrando os termos positivos e negativos na soma de 
Riemann direita R, ; para n — 40. Os valores na tabela mostram as somas de Riemann 
tendendo ao valor exato da integral, -6,75, quando n — > 


FIGURA 7 
R u , ~ -6.3998 


v = X 1 6x 


¥5ííTTTíiuiHiiiiinTrriTi 

°Nf||!pF 



mi ir 3 x 



R, 

40 

--■6.3998 

1 00 

— 6 ,6 1 30 

500 

-6,7229 

1 -000 

-6.7365 

5.000 

O 


Um método muito mais simples para o cálculo da integral do Exemplo 2 será dado na 
Secão 5.3. 



JgRigs Stewart CAPITULO 5 íN'l EGRA 


' C Como fix) — e' é positiva, a integral 
no Exemplo 3 representa a área 
mostrada na Figura 8. 


'EXEMPLO 3 

(a) Estabeleça uma expressão para j,' e x dx como um limite de somas. 

(b) Use um CAS para calcular a expressão. 

SOLUÇÃO 

(a) Temos aqui fix) — e\ a = 1 ,b = 3 e 


n n 



Logo Xo = l,Aj — 1 + 2/n,Xi = 1 + 4 /n,xy ~ 1 + 6/n e 


Xi = 1 + 


FIGURA 8 


Da Equaçao 3, obtemos 


I e* dx = lim X f ( Xi ) 

J] »-♦« 


= Hm 2/ 1 4 j — 

i \ n J n 


- lim - X ***** 

«-*■“ /? , i 

(b) Se utilizarmos um CAS para calcular a soma e simplificar, obteremos 


O Um CAS é capaz de encontrar uma 
expressão explícita para essa soma, pois 
ela é uma série geométrica. O limite 
pode ser encontrado usando-se a 
Regra de L’Hôspitaí. 


2 = 

픑i 


.(3n+2)/n 


É*" - 1 


Agora usamos o CAS para calcular o limite: 


)/« - í?7 4- 2) / /> 

1 b Z C t 

e’à = lim — r 

i ». n e Vn ~ 1 


= e~ — e 


Na próxima seçao. iremos aprender um método muito mais fácil para calcular integrais. 

EXEMPLO 4 7 Calcule as integrais a seguir interpretando cada uma em termos de áreas. 

(a) j yl —x 2 dx 
J o 

(b) f 3 (x - 1 ) dx 

Jn 



X a “h V‘ v ~ I 


SOLUÇÃO __ 

(a) Uma vez que f(x) ~ X /1 — a 2 > 0, podemos interpretar essa integral como a 
área sob a curva y = y/l — x 2 de 0 até 1 . Mas, uma vez que y 2 — 1 — a 2 , temos 
a 2 + v 2 — 1,0 que mostra que o gráfico d e/é um quarto de círculo de raio 1 na 
Figura 9. Portanto 

j \íí A 2 dx - Irrd) 2 - “ 


FIGURA 9 


(Na Seção 7.3 seremos capazes de provar que a área de um círculo de raio r é i ~r~.) 






CÂLClItO 


Editora Thomson 


! \H 


FIGURA 10 



! mi 


FIGURA 11 


(b) O gráfico de v = .r — 1 é a reta com inclinação 1 mostrada na Figura 10. Calcu- 
lamos a integrai como a diferença das áreas de dois triângulos: 



U - 1 )dx = A\ - ,4 2 k(2 • 2} - 4(1 • 1} - 1.5 



V -■ ,r 


d | 4, J 


1 A Regra do Ponto Médio 


Frequentemente escolhemos o ponto amostrai x* como o extremo direito do /-ésimo 
intervalo, pois isso é conveniente para o cálculo do limite. Porém, se o propósito for 
encontrar uma aproximação para uma integral, é geralmente melhor escolher x* como 
o ponto médio do intervalo, o qual denotamos por x,. Qualquer soma de Riemann é 
uma aproximação para uma integral, mas se usarmos os pontos médios obteremos a se- 
guinte aproximação. 



EXEMPLO 5 Use a Regra cio Ponto Médio com n = 5 para aproximar T — dx. 

Ji x 


SOLUÇÃO Os extremos dos cinco subintervalos são 1 , 1 ,2 . 1 .4, 1 .6, 1 ,8 e 2,0, portanto, os 
pontos são 1 .1 . 1 ,3. 1 .5. 1 .7 e 1 ,9. O comprimento dos subintervalos é 


Ax = ( 2 ~ 1 )/5 


logo a Regra do Ponto Médio dá 


i 2 - dx « A i [/( 1,1)+ /( 1 ,3) + /( 1 5) + /( 1 ,7) + 


i / i __L , i , i 

5 l 1 .1 + 1 3 + 1 3 + 1.7 " 1 ,9 


0.691908 


Uma vez que /( x) — l/x > 0 para 1 s r 2. a integral representa uma área, e a apro- 
ximação dada pela Regra do Ponto Médio é a soma das áreas dos retângulos mostrados 
na Figura 1 1 . 



James Stewart CAPÍTULO 5 INTEGRAIS ::: 387 

Por ora. não sabemos quão precisa é a aproximação do Exemplo 5. mas na Seção 7.7 
vamos aprender um método para estimar o erro envolvido no uso da Regra do Ponto 
Médio. Então discutiremos outros métodos de aproximação de integrais definidas. 

Se aplicarmos a Regra do Ponto Médio na integral no Exemplo 2, obteremos o que está 
mostrado na Figura 12. A aproximação Mm ~ —6,7563 está muito mais perto do valor 
verdadeiro -6,75 do que a aproximação pelo extremo direito, Rm —6,3998. mostrada 
na Figura 7. 


FIGURA 12 
M 4 (, * - 6,7563 

Propriedades da Integral Definida 

Quando definimos a integral definida j '°f{x)dx, implicitamente assumimos que a < b. 
Mas a definição como o limite de somas de Riemann faz sentido mesmo que a > b . Obser- 
ve que se invertermos a e b. então àx mudará de (b — a)/n para (a — b)/n. Portanto 



Se a = 6, então áx — 0, e 

jV'Ú) dx = 0 

i J < l i 

Vamos desenvolver agora algumas propriedades básicas tias integrais que nos ajudarão a cal- 
cular as integrais de uma forma mais simples. Vamos supor que/e g sejam funções contínuas. 


Propriedades da Integrai | 

1. j c dx = c(b a), onde c é qualquer constante 

Ja ' ' \ 

2. í L/Ú) + í/ú)] dx = j f(x) dx + J g(x) dx j 

Ja Ja Ja 

3 . j cf(x) dx c J f(x)dx , onde c é qualquer constante j 

4 - I h [/Ú) ” g(x)l dx = | 1 f(x) dx - | * g(x) dx j 

Ja Ja j 

A Propriedade 1 estabelece que a integral de uma função constante f(x) — cé a constante 
vezes o comprimento do intervalo. Se c > 0 e a < b, isto é esperado, pois c(b - a) é a 
área do retângulo sombreada na Figura 13. 



y 


V c 

/ área — cíb - a) 









CÁLCULO 


Editora Thomson 




f(x) + g(x)]dx : = 

. b 4, 

j f(.x)dx + \ g(x)dx 


□ A Propriedade 3 parece 
intuitivamente razoável, pois sabemos 
que multiplicar uma função por um 
número positivo c estica ou comprime 
vertical mente seu gráfico por um fator 
de c. Logo estica ou comprime cada 
retângulo aproximante por um fator de 
c, e, portanto, tem o efeito de 
multiplicar a área por c. 


v * 



lis. Para as 

jPJIIl 

a sob g. A 
f unciona a 

i 

ira. 


uma soma 

§|g|| 


é a soma dos limites: 

j [/(..v) + g(x)]dx — lim 2 [/(-«») + g(x<)] àx 

n n 

lim ^ /( -V; ) A 1 + ^ í/i l ; ) A.v 

í» n n 

= lim S f( v, ) A \ 4- lim 2 g(Xi) àx 

" ■*«/=] " *<-! 

— j 1 f(x) d v + j g( x) dx 

A Propriedade 3 pode ser provada de forma análoga e estabelece que a integral de uma 
constante vezes uma função é a constante vezes a integral da função. Em outras palavras, 
uma constante (mas somente uma constante) pode ser colocada na frente de um sinal de 
integração. A Propriedade 4 é provada escrevendo-se f ~~ g •'--•/ + (—g) e usando-se as 
Propriedades 2 e 3 com c — — 1 . 

j* i ... 

EXEMPLO 8 r.i Use as propriedades das integrais para calcular | (4 + 3_v ) dx. 

SOLUÇÃO Usando as Propriedades 2 e 3 das integrais, temos 

i (4 -f 3 a 2 )dx — j 4 dx + I 3a 2 dx = j 4 í/a' -f 3 | x 2 dx 

Jo J o J o Jo Jo 

Sabemos da Propriedade 1 que 

í 1 4 dx =4(1 - 0) = 4 
Jo 

e encontramos no Exemplo 2 da Seção 5.1 que j x 2 dx = {. Logo 

Jo 

t (4 + 3.v 2 ) dx = I 4 dx + 3 j x 2 dx 
Jo Jo Jo 

— 4 + 3 • | — 5 

A propriedade a seguir estabelece como combinar integrais da mesma função em inter- 
valos adjacentes: 



1 

1 

1 


5, 

J f( x)dx 4- J f(x)dx — 1 f(x) dx 



Isto não é fácil de ser provado em geral, mas para o caso onde f{x) 2* 0 ta < c < b 
a Propriedade 5 pode ser vista a partir da interpretação geométrica na Figura 1 5: a área sob 
y — f(x) de a até c mais a área de c até b é igual à área total de a até b. 




FIGURA 15 



SBS 


ÜÜMÉI :: 





y = fix) | 

u 


0 1 a 

i 

FíGÜRA 16 



James Síewart 

CAPÍTULO 5 piEG 

EXEMPLO ? :::: Se jj°/(.v) dx = 17 e J®/( 

v) dx =12. ac 

te j g“/í - Y ) dx - 

SOLUÇÃO Pela Propriedade 5 temos 



r* n 

fix) dx 4- 
Jo ’ h 

' fix) dx — ( ' 

fix) dx 

no rio . , , 

loco fix) dx = f(x) d. 

w Jg ' j0 

c - i fix) dx 
J 0 ' 

= 17-12 = 5 

Observe que as Propriedades 1-5 são 

verdadeiras st 

a < b, a = b ou 


priedades a seguir, nas quais comparamos os tamanhos de funções e os de integrais, sa« 
verdadeiras somente se a «£ b. 

Propriedades Comparativas da integras 

I 'b 

6, Se f(x) 53 0 para a x ^ b. então J f(x) dx =■- 0. 

Çb Çb . ■ 

1 . Se f(x) 53 g(x) para a «s x =£ b. então j j (a) í/a ^ | g{x) dx. 

8. Se m ^ /(a) < M para a ^ x b, então 

??/(/? — ti) =£ j f(x)dx «5 Míb — ti) 


Se fix) 5» 0, então f*/U) t/v representa a área sob o gráfico de/, logo a interpretaçã 
geométrica da Propriedade 6 é simplesmente que as áreas são positivas. Mas a propriedad 
pode ser provada da definição de integral (Exercício 64). A Propriedade 7 estabelece qu 
uma função maior tem uma integral maior. Ela segue das Propriedades 6 e 4, po 
/ - g > 0. 

A Propriedade 8 está ilustrada na Figura 16 para o caso onde f(x) 5» 0. Se j for coi 
tínua poderemos tomar m e M como o máximo e o mínimo absolutos de/ no interval 
[ti, b}. Nesse caso a Propriedade 8 estabelece que a área sob o gráfico de/é maior que 
área do retângulo com altura m e menor que área do retângulo como altura M. 

Prova da Propriedade 8 Uma vez que m f (.v) ^ M. a Propriedade 7 nos da 


Usando a Propriedade 1 para calcular a integral do lado esquerdo e do lado direito, obterm 
m(b ~ a) sS I C fix) dx =£ Míb - a) 


A Propriedade 8 é proveitosa quando tudo o que queremos é uma estimativa grosseira i 
tamanho de uma integral, ou seja, sem nos preocupar com o uso da Regra do Ponto Médio 


EXEIV1PL0 8 o Use a Propriedade 8 para estimar o valor de j^e dx 




390 O CÁLCULO Editora Thomson 



()j 


: iGURA 17 


SOLÜÇÃO Uma vez qite/fr) e ' : ’ é uma função decrescente no intervalo [0. l j. seu máximo 
é M — /{()) ~ .1 e seu mínimo absoluto é m = f( 1) = e ; . Assim, usando a Propriedade 8, 

/"Kl -0 fo; jV" 1 ' dx* Kl -0) 
ou 

e 1 «s J" e. ' dx*í i 

Como e" 1 = 0.3679, podemos escrever 

0.367 « JV-' 1 dx* 1 

O resultado do Exemplo 8 é ilustrado na Figura 1 7. A integral é maior do que a área do 
retângulo inferior e menor do que a área do quadrado. 


Exercícios 


1. Calcule a soma de Riemann para f(x) — 2 — x\ 0 =s ,v «s 2, 
com quatro subintervalos, tomando os pontos amostrais como 
os extremos direitos. Explique, com a ajuda de um diagrama, o 
que representa a soma de Riemann. 

2. Se f(x) ~ in x — 1 . 1 x *£ 4. calcule a soma de Riemann 
com n ~ 6, tomando corno pontos amostrais os extremos 
esquerdos. (Dê sua resposta correta até a sexta casa decimal.) O 
que representa a soma de Riemann? Ilustre com um diagrama. 

3 . Se f(x) ~ y/x — 2,1 a* 6, calcule a soma de Riemann 
com n = 5 correta até a sexta casa decimal, tomando como 
pontos amostrais os pontos médios. O que representa a soma 
de Riemann? Ilustre com um diagrama. 

4 . (a) Ache a soma de Riemann para /(a) = x — 2 sen 2x, 

0 *£ x ^ 3, com seis termos, tomando como pontos 
amostrais os extremos direitos. (Dê sua resposta correta até 
a sexta casa decimal.) Explique o que representa a soma cie 
Riemann com a ajuda de um esboço. 

(b) Repita a parte (a) tomando corno pontos amostrais os 
pontos médios. 

5 . Ê dado o gráfico de urna função/. Estime \/f(x) dx utilizando 
quatro subintervalos com (a) extremos direitos, (b) extremos 
esquerdos e (c) pontos médios. 


1/ \ 


8. O gráfico de g é apresentado. Estime j g(x) dx com seis 
subintervalos usando (a) extremos direitos, (b) extremos 
esquerdos e (c) pontos médios. 


7 . Urna tabela de valores de uma função crescente/é dada. Use a 
tabela para encontrar uma estimativa inferior e superior para 
G*f(x)dx. 


A 

0 i 5 

/í.v! 

49 27 


8. A tabela fornece os valores de uma função obtidos 

experimentalmente. Use-os para estimar //( c ) dx utilizando 
três subintervalos iguais com (a) extremos direitos, (b) 
extremos esquerdos e (c) pontos médios. Se for sabido que a 
função é decrescente, você pode dizer se suas estimativas são 
menores ou maiores que o valor exato da integral? 



o 

1 

| j 9 

3 


5 

— ■ — 

..... ( : 1 


9 ? 

9.0 j 8.3 

6.5 

2 - 2 

7.6 




9—12 : Use a Regra do Ponto Médio com o valor dado n para 
aproximar a integral. Arredonde cada resposta para quatro casas 


decimais 

jo 


9 x/jé' + ! dx, n— 4 
J 

■jp f sen ( ,r “.) dx , n = 5 


10. j sec(;v/3 )dx, n — 6 

12 . J x e dlx, n— 4 




gs 13 . Se você tiver um CAS que possa calcular as aproximações 
: pelo Ponto Médio e fazer o gráfico dos retângulos 

correspondentes (use os comandos middlesum e middlebox 
do Maple). verifique a resposta do Exercício 1 1 e ilustre com 
um gráfico. Repita então com n - 10 e n - 20. 

14. Com uma calculadora programável ou computador (veja as 
instruções para o Exercício 7 da Seção 5.1), calcule as somas 
de Riemann esquerda e direita para a função /(x) = sen(.r) no 
intervalo |0, 1 ] com n = 100. Explique por que essas 
estimativas mostram ser 

0,306 < senÇv' ) dx < 0,31 5 

Deduza que a aproximação usando a Regra do Ponto Médio com 
n 5 no Exercício 1 1 é precisa até a segunda casa decimal. 

15. Use uma calculadora ou um computador para fazer uma tabela 
dos valores das somas R n de Riemann à direita para a integral 
jJJ sen xdx com n = 5, 10, 50 e 100. Para qual valor esses 
números parecem estar se aproximando? 

16. Use urna calculadora ou um computador para fazer uma tabela 
dos valores das somas L n e R n de Riemann à esquerda e à 
direita para a integral e~ x dx com n — 5,10,50 e 100. Entre 
quais dois números o valor da integral deve ficar? Você pode 
fazer uma proposição análoga para a integral / 2 , e dx ? 
Explique. 

17-20 7 Expresse o limite como urna integral definida no intervalo 

dado. 

17. lim 2 Xj serfé, àx, [ 0 , rr] 

18. lim 2 — 7 — [E 5] 

19. lim xflx^ + (xj Y Ax, [1.8] 


Jantes Stewart CAPÍTULO 5 391 


ív > , b ' — a' - - 

28. Prove que j x~ dx — --- — — — . 

21-38 :: Expresse a integral como um limite de s0r ^ s . Então cal 
cule. usando um sistema algébrico computacional- ac har a 
soma e o limite 

r h x r 10 -2 1 . 

29. f -dx 30. f (x )dx 

J 2 1 + x' 


31-32 Expresse a integral como um limite de son 13 ^ p^tis, aV alic 
usando um sistema algébrico computacional para aciv. ir a soma e o limite 


31. f senS.v dx 

Jv 


31. í V ’ dx 


33 . O gráfico de/está mostrado. Calcule cada integ^; 
interpretando-a em lermos das áreas. 

(a) P fíx) dx (b) \ \f(x)dx % 


(a) fíx) dx 
Jo ' 

(C) I fíx) dx 


(d) I f(x) dx 


y =J\x) 


2 4 8 4 ^; 

; 

\ m* 


34. O gráfico de g consiste em duas retas e um semicín^fe Use-o 
para calcular cada integral. 

(a) ) * g(x) dx (b) | * g(x) dx (c) | gflp 

Jo J2 


20 . lim 2 f 4 “ 3(.q )“ + 6 (.y )' ]Av [ 0 . 2 ] 


21-25 Use a forma da definição de integrai dada na Equação 3 
para computar a integral. 


21. 

1 (14 3 x)dx 

J — ] 

a í 



rs 

23. 

i " (2 — x 2 ) dx 

Jo 

24. j 

25. 

| x ' dx 



26. (a) Ache uma aproximação para a integral J* (x 2 - 3v) dx usando 
uma soma de Riemann com os extremos direitos e n = 8 , 

(b) Faça um diagrama como a Figura 3 para ilustrar a aproxi- 
mação da parte (a). 

(c) Use a Equação 3 para computar j* {x~ - 3x) dx . 

(d) Interprete a integrai da parte (c) como uma diferença de 
áreas e ilustre com diagramas corno o da Figura 4. 


y = gf(.v) 


V / 


35-40 Calcule a integral interpretando-a em termos 

35. í \\x - I ) dx 36. I ' V4 - x z dx 


37. f (l + y/ 9 X 2 )dx 

J-3 ' 

39. I ' \x\ dx 


38. [ (U2aí 


40. | jx-5|íír 


41. Dado que j ‘ ~jx dx = f . quanto é j o V* dn 



'■ 392 n CÁLCULO Editora ThofnsGo 


42. Calcule j ' x 2 cos x dx. 

3 1 .. 

43. No Exemplo 2 da Seção 5.1 mostramos que J 0 ‘ x~ dx = j. 

Use esse fato e as propriedades das integrais para calcular 
íj (5 — 6;r 2 ) dx. 

44. Use as propriedades das integrais e o resultado do Exemplo 3 
para calcular j.'(2e ' — 1 )dx. 

45. Use o resultado do Exemplo 3 para calcular ff e x< ' 2 dx. 

46. Use o resultado do Exercício 27 e o fato de que 

Çf 2 cos x dx = 1 (do Exercício 25 na Seção 5.1), junto com as 
propriedades das integrais, para calcular 
(/ ’ (2 cos x -- 5.i ) dx . 

47. Escreva corno uma integral única no formato ff f(x) dx. 

J\ fix) dx +£ f(x) dx ~ j ‘ fix) dx 

5 5 4 

48. Se J f (x) dx = 12 e f(x) dx = 3,6, ache J f (x) dx. 

9 9 9 

49. Se f{x) dx = 37, e J g (x) <7x = 1 6, ache f (2/(x) + 3 <7x 

50. Ache f(x)dx se /W = [UpâraíÍ3 

51-54 Use as propriedades das integrais para verificar a 
desigualdade sem calcular as integrais. 

51. j seira dx *£ | sen fxdx 

52. j " v5 ::;: 'x dx * 1 2 v t +1 dx 

Ji Ji 

53. 2 f 1 vl + 'x 2 dx =s 2 y/2 


54. — sen x dx — 

6 .'«r/ft 3 


Use a Propriedade 8 para estimar o valor da integral. 


55. 


56. 1 

i V-C + í ü 

57. | 

f ts x dx 

58. | 

fY/ -3x + 

J 

59. 

ri/4 

j xe'" - ' dx 
0 

J 

69. j 

0 

| sen "xdx 


tjs-eZ : Use as propriedades das integrais, junto com os 
Exercícios 27 e 28, para provar a desigualdade. 


61. f v 4 + 1 dx 


82. j x sen x dx 

J 0 


63. Prove a Propriedade 3 das integrais. 

64. Prove a Propriedade 6 das integrais. 

65. Se /for contínua em [a, b\, mostre que 

1 1 fix) íivj j | fix) | dx 

[Sugestão: — \ fix) | ~í fix) ^ j fix) j.J 

66 . Use o resultado do Exercício 65 para mostrar que 

j j ' fix) sen 2-x dx | =s jj" j f(x) | dx 

67-68 :: Expresse o limite como uma integral definida. 

~ / ' l 

67. lim 2 — r [Sugestão: Considere fix) ~ ,v 4 .] 

1 A 1 

68. lim — 2 TTTV 

«— * n t 1 -1- {i/n)~ 

69. Ache j ‘ x 2 dx. [Sugestão: Escolha xf como a média geométrica 
de a>. ] e x, (isto é, xf = yft~7x~ ) e use a identidade 

_ J I _ ] _ 

mim + 1) rn m + 1 


Projeto Descoberta / . • . Funções Áreas 


1. (a) Trace a reta y — 2l + 1 e use a geometria para achar a área sob essa reta. acima do eixo 

t, e entre as retas verticais t = 1 e t — 3. 

(b) Se a > 1 , seja A(x) a área da região que está sob a reta y — 2í -f 1 entre t = 1 e t = x. 
Esboce essa região e use a geometria para achar uma expressão para A(x). 

(c) Diferencie a função área Aix). O que você nota? 

2. (a) Se x — 1 , seja 

Aix) - p (1 + t 2 )dt 

Aix) representa a área de uma região. Esboce essa região. 

(b) Use o resultado do Exercício 28 da Seção 5.2 para encontrar uma expressão para AÍ.x). 

(c) Ache Aix). O que você nota? 


James Stewart 


333 



CAPÍTULO 


(d) Se x 5* — X e h é ura número positivo pequeno, então A{x + h) — A{x) representa a área 
de uma região. Descreva e esboce a região. 

(e) Trace um retângulo que aproxime a região da parte (d). Comparando as áreas dessas 
duas regiões, mostre que 

í4(jc -t- h) - ALx) __ ^ , 

h 

(f) Use a parte (e) para dar uma explicação intuitiva para o resultado da parte (c). 


I! 3. (a) Trace o gráfico da função f(x) - cos(x 2 ) na janela de inspeção [0, 2] por (-1 ,25, 1 ,25]. 
(b) Se definirmos uma nova função g por 


g(x) 


cos(r) di 


então g(x) é a área sob o gráfico de /de 0 até x [até j\x) torna-se negativa, onde g(x) 
torna-se uma diferença de áreas]. Use a parte (a) para determinar o valor de x no qual 
g(x) começa a decrescer. [Diferente da integral do Problema 2, é impossível calcular a 
integral definindo g para obter uma expressão explícita para g(x).\ 

(c) Use o comando de integração em sua calculadora ou computador para estimar g{ 0,2), 
3(0,4), 3(0,6), 3(1.8), 3(2). Então use esses valores para esboçar um gráfico de 3. 

(d) Use seu gráfico de 3 da parte (c) para esboçar o gráfico de 3' usando a interpretação de 
g'(x) como a inclinação de uma reta tangente. Como comparar g com o gráfico de /? 

4 . Suponha que / seja uma função contínua em um intervalo [a, b] e definimos uma nova 

função 3 pela equação 

g(x) — | \f(t)dt 

J a 

Baseado nos resultados dos Problemas 1-3, conjecture uma expressão para g'(x). 



O Teorema Fundamental do Cálculo 


área = g(x) 



0| a x b 

FIGURA 1 


O Teorema Fundamental do Cálculo estabelece uma conexão entre os dois ramos do cál 
culo: o cálculo diferencial e o cálculo integral. O cálculo diferencial surgiu do problerm 
da tangente, enquanto o cálculo integral surgiu de um problema aparentemente não rela 
cionado. o problema da área. O professor de Newton em Cambridge. Isaac Barrow (1630 
1677), descobriu que esses dois problemas estão de fato esíreitamente relacionados. El< 
percebeu que a diferenciação e a integração são processos inversos. O Teorema Fun 
damental do Cálculo dá a precisa relação inversa entre a derivada e a integral. Foran 
Newton e Leibniz que exploraram essa relação e usaram-na para desenvolver o cálcuk 
como um método matemático sistemático. Em particular, eles viram que o Teorem; 
Fundamental os capacitou a computar as áreas e integrais muito mais facilmente, sem qu< 
fosse necessário calculá-las como limites de somas, corno fizemos nas Seções 5.1 e 5.2. 

A primeira parte do Teorema Fundamental lida com funções definidas por uma equaçãr 
da forma 

m <?(.*') — 1 f{t) dt 

onde/é uma função contínua em [a, b] e x varia entre a e b. Observe que g depende somen 
te de x , que aparece como a variável superior do limite na integral. Se x tor um numere 
fixado, então a integral \ ' j U) dt é um número definido. Se variamos x, o número J n f(t) dt 
também varia e define uma função de .x denotada por g(x). Se / for uma função positiva 
então g(x) pode ser interpretada como uma área sob o gráfico de/ de a até x, onde x pode 
variar de a até b. (Imagine g como a função “área até aqui", veja a Figura í .) 



Editora Thomson 



394 □ CALCULO 






Z' 

j / 

1 2* \ 4 /: *í 


)\y | 




Ti 





/i 

1 


o 

1 * 


i y 

‘ J ' 





L -j 


— 

0 

\ : 

t 



1 


íK 1)= 1 
FIGURA 3 


fK2) 


4 i 


I 


\ g 

X 


í 

() ! i 
4GURA4 


0(. r) - 

f:f(t)dt 





j 

f \ 

h 

f. 


L 

m 


1 

0 1 a } 

b / 

! 

X 

x+ h 


FIGURA 5 


~ v 1 ^e/ c a í unção contínua cujo gráfico está mostrado na Fie ura 2 e q(x) = 

./ (t)dt, ache os valores de <?(0). £/( 1 ). cjf{2). ç/{3), í/( 4) e í;( 5). A seguir, laça um esboço 
do gráfico der g. 

SOLUÇÃO Primeiro note que giO) = /{/)<// - 0. Da Figura 3. sabemos que q{ 1 ) é a área 

do triângulo: 

g( 1)= f’ / (r ) <// — --{ I - 2) — 1 

J o 9 

Para achar <y(2) somamos </( 1) a área de um retângulo: 

9(2) - £ f(i)dt ~ J f (f) dl + f f{t)dt - ! + (i-2) = 3 

Estimamos que a área abaixo da curva definida por/ no intervalo de 2 a 3 é aproximada- 
mente 1 3. assim. 



0 (3) - 9(2) +JI fit) di -3+1.3 = 4 , 


1 'T* 

L A. 






.... i 

/ 


\ 

\ 

\ 


0 



J 2 3 í 


g{3)~ 43 


y 

. A 






L. ] 

j 

+ 

\ 



! 

j 

\ 



0 




\ 4 ! \ 




; \ | 



1 í 1 


í/t 4) ~ 3 


| T‘ 

A. 







1" I 

/ 

+ 





/ 

à 




0 


2 

\ ^ 

~~J 

1 

~7 




\ ~ / 
\ i / 

s.l/ 



i j 





9(5) ~ 1 .? 


Para / > 3, /ir) é negativo e. dessa forma, começamos a subtrair as áreas: 

4 — 

9( 4) = <v(3) + J /(O A - 4,3 + ( - 1 ,3) = 3 ,0 
0(5) = 0(4) + f /(r) dt « 3 + (- 1 ,3) = 1 ,7 

Usamos esses valores para íazer um esboço do gráfico de g apresentado na Figura 4. 
Observe que, pelo tato de/ri) ser positiva para t < 3. continuamos adicionando área para 
/ < 3 e assim g é crescente até x = 3, onde atinge o seu valor máximo. Para \ > 3, g decresce 
porque f(t) é negativo. 


gíx) 


tdt — — 

Jo 2 


Note que g (a) = x, isto é. g = f . Em outras palavras, se g for definida como a integral de 
f P e ^ a Equaçao I . então g resulta ser uma antiderivada de /, pelo menos nesse caso. E se 
esboçarmos a derivada da 1 unção g mostrada na Figura 4 pelas inclinações estimadas das 
tangentes, teremos um gráfico semelhante ao de /na Figura 2. Portanto, suspeitamos que 
g’ — /, também, no Exemplo 1 . 

Paia ver por que isso pode ser verdadeiro, em geral consideramos qualquer função con- 
tínua/ com f{x) Fã 0. Então g(x) — (//(/) dt pode ser interpretada como a área sob o grá- 
fico de / de a até x, como na Figura 1 . 

A l im de computar g'(x) da definição de derivada, primeiro observamos que, para 
h > 0 ,g(x + h) — g(x) é obtida subtraindo-se as áreas, logo ela é a área sob o gráfico de 
/ de x ate x + h (a área em destaque da Figura 5). Para h pequeno você pode ver da figura 
que essa área é aproximadamente igual à área do retângulo com altura /(.x) e largura h: 

g(x T- h) - g(x) ~ hf(x) 

, g(x + h) — g(x) , „ 

logo « f(x) 


I 





James Stewart CAPÍTULO 5 INTEGRAIS Z 39* 

íntuitivamente, portanto, esperamos que 

. ü(X + h) — íy(x) 

9 W = lim T'—'— = fix) 

D Abreviamos o nome desse teorema Isso é verdadeiro mesmo quando f não é necessariamente positiva, como demonstra t 

para TFO Esse teorema cirz que a primeira parte do Teorema Fundamental do Cálculo, 

derivada cie uma integral definida em 

relação a seu limite superior é o f TC “ T " ' I “ ~ 7T 

integrando calculado no limite superior i Te0rem8 Fundamental da Calculo, Parte 1 Sc / for contínua em («. *]. então a 

! função g definida por 


y\ x y=f(x) | í 


X 14 V = X h 


FIGURA 6 


g( t í = | fit) dt a *£ x -Z b 
é contínua em [a, b] e díferenciãvel em (a. b) e g'{x) fix). 

Prova Se .v e x 4- h estão em (a, b), então 

g(x + h) - g(x) — j fit) dt — j fit) dt 


\ 

J f(t)dt + j fit) dt J - I f(t)dt 




f(t) dt 


logo, para /? # 0. 


a >!t " -\-\mj, 

h h Jx 

Por ora. vamos assumir que h > 0. Uma vez qu e/é contínua em [x, x + /?], o Teorema do 
Valor Extremo estabelece que há números u e v em [x.x + /;] tal que fia) ~ m e fiv) — M 
. onde m e M são valores mínimo e máximo absolutos de/em [x.x + h] (veja a Figura 6). 
Pela Propriedade 8 das integrais, temos 

mh | fit) dt -z Mh 

isto é, f{ii)h -í j fit) dt ^ f(v)h 

Jx 

Uma vez que h > 0, podemos dividir essa desigualdade por h: 

f(u) s£ — j ' fit) dt sS fiv) 
n 'x 

Agora usamos a Equação 2 para substituir a parte do meio dessa desigualdade: 

. , qix + h) — í/(.y) . , 

lü /(«) S 7 — « /W 

h 

A desigualdade 3 pode ser provada de unia maneira similar para o caso onde h < 0 (vej; 
o Exercício 63). 

Agora tomemos h — > 0. Então u x e v x, uma vez que u e v estão entre x e 
x 4- h. Consequentemente 

lim fiu) = lim f(u) = f(x) e lim f(v) — hm fiv) — fix) 

h —* 0 u -*.x h -■■■'{)' i- 

pois fé contínua em x. Concluímos, de (3) e do Teorema do Confronto, que 

•— "i ,( x 9(- x + /? ) “ 9Í X ) . 

i 4 ! g (x) — lim — f(x) 

>■ *o h 

Se x = a ou b, então a Equação 4 pode ser interpretada como um limite lateral. Então o 
Teorema 2.9.4 (modificado para limites laterais) mostra que g é contínua em [a. h\. 

Usando a notação de Leibniz para as derivadas, podemos escrever TFC1 como 

| 5 1 — } f{t) dt — fix) 


g’{x) -- lim 


396 


CÁLCULO 


Editara Thomson 


quando /for contínua. Falando não rigorosamente, a Equação 5 nos estabelece que se 
primeiro integramos /e então diferenciamos o resultado, retornamos à função originai f. 

EXEMPLO 2 Ache a derivada da função g(x) — j ’ /] + t 2 dt. 

SOLUÇÃO Uma vez que fít) ~ v 1 + t 2 é contínua, a Parte 1 do Teorema Fundamental 
do Cálculo fornece 

9 '(•*)„— Vl "h -T 2 

EXEMPLO 3 a; Embora a fórmula da forma g(x) = f j/(ri dt possa ser vista como uma 
maneira estranha de definir uma função, livros de física, química e estatística estão 
repletos dessas funções. Por exemplo, a função de Fresnel 

S(x) = j senf 7rí 2 /2) dt 
Jo 

é assim chamada em homenagem ao físico francês Augustin Fresnei (1788-1827), 
famoso por seus trabalhos em óptica. Essa função apareceu pela primeira vez na teoria 
de difraeão das ondas de luz de Fresnel. porém mais recentemente foi aplicada no 
planejamento de auto-estradas. 

A parte 1 do Teorema Fundamental nos diz como diferenciar a função de Fresnel: 

5'(x) = sen ( ir x V 2) 


Isso significa que podemos aplicar todos os métodos do cálculo diferencial para analisar 
5 (veja o Exercício 57). 

A Figura 7 mostra os gráficos de f(x) — $m(i7X 2 /2) e a função de Fresnel 
S(x) — jo /(O dt. Foi usado um computador para fazer o gráfico de S computando o valor 
dessa integral para vários valores de x. Realmente parece que S(x) é a área sob o gráfico 
de/ de 0 até x [até x ~ 1 ,4 quando S(x) torna-se uma diferença de áreas}. A Figura 8 
mostra uma parte maior do gráfico de S. 



FIGURA 7 

flx) ™ sen ( v .r/2) 

5(,t) — j () sen ( rr r/2) dt 


0,5 



FIGURA 8 

A função de Fresnel S(x) = j 0 sen ( rr f/2) dt 


Se começarmos agora com o gráfico de S da Figura 7 e pensarmos sobre como deve 
ser sua derivada, parece razoável que S'(x) ~ f(x) . [Por exemplo, S é crescente quando 
/ ( x ) > 0 e decrescente quando fix) < 0 .] Logo, isso dá urna confirmação visual da 
Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo. 




•JaiTies Stewart CAPÍTULOS INstGRAÍS C 397 


d ' x ~ 

EXEMPLO-; Ache — sec tdt. 

dx - n 

SOLUÇÃO Aqui devemos ser cuidadosos para usar a Regra da Cadeia em conjunçio com 
oTFCl.Seja u = x 4 . Então 


d çx 

d 

fu 

— 

sec t dt = —— \ 

sec t dt 

dx Ji 

dx - 

h 


d 

j U 


= 

1 sec t dt 


du 

J i 
du 


= sec u — 
dx 


— secÇx 4 ) * 4.r ? 


Na Seção 5.2 computamos as integrais a partir da definição como um limite de somas 
de Riemann e vimos que esse procedimento é às vezes longo e difícil. À segunda parte do 
Teorema Fundamental do Cálculo, que segue facilmente da primeira parte, nos fornece um 
método muito mais simples para o cálculo de integrais. 


I Teorema Riodaremiíal do Cálculo, Paris 2 Se /for contínua em [a, b], então 

j f(x) dx ~ F(b) ~ F(a ) 
i Ja 

onde F é qualquer antiderivada de/, isto é, uma íimção tal que F’ — j . 


Prova Seja g(x ) — /'/(?) dt. Sabemos da Parte 1 que g’(x) — f(x); isto é, g é uma anti- 
derivada de/. Se F for qualquer outra antiderivada de /em [a, b], então sabemos do 
Corolário 4.2.7 que F e g diferem por urna constante: 

[6] F(x) = g(x) + C 

para a < x < b. Mas, tanto F quanto g são contínuas em [a, b] e, portanto, tomando 
limites de ambos os lados da Equação 6 (quando x — » a r er-> b ), vemos que isso 
também é válido quando x = a e x = b. 

Se fizermos x = a na fórmula de g(x), obteremos 


g(a) = j f(t) dt = 0 


Portanto, usando a Equação 6 com x = b e x = a, temos 

F(b) - F(a ) - [g(b) + C] - \g(a) + C] 

= g(b) - g(a) = g(b) = ( */(*) dt 

J a 


A Parte 2 do Teorema Fundamental estabelece que se conhecermos uma antiderivada F 
de /, então poderemos calcular j */(■*) dx simplesmente subtraindo os valores de F nos 
extremos do intervalo [a, b]. E muito surpreendente que \*f{x)dx, definida por um 




Editora shoroson 


procedimento complicado envolvendo todos os valores de f(x ) para a v b. pode ser 
encontrado sabendo-se os valores de F(x) em somente dois pontos, a e b. 

Embora o Teorema possa ser surpreendente à primeira vista, ele fica plausível se o inter- 
pretamos em termos físicos. Se v(t) for a velocidade de um objeto e s(i) for sua posição no 
instante i. então v(t) — s'{t ). portanto „s é uma antiderivada de v. Na Seção 5.1 conside- 
ramos um objeto que se move sempre no sentido positivo e fizemos a conjectura de que a 
área sob a curva da velocidade é igual a distancia percorrida. Em símbolos: 


Isso é exatamente o qxie o TFC2 estabelece nesse contexto. 


□ Compare os cálculos do Exemplo 5 
com os do Exemplo 3 na Seçáo 5.2, 
muito mais difíceis. 


EXEMPLO 5 Calcule a inteeral | e x dx. 

Ji 

SOLUÇÃO A função f(.x) ~ e x é continua em toda parte e sabemos que uma antiderivada 
é F(x) = e x \ logo, pela Parte 2 do Teorema Fundamental, temos 

e*dx = F( 3) - F{\) - c 3 - e 

Observe que o TFC2 estabelece que podemos usar qualquer antiderivada F de j. Por- 
tanto podemos usar a mais simples, isto é, F(x) — e\ em vez de e x + 7 ou e* + C. T 


Frequentemente usamos a notação 


F(x)] (í = F{b) ~ F(a) 


Logo a equação do TFC2 pode ser escrita como 


! ’ fix) dx — F(x)\ ú onde f’ — f 


Outras notações comuns são F(x) |* e | Fi .\ ) |.'í. 


j Quando aplicamos o Teorema 
Fundamental usamos urna antiderivada 
F de f particular. Mão é necessário uti- 
lizar a antiderivada mais geral. 


EXEMPLO 6 j Ache a área sob a parábola y ■= a 2 de 0 até i . 

SOLUÇÃO Uma antiderivada de /(a) — a 2 é Ff a) ~ ^ a a A área A pedida é encontrada 
usando-se a Parte 2 do Teorema Fundamental: 


x~ dx — — 


F 0 


Se você comparar o cálculo do Exemplo 6 com o do Exemplo 2 na Seção 5.1 verá que 
o Teorema Fundamental dá um método muito mais curto. 


EXEMPLO 7 □ Calcule 


SOLUÇÃO A integral dada é uma abreviação para 


James Stewarí CAPÍTULOS INTEGRAIS “ 

Uma antiderivada de fix) — l/x é Fix) — ln ! .v j.e, como 3 r sS 6. podemos es- 
crever Fix) — ln x. Logo 

i* T 1 1 ^ 

“ dx ln x ~ — ln 6 - ln 3 


EXEMFIO 3 : Ache a área sob a curva cosseno de O até h, onde 0 •=£ b «S tt/2. 

SOLUÇÃO Uma vez que uma antiderivada de fix) = cos x é Fix) = sen x. temos 

,4 5= j cos x t/x — sen x] o ~ sen b — sen 0 = sen b 
Jo 

Em particular, tomando b — tt/2, temos provado que a área sob a curva cosseno de 0 
até ~/2 é sen(7j/2) ~ 1 . (Veja a Figura 9.) 

Quando o matemático francês Gilies de Roberval encontrou a área sob as curvas sem 
e cosseno, em 1635, isto era um problema muito desafiante que requeria uma grande dos< 
de engenhosidade. Se não tivéssemos a vantagem do Teorema Fundamental, teríamos dt 
computar um limite de somas difícil usando obscuras identidades trigonométricas (ou un 
CAS, como no Exercício 25 da Seção 5.1). Isso foi ainda mais difícil para Roberval 
porque o aparato de limites não tinha sido inventado em 1635. Mas nos anos de 1660 < 
1670, quando o Teorema Fundamental foi descoberto por Barro w e explicado por Newtoi 
e Eeibniz, esses problemas ficaram muito fáceis, como você pode ver no Exemplo 8. 

EXEMPLO 9 O que está errado no seguinte cálculo? 


SOLUÇÃO Para começar notamos que esse cálculo deve estar errado, pois a resposta é 
negativa, mas fix) — l/x 1 2 s* 0 e a Propriedade 6 de integrais estabelece que 
f* f(x) dx -> 0 quando / S* 0. O Teorema Fundamental do Cálculo aplica-se a uma 
função contínua. Ele não pode ser aplicado aqui, pois fix) = l/x 2 não é contínua em 
[ — 1 . 3], De fato,/ tem uma descontinuidade infinita em x — 0, portanto 

p 1 , 

1 t dx nao existe 


1 Diferenciação e Integração como Processos Inversos 

Vamos finalizar esta seção justapondo as duas partes do Teorema Fundamental. 


0 Teorema Fundamenta! do Cáfciits Suponha que/ é contínua em [a, b], 

1, Se g(x) = j*f(t)dt, então cf(x) — fix). 

2 . y'f{ x ) dx = F(b) - Fia), quando F for qualquer antiderivada de/, isto é, F’ =f. 


Notamos que a Parte 1 pode ser reescrita como 

— I ’ fit) dt — fix) 
dx Jo 

o que estabelece que se / for integrada e o resultado, diferenciado, obteremos de volta 
função original /. Como F’ix) = fix), a Parte 2 pode ser reescrita como 


1 Ffx) dx — F(b) — F(a) 



Essa versão estabelece que se tomarmos uma função F, a diferenciarmos e depois inte- 
grarmos o resultado, chegaremos de volta à função original F. mas na forma Fib) ~ Fia). 
Juntas as duas partes do Teorema Fundamental do Cálculo estabelecem que a diferencia- 
ção e a integração são processos inversos. Cada um desfaz o que o outro fez. 

O Teorema Fundamental do Cálculo é inquestionavelmente o mais importante do cál- 
culo e realmente é um dos grandes feitos da mente humana. Antes de sua descoberta, desde 
os tempos de Eudóxío e Arquimedes até os de Galileu e Fermat, os problemas de encon- 
trar áreas, volumes e comprimentos de curva eram tão difíceis que somente um gênio 
poderia fazer frente ao desafio. Agora, porém, armado com o método sistemático que 
Leibniz e Newton configuraram para o Teorema Fundamental, veremos nos capítulos a 
seguir que esses problemas desafiantes são acessíveis para todos nós. 



Eáítora Thomson 


□P CMCÍif.0 


5.3 


Exercícios 


1. Explique claramente o que você entende por “diferenciação e 
integração são processos inversos”. 

2 . Seja g(x) = J f { t)dt , onde fé a /unção cujo gráfico é mostrado. 

(a) Avalie g(x) para x = 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6. 

(b) Estime g( 7). 

(c) Onde g tem um valor máximo? Onde possui um valor 
mínimo? 

(cl) Faça um esboço do gráfico de g. 


1 ] 

í- 

i 


(■— j— 1 

7 

7 

\ 

— j 



Y 





\ 


/j 




j\ 

/ 

4 



í 








3 . Seja gíx) = !,'/(?) dl. onde fé a função cujo gráfico está 
mostrado. 

(a) Calcule ${()). gíl), g( 2), g( 3) e g{6). 

(b) Em que intervalos g está crescendo? 

(c) Onde g tem um valor máximo? 

(d) Faça urn esboço do gráfico de g. 


• y , 


• • \ 

\f 

0 

1 \ / ’ 


\ / 




4. Seja g{x) = (Ã/{f) dt , onde fé uma função cujo gráfico está 
mostrado. 

(a) Calcule g( — 3)e g{3). 


(b) Estime g{- 2), g{- 1 ) e #(()). 

<c) Em que intervalo g está crescendo? 

(d) Onde g tem um valor máximo? 

(e) Faça um esboço do gráfico de g. 

(f) Use o gráfico da parte (e) para esboçar- o gráfico de g'(x). 
Compare com o gráfico de /. 


y j 

K : : 

1 

f/A 

•• ; 

/ ■ 

...j. ....... 

0 

•\ 1 / i I 

\iZi | i 




5—8 :: Esboce a área representada por g(x) . Então ache g'(x) de 
duas maneiras: (a) utilizando a Parte 1 do Teorema Fundamental e 
(b) calculando a integral usando a Parte 2 e então diferenciando. 

5 . g(x) = t 2 dt 6 . g(x)=J^(\ + yft)dt 

?■■■•• 18 Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para 

achar a derivada da função. 

7. g(x) — | JTTlítdt 8. g{x) = In t dt 

9 . g(y) — j t 2 sen t dt 10 . g(u) ~ j dx 

~ 2 Jj x + x ‘ 

11. Fix) — | cos(C) dl 

Sugestão : j " eos(/ 2 ) dt = - j ' cosí/ 2 ) dt 

no 

12. F(x) = ) tg QdO 







13. h(x) = j " a arctg t dl 
,\x cos í , 


14. híx) — S" yT + r 5 dr 


17. y = r. TTTT* 


/1-3.Y 1 + 


18. v ”j {t + senr) dt 

fO 

18. v — i sen'? dt 


ig_42 Use a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo para 
calcular a integral, ou explique por que ela não existe. 


19. I ' x*dx 
21 . | * (4.í + 3) dx 


20 . J 6 dx 

22. j (I + 3v -C)í/y 


23. f x' 1 ’7/x 

Jo 


25, h7 dí 


24. £ <fx dx 

26. 


27. f ——dx 


28. ' cosV de 


a ÍÔ x{2 + x 5 )dx 
31. J sec~ t dt 


30. — d* 

h y/x 


32. j (3 + xyx) <ir 


itn 

f cossec 2 0 d 0 

34. f cossec 

Jo 

\ 9 ~dx 
h lx 

36. j\o x dx 

r sa 6 d, 

J 4 

38. f - rr—dt 

k, vrm 

J' e ü + 1 du 

r + 1 

2 

J-A + u 

40. f ~~~d 
J* u 

| ~f{x)dx onde f(x) = 

íx 4 se 0 =s x < 1 
[x' se 1 ^ x 2 


42. p f{x)dx onde /(x) 


x se — ir =£ x ^ 0 

sen x se 0 < x «£ tt 


§§ 43--4B Use o gráfico para dar uma estimativa não precisa da área 
da reaião que está situada abaixo da curva dada. Então ache a área 
exata. 

43. y — y/x, 0 « x =s 27 44. y — x ~ 4 , 1 « x « 6 

45. y — sen x, 0 *£ x ^ tt 46. y — sec 2 x, 0 «5 .x ^ ir/3 


47-48 □ Calcule a integral e interprete-a como uma diferença das 
áreas, ilustre com um esboço. 


47, r x 3 dx 


ÇS-tt/l 

48. sen x dx 


James Siewart CAfÍTULQ 5 ÍN T E 
Ache a derivada da função 


. . r:« u~ - \ 

49. a(x> — | — ; du 

S U" -4" S 


«2* U* + i 

Sugestão : j fiit) du = j f{i { ) du + j 


f(u) chi 


50. q{x) - * dt 

J Jtgx y/2 + t 4 


51 . y — j „ yft sen t dt 


cosí h O du 


53. SeHx) — j f(t) dtxmde fít) — (' — tJÍ— ^«.determine F'(2 

m ' ' Ji u 


54. Ache o intervalo em que a curva 

v — j ~~ r dt é côncava para cima. 

Ai i + t + t 2 

_4 


Jo 1 + t + r 

r 4 

55. Se /f 1 ) = 12 ,/ ' é contínua ej ^ t {x)dx = .17, qual é o valor de /(4) 


56. A função erro dada por 

9 j 

erf{x)^—p f 
VttJo 

é muito usada em probabilidade, estatística e engenharia, 
(a) Mostre que e” ' dt— j 7{erf (h) - erf(a) ]. 


(b) Mostre que a função v = e*' erf(x) satisfaz a equação 
diferencial y'= 2xv + 2N^ . 


57. A função Fresnel S foi definida no Exemplo 3, e seus gráficos 
estão nas Figuras 7 e 8. 

(a) Em que valores de x essa função tem valores de máximo locais? 

(b) Em que intervalos a função é côncava para cima? 

(c) Use um gráfico para resolver a seguinte equação, correta 
até duas casas decimal: 

j sea(irt 2 /2) dt ~ 02 
Jo 

58. A função integral seno 

, , f*.r sen i . 


é importante em engenharia elétrica. [O integrando 
f{t) — (sen t)/t não está definido quando t — 0, mas sabemos 
que seu limite é 1 quando t — 0- Logo definimos /(()} = .1 , e 
isso faz de/ uma função contínua em toda parte. j 

(a) Trace o gráfico de Si. 

(b) Em que valores de x essa função tem valores de máximo locai: 

(c) Ache as coordenadas do primeiro ponto de inflexão à direit 
da origem. 

(d) Essa função tem assintotas horizontais? 

(e) Resolva a seguinte equação correta até uma casa decimal: 

cx sen? , 


53-80 □ Seja g(x) ~ dt, onde/é a função cujo gráfico está mostrad 

(a) Em que valores de x ocorrem os valores de máximo e mínírr 
local em g! 

(b) Onde g atinge seu valor máximo absoluto? 






<• <■ ■ 

402 ; ' CÁLCULO Editora Thomson 


Y/Y/,' 


:^^-.(c)- Em que intervalos g é côncavo para baixo 
§§§•.' (d) Esboce o gráfico de g. 


53. y f 




6/8 ; 


§0. va 


0.4 1/ \ 

0,2 I 


5 \ 7/ 9 


Ê"i~S2 □ Calcule o limite reconhecendo primeiro a soma como uma 
soma de Riemann para uma função definida em [0, 1]. 


A / 

61. hm 2j — T 

«— ;-i n 

^ .. 1 / 


62. lím — I i! — l a / — " a / + • • • + a / — 

«-->■* n \ V 77 V 77 V 77 V 77 


63. Justifique (3) para o caso h < 0. 

64. Se fé contínua e g e h são funções diferenciáveis, encontre a 
fórmula para 



d pi.i 

da -■?<■>) 

7(0 dt 

(a) Mostre que 1 v ' 

T+x 1 

< 1 + X 5 

(b) Mostre que I j ( ‘ 

v 1 + 

_v ? dx ^ i r 

Seja 

fo 

se x < 0 

ftx) =\ 

\x 

2 ~ x 

se 0 =£ x 
se 1 < x 

1 

0 

se x > 2 

e 

gU) = 

j fit) dt 

J 0 * 


(a) Ache uma expressão para g(x) similar àquela para f(x). 

(b) Esboce os gráficos de/ e g. 

(c) Onde/é diferencíável? Onde g é diferenciável? 

67. Ache uma função/ e um número a tal que 
6 + - 2 v'.r 

para todo x > 0. 


68. A área marcada B é três vezes a área marcada A. Expresse b 
em termos de a. 


¥ A 


I 

U"' B i 


0 j a 


b x 


69. Uma empresa possui uma máquina que se deprecia a uma taxa 
contínua / = /(*), onde t é o tempo medido em meses desde 
seu último recondicionamento. Como a cada vez que a 
máquina é recondicionada incorre-se em um custo fixo .4, a 
empresa deseja determinar o tempo ótimo T (em meses) entre 
os recondicionamentos. 

(a) Explique por que j ( ' f(s) ds representa a perda do valor da 
máquina sobre o período de tempo / desde a último 
recondicionamento. 

(b) íseja C ~ C(t) dado por 


O que representa C e por que a empresa quer minimizar C? 
(c) Mostre que C tem um valor mínimo nos números t — T 
onde C(T) — fíT). 


70. Uma companhia de alta tecnologia compra um novo sistema 
computacional com valor inicia] V. O sistema depreciará a uma 
taxa / = f{t) e acumulará custos de manutenção a uma taxa 
g ~ g(t ), onde t é o tempo medido ern meses. A companhia 
quer determinar o tempo ótimo para substituir o sistema. 

(a) Seja 


i/U) + i/.v 


Mostre que os números críticos de C ocorrem nos números t, 
onde C(t) — f(t) + git). 

(b) Suponha que 


15 450 


i se 0 < ! • : 30 


se t > 30 
í > 0 


Determine o período de tempo T para que a depreciação 


total DU) = L f(s) ds seja igual ao valor inicial V. 


(c) Determine o mínimo absoluto de C em (0, T], 

(d) Esboce os gráficos de C e/+ g no mesmo sistema de 
coordenadas e verifique o resultado da parte (a) nesse caso. 


5 


Vimos na Seção 5.3 que a segunda parte cio Teorema Fundamenta do Cálculo fornece um 
método muito poderoso para computar a integral definida de umtt função, desde que pos- 
samos encontrar urna antiderivada da função. Nesta seção vamos introduzir uma notação 
para antiderivadas. rever as fórmulas para as antiderivadas e então usá-las para computar 
as integrais definidas. Também reformularemos o TFC2. de forr^a a tomá-lo mais facil- 
mente aplicável a problemas da ciência e engenharia. 


!,' J Integrais Indefinidas 

Ambas as partes do Teorema Fundamental estabelecem conexões entre as antiderivadas e 
as integrais definidas. A Parte 1 estabelece que se / for contínua, então ('/(/>